что такое свойство действий над числами в алгебре

Свойства действий над числами

Напомним основные свойства сложения и умножения чисел.

1) Переместительное свойство: для любых чисел а и b верны равенства

2) Сочетательное свойство: для любых чисел a, b и с верны равенства

(а + b) + с = а + (b + с), (ab)c = a(bc).

3) Распределительное свойство:

Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует:

в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.

П р и м е р 1. Вычислим сумму 1,23 + 13,5 + 4,27.

Для этого удобно объединить первое слагаемое с третьим. Получим

1,23 + 13,5+ 4,27 = (1,23+ 4,27)+ 13,5 = 5,5 + 13,5= 19.

Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует:

в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.

П р и м е р 2. Найдём значение произведения 1,8 • 0,25 • 64 • 0,5.

Объединив первый множитель с четвёртым, а второй — с третьим, получим

1,8 • 0,25 • 64 • 0,5 = (1,8 • 0,5) • (0,25 • 64) = 0,9 • 16= 14,4.

Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трёх и более слагаемых.

Например, для любых чисел а, b, с и d верно равенство

а (b + с + d) = ab + ас + ad.

Мы внаем, что вычитание можно заменить сложением, прибавив к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому:

Пример 3. Найдём значение выражения 3,27- 6,5-2,5+ 1,73.

Применив свойства сложения, получим

Пример 4. Вычислим произведение

Множитель можно рассматривать как сумму чисел и Используя распределительное свойство умножения, получим

Источник

Свойства умножения и деления

Свойства умножения

Умножение — арифметическое действие, в котором участвуют два аргумента: множимый и множитель. Результат их умножения называется произведением.

Узнаем, какие бывают свойства умножения и как их применять.

Переместительное свойство умножения

От перестановки мест множителей произведение не меняется.

То есть, для любых чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.

Это свойство можно применять к произведениям, в которых больше двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Произведение трех и более множителей не изменится, если какую-то группу множителей заменить их произведением.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).

Сочетательное свойство можно использовать, чтобы упростить вычисления при умножении. Например: 25 * 15 * 4 = (25 * 4) * 15 = 100 * 15 = 1500.

Если не применять сочетательное свойство и вычислять последовательно, решение будет значительно сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.

Это свойство работает с любым количеством слагаемых: (a + b + с + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.

В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно сложения звучит так:

Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.

В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно вычитания звучит так:

Чтобы число умножить на разность чисел, нужно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Свойство нуля при умножении

Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство:
0 * a * b * c = 0.

Свойство единицы при умножении

Если умножить любое целое число на единицу, то в результате получится это же число.

То есть, умножение на единицу не изменяет умножаемое число: a * 1 = a.

Свойства деления

Деление — арифметическое действие обратное умножению. В результате деления получается число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое.

Основные свойства деления целых чисел

И еще одно важное свойство деления, которое проходят в 5 классе:

Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.

В буквенной форме это свойство выглядит так: a : b = (a * k) : (b * k), где k — любое натуральное число.

Применим свойства деления на практике.

Пример 1

Мама купила 6 кг конфет и разложила их в три пакета. Сколько килограммов конфет в каждом пакете?

Так как в каждом пакете одинаковое количество конфет, разделим 6 кг на три равные части: 6 : 3 = 2. Значит в каждом пакете по 2 кг конфет.

Пример 2

Вычислить: 500 * (100 : 5).

Как решаем: 500 * (100 : 5) = (500 * 100) : 5 = 50000 : 5 = 10000.

Ответ: 500 * (100 : 5) = 10000.

Пример 3

Упростить выражение: 27a – 16a.

Свойства умножения и деления помогают упрощать выражения. То есть, если запомнить эти свойства и научиться их применять, то решать задачки можно быстрее.

Источник

Конспект урока по алгебре в 7 классе «Свойства действий над числами»

Курзенкова Елена Викторовна

учитель математики МБОУ «Школа № 15»

Тема: Свойства действий над числами.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний

Базовый учебник: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. под редакцией Теляковского С. А. «Алгебра 7 класс»

Цель урока: актуализировать знания основных свойств сложения и умножения чисел (переместительное, сочетательное и распределительное свойства); формировать умение применять свойства действий над числами при нахождении значений числовых выражений.

Планируемые результаты: научиться применять основные свойства сложения и умножения чисел; свойства действий над числами при нахождении значений числовых выражений.

Необходимое техническое оборудование: проектор, компьютер​, экран, доска.

1. Мотивация к учебной деятельности.

Организационный момент. Мотивировать учащихся на работу

Учитель приветствует учащихся, организует начало урока.

— Здравствуйте, ребята! Открываем тетради, записываем число и оставляем место для темы, её запишем позже. А сейчас выполните задание в тетради. В выражениях вставьте пропущенные буквы так, чтобы получились верные равенства. (презентация)

Вы записали основные свойства сложения и умножения чисел. Сформулируйте их.

Приветствуют учителя, записывают в тетрадь число

Учащиеся отвечают и записывают в тетрадь

Ответы учеников: первое и второе называются переместительным свойством (от перемены мест слагаемых (множителей) сумма (произведение) не меняется. Третье и четвертое-сочетательное свойство (чтобы к сумме двух чисел прибавить число, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго слагаемого и числа). Пятое-распределительное свойство (для того, чтобы число умножить на сумму чисел, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения)

2. Актуализация знаний

— Эти свойства позволяют сделать вычисление числовых выражений более простыми и рациональными.

Учебник с. 18 упр. 72(а,в)

(8,91 + 1,09) + 25,7 = 10 + 25,7 = 35,7

(7,15 + 12,85) + (-9,42 + (-0,58)) = 20 + (-10) = 10

— Кто выполнял иначе? Объясните свой способ.

— Вспомните, как вычитание заменить сложением?

— Правильно. Это позволяет числовое выражение вида

a – b = a + (- b ) считать суммой. (Записывает выражение на доске). И позволяет числовые выражения вида

Самостоятельно в тетрадях № 72(б,г).

Выполняют работу в тетрадях, два ученика у доски

Поднимают руки, поясняют.

Надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Записывают в тетрадях.

Гимнастика для глаз

4. Формирование умений и навыков

— Попробуйте сами выполнить упр. № 75

— Раскройте скобки (записывает на доске):

Объясните, чем воспользовались.

— Данные свойства действий над числами можно применять при вычислениях как слева направо, так и справа налево.

Выполните упражнение № 77.

— Как вы заметили, свойства в значительной мере облегчают вычисления.

Упр. № 78 аналогичный, его выполните дома.

Дополнительное задание № 79(а).

Вынесем число 17 за скобки

17(24 + 6) = 17 ‧ 30 = 17 ‧ 6 ‧ 5

Один из множителей делится на 5, значит и произведение делится на 5, а следовательно, и сумма делится на 5.

Выполняют в тетрадях, обсуждают способ вычисления

Решают в тетрадях, обсуждают полученный результат

Работают в тетрадях

Записывают доказательство в тетрадь.

5. Рефлексия учебной деятельности.

— Подведем итоги урока.

— Сформулируйте переместительное свойство сложения и умножения. Приведите примеры.

— Сформулируйте сочетательное свойство сложения и умножения. Приведите примеры.

— Сформулируйте распределительное свойство умножения. Приведите примеры.

— Сегодня на уроке хорошо работали (называет фамилии).

— Дома выполняете № 71, он аналогичен № 72, обращаю ваше внимание, что задание необходимо выполнить рациональным способом.

— Урок окончен. До свидания.

Отвечают на вопросы.

Записывают домашнее задание

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-691682

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Службы примирения появятся в каждой школе Москвы до конца учебного года

Время чтения: 1 минута

ОНФ проверит качество охраны в российских школах

Время чтения: 2 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подготовило проект плана по модернизации детских лагерей в России

Время чтения: 3 минуты

В России утвердили квоты приема на целевое обучение в вузах на 2022 год

Время чтения: 3 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Сочетай, перемещай, свойства действий

Как найти значение выражения используя свойства арифметических действий?

Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.

Свойства сложения

Переместительный закон сложения

Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:

a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.

Сочетательный закон сложения

Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.

Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …

Свойство сложения разности чисел

Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.

Свойство вычитания разности из числа

Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.

Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.

Свойства умножения

Переместительный закон умножения

Сочетательный закон умножения

Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.

Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.

Умножение числа на произведение чисел

Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.

Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = <[(a·b)•c]•d>…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.

Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.

Умножение числа на сумму чисел

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.

В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.

Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …

Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.

Распределительный закон умножения для разности чисел

Распределительный закон можно применять и к разности.

Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;

7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.

Вообще:
(а — b)с = ас — bc,

а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.

Свойства деления

Деление суммы на число

Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:

Деление разности на число

Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:

Деление произведения на число

Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:

(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:

(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.

Деление числа на произведение

Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:

120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.

а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.

Укажем еще следующее свойство деления:

Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3

Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b

Источник

Урок алгебры на тему: «Свойства действий над числами»

Урок 8. Свойства действий над числами.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-797405

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В московских школах придумали новый формат классных часов с участием отцов

Время чтения: 2 минуты

Детский омбудсмен предложила обучать педагогов мотивированию учащихся

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

ОНФ проверит качество охраны в российских школах

Время чтения: 2 минуты

Только каждый 10-й россиянин может дать платное образование своим детям

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник