что такое степенной ряд

Степенные ряды

Радиус и круг сходимости степенного ряда.

Функциональные ряды вида
$$
\sum_^<\infty>c_(\zeta — a)^,\label
$$
где \(c_\ (n = 1, 2, \ldots)\) и \(a\) — заданные комплексные числа, \(\zeta\) — комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа \(c_\) — коэффициентами степенного ряда \eqref.

Полагая в \eqref \(z = \zeta — a\), получим ряд
$$
\sum_^<\infty>c_z^,\label
$$
исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда \eqref.

Если степенной ряд \eqref сходится при \(z = z_ <0>\neq 0\), то он сходится, и притом абсолютно, при любом \(z\) таком, что \(|z| |z_<1>|\).

Так как ряд \eqref сходится в точке \(z_<0>\), то должно выполняться условие
$$
\lim_c_z_<0>^ = 0,\nonumber
$$
откуда следует ограниченность последовательности \(\z_<0>^\>\), то есть
$$
\exists M > 0: \forall n \in \mathbb \rightarrow |c_z_<0>^| \leq M.\label
$$
Используя неравенства \eqref и \eqref, получаем
$$
|c_z^| = |c_z_<0>^|\left|\frac>\right|^ \leq M q^,\ \mbox<где>\ 0 \leq q Следствие 1.

Если ряд \eqref сходится в точке \(z_ <0>\neq 0\), то в круге \(K_ <1>= \

Если ряд \eqref сходится в точке \(z_ <0>\neq 0\), то ряды
$$
\sum_^<\infty>c_z^,\quad m \in \mathbb,\label
$$
$$
\sum_^<\infty>nc_z^\label
$$
сходятся абсолютно в круге \(K_<0>\), а в круге \(K_<1>\) — абсолютно и равномерно.

\(\circ\) Для ряда \eqref в круге \(K_<0>\) выполняется неравенство
$$
|c_z^| \leq \frac<|z_<0>|^>q^,\ 0 \leq q 0\), \(B > 0\), \(0 \leq q Теорема 2.

Для всякого степенного ряда \eqref существует \(R\) (\(R \geq 0\) — число или \(+\infty\)) такое, что:

\(\circ\) Пусть \(D\) — множество всех точек сходимости ряда \eqref. Это непустое множество, так как в точке \(z = 0\) ряд \eqref сходится.

Если \(D\) — неограниченное множество, то ряд \eqref сходится в произвольной точке \(\tilde\) комплексной плоскости. В самом деле, возьмем точку \(z_ <0>\in D\) такую, что \(|\tilde| R\). Тогда \(z’ \in D\) (по определению точной верхней грани), и поэтому ряд \eqref расходится в точке \(z’\). \(\bullet\)

На границе круга \(K\) ряд \eqref может как сходиться, так и расходиться. В любом меньшем круге \(K_ <1>= \

Если \(R\) — радиус сходимости степенного ряда \eqref, причем \(0 Доказательство.

\(\circ\) Теорема приводится без доказательства. \(\bullet\)

Если существует конечный или бесконечный \(\displaystyle\lim_ \sqrt[n]<|c_|>\), то для радиуса \(R\) сходимости ряда \eqref справедлива формула
$$
\frac<1> = \lim_ \sqrt[n]<|c_|>,\label
$$
а если существует конечный или бесконечный \(\displaystyle\lim_ \left|\frac>>\right|\), то
$$
R = \lim_ \left|\frac>>\right|,\label
$$

\(\circ\) Докажем формулу \eqref. Обозначим \(\rho = \displaystyle\lim_ \sqrt[n]<|c_|>\).

Пределы \eqref и \eqref могут не существовать. Однако имеется универсальная формула для вычисления радиуса сходимости \(R\) степенного ряда \eqref, а именно формула
$$
\frac<1> = \overline<\lim_> \sqrt[n]<|c_|>,\label
$$
которую называют формулой Коши-Адамара.

Найти радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_z^\),

Найти радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>2^z^<5n>\).

\(\vartriangle\) Обозначим \(2z^ <5>= t\). Тогда \(\displaystyle\sum_^<\infty>2^z^ <5n>= \sum_^<\infty>t^\), причем ряд \(\sum_^<\infty>t^\) сходится, если \(|t| 1\). Поэтому ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>2^z^<5n>\) сходится, если \(2|z|^ <5>\displaystyle\frac<1><\sqrt[5]<2>>\). Итак, радиус сходимости \(R = \displaystyle\frac<1><\sqrt[5]<2>>\). Тот же результат следует из формулы \eqref, так как
$$
\overline<\lim_> \sqrt[n]<|c_|> = \lim_ \sqrt[5n]<2^> = \sqrt[5]<2>.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Для степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_(z — a)^\) круг сходимости \(K\) имеет вид \(K = \ — R, x_ <0>+ R)\) называют интервалом сходимости, a \(R\) — радиусом сходимости ряда \eqref. Радиус сходимости ряда \eqref совпадает с радиусом сходимости ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_(z — x_<0>)^\), где \(z\) — комплексное переменное. При \(R = 0\) ряд \eqref сходится лишь в точке \(x = x_<0>\), а при \(R = +\infty\) — на всей числовой прямой.

Регулярные функции.

Введем понятие функции комплексного переменного. Пусть каждой точке \(z \in E\), где \(E\) — множество точек комплексной плоскости, поставлено в соответствие комплексное число \(w\). Тогда говорят, что на множестве \(E\) определена функция комплексного переменного, и пишут \(w = f(z)\), где символом \(f\) обозначено правило (закон), определяющее это соответствие.

Понятия предела, непрерывности, производной для функции комплексного переменного вводятся по аналогии с соответствующими понятиями для функции действительного переменного. Если
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta_ <\varepsilon>> 0: \forall z: |z — a| Определение.

Функция комплексного переменного \(f(z)\) называется регулярной (однозначной аналитической, голоморфной) в точке \(a\), если она определена в некоторой окрестности точки \(a\) и представима в некотором круге \(|z — a| 0\), сходящимся к \(f(z)\) степенным рядом
$$
f(z) = \sum_^<\infty>c_(z — a)^.\label
$$

Отметим, что любой многочлен, то есть функция вида \(P(z) = \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^\), является регулярной функцией в каждой точке комплексной плоскости.

Рациональная функция \(f(z) = \displaystyle\frac(z)>(z)>\), где \(P_\) и \(Q_\) — многочлены степени \(n\) и \(m\) соответственно, регулярна в каждой точке \(a\), в которой \(Q_ \neq 0\). Если многочлены \(P_\) и \(Q_\) не имеют общих корней и если \(z = z_<0>\) — корень многочлена \(Q_(z)\), то \(\displaystyle\lim_>f(z) = \infty\), а точку \(z_<0>\) называют полюсом функции \(f(z)\). Полюсы — один из типов особых точек функций комплексного переменного.

В теории функций комплексного переменного доказывается, что на границе круга сходимости степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_(z — a)^\) лежит хотя бы одна особая точка его суммы \(f(z)\) и что радиус сходимости этого ряда равен расстоянию от точки \(a\) до ближайшей к \(a\) особой точки функции \(f(z)\).

В частности, если \(f(z) = \displaystyle\frac(z)>(z)>\), причем многочлены \(P_\) и \(Q_\) не имеют общих корней, то радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_(z — a)^\) равен расстоянию от точки \(a\) до ближайшего к этой точке корня многочлена \(Q_(z)\), то есть
$$
R = \min_ <1 \leq k \leq m>|z_ — a|,\nonumber
$$
где \(z_ (k = \overline<1, m>)\) — корни многочлена \(Q_(z)\) (предполагается, что \(a \neq z_\), \(k = \overline<1, m>\)).

Функция \(f(z)\), регулярная в точке \(a\), единственным образом представляется рядом \eqref.

\(\circ\) Пусть функция \(f(z)\) имеет два представления в виде степенного ряда \eqref в круге \(K = \ $$
f(z) = \sum_^<\infty>c_(z — a)^ = \sum_^<\infty>\tilde_(z — a)^.\label
$$
Докажем, что \(c_ = \tilde_\) для \(n = 0, 1, 2, …\)

По условию ряды \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_(z — a)^\) и \(\displaystyle\sum_^<\infty>\tilde_(z — a)^\) сходятся в круге \(K\), и поэтому (см. следствие 1 из теоремы 1) эти ряды сходятся равномерно в круге \(K_ <1>= \

Свойства степенных рядов.

\(\circ\) Пусть \(R\), \(R_<1>\) и \(R_<2>\) — радиусы сходимости рядов \eqref, \eqref и \eqref соответственно, \(K\), \(K_<1>\) и \(K_<2>\) — круги сходимости этих рядов. Докажем, что
$$
R_ <1>= R = R_<2>.\label
$$

Так как \(\displaystyle\frac<1> \leq 1 \leq n\) для любого \(n \in \mathbb\), то
$$
\left|\frac>z^\right| \leq |z| \cdot |c_z^| \leq |z|^ <2>\cdot |nc_z^|.\label
$$
Неравенства \eqref справедливы при любом \(n \in \mathbb\) и при любом \(z\).

\(\circ\) Рассмотрим ряд
$$
\sum_^ <\infty>k a_ (x — x_<0>)^.\label
$$
составленный из производных членов ряда \eqref. По теореме 6 ряд \eqref имеет тот же радиус сходимости, что и ряд \eqref, а по следствию 1 из теоремы 1 ряд \eqref сходится равномерно на отрезке \(\Delta_ <\rho>= [x_ <0>— \rho, x_ <0>+ \rho]\), где \(\rho\) — произвольное число такое, что \(0 Следствие.

Коэффициенты ряда \eqref, имеющего радиус сходимости \(R > 0\), выражаются формулами
$$
a_ <0>= f(x_<0>),\quad a_ = \frac(x_<0>)>,\quad n \in \mathbb.\label
$$

\(\circ\) Формулы \eqref получаются из равенств \eqref и \eqref при \(x = x_<0>\). \(\bullet\)

Из формул \eqref следует единственность разложения функции \(f(x)\) в степенной ряд вида \eqref.

Источник

Понятие степенного ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Сходимость степенных рядов

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Свойства степенных рядов

2. Степенные ряды что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядвнутри интервала сходимости можно почленно складывать, вычитать и умножать.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

4. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно интегрировать:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

5. что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Виды степенных рядов

Ряд Тейлора для бесконечно дифференцируемой функции ƒ(х) в окрестности точки х = а:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Ряд Маклорена — частный случай ряда Тейлора при

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Сходимость функции к ряду Тейлора

Представим функцию в виде: что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— остаточный член в форме Лагранжа.

Теорема. Ряд Тейлора сходится к функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Источник

Степенные ряды

Содержание

Определение [ править ]

Лемма Абеля [ править ]

Вся теория степенных рядов основана на лемме Абеля.

[math]|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac<|x_1|><|x_0|>\right)^n[/math]

[math]\sum\limits_^\infty q^n[/math] — сходится, поэтому, интересующий наш ряд мажорируется сходящимся числовым рядом, значит, он тоже сходится.[math]\triangleleft[/math]

Радиус сходимости [ править ]

Можно определить важнейшую для теории величину — радиус сходимости ряда.

1) [math]|x| \lt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд абсолютно сходится.

2) [math]\forall [a; b] \in (-R; R)[/math] ряд сходится абсолютно и равномерно.

3) [math]|x| \gt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд расходится.

4) [math]|x| = R[/math] — неопределённость.

2) [math]\exists \delta \gt 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)[/math]

3) Следствие определения радиуса сходимости.

4) Ну неопределённость [math]:)[/math][math]\triangleleft[/math]

Докажем первый пункт. Второй доказывается аналогично.

Рассмотрим [math]\sum\limits_^\infty |a_n x^n|[/math] и применим к нему признак Даламбера.

Итого: [math]|x| \lt q[/math] — ряд сходится, [math]|x| \gt q[/math] — ряд расходится.

Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши.

Примеры [ править ]

Произведение степенных рядов [ править ]

По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если взять два степенных ряда, то на общей части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши:

[math]f(x) g(x) = \sum\limits_^\infty c_n x^n[/math]

Вывод: произведение двух степенных рядов по правилу Коши — степенной ряд с суммой, равной произведению сумм исходных рядов.

По теореме о радиусе сходимости, на любом отрезке из [math](-R; R)[/math] степенной ряд сходится равномерно.

Значит, по теоремам о почленном дифференцировании и интегрировании рядов, их можно дифференцировать и интегрировать, и опять будет получаться сходящийся степенной ряд.

Вопрос: «Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?»

Ответ: «Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда».

Выясним, что для [math]f(x)[/math] и [math]f'(x)[/math] одинаковые радиусы сходимости.

Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда [math]\subset[/math] промежутку сходимости исходного ряда.

Источник

Степенные ряды в математике с примерами решения и образцами выполнения

Функциональные ряды и их область сходимости:

Пусть что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— некоторая последовательность функций.

Определение:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

называется функциональным рядом.

Если в ряде (1) положить что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто получим числовой ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Определение:

Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, если числовой ряд (2) полученный из ряда (1) подстановкой что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, является сходящимся рядом. При этом что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядназывается точкой
сходимости ряда.

Пример:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

сходится в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. В самом деле, подставляя в (3) что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучим числовой ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

который, как известно, сходится. Данный функциональный ряд расходится в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, так как числовой ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Определение:

Множество всех точек сходимости функционального ряда (1) называется областью сходимости ряда.

Как правило, область сходимости функционального ряда является некоторым промежутком числовой прямой.

Так, область сходимости функционального ряда (3) совпадает с интервалом что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. В самом деле, при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучаем числовой ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

который является рядом геометрической прогрессии со знаменателем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди, следовательно, сходится; если же что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, то ряд (4) расходится.

Сумма функционального ряда (1) зависит от взятой точки x области сходимости, следовательно, сумма ряда (1) является некоторой функцией что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Область определения суммы ряда что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсовпадает с областью сходимости данного ряда. Говорят также, что ряд (1) сходится к функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди что для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядимеет место разложение

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

в области сходимости ряда (1).

Например, ряд (3) является рядом геометрической
прогрессии со знаменателем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядследовательно, для что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсумма ряда (3) равна функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТаким образом, для что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядимеет место разложение

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Найти область сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

По признаку Даламбера имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следовательно, ряд сходится на всей числовой прямой.

Пример:

Найти область сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Очевидно, что для любого фиксированного что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсуществует такой номер N, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядследовательно, общий член ряда не стремится к нулю, т. е. ряд расходится на всей числовой прямой.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Очевидно, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядпри любом что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТак как ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

сходится, то по признаку сравнения при любом x ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

также сходится. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой.

Пример:

Найти область сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядСледовательно, этот ряд сходится при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядт. е. при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядОтсюда получаем, что область сходимости этого ряда состоит из двух интервалов что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядКак и в случае числовых рядов, для
функционального ряда (1) можно составить последовательность
частичных сумм

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядВ каждой точке x из области сходимости ряда (1) его сумма что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядравняется пределу последовательности частичных сумм при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

называется что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядостатком ряда (1). Область сходимости ряда (6) совпадает с областью сходимости ряда (1), сумму что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряда. (6) тоже называют остатком ряда (1), причем в этом случае

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

откуда что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядпри что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Кроме того, из (7) получаем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

т. е. что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядпредставляет собой абсолютную погрешность приближения что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Как известно, для конечных сумм имеют место следующие свойства: сумма непрерывных функций
является непрерывной функцией; производная суммы равна сумме производных слагаемых; интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых. Для функциональных рядов (бесконечных сумм) эти свойства, вообще говоря, не имеют места. В результате почленного
дифференцирования (интегрирования) функционального ряда можно получить ряд, сумма которого отлична от производной (интеграла) суммы данного ряда или даже расходящийся ряд.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Степенные ряды и их свойства

Определение:

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где x — независимая переменная, что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядпостоянные коэффициенты.

Коэффициенты степенного ряда могут быть действительными или комплексными числами. Ограничимся изучением степенных рядов с действительными коэффициентами.

Если произвести замену что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, то степенной ряд примет вид

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следовательно, при изучении степенных рядов мы можем ограничиться степенными рядами вида

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

1. Область сходимости степенного ряда. Переходим теперь к выяснению структуры области сходимости степенного ряда. Заметим вначале, что любой степенной ряд сходится в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. В самом деле, если подставить в (1) что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, получим значение что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТаким
образом, точка что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядвходит в области сходимости любого степенного ряда.

Основную роль в определении структуры области сходимости и характера сходимости степенного ряда (1) играет следующая лемма.

Лемма Абеля:

1) Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, то он абсолютно сходится при любом значении x, для которого

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

2) Если степенной ряд (1) расходится при некотором значении что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто он расходится при любой значении x, для которого

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Доказательство:

1) Пусть степенной ряд (1) сходится в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядследовательно, числовой ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

является сходящимся. Тогда общий член ряда (2) стремится к нулю при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Отсюда следует, что последовательность

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

ограничена, т. е. существует такое число M, что для всех что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пусть теперь что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядпричем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Мы должны показать, что ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

сходится. Перепишем ряд (4) в виде

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

и рассмотрим ряд из модулей членов ряда (5):

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

В силу неравенства (3) члены ряда (6) меньше соответствующих членов ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

При что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряд (7) является рядом геометрической прогрессии со знаменателем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди, следовательно, сходится. Тогда, по признаку сравнения рядов, ряд (6) также сходится, а это означает, что ряд (5) или» что то же самое, (4) сходится абсолютно, что и требовалось доказать.

2) Пусть в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядстепенной ряд (1) расходится и что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядМы должны доказать, что при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряд (1) расходится. Допустим противное, что ряд (1) сходится в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядНо тогда, так как что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, по доказанной первой части данный ряд сходится в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— получили противоречие. Лемма доказана полностью.

Теорема:

О структуре области сходимости степенного ряда. Если степенной ряд (1) имеет как отличные от нуля точки сходимости, так и точки расходимости, то существует такое число что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, что ряд (1) абсолютно сходится при всех x из интервала что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд,
т. е. для которых что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, и расходится при всех
x, для которых что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Доказательство:

Пусть что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— точка сходимости ряда (1). Тогда по Лемме Абеля все точки интервала что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядявляются точками абсолютной сходимости ряда. Если в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряд расходится, то он расходится на полупрямой что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди на полупрямой что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд(рис. 125). Поэтому интуитивно ясно
(строгое доказательство мы здесь опускаем), что существует такая точка что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, что при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряд сходится, а при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряд расходится.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Заметим, что сходимость в точках что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядзависит от конкретного ряда.

Доказанная теорема позволяет дать полное описание области сходимости ряда (1), поэтому эту теорему называют теоремой о структуре области сходимости степенного ряда.

1. Ряд (1) сходится только при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Область сходимости состоит из одной точки что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

2. Ряд (1) не имеет точек расходимости. Область сходимости совпадает со всей числовой прямой что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд; что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

3. Ряд (1) имеет как отличные от нуля точки сходимости, так и точки расходимости. В зависимости от данного ряда, область сходимости является одним из промежутков

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Независимо от того, какой именно случай имеет место, интервал что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядназывается интервалом сходимости ряда. Следовательно, область сходимости степенного ряда либо совпадает с его интервалом сходимости, либо получается из этого интервала добавлением одной или обеих граничных точек.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. В случае 1 будем считать что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, в случае 2 что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, случаю 3 соответствует значение что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Найти область сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Пусть x — некоторое фиксированное число, отличное от нуля. Тогда существует такой номер N что при n > N выполняется неравенство nx > 1. Следовательно, что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, т. е. общий член ряда не стремится к нулю. Таким образом, в каждой точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряд расходится.

Итак, область сходимости данного ряда состоит только из нулевой точки, т. е. R = 0.

Для многих, встречающихся на практике, степенных рядов радиус сходимости можно определить применением признака Даламбера к, ряду

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

составленному из модулей членов ряда (1). Рассмотрим случай, когда все что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд; если некоторые коэффициенты равны нулю, например, если x входит только в четных или только в нечетных степенях, то радиус сходимости можно определить, аналогично оперируя с двумя
соседними членами ряда. Для нашего случая имеем:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пусть предел что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсуществует:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

По признаку Даламбера ряд (8) сходится, если

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

и расходится, если что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядиз соотношения (9) при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучаем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Таким образом, ряд (8) сходится, а следовательно, ряд (1) сходится абсолютно, если

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Отсюда для радиуса сходимости при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучаем соотношение

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Если что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд; тогда по признаку Даламбера ряд сходится для любого x, т. е. что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. В случае что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряд расходится для любого что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, следовательно, что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Из (10) получаем следующую формулу для вычисления радиуса сходимости:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Найти область сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

По формуле (11) имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Данный ряд сходится только в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Пример:

Найти область сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

т. е. R = 2, ряд сходится в интервале что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Исследуем ряд на сходимость в концах интервала. При x = 2

получаем числовой ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

т е. гармонический ряд, который расходится. При что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядприходим к ряду

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

который по признаку Лейбница сходится.

Итак, областью сходимости будет промежуток что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Область сходимости степенного ряда можно определить и применяя непосредственно признак Даламбера. Так, для ряда примера 3 имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следовательно, ряд сходится для тех значений x для которых что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди мы приходим к тому же интервалу что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядПосле этого надо проверить сходимость на концах интервала.

Пример:

Найти радиус сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

К этому ряду формула (11)
неприменима, так как отсутствуют нечетные степени переменной что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядПрименяем
непосредственно признак Даламбера:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

при любом x т. е. ряд сходится на всей числовой прямой.

Пример:

Найти область сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Так как что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, то формула (5) неприменима Применяем признак Даламбера:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следовательно, ряд сходится для. что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Проверим сходимость на концах интервала. При что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

сходится и что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто по признаку сравнения сходится и ряд (12)

Таким образом, область сходимости данного ряда совпадает с отрезком что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Пример:

Найти область сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Применим признак Даламбера:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следовательно, ряд сходится при

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Проверим сходимость на концах полученного интервала.

При что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучаем ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

который, очевидно, расходится. При что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучаем ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

который также расходится._Следовательно, областью сходимости будет что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Свойства степенных рядов

В отличие от функционального ряда общего вида, степенные ряды обладают рядом свойств, которые имеют место для обычных многочленов (конечных сумм одночленов вида что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд). Сформулируем основные свойства степенных рядов.

Свойство:

Сумма степенного ряда (1) является непрерывной функцией в области сходимости ряда.

Свойство:

Если ряд (1) сходится к функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, т. e.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

то для любого отрезка что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсодержащегося в области сходимости ряда (1),

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Другими словами, степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку, содержащемуся в области сходимости.

Заметим, что полученный ряд (14) является числовым рядом. Например, так как ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

имеет область сходимости что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, то его можно интегрировать на отрезке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

с абсолютной погрешностью

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Интегрирование степенных рядов можно использовать для получения разложения в степенной ряд функций вида что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядесли известно разложение (13)

функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв степенной ряд. Для этого достаточно степенной ряд (13) интегрировать на отрезке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряддля любого x из области сходимости ряда (13) (тогда, как известно, и весь отрезок что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядпринадлежит области сходимости):

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Полученный ряд (16), в отличие от ряда (14), является функциональным, даже степенным рядом (так как все интегралы, входящие в (16), имеют переменный верхний предел), и имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (13).

Таким образом, из свойства 2 получаем: если для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв некотором интервале имеет место разложение (13), то для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядимеет место о разложение (16) в том же интервале.

Пример:

Заменяя в (15) x на—x, получаем ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

областью сходимости которого является промежуток что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Интегрируя ряд (17) на отрезке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, получаем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Полученный ряд (18) представляет собой разложение функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв степенной ряд в промежутке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Отсюда, например, при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучаем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Заменяя в (17) x на что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучим разложение

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

в промежутке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Интегрируя ряд (19) на отрезке

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Подставляя в (20) х = 1 и учитывая, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучим ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

который может быть использован для приближенного вычисления числа что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Свойство:

Если ряд (1) сходится к функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядт. е. имеет место равенство (7), то ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

составленный из производных членов ряда (1), имеет тот же радиус сходимости и сходится к производной что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядфункции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядт. е.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Другими словами, степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой внутренней точке из области его сходимости.

Пример:

Дифференцируя почленно равенство (17), получим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Замечание:

Если степенной ряд имеет вид

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

то подстановкой что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядон приводится к степенному ряду вида (1). Интервалом сходимости степенного ряда (22) будет что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следовательно, ряд сходится при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядт. е.
при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Проверкой убеждаемся, что данный ряд сходится на концах интервала что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Следовательно, областью сходимости является отрезок что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Формула Тейлора и ее остаточный член

Пусть функция что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядопределена в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди имеет в некоторой окрестности этой точки все производные до (n + 1)-го порядка включительно. Тогда для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядможно составить выражение

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

которое называется многочленом Тейлора степени n для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Из (1) видно, что при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Подсчеты показывают, что для многих функций, встречающихся в математике, физике, технике и других областях, многочлены Тейлора что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряддля значений x, близких к что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, принимают значения, близкие к что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Обозначив абсолютную погрешность, т. е. разность что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, через что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, получим
формулу что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, или

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Формула (2) называется формулой Тейлора для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Функция что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядназывается остаточным членом формулы Тейлора, Известны различные выражения для остаточного члена что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Следующая формула выражает остаточный член в форме Лагранжа:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где t — некоторая точка интервала что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядпри что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди интервала что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядпри что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Учитывая (3), формулу Тейлора (2) можно писать в виде

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Если что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, то формула Тейлора (4) принимает вид

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, причем t и x одного знака.

Формула (5) известна под названием формулы Маклорена.

Пример:

Найти формулу Маклорена для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядс остаточным членом в форме Лагранжа для n = 4.

Решение:

Находим производные до порядка 4 + 1 = 5 включительно:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

При n = 4 из (5) имеем:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

аналогично, что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядСледовательно,

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди x — одного знака.

Ряд Тейлора

Дана функция что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, которая имеет производные любого порядка в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Тогда можно составить ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Ряд (1) называется рядом Тейлора для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Функция что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядназывается порождающей для ряда Тейлора (1).

Сходимость ряда Тейлора к порождающей функции. Вообще говоря, составленный ряд (1) для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядможет быть расходящимся, может сходиться в некотором промежутке, но его сумма необязательно должна равняться порождающей функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Поэтому очень важно знать условия, при которых ряд (1) сходится к порождающей его функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Приводим необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции.

Теорема:

Ряд Тейлора (1) сходится к порождающей функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв некоторой окрестности точки что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядтогда и только тогда, когда остаточный член в формуле Тейлора что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряддля функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв каждой точке этой окрестности стремится к нулю.

Доказательство:

Легко видеть, что n-я частичная сумма что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряда (1) совпадает с многочленом Тейлора что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядстепени что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряддля функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядПусть теперь ряд (1) сходится к функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв некоторой окрестности точки что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядт. е. что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТогда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Обратно, пусть что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТогда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следующая теорема дает только достаточное условие сходимости ряда Тейлора к порождающей функции и может быть применена при разложении функций.

Теорема:

Если все производные функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядограничены в некоторой окрестности точки что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто для любого x из этой окрестности ряд Тейлора функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсходится к функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, т. е. имеет место
разложение

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Доказательство:

В силу теоремы 1 достаточно показать, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядИз условия нашей теоремы следует существование такого числа M, что для любого n

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

для любого x из рассматриваемой окрестности. Беря остаточный член в форме Лагранжа (формула (3) предыдущего параграфа), имеем:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Осталось показать, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядДля этого заметим, что ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

сходится при любом x: (это можно проверить по признаку Даламбера; см. пример 2 § 1). Следовательно, его общий член стремится к нулю,
т. е. что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядОтсюда получаем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди тогда из теоремы 1 следует требуемое равенство (2).

Единственность разложения функции в степенной ряд

Теорему об единственности разложений функций в степенных рядах можно сформулировать следующим образом.

Теорема:

Если функция что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядразлагается в некотором промежутке в степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

то это разложение единственно и совпадает с рядом Тейлора функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, т. е.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Доказательство:

Почленным дифференцированием из (4) получаем:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Подставляя что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв формулу (4) и в полученные формулы для производных функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, получим:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Из этих соотношений найдем, что

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следовательно, ряд (4) совпадает с рядом Тейлора (1) функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Теорема доказана.

Если в (1) взять что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто получаем ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

который является частным случаем ряда Тейлора и известен под названием ряда Маклорена для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Из формулу (2) при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучаем разложение функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв ряд Маклорена:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Ряды Тейлора для некоторых элементарных функций

Рассмотрим разложение в ряд Тейлора некоторых элементарных функций. При этом ограничимся частным случаем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, т. е. рядами Маклорена, которые чаще используются на практике.

Для разложения некоторой функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв ряд Маклорена надо вычислить значения всех производных данной функции при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди воспользоваться формулой (5) предыдущего параграфа.

1. Разложение функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Заметим, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди, вообще, что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядОтсюда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Таким образом, функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсопоставляется ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Покажем, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядравна сумме этого ряда. Для данного x найдем интервал что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, содержащий число x и обозначим что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Тогда для любой производной функции имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Отсюда по теореме 3 § 4 сумма ряда равна порождающей его функции, т. е.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Разложение функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Найдем производные данной функции:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Вычислим значения функции и ее производных для что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Вообще, если n четное, т. е. что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядгде что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

если n нечетное, то рассмотрим случаи:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Для первого случая имеем:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Для второго случая имеем:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Учитывая далее, что производные функции sin x ограничены на всей числовой прямой,

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

по теореме 3 § А получаем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Отбросив члены с нулевыми коэффициентами, получим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Разложение функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Повторяя рас суждения и выкладки, аналогичные случаю функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, получим что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Отсюда при нечетном n, т. е. при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, получим что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряддля четного n рассмотрим отдельно случаи что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядпри что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядимеем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядпри что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядимеем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Заметим, что согласно теореме 2 § 4 функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, sin x; и cos x; разлагаются в свои ряды Маклорена на всей числовой оси.

Разложение функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, где что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— произвольное действительное число

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

следовательно, функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсопоставляется следующий ряд Маклорена:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

По признаку Даламбера найдем область сходимости полученного ряда (4):

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следовательно, ряд сходится при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, т. е. в интервале что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, и расходится при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Примем без доказательства, что ряд (4) сходится к порождающей функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв интервале сходимости что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.Таким образом,

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

для что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Более того, можно показать, что при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядразложение (5) верно и в обоих концах интервала что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, т. е. имеет место на отрезке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, а при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— в правом конце, т. е. на полуинтервале что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Ряд (5) называется биномиальным рядом.

Если что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— натуральное число, что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, то все члены формулы (5), начиная с что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— го, равны нулю, так как содержат множитель что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. В этом случае биномиальный ряд (5) представляет собой известную формулу бинома Ньютона:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Указанный в этом параграфе метод разложения функций в степенной ряд может быть применен к произвольной функции. Однако в отдельных случаях вычисления и обоснование сходимости могут оказаться очень громоздкими. Разложения некоторых функций в ряд можно получить, выполняя те или иные преобразования

над имеющимися разложениями. Так, в примерах 7, 8, 9 § 2 получены разложения для функций что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядпри помощи замены переменной, интегрирования и дифференцирования степенных рядов. Заметим, например, что разложение (3) функции cos x можно получить путем почленного дифференцирования
из разложения (2) функции sin x.

Элементарные функции в области комплексных чисел

Как мы отметили, можно рассматривать степенные ряды не только с действительными, но и с комплексными значениями коэффициентов и переменной x.

Степенные ряды представляют собой удобное средство для определения функций от комплексного переменного Так, имея разложение показательной функции

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

на действительной оси, распространяем эту формулу на комплексной плоскости, т. е. для показательной функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядот комплексного переменного z принимается следующее определение:

Показательной функцией что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядот комплексной переменной что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядназывается функция, заданная формулой

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Аналогично, тригонометрические функции sin z и cos z для комплексного переменного что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядопределяются по формулам:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Можно показать, что по формулам (7), (8) и (9) функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядопределены для всех что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, т. е. что соответствующие ряды сходятся на всей комплексной плоскости.

Используя определения (7), (8), (9) функций что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядможно вывести формулу Эйлера (см. § 8

гл. 9). Полагая в формуле (7) что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядгде что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— действительное число, получим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Отделяя действительные и мнимые части, находим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Так как в правой части (10) в скобках стоят соответственно разложения в ряды cos что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди sin что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, то получаем формулу Эйлера

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Примеры практического применения степенных рядов

Вычисление значений функций

Пример:

Вычислить число e, т. е. значение функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядпри x = 1, с точностью до 0,001 (если известно, что e что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

причем абсолютная погрешность этого приближения равна

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядПри x = 1 получаем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядНо так как что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Число n определим из неравенства

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Достаточно взять n = 6, так как что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Вычислить sin 18° с четырьмя верными десятичными знаками.

Решение:

По формуле (2) § 5 имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Так как угол 18° в радианной мере (с точностью до что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд) равен 0,3142, то

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Так как мы имеем знакочередующийся ряд, то при замене его суммы некоторой частичной суммой абсолютная погрешность не превышает модуля первого отброшенного члена. Непосредственной проверкой убеждаемся, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядследовательно, достаточно
ограничиться двумя членами:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Вычисление определенных интегралов

Пример:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

с точностью до. 0,0001.

Решение:

Из формулы (2) § 5 делением обеих частей на x находим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Это разложение, как и разложение для sin x, имеет место на всей числовой оси, поэтому его можно почленно интегрировать:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

При x = 1 имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Полученный ряд является знакочередующимся рядом. Так как

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

то достаточно взять

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Вычисляя промежуточные результаты с пятью десятичными знаками, получим окончательный результат с четырьмя верными десятичными знаками:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Вычислить интеграл что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядс точностью до 0,0001.

Решение:

Заменяя в разложении 2 § 5 x на что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, получаем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

При x = 1 поручаем знакочередующийся ряд:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

имеет границу абсолютной погрешности

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Таким образом, вычисляя промежуточные результаты с пятью десятичными знаками, получим окончательный результат с четырьмя верными десятичными знаками:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Замечание. Интегралы, рассмотренные в примерах 3 и 4, как мы знаем, не берутся в элементарных функциях. Однако изложенный метод вычисления интегралов оказывается удобным и в тех случаях, когда интегралы выражаются; через элементарные функции.

Пример:

Вычислить интеграл что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Однако практическое применение этого результата приводит к громоздким вычислениям. Намного проще вычисляется данный интеграл при помощи степенных рядов.

Решение:

Заменяя в известном разложении

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

x на что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучаем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Так как отрезок что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсодержится в интервале сходимости что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполученного ряда, то этот ряд можно почленно интегрировать в пределах от 0 до что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Учитывая, что полученный ряд знакочередующийся, получаем, что приближение

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

имеет границу абсолютной погрешности

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

В действительности, все цифры верные.

Решение дифференциальных уравнений

Пусть дано некоторое дифференциальное уравнение

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Требуется найти его решение, удовлетворяющее
начальным условиям:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Изложим схему получения искомого решения в виде ряда Тейлора.

Подставляя значения (2) в уравнение (1), получим уравнение

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

из которого можно определить значение n производной

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Дифференцируя равенство (1), получим уравнение, которое помимо что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядбудет содержать и производную что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Подставляя в (4) значения (2) и (3), получим уравнение

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

из которого можно определить значение (n+1)-й производной. Продолжая так и далее, находим последовательно значения всех производных искомой функции y в точке x = что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. По этим данным можно написать разложение искомого решения у в ряд Тейлора в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТаким образом, решение уравнения (1) получается в виде степенного ряда.

Пример:

Найти решение дифференциального уравнения

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

удовлетворяющее начальным условиям

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Дифференцируя (5), получаем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Дифференцируя (6), находим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Дифференцируя (7), находим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

и т. д. Поскольку что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, получаем разложение решения в ряд Маклорена:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Найти частное решение дифференциального уравнения

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

удовлетворяющее начальным условиям что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Из (8) имеем: что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядДифференцируя (8), находим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Из (9) имеем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядДифференцируем (9):

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

отсюда что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядДифференцируем (10):

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

отсюда что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди т. д. Следовательно, искомое решение записывается в виде ряда Тейлора в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Дополнение к степенным рядам

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение степенных рядов

Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где коэффициенты что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— постоянные.

Ряд (2) формальной заменой что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсводится к ряду (1). Степенной ряд (1) всегда сходится в точке х = 0, а ряд (2) — в точке Х0, и их сумма в этих точках равна что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

являются степенными рядами.

Выясним вид области сходимости степенного ряда.

Теорема:

Абель. Если степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

сходится при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто он сходится абсолютно для всех х таких, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядесли степенной ряд расходится при х = x2, то он расходится при любом х, для которого что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пусть степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

сходится при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядт. е. сходится числовой ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Отсюда следует, что

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

а значит, существует число М > 0 такое, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряддля всех n. Рассмотрим ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди оценим его общий член. Имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядНо ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

составлен из членов геометрической прогрессии со знаменателем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди значит, сходится. На основании признака сравнения ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсходится в любой точке х, для которой что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядСледовательно, степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядабсолютно сходится для что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пусть теперь степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

расходится при х = х2. Допустим, что этот ряд сходится для |х| > |х2|. По доказанному он должен сходиться и при х = х2, так как |х2| что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пусть в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряд сходится. Тогда ряд будет абсолютно сходиться в интервале что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядЕсли в некоторой точке х2 (здесь что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряд расходится, то он будет расходиться и в бесконечных интервалах что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядВ этих условиях на оси Ох существуют две точки (симметричные относительно начальной точки О), которые отделяют интервалы расходимости от интервала сходимости. Имеет место следующая теорема.

Теорема:

Пусть степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

сходится в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТогда либо этот ряд абсолютно сходится в каждой точке числовой прямой, либо существует число R > 0 такое, что ряд сходится абсолютно при |х| R.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Определение:

Интервалом сходимости степенного ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

называется интервал (-R, R), где R > 0, такой, что в каждой точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд(-R, R) ряд абсолютно сходится, а в точках х таких, что |х| > R, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание:

Замечание:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядимеет тот же радиус сходимости, что и ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

но его интервалом сходимости является интервал что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

При условии существования конечного предела

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

радиус сходимости степенного ряда что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядможно найти по формуле

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Для доказательства формулы (3) рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Применяя к этому ряду признак Даламбера, находим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Отсюда следует, что ряд (4) будет сходиться, если что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядт. е. степенной ряд сходится абсолютно для всех х таких, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди расходится при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядПо определению радиуса сходимости получаем, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядт. е.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Радиус сходимости степенного ряда можно находить также по формуле

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

если существует конечный предел

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Формулу (5) легко получить, используя признак Коши. Если степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

сходится только в точке х = 0, то говорят, что его радиус сходимости R = 0 (это возможно, например, при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Если степенной ряд сходится во всех точках числовой оси, то полагают что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд(это имеет место, например, при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Областью сходимости степенного ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

может оказаться либо интервал что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, либо отрезок что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядлибо один из полуинтервалов что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядЕсли что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто областью сходимости ряда будет вся числовая ось, т. е. интервал что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядДля отыскания области сходимости степенного ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

нужно сначала вычислить его радиус сходимости R (например, по одной из приведенных выше формул) и тем самым найти интервал сходимости что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв котором рад абсолютно сходится, затем — исследовать «сходимость рада в концах интервала сходимости — в точках что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

1) Для нахождения радиуса сходимости R данного ряда удобно применить формулу (3). Так как что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто будем иметь

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Ряд сходится абсолютно на интервале — 1 что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

расходимость которого очевидна (не выполнен необходимый признак сходимости: что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядПри х = 1 получим числовой ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

не существует, а значит, этот ряд расходится.

1) Радиус сходимости находим по формуле (3). Имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Ряд (7) сходится абсолютно на интервале что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

который расходится (гармонический ряд). При х = 0 будем иметь числовой ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Таким образом, ряд (7) сходится в области что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Найти интервал сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Так как что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто для нахождения радиуса сходимости применим формулу (5):

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Это означает, что данный ряд сходится при всех значениях х, т.е. областью сходимости является интервал что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Найти интервал сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто получим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Равенство R = 0 означает, что ряд (8) сходится только в точке x = 0, т. е. область сходимости данного степенного ряда состоит из одной точки х = 0.

Равномерная сходимость степенного ряда и непрерывность его суммы

Теорема:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

сходится абсолютно и равномерно на любом отрезке [-а, а], а > 0, содержащемся в интервале сходимости ряда (-R, R), R > 0.

Пусть 0 что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

непрерывна в каждой точке х его интервала сходимости (-R, R), R > 0.

Любую точку х из интервала сходимости (-R, R) можно заключить в некоторый отрезок [-а, а], 0 Интегрирование степенных рядов

Теорема:

О почленном интегрировании степенного ряда. Степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

можно интегрировать почленно в его интервале сходимости (-R, R), R > 0, причем радиус сходимости ряда, полученного почленным интегрированием, также равен R. В частности, для любого х из интервала (-R, R) справедлива формула

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Любую точку х из интервала сходимости (-R, R) можно заключить в некоторый отрезок [-а, а], где 0 что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Найдем радиус сходимости R’ полученного ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

при дополнительном условии существования конечного предела что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядИмеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Итак, радиус сходимости степенного ряда при интегрировании не меняется.

Замечание:

Утверждение теоремы остается справедливым и при

Дифференцирование степенных рядов

Теорема:

О почленном дифференцировании степенного ряда. Степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

можно дифференцировать почленно в любой точке х его интервала сходимости (-R, R), R > 0, при этом выполняется равенство

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пусть R — радиус сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

a что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— радиус сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Предположим, что существует (конечный или бесконечный) предел

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Найдем радиус R’ ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Тем самым, радиусы сходимости рядов (1) и (2) равны. Обозначим сумму ряда (2) через что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Ряды (1) и (2) равномерно сходятся на любом отрезке [-а, а], где 0 что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

можно почленно дифференцировать сколько угодно раз в любой точке х его интервала сходимости (-R, R), причем радиусы сходимости всех получаемых рядов будут равны R.

Ряд Тейлора

Определение:

Будем говорить, что функция f(х) разлагается в степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядна интервале (-R, R), если на этом интервале указанный ряд сходится и его сумма равна f(х):

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Докажем сначала, что функция f(x) не может иметь двух различных разложений в степенной ряд вида (1).

Теорема:

Если функция f(х) на интервале (-R, R) разлагается в степенной ряд (1), то это разложение единственно, т. е. коэффициенты ряда (1) по его сумме определяются однозначно.

Пусть функция f(х) в интервале (-R, R) разложена в сходящийся степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Дифференцируя этот ряд почленно n раз, найдем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

(здесь что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Таким образом, коэффициенты что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядстепенного ряда (1) формулой (2) определяются однозначно.

Замечание:

Если функция f(x) разложена в степенной ряд по степеням разности что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

то коэффициенты сn этого ряда определяются формулами

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

вычислив его коэффициенты по формуле (3).

Определение:

Рядом Тейлора функции f(х) относительно точки х0 называется степенной ряд вида

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Коэффициенты этого ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

называются коэффициентами Тейлора функции f(х). При X0 = 0 ряд Тейлора

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

называют рядом Маклорена.

Из теоремы 5 вытекает следующее утверждение.

Теорема:

Если на интервале что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядфункция f(х) разлагается в степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

то этот ряд является рядом Тейлора функции f(х).

Пример:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

и найдем ее производные.

Для что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядэта функция имеет производные всех порядков, которые находятся по обычным правилам

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— многочлен степени Зn относительно что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Покажем теперь, что в точке х = 0 данная функция также имеет производные любого порядка, причем все они равны нулю. Исходя из определения производной, имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

(при вычислении предела мы применили правило Лопиталя). Аналогичным образом можно доказать, что

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Тем самым, заданная функция имеет на числовой оси производные всех порядков,

Построим формальный ряд Тейлора исходной функции относительно точки Xо = 0. Имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Очевидно, что сумма S(x) этого ряда тождественно равна нулю, в то время как сама функция f(x) тождественно равной нулю не является.

Про этот пример стоит вспомнить при обсуждении комплексного анализа (аналитичности): функция, внешне совершенно благопристойная, проявляет на действительной оси капризный характер, являющийся следствием неприятностей на мнимой оси.

Формально построенный в примере для заданной бесконечно дифференцируемой функции ряд сходится, но его сумма не совпадает со значениями этой функции при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. В связи с этим возникает естественный вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция f(х) на интервале что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядчтобы ее можно было разложить в сходящийся к ней ряд Тейлора?

Условия разложимости функции в ряд Тейлора

Для простоты будем рассматривать степенной ряд вида

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Теорема:

Для того чтобы функцию f(x) можно было разложить в степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

на интервале (-R, R), необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале функция f(х) имела производные всех порядков и чтобы в ее формуле Тейлора

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

остаточный член Rn(x) стремился к нулю при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд(-R, R).

Необходимость:

Пусть на интервале (-R,R), R > 0, функция f(х) разложима в степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

т. е. ряд (2) сходится и его сумма равна f(х). Тогда по теореме 4 и следствию из нее функция f(х) имеет на интервале (-R, R) производные что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядвсех порядков. По теореме 5 (формула (2)) коэффициенты ряда (2) имеют вид

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

т. е. мы можем написать равенство

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

В силу сходимости этого ряда на интервале (-R, R) его остаток

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

стремится к нулю при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд(-R, R).

Достаточность:

Пусть функция f(х) на интервале (-R, R) имеет производные всех порядков и в ее формуле Тейлора остаточный член что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряддля любого что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядПоскольку

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядПоскольку в квадратных скобках записана n-я частичная сумма ряда Тейлора, то формула (4) означает, что ряд Тейлора функции f(х) сходится на интервале (-R, R) и его суммой является функция f(х).

Достаточные условия разложимости функции в степенной ряд, удобные для практического применения, описываются следующей теоремой.

Теорема:

Для того, чтобы функцию f(х) на интервале (-R, R) можно разложить в степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

достаточно, чтобы функция f(х) имела на этом интервале производные всех порядков и чтобы существовала постоянная М > 0 такая, что

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

для всех n = 0, 1, 2,… и для всех что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пусть функция f(х) имеет на интервале (-R, R) производные всех порядков. Тогда для нее можно формально написать ряд Тейлора

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Докажем, что он сходится к функции f(х). Для этого достаточно показать, что остаточный член

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

в формуле Тейлора (1) стремится к нулю при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряддля всех что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядВ самом деле, учитывая, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядбудем иметь

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

для n = 0, 1,… и для всех что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядЧисловой ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

сходится в силу признака Даламбера:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

в силу необходимого признака сходимости. Из неравенства (3) получаем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

для всех что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Продолжение примера 1. Хотя функция из примера 1 и имеет на числовой оси производные всех порядков, универсальной постоянной М, ограничивающей их абсолютные величины, не существует,

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Ряды Тейлора элементарных функций

Рассмотрим разложения в ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

основных элементарных функций.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Эта функция имеет производные всех порядков на интервале (-а, а), где а > 0 — любое число, причем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следовательно, показательная функция что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядразлагается в ряд Тейлора на любом интервале (-а, а) и, тем самым, на всей оси Ох. Так как что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто получаем ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Радиус сходимости этого ряда что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Если в разложении (1) заменить х на —х, то будем иметь

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Данная функция имеет производные любого порядка, причем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

для n = 0, 1, 2,… и что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТем самым, по теореме 8 функция sin а: разлагается в сходящийся к ней на интервале что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряд Тейлора. Так как

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

то этот ряд имеет следующий вид

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Радиус сходимости ряда что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Аналогично получаем, что

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядлюбое действительное число.

Эта функция удовлетворяет соотношению

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Будем искать степенной ряд, сумма которого S(х) удовлетворяет соотношению (4) и условию S(0) = 1. Положим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Подставляя соотношения (5) и (6) в формулу (4), будем иметь

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Подставляя эти значения коэффициентов в соотношение (5), получим ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Найдем радиус сходимости ряда (7) в случае, когда а не является натуральным числом. Имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Итак, ряд (7) сходится при |х| что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Так как S(х) удовлетворяет соотношению (4), т. е.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

то для производной функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучаем:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

для что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд(-1,1). Отсюда следует, что

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

на (-1, 1). В частности, при х = 0 имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

и значит, что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Для получения разложения этой функции в ряд Тейлора по степеням х проинтегрируем равенство (9) в пределах от 0 до х, где что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд(-1,1). Имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пользуясь этой таблицей, можно получать разложения в степенной ряд более сложных функций. Покажем на примерах, как это делается.

Пример:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

в степенной ряд в окрестности точки Хо = 2, т.е. по степеням разности х — 2.

Преобразуем данную функцию так, чтобы можно было использовать ряд (10) для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядИмеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Заменяя в формуле (10) х на что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Это разложение справедливо, когда выполнено любое из эквивалентных неравенств

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Разложить по степеням х функцию

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

используя формулу (10).

Разлагая знаменатель на множители, представим данную рациональную функцию в виде разности двух простейших дробей. Имеем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

После простых преобразований получим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

К каждому слагаемому в правой части равенства (13) применяем формулу (10), в результате чего получим степенные ряды

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Ряд (14) сходится для что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряда ряд (15) сходится для что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядОба ряда (14) и (15) будут сходиться одновременно для |x| что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

радиус сходимости которого равен R = 1.

Этот ряд сходится абсолютно для |x| что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Применим к функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядформулу (8), заменяя в ней что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядВ результате для |-X2| = что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучаем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Интегрируя обе части последнего равенства от нуля до x (почленное интегирование законно, так как степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке с концами в точках 0 и x, лежащем в интервале (-1,1)), найдем

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Тем самым, окончательно получаем, что

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Известно, что первообразная для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядне выражается через элементарные функции. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, пользуясь тем, что

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Из равенства (16) находим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Заметим, что деление ряда (16) на t при t что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядзаконно. Равенство (17) сохраняется и при t = 0, если считать, что при t = 0 отношение что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТем самым, ряд (17) сходится при всех значениях t что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядИнтегрируя его почленно, получим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Полученный ряд — знакочередующийся, так что погрешность при замене его суммы частичной суммой оценивается просто.

Пример:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Здесь первообразная для подынтегральной функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядтакже не является элементарной функцией. Для вычисления интеграла заменим в формуле

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

х на что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядПолучим

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Проинтегрируем обе части этого равенства в пределах от 0 до х:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Этот ряд сходится при любых х (его радиус сходимости что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди является знакочередующимся при х > 0.

Степенные ряды основные определения и свойства с подробным объяснением и теорией

Функциональные ряды

Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Придавая x определенное значение что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, мы получим числовой ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядназывается точкой сходимости ряда (62.1); если же ряд расходится — точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х: S = S(x). Определяется она в области сходимости равенством

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

частичная сумма ряда.

Пример:

Найти область сходимости ряда что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем q = х. Следовательно, этот ряд сходится при |х| что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Исследовать сходимость функционального ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Так как при любом что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядимеет место соотношение что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряда ряд с общим членом что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсходится (обобщенный гармонический ряд, что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсм. п. 60.4), то по признаку сравнения ряд (62.2) сходится при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядСледовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т. е. так называемый степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Действительные (или комплексные) числа что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядназываются коэффициентами ряда (62.3), что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— действительная переменная.

Ряд (62.3) расположен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, т. е. ряд вида

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— некоторое постоянное число.

Ряд (62.4) легко приводится к виду (62.3), если положить что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядПоэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степенными рядами вида (62.3).

Сходимость степенных рядов

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (62.3). Область сходимости степенного ряда (62.3) содержит по крайней мере одну точку: х = 0 (ряд (62.4) сходится в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд).

Теорема Н.Абеля

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.

Теорема:

Абель. Если степенной ряд (62.3) сходится при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

По условию ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядсходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядОтсюда следует, что величиначто такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядограничена, т. е. найдется такое число М > 0, что для всех п выполняется неравенство

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пусть что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядтогда величина что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди, следовательно,

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

т. е. модуль каждого члена ряда (62.3) не превосходит соответствующего члена сходящегося (q Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядесть точка сходимости степенного ряда, то интервал что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядвесь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд (62.3) расходится.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Интервал что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, интервал сходимости можно записать в виде (—R;R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. R > 0 — это такое число, что при всех х, для которых |х| R ряд расходится (см. рис. 259).

В частности, когда ряд (62.3) сходится лишь в одной точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто считаем, что R = 0. Если же ряд (62.3) сходится при всех значениях что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд(т. е. во всех точках числовой оси), то считаем, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Отметим, что на концах интервала сходимости (т. е. при х = R и при х = —R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (62.3) можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

По признаку Даламбера ряд сходится, если что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядт. е. ряд сходится при тех значениях х, для которых

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

ряд, составленный из модулей членов ряда (62.3), расходится при тех значениях х, для которых что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТаким образом, для ряда (62.3) радиус абсолютной сходимости

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Замечания. 1. Если что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто можно убедиться, что ряд (62.3) абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядЕсли что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

2.Интервал сходимости степенного ряда (62.4) находят из неравенства что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, имеет вид что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

3.Если степенной ряд содержит не все степени х, т. е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости (формулы (63.1) и (63.2)), а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

Пример:

Найти область сходимости ряда что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Воспользуемся формулой (63.1):

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример:

Найти область сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Ряд абсолютно сходится, если что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядИсследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При х = — 1 имеем ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядкоторый сходится по

При х = 1 имеем ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядэто тоже сходящийся лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок [-1; 1].

Пример:

Найти область сходимости ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Находим радиус сходимости ряда по формуле (63.1):

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следовательно, ряд сходится при — 2 что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

который сходится по признаку Лейбница. При х = 0 имеем расходящийся ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полуотрезок [-4; 0).

Свойства степенных рядов

Сформулируем без доказательства основные свойства степенных рядов.

1. Сумма S(x) степенного ряда (62.3) является непрерывной функцией в интервале сходимости (—R; R).

2.Степенные ряды что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядимеющие радиусы сходимости соответственно что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

3.Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

при —R что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (63.3) при — R что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Ряды (63.4) и (63.5) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Перечисленные свойства 1-4 остаются справедливыми и для степенных рядов вида (62.4).

Свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и в приближенных вычислениях.

Разложение функции в степенные ряды

Ряды Тейлора и Маклорена

Для приложений важно уметь данную функцию f(х) разлагать в степенной ряд, т. е. функцию f(х) представлять в виде суммы степенного ряда.

Как известно (см. теорема 26.1), для любой функции f(х), определенной в окрестности точки что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди имеющей в ней производные до (п + 1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядостаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядгде что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядФормулу (64.1) кратко можно записать в виде

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Если функция f(х) имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки хо и остаточный член что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядстремится к нулю при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто из формулы Тейлора получается разложение функции f(х) по степеням что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, называемое рядом Тейлора:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Если в ряде Тейлора положить что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, то получим разложение функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции f(x); он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции f(x). Так, например, функция

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

имеет в точке х = 0 производные всех порядков, причем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядпри всяком п (см. пример 19.5). Ряд Маклорена имеет вид

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Он сходится, но его сумма S(x) в любой точке х равна нулю, а не f(x).

Пусть для функции f(х) составлен соответствующий ей ряд Тейлора.

Теорема:

Для того чтобы ряд Тейлора (64.2) функции f(х) сходился к f(х) в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (64.1) стремился к нулю при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядт. е. чтобы что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пусть ряд Тейлора (64.2) сходится к функции f(х) в некоторой окрестности точки что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, т. е. что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТак как п-я частичная сумма что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряда (64.2) совпадает с многочленом Тейлора что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, т. е. что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, находим:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Обратно, пусть что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТогда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Замечание:

Если ряд Тейлора (64.2) сходится к порождающей функции f(х), то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, т. е. что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд(Напомним, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядa что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд— сумма ряда Тейлора.)

Таким образом, задача разложения функции f(х) в степенной ряд сведена по существу к определению значений х, при которых что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядЕсли сделать это не просто, то следует каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.

На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема:

Если модули всех производных функций f(х) ограничены в окрестности точки что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядодним и тем же числом М > 0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(х) сходится к функции f(х), т. е. имеет место разложение (64.2).

Согласно теореме 64.1, достаточно показать, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

По условию теоремы 64.2 для любого п имеет место неравенство что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТогда имеем:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Осталось показать, что что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядДля этого рассмотрим ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

то пo признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости,

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Следовательно, что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции f(х) в ряд Маклорена (64.3) нужно:

а) найти производные что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

б) вычислить значения производных в точке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

в) написать ряд (64.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

г) найти интервал (—R;R), в котором остаточный член ряда Маклорена что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядЕсли такой интервал существует, то в нем функция f(х) и сумма ряда Маклорена совпадают.

Замечание:

В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремится к нулю причто такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Докажем формулу (64.4). Пусть что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

г) для всех что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядимеем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядт.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Докажем формулу (64.5). Пусть что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядЛегко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

г) любая производная функции f(х) = sinx по модулю не превосходит единицы, что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядСледовательно, по теореме 64.2 имеет место разложение (64.5).

Докажем формулу (64.6). Пусть что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Формулу (64.6) можно доказать так же, как и формулу (64.5). Однако проще получить разложение функции cos х, воспользовавшись свойством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд (64.5), получим:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Докажем формулы (64.13), (64.14). Пустьчто такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Заменив в формуле (64.4) х на — х, получим разложение функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

справедливое для всех что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Суммируя (и вычитая) почленно равенства (64.4) и (64.15), получим разложение гиперболического косинуса (синуса):

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Формулы (64.13) и (64.14) доказаны. ■

Докажем формулу (64.7). Пусть

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

т. е. составленный для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряд сходится в интервале (—1; 1).

Можно показать, что и в данном случае, т.е. при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядостаточный член что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд) стремится к нулю при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд.

Ряд (64.7) называется биномиальным. Если что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто все члены ряда с (п + 1)-го номера равны 0, так как содержат множитель что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядВ этом случае ряд (64.7) представляет собой известную формулу бинома Ньютона:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Докажем формулу (64.8). Пусть что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Формула (64.8) может быть получена разными способами:

1) пользуясь правилом разложения функции в ряд;

2) рассматривая ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядкак ряд геометрической прогрессии, первый член которой равен единице и знаменатель q = х; известно (см. пример 62.1), что данный ряд сходится при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди его сумма равна что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

3) воспользовавшись формулой (64.7): положив в ней что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди заменив х на , получим формулу (64.8).

Докажем формулу (64.9). Пусть что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядФормула (64.9) также может быть доказана разными способами. Приведем один из них.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

справедливое для всех что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. Используя свойство 4 степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Можно показать, что это равенство справедливо и для х = 1. В

Докажем формулу (64.10). Пусть что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Положив в формуле (64.7) а = —1 и заменив что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, получим равенство

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Можно показать, что равенство справедливо и при х = ±1, т. е. при всех х € [-1; 1].

Докажем формулу (64.12). Пусть что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Положив в формуле (64.7) что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди заменив что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядполучим равенство

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Можно показать, что полученное равенство справедливо при всех что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Ряды (64.4)-(64.14) в комбинации с правилами сложения, вычитания, умножения, дифференцирования, интегрирования степенных рядов (см. свойства степенных рядов) могут быть использованы при разложении (некоторых) других функций в ряд Маклорена (Тейлора).

Пример:

Разложить в ряд Маклорена функцию что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Так как что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто, заменяя х на xln3 в разложении (64.4), получим:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Выписать ряд Маклорена функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

то, воспользовавшись формулой (64.9), в которой заменим х на (— получим:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Пример:

Разложить в ряд Маклорена функцию

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Воспользуемся формулой (64.8). Так как

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

то, заменив что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв формуле (64.8), получим:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Некоторые приложения степенных рядов

Приближенное вычисление значений функции:

Пусть требуется вычислить значение функции f(х) при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядзаданной точностью что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Если функцию f(х) в интервале (—R;R) можно разложить в степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

и что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядто точное значение что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядравно сумме этого ряда при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, т. е.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

а приближенное — частичной сумме что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, т.е.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Точность этого равенства увеличивается с ростом п. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е.

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Таким образом, ошибку что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядможно найти, оценив остаток что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядряда.

Для рядов лейбницевского типа

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядберут величину остатка этого нового ряда.

Пример:

Найти sin 1 с точностью до 0,001.

Решение:

Согласно формуле (64.5),

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно). Так как

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

то для нахождения sin 1 с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член (т.е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение sin 1 примерно равно 0,84147.

Пример:

Вычислить число е с точностью до 0,001.

Решение:

Подставляя х = 1 в формулу (64.4), получим:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем п слагаемых и оценим ошибку что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

т.е. что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядОстается подобрать наименьшее натуральное число it, чтобы выполнялось неравенство что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядПоэтому имеем:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Замечание:

Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

где с находится между что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд. В последнем примере что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядТак как что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядПри п = 6 имеем:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Приближенное вычисление определенных интегралов

Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции (см. § 34) либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядс точностью до что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядЕсли подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням х и интервал сходимости (-R; R) включит в себя отрезок [а; b], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.

Пример:

Вычислить интеграл что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядс точностью до что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядв формуле (64.4):

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Интегрируя обе части равенства (65.1) на отрезке что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, лежащем внутри интервала сходимости что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, получим:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Получили ряд лейбницевского типа. Так как

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

то с точностью до 0,001 имеем:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Замечание:

Первообразную F(x) для функции что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядлегко найти в виде степенного ряда, проинтегрировав равенство (65.1) в пределах от 0 до х:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

играют очень важную роль в теории вероятностей. Первая — плотность стандартного распределения вероятностей, вторая — функция Лапласа

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

(или интеграл вероятностей). Мы получили, что о функция Лапласа представляется рядом

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

который сходится на всей числовой оси.

Приближенное решение дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не выражается че-1>ез элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом Тейлора.

Познакомимся с двумя способами решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Пусть, например, требуется решить уравнение

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

удовлетворяющее начальным условиям

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Способ последовательного дифференцирования

Решение у = у(х) уравнения (65.2) ищем в виде ряда Тейлора:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

при этом первые два коэффициента находим из начальных условий (65.3). Подставив в уравнение (65.2) значения что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряднаходим третий коэффициент: что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядЗначения что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряднаходим путем последовательного дифференцирования уравнения (65.2) по х и вычисления производных при что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд-Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в равенство (65.4). Ряд (65.4) представляет искомое частное решение уравнения (65.2) для тех значений х, при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения (65.2).

Рассмотренный способ применим и для построения общего решения уравнения (65.2), если что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядрассматривать как произвольные постоянные.

Способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.

Пример:

Методом последовательного дифференцирования найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение:

Будем искать решение уравнения в виде

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Здесь что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядНаходим у»(—1), подставив х = — 1 в исходное уравнение: что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядДля нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное уравнение:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

При х = — 1 имеем:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Способ неопределенных коэффициентов

Этот способ приближенного решения наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Пусть, например, требуется решить уравнение

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

с начальными условиями что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Предполагая, что коэффициенты что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди свободный член f(х) разлагаются в ряды по степеням что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, сходящиеся в некотором интервале что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд, искомое решение у = у(х) ищем в виде степенного ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

с неопределенными коэффициентами.

Коэффициенты что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядопределяются при помощи начальных условий что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд (65.6) два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выражения для функции у и ее производных в уравнение (65.5), заменив в нем что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядих разложениями. В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты. Построенный ряд (65.6) сходится в том же интервале что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряди служит решением уравнения (65.5).

Пример:

Найти решение уравнения

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение:

Разложим коэффициенты уравнения в степенные ряды:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Ищем решение уравнения в виде ряда

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Из начальных условий находим: что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной рядПодставляем полученные ряды в дифференциальное уравнение:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Отсюда находим, что

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Таким образом, получаем решение уравнения в виде

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

что такое степенной ряд. Смотреть фото что такое степенной ряд. Смотреть картинку что такое степенной ряд. Картинка про что такое степенной ряд. Фото что такое степенной ряд

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *