что такое тензор напряжений

Что такое тензор напряжений

Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Так как тело находится в равновесии, следовательно, находится в равновесии любая его часть, в том числе и элементарный объем. Запишем одно из шести уравнений равновесия этого объема, а именно — сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все силы, кроме двух, либо не создают момента относительно ocи Ох, либо взаимно уничтожаются. Отличные от нуля моменты создают компоненты (верхняя грань) и (права грань):

После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим

Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог, получим еще два соотношения

Эти условия симметрии и тензора напряжений называются также условиями парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам в направлениях, ортогональных ребру, образованному пересечением этих площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

Покажем теперь, что компоненты тензора напряжений определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, т. е. позволяют вычислить компоненты вектора напряжений на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный объем, образованный сечением параллелепипеда, изображенного на рис. 1, плоскостью, пересекающей координатные оси и имеющей единичный вектор нормали

Рис.1. Элементарный четырехгранник с компонентами напряженного состояния.

п с компонентами n_x, n_y, n_z. На гранях полученного таким образом бесконечно малого тетраэдра действуют напряжения, показанные на рис. 1. При этом вектор напряжений p_n на наклонной площадке разложен па составляющие р_x, р_y, р_z вдоль координатных осей. Площади граней, ортогональных координатным осям и вектору нормали, обозначим соответственно dF_x, dF_y, dF_z, dF. Эти площади связаны между собой соотношениями

вытекающими из того, что грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.

Проектируя силы, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции всех поверхностных сил на ось Ох дают

С учетом соотношений (1) после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию р_x вектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяя это уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям

носящим название формул Коши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы (2) позволяют вычислить через компоненты тензора напряжений

Источник

Напряжение. Тензор напряжений

Многие механические свойства выражаются через величинунапряжений. В механике напряжения обычно рассматриваются как удельные характеристики сил, возникающих в теле под действием внешних нагрузок.

В простейшем случае осевого растяжения стержня определяются как

где S — напряжение в сечении площадью F, перпендикулярном оси образца, вдоль которой действует сила P.

Размерность МПа или кгс/мм 2 (1 кгс/мм 2 =9,8 МПа).

В общем случае сила не перпендикулярна плоскости площадки, на которую она действует. Тогда ее, как любой вектор, можно разложить на две составляющие: нормальную (перпендикулярную к площадке), создающую нормальное напряжение, и касательную, действующую в плоскости площадки и вызывающую касательное напряжение. В механических испытаниях определяют именно эти напряжения. Их же используют в расчетах на прочность. Т.о., процессы при деформации и разрушении определяются касательными напряжениями (пластическая деформация, разрушение путем среза) и нормальными (разрушение отрывом) (рис. 17).

Нормальное напряжение в сечении F_a

Нормальные напряжения делят на растягивающие (положительные) и сжимающие (отрицательные).

Рис. 17. Схема определения напряжения (а) и схемы определения составляющих полного напряжения (б и в).

Чтобы выбранный параллелепипед находился в равновесии, необходимо равенство моментов относительно координатных осей. Поэтому по закону парности касательных напряжений тензор содержит фактически не девять, а шесть независимых напряжений. С помощью их можно охарактеризовать любое сложное напряженное состояние. Тензор позволяет определить величину нормальных и касательных напряжений в любой площадке, проходящей через данную точку тела, если известны ее направляющие косинусы (косинус угла между нормалью к площадке и соответствующей осью координат) относительно выбранных координатных осей.

Рис.18. Взаимно уравновешенные напряжения, действующие на грани параллелепипеда.

В теории упругости доказывается, что при любом напряженном состоянии через каждую точку тела можно провести, по меньшей мере, три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения нулевые и, следовательно, действуют только нормальные напряжения. Такие площадки и направления нормалей к ним называются главными площадками и главными направлениями напряжений, а действующие на этих площадках напряжения – главными нормальными напряжениями. При механических испытаниях главные направления напряжений обычно заранее известны, и их можно выбрать в качестве координатных осей. Тогда тензор напряжений упрощается до вида

При таком упрощенном тензоре напряжений нормальные и касательные напряжения в заданной площадке с направляющими косинусами а_x, a_y, a_z рассчитывают как

Как уже отмечалось, максимальные касательные напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 45 0 к главным осям. Их величина равна полуразности соответствующих главных нормальных напряжений

Главные касательные напряжения, действующие на трех взаимно перпендикулярных площадках, расположенных под углом 45 0 к главным осям, рассчитывают по формулам

Источник

Тензор напряжений

Полезное

Смотреть что такое «Тензор напряжений» в других словарях:

Тензор напряжений — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. Эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения в трёх… … Википедия

тензор напряжений — [stress tensor] симметричный тензор 2 го ранга, однозначно определяющий напряженные состояния: В сокращенной записи Тσ = [σij]. Диагональные компоненты являются нормальными, а другие касательными напряжениями. Тензор напряжений представляется в… … Энциклопедический словарь по металлургии

тензор напряжений — įtempių tenzorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. stress tensor vok. Spannungstensor, m rus. тензор напряжений, m; тензор натяжений, m pranc. tenseur des contraintes, m; tenseur des efforts, m … Fizikos terminų žodynas

тензор напряжений — тензор напряжений — совокупность величин, характеризующая напряжённое состояние сплошной среды в рассматриваемой точке поля течения:||P|| = (pαβ)где α, β = x, y, z — декартовы координаты, pαβ(α = β) — нормальные напряжения,… … Энциклопедия «Авиация»

тензор напряжений — тензор напряжений — совокупность величин, характеризующая напряжённое состояние сплошной среды в рассматриваемой точке поля течения:||P|| = (pαβ)где α, β = x, y, z — декартовы координаты, pαβ(α = β) — нормальные напряжения,… … Энциклопедия «Авиация»

тензор напряжений турбулентного трения — ( ) Совокупность девяти величин, характеризующая напряженное состояние в точке потока, обусловленное пульсационным движением газа. [ГОСТ 23281 78] Тематики аэродинамика летательных аппаратов Обобщающие термины характеристики течения газа EN… … Справочник технического переводчика

тензор напряжений излучения — Афинный ортогональный симметричный тензор второго ранга, диагональные компоненты которого представляют нормальные напряжения излучения, а недиагональные компоненты касательные напряжения, действующие на площадки, перпендикулярные к… … Политехнический терминологический толковый словарь

Тензор деформации — Тензор деформации тензор, который характеризует сжатие (растяжение) и изменение формы в каждой точке тела при деформации. Тензор деформации Коши Грина в классической сплошной среде (частицы которой являются материальными точками и обладают… … Википедия

Тензор энергии-импульса — (ТЭИ) симметричный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи[1], и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем. Тензор энергии импульса является дальнейшим… … Википедия

тензор деформации — [deformation (strain) tensor] симметричный тензор 2 го ранга, однозначно определяющий деформированное состояние, другое назваие тензор малой деформации: или в сокращенной записи Тε = [εij]. Диагональные компоненты εi представляют относительное… … Энциклопедический словарь по металлургии

Источник

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

Вектор напряженийp_n является физическим объектом, имеющим длину, направление и точку приложения. В этом смысле он обладает векторными свойствами. Однако этому объекту присущи некоторые свойства, не характерные для векторов. В частности, величина и направление вектора напряжений зависят от ориентации вектора n нормали бесконечно малого элемента поверхности dF. Совокупность всех возможных пар векторовп, р_n в точке определяет напряженное состояние в данной точке. Однако для полного описания напряженного состояния в точке нет необходимости задавать бесконечное множество направлений вектораn, достаточно определить векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных элементарных площадках. Напряжения на произвольно ориентированных площадках могут быть выражены через эти три вектора напряжений. В дальнейшем лектор умышленно меняет ориентацию координат. Так, что ось Z – продольная ось бруса, а X и Y – координаты любой точки его поперечного сечения.

Проведем через точку М три взаимно перпендикулярных плоскости с векторами нормалей, направления которых совпадают с направлениями координатных осей. Элементарные площадки образуем дополнительными сечениями, параллельными исходным плоскостям и отстоящими от них на бесконечно малые расстояния dx, dy, dz. В результате в окрестности точки М получим бесконечно малый параллелепипед, поверхность которого образована элементарными площадками dF_х=dydz, dF_н==dxdz, dF_я=dxdy. Векторы напряжений p_x,p_y, p_z, действующие на элементарных площадках, показаны на рис. 5.

Разложим каждый вектор напряжений на составляющие вдоль координатных осей (рис. 6). На каждой площадке действует одно нормальное напряжение , , , где индекс обозначает направление вектора нормали к площадке и два касательных напряжения с двумя индексами, из которых первый указывает направление действия компоненты напряжения, второй—направление вектора нормали к площадке.

Рис. 5. Равновесное состояние бесконечно-малого параллелепипеда

Рис.6. Компоненты тензора напряженного состояния

Совокупность девяти компонент напряжений (по три на каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок) представляет собой некоторый физический объект, называемый тензором напряжений в точке. Тензор можно представить в виде матрицы, соответствующим образом упорядочив девять компонент:

Для компонент тензора напряжений общепринятым является следующее правило знаков: компонента считается положительной, если на площадке с положительной внешней нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных осей) эта компонента направлена в сторону положительного направления соответствующей оси. На рис. 6 все компоненты тензора напряжений изображены положительными. На площадках с отрицательной внешней нормалью (грани параллелепипеда, не видимые на рис. 5 и 6) положительная компонента направлена в противоположном направлении. Напряжения на трех взаимно ортогональных площадках с отрицательными направлениями нормалей также характеризуют напряженное состояние в точке. Эти напряжения, являющиеся компонентами тензора напряжений, определяются аналогично напряжениям на площадках с положительной нормалью. Они обозначаются теми же символами и имеют положительное направление, обратное изображенному на рис. 6.

Лекция № 6. Свойства тензора напряжений. Главные напряжения

Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Так как тело находится в равновесии, следовательно, находится в равновесии любая его часть, в том числе и элементарный объем. Запишем одно из шести уравнений равновесия этого объема, а именно — сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все силы, кроме двух, либо не создают момента относительно ocи Ох, либо взаимно уничтожаются. Отличные от нуля моменты создают компоненты (верхняя грань) и (права грань):

После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим

Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог, получим еще два соотношения

Эти условия симметрии и тензора напряжений называются также условиями парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам в направлениях, ортогональных ребру, образованному пересечением этих площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

Покажем теперь, что компоненты тензора напряжений определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, т. е. позволяют вычислить компоненты вектора напряжений на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный объем, образованный сечением параллелепипеда, изображенного на рис. 1, плоскостью, пересекающей координатные оси и имеющей единичный вектор нормали

Рис.1. Элементарный четырехгранник с компонентами напряженного состояния.

п с компонентами n_x, n_y, n_z. На гранях полученного таким образом бесконечно малого тетраэдра действуют напряжения, показанные на рис. 1. При этом вектор напряжений p_n на наклонной площадке разложен па составляющие р_x, р_y, р_z вдоль координатных осей. Площади граней, ортогональных координатным осям и вектору нормали, обозначим соответственно dF_x, dF_y, dF_z, dF. Эти площади связаны между собой соотношениями

вытекающими из того, что грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.

Проектируя силы, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции всех поверхностных сил на ось Ох дают

С учетом соотношений (1) после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию р_x вектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяя это уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям

(2)

носящим название формул Коши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы (2) позволяют вычислить через компоненты тензора напряжений

(3)

(4)

и касательное напряжение

(5)

Среди всех возможных направлений вектора нормали n существуют такие направления, для которых вектор напряженийp_n параллелен вектору п. На соответствующих площадках действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями. Пусть площадка с единичным вектором нормали является главной. Условия коллинеарности векторов p_n и n есть условия пропорциональности их компонент:

С учетом формул Коши получим систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных компонент n_x, n_y, n_z вектора нормали к главной площадке

Эта система уравнений имеет ненулевое решение, если определитель, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль:

(6)

Раскрывая определитель, приходим к кубическому уравнению относительно главного напряжения

(7)

Здесь введены обозначения

	(8)
	(9)

Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для тензора напряжений. Коэффициенты (9) этого уравнения называются инвариантами тензора напряжений. Решение кубического уравнения (8) имеет три вещественных корня которые обычно упорядочиваются .

Каждому значению (j=1, 2, 3) соответствует векторn j ,характеризующий положение j-й главной площадки, с компонентами n j ₁, n j ₂, n j ₃. Для нахождения этих компонент достаточно в уравнения подставить найденное значение и решить любые два из этих уравнений совместно с условием нормировки

(10)

Кубическое уравнение (8) можно переписать в виде

(11)

Приводя это уравнение к виду (8), получим следующие выражения для инвариантов (9) через главные напряжения:

(12)

Термин «инвариантность» обозначает независимость некоторой величины от выбора системы координат.

Введем среднее напряжение по формуле

(13)

Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров , где

(14)

Первый тензор называется шаровым, он характеризует изменение объема тела без изменения его формы. Второй тензор, называемый девиатором, характеризует изменение формы. Особенностью девиатора напряжений является равенство нулю его первого инварианта:

(15)

Найдем положение площадок, на которых касательные напряжения принимают экстремальные значения. Для этого нужно отыскать экстремумы касательного напряжения. Экстремальные касательные напряжения действуют на площадках, параллельных одной из главных осей и образующих с двумя другими осями угол . По величине эти напряжения равны

(16)

При этом на площадках с экспериментальными касательными напряжениями присутствуют нормальные напряжения, которые равны

Фигура, которую образуют площадки с экстремальными касательными напряжениями, изображена на рис. 2. Она принадлежит к классу параллелоэдров и представляет собой 12-гранник с гранями в виде ромбов, отношение диагоналей которых равно .

Рис.2. Параллепоэдр распределения экстремальных касательных напряжений

Таким образом, общая теория напряженного состояния позволяет охватывать, в целом, весь комплекс видов сопротивлений, как простого, так и сложного характера.

Лекция № 7. Плоское напряженное состояние

Рассмотрим важный для приложений случай плоского напряженного состояния, реализуемого, например, в плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид

Геометрическая иллюстрация представлена на рис.1. При этом площадки х=const являются главными с соответствующими нулевыми главными напряжениями. Инварианты тензора напряжений равны , а характеристическое уравнение принимает вид

Корни этого уравнения равны

(1)

Нумерация корней произведена для случая

Рис.1. Исходное плоское напряженное состояние.

Рис.2. Позиция главных напряжений

Произвольная площадка характеризуется углом на рис. 1, при этом вектор п имеет компоненты: , , n_х=0. Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через угол следующим образом:

	(2)
	(3)

Так как на главных площадках касательное напряжение отсутствует, то, приравнивая нулю выражение (3), получим уравнение для определения угла между нормалью п и осью Оу

(4)

Наименьший положительный корень уравнения (4) обозначим через . Так как tg(х)—периодическая функция с периодом , то имеем два взаимно ортогональных направления, составляющие углы и с осью Оу. Эти направления соответствуют взаимно перпендикулярным главным площадкам (рис. 2).

Если продифференцировать соотношение (2) по и приравнять производную нулю, то придем к уравнению (4), что доказывает экстремальность главных напряжений.

Для нахождения ориентации площадок с экстремальными касательными напряжениями приравняем нулю производную от выражения

,

(5)

Сравнивая соотношения (4) и (5), находим, что

Это равенство возможно, если углы и отличаются на угол . Следовательно, направления площадок с экстремальными касательными напряжениями отличаются от направлений главных площадок на угол (рис. 3).

Рис.3. Экстремальность касательных напряжений

Величины экстремальных касательных напряжений получим после подстановки (5) в соотношение (3) с использованием формул

.

После некоторых преобразований получим

Сравнивая это выражение с полученными ранее значениями главных напряжений (2.21), выразим экстремальные касательные напряжения через главные напряжения

Аналогичная подстановка в (2) приводит к выражению для нормальных напряжений на площадках с

Полученные соотношения позволяют проводить направленно-ориентированный расчет конструкций на прочность в случае плоского напряженного состояния.

Источник