что такое сумма функций

Суммы функций

Также полезно иметь количественную оценку эффекта суммирования двух функций. Прежде всего, если имеется асимптотическая верхняя оценка, применимая к каждой из двух функций f и g, то она применима и к сумме этих функций.

(2.4) Предположим, f и g — такие две функции, что для некоторой функции h

Это свойство обобщается для суммы фиксированного числа функций k, где

k может быть больше двух. Точная формулировка результата приведена ниже;

доказательство не приводится, так как оно, по сути, повторяет доказательство (2.4) для сумм, состоящих из k слагаемых вместо 2.

(2.5) Пусть k — фиксированная константа, а f1, f2, …, fk и h — функции, такие что

У (2.4) имеется следствие, которое проявляется в типичной ситуации: во время анализа алгоритма, состоящего из двух высокоуровневых частей, часто удается легко показать, что одна из двух частей медленнее другой.

В этом случае время выполнения всего алгоритма асимптотически сравнимо со временем выполнения медленной части. Поскольку общее время выполнения представляет собой сумму двух функций (время выполнения двух частей), полученные выше результаты для асимптотических границ сумм функций напрямую применимы в данном случае.

(2.6) Предположим, f и g — две функции (получающие неотрицательные значе- ния) и g = O( f ). В этом случае f + g = Θ( f ). Другими словами, f является асимпто- тически точной границей для объединенной функции f + g.

Доказательство. Очевидно, f + g = Ω( f ), так как для всех n ≥ 0 выполняется условие f (n) + g(n) ≥ f (n). Чтобы завершить доказательство, необходимо показать, что f + g = O( f ).

Но это утверждение является прямым следствием (2.4): дано, что g = O( f ), а условие f = O( f ) выполняется для любой функции, поэтому из (2.4) следует f + g = O( f ). ■

Данный результат также распространяется на сумму любого фиксированного количества функций: самая быстрорастущая из функций является асимптотически точной границей для суммы.

Источник

Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования

Для тех, кто подзабыл матешу

Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.

Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.

Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.

Знак Σ — сумма

Когда математикам нужно сложить несколько чисел подряд, они иногда пишут так:

Σ (читается «сигма») — это знак алгебраической суммы, который означает, что нам нужно сложить все числа от нижнего до верхнего, а перед этим сделать с ними то, что написано после знака Σ.

На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». То есть:

Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».

Но мы с вами как программисты видим, что здесь есть повторяющиеся действия: мы много раз складываем числа, которые меняются по одному и тому же правилу. А раз мы знаем это правило и знаем, сколько раз надо его применить, то это легко превратить в цикл. Для наглядности мы показали, какие параметры в Σ за что отвечают в цикле:

Произведение П

С произведением в математике работает точно такое же правило, только мы не складываем все элементы, а перемножаем их друг на друга:

А если это перевести в цикл, то алгоритм получится почти такой же, что и в сложении:

Что дальше

Сумма и произведение — простые математические операции, пусть они и обозначаются страшными символами. Впереди нас ждут интегралы, дифференциалы, приращения и бесконечные ряды. С ними тоже всё не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Источник

Функция сумм в Excel и примеры ее использования

Функция СУММ относится к категории: «Математические». Нажмите комбинацию горячих клавиш SHIFT+F3 для вызова мастера функций, и вы быстро ее там найдете.

Использование этой функции существенно расширяет возможности процесса суммирования значений ячеек в программе Excel. На практике ее рассмотрим возможности и настройки при суммировании нескольких диапазонов.

Как в таблице Excel посчитать сумму столбца?

Просуммируем значение ячеек A1, A2 и A3 с помощью функции суммирования. За одно и узнаем, для чего используется функция сумм.

В результате в ячейке A4 отображается результат вычисления. Саму функцию и ее параметры можно увидеть в строке формул.

Примечание. Вместо использования инструмента «Сумма» на главной панели, можно в ячейку A4 сразу ввести функцию с параметрами вручную. Результат будет одинаковый.

Поправка автоматического распознания диапазонов

При введении функции с помощью кнопки на панели инструментов или при использовании мастера функций (SHIFT+F3). функция СУММ() относится к группе формул «Математические». Автоматически распознанные диапазоны не всегда являются подходящими для пользователя. Их можно при необходимости быстро и легко поправить.

Допустим, нам нужно просуммировать несколько диапазонов ячеек, как показано на рисунке:

Обратите внимание на синтаксис в параметрах функции при выделении нескольких диапазонов. Они разделены между собой (;).

В параметрах функции СУММ могут содержаться:

В параметрах функций все аргументы должны быть разделены точкой с запятой.

Для наглядного примера рассмотрим разные варианты суммирования значений ячеек, которые дают один и тот же результат. Для этого заполните ячейки A1, A2 и A3 числами 1, 2 и 3 соответственно. А диапазон ячеек B1:B5 заполните следующими формулами и функциями:

При любом варианте мы получаем один и тот же результат вычисления – число 11. Последовательно пройдите курсором от B1 и до B5. В каждой ячейке нажмите F2, чтобы увидеть цветную подсветку ссылок для более понятного анализа синтаксиса записи параметров функций.

Одновременное суммирование столбцов

В Excel можно одновременно просуммировать несколько смежных и несмежных столбцов.

Заполняете столбцы, так как показано на рисунке:

Под каждым столбцом автоматически добавилась функция СУММ(). Теперь в ячейках A4; B4 и D4 отображается результат суммирования каждого столбца. Это самый быстрый и удобный метод.

Примечание. Данная функция автоматически подставляет формат ячеек которых она суммирует.

Источник

Операции c функциями

Функции можно складывать
Функции можно вычитать
Функции можно умножать
Функции можно делить
Функции могут быть составлены друг с другом
Давайте возьмем две функции
f(x) = x 2 and g(x) = x
Сумма этих функций:
f(x) + g(x) = x 2 + x

Пример:
Рассмотрим две функции
f(x) = 3√ x and g(x) = √ x
Тогда их произведение определяется как
(f.g)(x) = f(x).g(x) = (3√ x )(√ x ) = 3x Обратите внимание, что

Натуральная область 3x есть (-∞; +∞) Теперь сравним области первоначальных функций f и g, и их произведение:

Иногда произведение двух одинаковых функций записывается как
f 2 (x) = f(x).f(x)
В целом, если n есть положительным целым, тогда hen
f n (x) = f(x).f(x). f(x) Например,
sin(x).sin(x) = (sin(x)) 2 = sin 2 x Допустим, что есть две функции
f(x) = x 3 и g(x) = x + 4
Если мы заменим g(x) на x в формуле для f, мы получим новую функцию, определенную
(f o g)(x) = f(g(x)) = (g(x)) 3 = (x + 4) 3
Чтобы вычислить f(g(x)) необходимо вычислить сначала g(x) для x из области g, а тогда необходимо g(x) в области f вычислить f(g(x))

Пример:
Есть
f(x) = x 2 + 3 g(x) = √ x
Тогда составная этих функций есть
(f o g)(x) = f(g(x)) = (g(x)) 2 + 3 = (√ x ) 2 + 3 = x + 3 Теперь сравним областя оригинальных функций f и g, и их составную функцию

Источник

Сумма (разность) функций

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Сумма (разность) функций

Описание слайда:

Содержание
Определение
Алгоритм построения (сумма функций)
Пример №1
Алгоритм построения (разность функций)
Пример №2
Выполнить построение
Выход

Описание слайда:

Сумма функций
Суммой функций ƒ(x) и g(x) называется функция h(x) с областью определения, являющейся общей частью областей определения ƒ(x) и g(x), при этом значении функции h(x) равны ƒ(x) + g(x).

Описание слайда:

Построение
графика функции h(x)= ƒ(x) + g(x):
Построить график функции y=ƒ(x)

В той же системе координат построить график функци y=g(x)

В каждой точке к отрезку изображающему ординату первого графика, пристроить отрезок, изображающий ординату второго графика.

Описание слайда:

Пример:
Построить график функции y=x+1/x

Строим график функции y=x
Графиком этой функции является прямая.
Биссектриса I и III координатных углов.

Описание слайда:

Описание слайда:

В той же системе координат строим график функции y=1/x.
Графиком этой функции является гипербола, располагающаяся в I и III координатных четвертях.

Описание слайда:

Описание слайда:

Для каждого значения x (x≠0) складываем длины соответствующих отрезков, изображающих ординаты.

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

При построении графика разности можно поступить иначе:
Строим график функции y=ƒ(x)
В этой же системе координат строим график функции y=g(x)
График функции y=g(x) отобразить симметрично относительно оси 0x. (тем самым получится график функции y=-g(x))
Сложим графики функций y=ƒ(x) и y=g(x).

Описание слайда:

Построить график функции y=x²-x

Строим график функции y=x²
Графиком этой функции является парабола
Ветви направлены вверх (т.к. a=1>0)
Вершина находится в точке O(0;0).
Пример 2:

Описание слайда:

Описание слайда:

Строим график функции y=x в той же системе координат
Графиком этой функции является прямая.
Биссектриса I и III координатных углов.

Описание слайда:

Описание слайда:

Симметрично отображаем график функции y=x относительно 0x
(в той же системе координат).
Теперь графиком этой функции будет являться прямая, проходящая через II и IV координатные углы.

Описание слайда:

Описание слайда:

Для каждого значения x складываем соответствующие длины отрезков, изображающие ординаты.

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Задание
Построить графики функций
y=x²+x
y=1/x-(x+3)
y=1/x+(x-2)

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Охрана труда

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Похожие материалы

Простые дроби. Повторение и обобщение

Натуральные числа

Порядок и хаос 5 класс

Математика и Стихосложение

Великолепная семерка

Деление

Умножение 2, 20, 200 на 2, 20, 200. Соответствующие случаи деления

Интеллектуальная игра Что? Где? Когда?

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5360060 материалов.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Новые аккредитационные показатели для вузов вступят в силу с 1 марта

Время чтения: 1 минута

В России планируют создавать пространства для подростков

Время чтения: 2 минуты

Школьники из России выиграли 8 медалей на Международном турнире по информатике

Время чтения: 3 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Учителя Кубани смогут получить миллион рублей на взнос по ипотеке

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник