что такое степенной ряд
Степенные ряды
Радиус и круг сходимости степенного ряда.
Функциональные ряды вида
$$
\sum_
$$
где \(c_
Полагая в \eqref
$$
\sum_
$$
исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда \eqref
Если степенной ряд \eqref
Так как ряд \eqref
$$
\lim_
$$
откуда следует ограниченность последовательности \(\
$$
\exists M > 0: \forall n \in \mathbb
$$
Используя неравенства \eqref
$$
|c_
Если ряд \eqref Если ряд \eqref \(\circ\) Для ряда \eqref Для всякого степенного ряда \eqref \(\circ\) Пусть \(D\) — множество всех точек сходимости ряда \eqref Если \(D\) — неограниченное множество, то ряд \eqref На границе круга \(K\) ряд \eqref Если \(R\) — радиус сходимости степенного ряда \eqref \(\circ\) Теорема приводится без доказательства. \(\bullet\) Если существует конечный или бесконечный \(\displaystyle\lim_ \(\circ\) Докажем формулу \eqref Пределы \eqref Найти радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_ Найти радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_ \(\vartriangle\) Обозначим \(2z^ <5>= t\). Тогда \(\displaystyle\sum_ Для степенного ряда \(\displaystyle\sum_ Введем понятие функции комплексного переменного. Пусть каждой точке \(z \in E\), где \(E\) — множество точек комплексной плоскости, поставлено в соответствие комплексное число \(w\). Тогда говорят, что на множестве \(E\) определена функция комплексного переменного, и пишут \(w = f(z)\), где символом \(f\) обозначено правило (закон), определяющее это соответствие. Понятия предела, непрерывности, производной для функции комплексного переменного вводятся по аналогии с соответствующими понятиями для функции действительного переменного. Если Функция комплексного переменного \(f(z)\) называется регулярной (однозначной аналитической, голоморфной) в точке \(a\), если она определена в некоторой окрестности точки \(a\) и представима в некотором круге \(|z — a| 0\), сходящимся к \(f(z)\) степенным рядом Отметим, что любой многочлен, то есть функция вида \(P(z) = \displaystyle\sum_ Рациональная функция \(f(z) = \displaystyle\frac В теории функций комплексного переменного доказывается, что на границе круга сходимости степенного ряда \(\displaystyle\sum_ В частности, если \(f(z) = \displaystyle\frac Функция \(f(z)\), регулярная в точке \(a\), единственным образом представляется рядом \eqref \(\circ\) Пусть функция \(f(z)\) имеет два представления в виде степенного ряда \eqref По условию ряды \(\displaystyle\sum_ \(\circ\) Пусть \(R\), \(R_<1>\) и \(R_<2>\) — радиусы сходимости рядов \eqref Так как \(\displaystyle\frac<1> \(\circ\) Рассмотрим ряд Коэффициенты ряда \eqref \(\circ\) Формулы \eqref Из формул \eqref Понятие степенного ряда Сходимость степенных рядов Свойства степенных рядов 2. Степенные ряды 3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать: 4. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно интегрировать: 5. Виды степенных рядов Ряд Тейлора для бесконечно дифференцируемой функции ƒ(х) в окрестности точки х = а: Ряд Маклорена — частный случай ряда Тейлора при Сходимость функции к ряду Тейлора Представим функцию в виде: Теорема. Ряд Тейлора сходится к функции Вся теория степенных рядов основана на лемме Абеля. [math]|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac<|x_1|><|x_0|>\right)^n[/math] [math]\sum\limits_ Можно определить важнейшую для теории величину — радиус сходимости ряда. 1) [math]|x| \lt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд абсолютно сходится. 2) [math]\forall [a; b] \in (-R; R)[/math] ряд сходится абсолютно и равномерно. 3) [math]|x| \gt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд расходится. 4) [math]|x| = R[/math] — неопределённость. 2) [math]\exists \delta \gt 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)[/math] 3) Следствие определения радиуса сходимости. 4) Ну неопределённость [math]:)[/math] Докажем первый пункт. Второй доказывается аналогично. Рассмотрим [math]\sum\limits_ Итого: [math]|x| \lt q[/math] — ряд сходится, [math]|x| \gt q[/math] — ряд расходится. Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши. По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если взять два степенных ряда, то на общей части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши: [math]f(x) g(x) = \sum\limits_ Вывод: произведение двух степенных рядов по правилу Коши — степенной ряд с суммой, равной произведению сумм исходных рядов. По теореме о радиусе сходимости, на любом отрезке из [math](-R; R)[/math] степенной ряд сходится равномерно. Значит, по теоремам о почленном дифференцировании и интегрировании рядов, их можно дифференцировать и интегрировать, и опять будет получаться сходящийся степенной ряд. Вопрос: «Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?» Ответ: «Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда». Выясним, что для [math]f(x)[/math] и [math]f'(x)[/math] одинаковые радиусы сходимости. Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда [math]\subset[/math] промежутку сходимости исходного ряда. Функциональные ряды и их область сходимости: Пусть Определение: называется функциональным рядом. Если в ряде (1) положить Определение: Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке Пример: сходится в точке который, как известно, сходится. Данный функциональный ряд расходится в точке Определение: Множество всех точек сходимости функционального ряда (1) называется областью сходимости ряда. Как правило, область сходимости функционального ряда является некоторым промежутком числовой прямой. Так, область сходимости функционального ряда (3) совпадает с интервалом который является рядом геометрической прогрессии со знаменателем Сумма функционального ряда (1) зависит от взятой точки x области сходимости, следовательно, сумма ряда (1) является некоторой функцией в области сходимости ряда (1). Например, ряд (3) является рядом геометрической Пример: Найти область сходимости ряда Решение: По признаку Даламбера имеем Следовательно, ряд сходится на всей числовой прямой. Пример: Найти область сходимости ряда Решение: Очевидно, что для любого фиксированного Пример: Исследовать на сходимость ряд Решение: Очевидно, что сходится, то по признаку сравнения при любом x ряд также сходится. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой. Пример: Найти область сходимости ряда Решение: Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем где называется откуда т. е. Определение: Степенным рядом называется функциональный ряд вида где x — независимая переменная, Коэффициенты степенного ряда могут быть действительными или комплексными числами. Ограничимся изучением степенных рядов с действительными коэффициентами. Если произвести замену Следовательно, при изучении степенных рядов мы можем ограничиться степенными рядами вида 1. Область сходимости степенного ряда. Переходим теперь к выяснению структуры области сходимости степенного ряда. Заметим вначале, что любой степенной ряд сходится в точке Основную роль в определении структуры области сходимости и характера сходимости степенного ряда (1) играет следующая лемма. Лемма Абеля: 1) Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении 2) Если степенной ряд (1) расходится при некотором значении Доказательство: 1) Пусть степенной ряд (1) сходится в точке является сходящимся. Тогда общий член ряда (2) стремится к нулю при ограничена, т. е. существует такое число M, что для всех Пусть теперь сходится. Перепишем ряд (4) в виде и рассмотрим ряд из модулей членов ряда (5): В силу неравенства (3) члены ряда (6) меньше соответствующих членов ряда При 2) Пусть в точке Теорема: О структуре области сходимости степенного ряда. Если степенной ряд (1) имеет как отличные от нуля точки сходимости, так и точки расходимости, то существует такое число Доказательство: Пусть Заметим, что сходимость в точках Доказанная теорема позволяет дать полное описание области сходимости ряда (1), поэтому эту теорему называют теоремой о структуре области сходимости степенного ряда. 1. Ряд (1) сходится только при 2. Ряд (1) не имеет точек расходимости. Область сходимости совпадает со всей числовой прямой 3. Ряд (1) имеет как отличные от нуля точки сходимости, так и точки расходимости. В зависимости от данного ряда, область сходимости является одним из промежутков Независимо от того, какой именно случай имеет место, интервал Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. В случае 1 будем считать Пример: Найти область сходимости ряда Решение: Пусть x — некоторое фиксированное число, отличное от нуля. Тогда существует такой номер N что при n > N выполняется неравенство nx > 1. Следовательно, Итак, область сходимости данного ряда состоит только из нулевой точки, т. е. R = 0. Для многих, встречающихся на практике, степенных рядов радиус сходимости можно определить применением признака Даламбера к, ряду составленному из модулей членов ряда (1). Рассмотрим случай, когда все Пусть предел По признаку Даламбера ряд (8) сходится, если и расходится, если Таким образом, ряд (8) сходится, а следовательно, ряд (1) сходится абсолютно, если Отсюда для радиуса сходимости при Если Из (10) получаем следующую формулу для вычисления радиуса сходимости: Пример: Найти область сходимости ряда Решение: По формуле (11) имеем Данный ряд сходится только в точке Пример: Найти область сходимости ряда Решение: т. е. R = 2, ряд сходится в интервале получаем числовой ряд т е. гармонический ряд, который расходится. При который по признаку Лейбница сходится. Итак, областью сходимости будет промежуток Область сходимости степенного ряда можно определить и применяя непосредственно признак Даламбера. Так, для ряда примера 3 имеем Следовательно, ряд сходится для тех значений x для которых Пример: Найти радиус сходимости ряда Решение: К этому ряду формула (11) при любом x т. е. ряд сходится на всей числовой прямой. Пример: Найти область сходимости ряда Решение: Так как Следовательно, ряд сходится для. Проверим сходимость на концах интервала. При сходится и Таким образом, область сходимости данного ряда совпадает с отрезком Пример: Найти область сходимости ряда Решение: Применим признак Даламбера: Следовательно, ряд сходится при Проверим сходимость на концах полученного интервала. При который, очевидно, расходится. При который также расходится._Следовательно, областью сходимости будет В отличие от функционального ряда общего вида, степенные ряды обладают рядом свойств, которые имеют место для обычных многочленов (конечных сумм одночленов вида Свойство: Сумма степенного ряда (1) является непрерывной функцией в области сходимости ряда. Свойство: Если ряд (1) сходится к функции то для любого отрезка Другими словами, степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку, содержащемуся в области сходимости. Заметим, что полученный ряд (14) является числовым рядом. Например, так как ряд имеет область сходимости с абсолютной погрешностью Интегрирование степенных рядов можно использовать для получения разложения в степенной ряд функций вида функции Полученный ряд (16), в отличие от ряда (14), является функциональным, даже степенным рядом (так как все интегралы, входящие в (16), имеют переменный верхний предел), и имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (13). Таким образом, из свойства 2 получаем: если для функции Пример: Заменяя в (15) x на—x, получаем ряд областью сходимости которого является промежуток Полученный ряд (18) представляет собой разложение функции Пример: Заменяя в (17) x на в промежутке Подставляя в (20) х = 1 и учитывая, что который может быть использован для приближенного вычисления числа Свойство: Если ряд (1) сходится к функции составленный из производных членов ряда (1), имеет тот же радиус сходимости и сходится к производной Другими словами, степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой внутренней точке из области его сходимости. Пример: Дифференцируя почленно равенство (17), получим Замечание: Если степенной ряд имеет вид то подстановкой Пример: Найти область сходимости степенного ряда Решение: Следовательно, ряд сходится при Проверкой убеждаемся, что данный ряд сходится на концах интервала Пусть функция которое называется многочленом Тейлора степени n для функции Формула (2) называется формулой Тейлора для функции Функция Следующая формула выражает остаточный член в форме Лагранжа: где t — некоторая точка интервала Учитывая (3), формулу Тейлора (2) можно писать в виде Если где Формула (5) известна под названием формулы Маклорена. Пример: Найти формулу Маклорена для функции Решение: Находим производные до порядка 4 + 1 = 5 включительно: При n = 4 из (5) имеем: аналогично, где Дана функция Ряд (1) называется рядом Тейлора для функции Сходимость ряда Тейлора к порождающей функции. Вообще говоря, составленный ряд (1) для функции Теорема: Ряд Тейлора (1) сходится к порождающей функции Доказательство: Легко видеть, что n-я частичная сумма Обратно, пусть Следующая теорема дает только достаточное условие сходимости ряда Тейлора к порождающей функции и может быть применена при разложении функций. Теорема: Если все производные функции Доказательство: В силу теоремы 1 достаточно показать, что для любого x из рассматриваемой окрестности. Беря остаточный член в форме Лагранжа (формула (3) предыдущего параграфа), имеем: Осталось показать, что сходится при любом x: (это можно проверить по признаку Даламбера; см. пример 2 § 1). Следовательно, его общий член стремится к нулю, Теорему об единственности разложений функций в степенных рядах можно сформулировать следующим образом. Теорема: Если функция то это разложение единственно и совпадает с рядом Тейлора функции Доказательство: Почленным дифференцированием из (4) получаем: Подставляя Из этих соотношений найдем, что Следовательно, ряд (4) совпадает с рядом Тейлора (1) функции Если в (1) взять который является частным случаем ряда Тейлора и известен под названием ряда Маклорена для функции Рассмотрим разложение в ряд Тейлора некоторых элементарных функций. При этом ограничимся частным случаем Для разложения некоторой функции 1. Разложение функции Таким образом, функции Покажем, что Отсюда по теореме 3 § 4 сумма ряда равна порождающей его функции, т. е. Разложение функции Найдем производные данной функции: Вычислим значения функции и ее производных для Вообще, если n четное, т. е. если n нечетное, то рассмотрим случаи: Для первого случая имеем: Для второго случая имеем: Учитывая далее, что производные функции sin x ограничены на всей числовой прямой, по теореме 3 § А получаем Отбросив члены с нулевыми коэффициентами, получим Разложение функции Повторяя рас суждения и выкладки, аналогичные случаю функции Заметим, что согласно теореме 2 § 4 функции Разложение функции следовательно, функции По признаку Даламбера найдем область сходимости полученного ряда (4): Следовательно, ряд сходится при Примем без доказательства, что ряд (4) сходится к порождающей функции для Более того, можно показать, что при Ряд (5) называется биномиальным рядом. Если Указанный в этом параграфе метод разложения функций в степенной ряд может быть применен к произвольной функции. Однако в отдельных случаях вычисления и обоснование сходимости могут оказаться очень громоздкими. Разложения некоторых функций в ряд можно получить, выполняя те или иные преобразования над имеющимися разложениями. Так, в примерах 7, 8, 9 § 2 получены разложения для функций Как мы отметили, можно рассматривать степенные ряды не только с действительными, но и с комплексными значениями коэффициентов и переменной x. Степенные ряды представляют собой удобное средство для определения функций от комплексного переменного Так, имея разложение показательной функции на действительной оси, распространяем эту формулу на комплексной плоскости, т. е. для показательной функции Показательной функцией Аналогично, тригонометрические функции sin z и cos z для комплексного переменного Можно показать, что по формулам (7), (8) и (9) функции Используя определения (7), (8), (9) функций гл. 9). Полагая в формуле (7) Отделяя действительные и мнимые части, находим Так как в правой части (10) в скобках стоят соответственно разложения в ряды cos Пример: Вычислить число e, т. е. значение функции причем абсолютная погрешность этого приближения равна где где Число n определим из неравенства Достаточно взять n = 6, так как Пример: Вычислить sin 18° с четырьмя верными десятичными знаками. Решение: По формуле (2) § 5 имеем Так как угол 18° в радианной мере (с точностью до Так как мы имеем знакочередующийся ряд, то при замене его суммы некоторой частичной суммой абсолютная погрешность не превышает модуля первого отброшенного члена. Непосредственной проверкой убеждаемся, что Пример: с точностью до. 0,0001. Решение: Из формулы (2) § 5 делением обеих частей на x находим Это разложение, как и разложение для sin x, имеет место на всей числовой оси, поэтому его можно почленно интегрировать: При x = 1 имеем Полученный ряд является знакочередующимся рядом. Так как то достаточно взять Вычисляя промежуточные результаты с пятью десятичными знаками, получим окончательный результат с четырьмя верными десятичными знаками: Пример: Вычислить интеграл Решение: Заменяя в разложении 2 § 5 x на При x = 1 поручаем знакочередующийся ряд: имеет границу абсолютной погрешности Таким образом, вычисляя промежуточные результаты с пятью десятичными знаками, получим окончательный результат с четырьмя верными десятичными знаками: Замечание. Интегралы, рассмотренные в примерах 3 и 4, как мы знаем, не берутся в элементарных функциях. Однако изложенный метод вычисления интегралов оказывается удобным и в тех случаях, когда интегралы выражаются; через элементарные функции. Пример: Вычислить интеграл Однако практическое применение этого результата приводит к громоздким вычислениям. Намного проще вычисляется данный интеграл при помощи степенных рядов. Решение: Заменяя в известном разложении x на Так как отрезок Учитывая, что полученный ряд знакочередующийся, получаем, что приближение имеет границу абсолютной погрешности В действительности, все цифры верные. Пусть дано некоторое дифференциальное уравнение Требуется найти его решение, удовлетворяющее Изложим схему получения искомого решения в виде ряда Тейлора. Подставляя значения (2) в уравнение (1), получим уравнение из которого можно определить значение n-й производной Дифференцируя равенство (1), получим уравнение, которое помимо Подставляя в (4) значения (2) и (3), получим уравнение из которого можно определить значение (n+1)-й производной. Продолжая так и далее, находим последовательно значения всех производных искомой функции y в точке x = Пример: Найти решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям Решение: Дифференцируя (5), получаем Дифференцируя (6), находим Дифференцируя (7), находим и т. д. Поскольку Пример: Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям Решение: Из (8) имеем: Из (9) имеем отсюда отсюда Степенным рядом называется функциональный ряд вида где коэффициенты Ряд (2) формальной заменой Пример: являются степенными рядами. Выясним вид области сходимости степенного ряда. Теорема: Абель. Если степенной ряд сходится при Пусть степенной ряд сходится при Отсюда следует, что а значит, существует число М > 0 такое, что где где составлен из членов геометрической прогрессии со знаменателем Пусть теперь степенной ряд расходится при х = х2. Допустим, что этот ряд сходится для |х| > |х2|. По доказанному он должен сходиться и при х = х2, так как |х2| Пусть в точке Теорема: Пусть степенной ряд сходится в точке Определение: Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал (-R, R), где R > 0, такой, что в каждой точке Замечание: Замечание: где но его интервалом сходимости является интервал При условии существования конечного предела радиус сходимости степенного ряда Для доказательства формулы (3) рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда Применяя к этому ряду признак Даламбера, находим Отсюда следует, что ряд (4) будет сходиться, если Радиус сходимости степенного ряда можно находить также по формуле если существует конечный предел Формулу (5) легко получить, используя признак Коши. Если степенной ряд сходится только в точке х = 0, то говорят, что его радиус сходимости R = 0 (это возможно, например, при Если степенной ряд сходится во всех точках числовой оси, то полагают Областью сходимости степенного ряда может оказаться либо интервал нужно сначала вычислить его радиус сходимости R (например, по одной из приведенных выше формул) и тем самым найти интервал сходимости Пример: Найти область сходимости степенного ряда 1) Для нахождения радиуса сходимости R данного ряда удобно применить формулу (3). Так как Ряд сходится абсолютно на интервале — 1 расходимость которого очевидна (не выполнен необходимый признак сходимости: не существует, а значит, этот ряд расходится. 1) Радиус сходимости находим по формуле (3). Имеем Ряд (7) сходится абсолютно на интервале который расходится (гармонический ряд). При х = 0 будем иметь числовой ряд Таким образом, ряд (7) сходится в области Пример: Найти интервал сходимости ряда Так как Это означает, что данный ряд сходится при всех значениях х, т.е. областью сходимости является интервал Пример: Найти интервал сходимости ряда Равенство R = 0 означает, что ряд (8) сходится только в точке x = 0, т. е. область сходимости данного степенного ряда состоит из одной точки х = 0. Теорема: сходится абсолютно и равномерно на любом отрезке [-а, а], а > 0, содержащемся в интервале сходимости ряда (-R, R), R > 0. Пусть 0 непрерывна в каждой точке х его интервала сходимости (-R, R), R > 0. Любую точку х из интервала сходимости (-R, R) можно заключить в некоторый отрезок [-а, а], 0 Интегрирование степенных рядов Теорема: О почленном интегрировании степенного ряда. Степенной ряд можно интегрировать почленно в его интервале сходимости (-R, R), R > 0, причем радиус сходимости ряда, полученного почленным интегрированием, также равен R. В частности, для любого х из интервала (-R, R) справедлива формула Любую точку х из интервала сходимости (-R, R) можно заключить в некоторый отрезок [-а, а], где 0 Найдем радиус сходимости R’ полученного ряда при дополнительном условии существования конечного предела Итак, радиус сходимости степенного ряда при интегрировании не меняется. Замечание: Утверждение теоремы остается справедливым и при Теорема: О почленном дифференцировании степенного ряда. Степенной ряд можно дифференцировать почленно в любой точке х его интервала сходимости (-R, R), R > 0, при этом выполняется равенство Пусть R — радиус сходимости ряда a Предположим, что существует (конечный или бесконечный) предел Найдем радиус R’ ряда Тем самым, радиусы сходимости рядов (1) и (2) равны. Обозначим сумму ряда (2) через Ряды (1) и (2) равномерно сходятся на любом отрезке [-а, а], где 0 можно почленно дифференцировать сколько угодно раз в любой точке х его интервала сходимости (-R, R), причем радиусы сходимости всех получаемых рядов будут равны R. Определение: Будем говорить, что функция f(х) разлагается в степенной ряд Докажем сначала, что функция f(x) не может иметь двух различных разложений в степенной ряд вида (1). Теорема: Если функция f(х) на интервале (-R, R) разлагается в степенной ряд (1), то это разложение единственно, т. е. коэффициенты ряда (1) по его сумме определяются однозначно. Пусть функция f(х) в интервале (-R, R) разложена в сходящийся степенной ряд Дифференцируя этот ряд почленно n раз, найдем (здесь Таким образом, коэффициенты Замечание: Если функция f(x) разложена в степенной ряд по степеням разности то коэффициенты сn этого ряда определяются формулами вычислив его коэффициенты по формуле (3). Определение: Рядом Тейлора функции f(х) относительно точки х0 называется степенной ряд вида Коэффициенты этого ряда называются коэффициентами Тейлора функции f(х). При X0 = 0 ряд Тейлора называют рядом Маклорена. Из теоремы 5 вытекает следующее утверждение. Теорема: Если на интервале то этот ряд является рядом Тейлора функции f(х). Пример: и найдем ее производные. Для где Покажем теперь, что в точке х = 0 данная функция также имеет производные любого порядка, причем все они равны нулю. Исходя из определения производной, имеем (при вычислении предела мы применили правило Лопиталя). Аналогичным образом можно доказать, что Тем самым, заданная функция имеет на числовой оси производные всех порядков, Построим формальный ряд Тейлора исходной функции относительно точки Xо = 0. Имеем Очевидно, что сумма S(x) этого ряда тождественно равна нулю, в то время как сама функция f(x) тождественно равной нулю не является. Про этот пример стоит вспомнить при обсуждении комплексного анализа (аналитичности): функция, внешне совершенно благопристойная, проявляет на действительной оси капризный характер, являющийся следствием неприятностей на мнимой оси. Формально построенный в примере для заданной бесконечно дифференцируемой функции ряд сходится, но его сумма не совпадает со значениями этой функции при Для простоты будем рассматривать степенной ряд вида Теорема: Для того чтобы функцию f(x) можно было разложить в степенной ряд на интервале (-R, R), необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале функция f(х) имела производные всех порядков и чтобы в ее формуле Тейлора остаточный член Rn(x) стремился к нулю при Необходимость: Пусть на интервале (-R,R), R > 0, функция f(х) разложима в степенной ряд т. е. ряд (2) сходится и его сумма равна f(х). Тогда по теореме 4 и следствию из нее функция f(х) имеет на интервале (-R, R) производные т. е. мы можем написать равенство В силу сходимости этого ряда на интервале (-R, R) его остаток стремится к нулю при Достаточность: Пусть функция f(х) на интервале (-R, R) имеет производные всех порядков и в ее формуле Тейлора остаточный член при Достаточные условия разложимости функции в степенной ряд, удобные для практического применения, описываются следующей теоремой. Теорема: Для того, чтобы функцию f(х) на интервале (-R, R) можно разложить в степенной ряд достаточно, чтобы функция f(х) имела на этом интервале производные всех порядков и чтобы существовала постоянная М > 0 такая, что для всех n = 0, 1, 2,… и для всех Пусть функция f(х) имеет на интервале (-R, R) производные всех порядков. Тогда для нее можно формально написать ряд Тейлора Докажем, что он сходится к функции f(х). Для этого достаточно показать, что остаточный член в формуле Тейлора (1) стремится к нулю при для n = 0, 1,… и для всех сходится в силу признака Даламбера: в силу необходимого признака сходимости. Из неравенства (3) получаем для всех Продолжение примера 1. Хотя функция из примера 1 и имеет на числовой оси производные всех порядков, универсальной постоянной М, ограничивающей их абсолютные величины, не существует, при Рассмотрим разложения в ряд основных элементарных функций. Эта функция имеет производные всех порядков на интервале (-а, а), где а > 0 — любое число, причем Следовательно, показательная функция Радиус сходимости этого ряда Если в разложении (1) заменить х на —х, то будем иметь Данная функция имеет производные любого порядка, причем для n = 0, 1, 2,… и то этот ряд имеет следующий вид Радиус сходимости ряда Аналогично получаем, что Эта функция удовлетворяет соотношению Будем искать степенной ряд, сумма которого S(х) удовлетворяет соотношению (4) и условию S(0) = 1. Положим Подставляя соотношения (5) и (6) в формулу (4), будем иметь Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получим Подставляя эти значения коэффициентов в соотношение (5), получим ряд Найдем радиус сходимости ряда (7) в случае, когда а не является натуральным числом. Имеем Итак, ряд (7) сходится при |х| Так как S(х) удовлетворяет соотношению (4), т. е. то для производной функции для на (-1, 1). В частности, при х = 0 имеем и значит, Для получения разложения этой функции в ряд Тейлора по степеням х проинтегрируем равенство (9) в пределах от 0 до х, где Пользуясь этой таблицей, можно получать разложения в степенной ряд более сложных функций. Покажем на примерах, как это делается. Пример: в степенной ряд в окрестности точки Хо = 2, т.е. по степеням разности х — 2. Преобразуем данную функцию так, чтобы можно было использовать ряд (10) для функции Заменяя в формуле (10) х на Это разложение справедливо, когда выполнено любое из эквивалентных неравенств Пример: Разложить по степеням х функцию используя формулу (10). Разлагая знаменатель на множители, представим данную рациональную функцию в виде разности двух простейших дробей. Имеем После простых преобразований получим К каждому слагаемому в правой части равенства (13) применяем формулу (10), в результате чего получим степенные ряды Ряд (14) сходится для радиус сходимости которого равен R = 1. Этот ряд сходится абсолютно для |x| Применим к функции Интегрируя обе части последнего равенства от нуля до x (почленное интегирование законно, так как степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке с концами в точках 0 и x, лежащем в интервале (-1,1)), найдем Тем самым, окончательно получаем, что Известно, что первообразная для функции Из равенства (16) находим Заметим, что деление ряда (16) на t при t Полученный ряд — знакочередующийся, так что погрешность при замене его суммы частичной суммой оценивается просто. Пример: Здесь первообразная для подынтегральной функции х на Проинтегрируем обе части этого равенства в пределах от 0 до х: Этот ряд сходится при любых х (его радиус сходимости Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным: Придавая x определенное значение который может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если полученный числовой ряд сходится, то точка Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х: S = S(x). Определяется она в области сходимости равенством частичная сумма ряда. Пример: Найти область сходимости ряда Решение: Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем q = х. Следовательно, этот ряд сходится при |х| Пример: Исследовать сходимость функционального ряда Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда: Так как при любом Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т. е. так называемый степенной ряд Действительные (или комплексные) числа Ряд (62.3) расположен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням где Ряд (62.4) легко приводится к виду (62.3), если положить Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (62.3). Область сходимости степенного ряда (62.3) содержит по крайней мере одну точку: х = 0 (ряд (62.4) сходится в точке Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы. Теорема: Абель. Если степенной ряд (62.3) сходится при По условию ряд Пусть т. е. модуль каждого члена ряда (62.3) не превосходит соответствующего члена сходящегося (q Интервал и радиус сходимости степенного ряда Из теоремы Абеля следует, что если Интервал В частности, когда ряд (62.3) сходится лишь в одной точке Отметим, что на концах интервала сходимости (т. е. при х = R и при х = —R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно. Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (62.3) можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел По признаку Даламбера ряд сходится, если ряд, составленный из модулей членов ряда (62.3), расходится при тех значениях х, для которых Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что Замечания. 1. Если 2.Интервал сходимости степенного ряда (62.4) находят из неравенства 3.Если степенной ряд содержит не все степени х, т. е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости (формулы (63.1) и (63.2)), а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда. Пример: Найти область сходимости ряда Решение: Воспользуемся формулой (63.1): Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. Пример: Найти область сходимости ряда Решение: Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем: Ряд абсолютно сходится, если При х = — 1 имеем ряд При х = 1 имеем ряд Пример: Найти область сходимости ряда Решение: Находим радиус сходимости ряда по формуле (63.1): Следовательно, ряд сходится при — 2 который сходится по признаку Лейбница. При х = 0 имеем расходящийся ряд Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полуотрезок [-4; 0). Сформулируем без доказательства основные свойства степенных рядов. 1. Сумма S(x) степенного ряда (62.3) является непрерывной функцией в интервале сходимости (—R; R). 2.Степенные ряды 3.Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда при —R 4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (63.3) при — R Ряды (63.4) и (63.5) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. Перечисленные свойства 1-4 остаются справедливыми и для степенных рядов вида (62.4). Свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и в приближенных вычислениях. Для приложений важно уметь данную функцию f(х) разлагать в степенной ряд, т. е. функцию f(х) представлять в виде суммы степенного ряда. Как известно (см. теорема 26.1), для любой функции f(х), определенной в окрестности точки где Если функция f(х) имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки хо и остаточный член Если в ряде Тейлора положить Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки имеет в точке х = 0 производные всех порядков, причем Он сходится, но его сумма S(x) в любой точке х равна нулю, а не f(x). Пусть для функции f(х) составлен соответствующий ей ряд Тейлора. Теорема: Для того чтобы ряд Тейлора (64.2) функции f(х) сходился к f(х) в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (64.1) стремился к нулю при Пусть ряд Тейлора (64.2) сходится к функции f(х) в некоторой окрестности точки Обратно, пусть Замечание: Если ряд Тейлора (64.2) сходится к порождающей функции f(х), то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, т. е. Таким образом, задача разложения функции f(х) в степенной ряд сведена по существу к определению значений х, при которых На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Теорема: Если модули всех производных функций f(х) ограничены в окрестности точки Согласно теореме 64.1, достаточно показать, что По условию теоремы 64.2 для любого п имеет место неравенство Осталось показать, что то пo признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости, Следовательно, Для разложения функции f(х) в ряд Маклорена (64.3) нужно: а) найти производные б) вычислить значения производных в точке в) написать ряд (64.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости; г) найти интервал (—R;R), в котором остаточный член ряда Маклорена Замечание: В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремится к нулю при Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить): Докажем формулу (64.4). Пусть г) для всех Докажем формулу (64.5). Пусть г) любая производная функции f(х) = sinx по модулю не превосходит единицы, Докажем формулу (64.6). Пусть Формулу (64.6) можно доказать так же, как и формулу (64.5). Однако проще получить разложение функции cos х, воспользовавшись свойством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд (64.5), получим: Докажем формулы (64.13), (64.14). Пусть Заменив в формуле (64.4) х на — х, получим разложение функции справедливое для всех Суммируя (и вычитая) почленно равенства (64.4) и (64.15), получим разложение гиперболического косинуса (синуса): Формулы (64.13) и (64.14) доказаны. ■ Докажем формулу (64.7). Пусть т. е. составленный для функции Можно показать, что и в данном случае, т.е. при Ряд (64.7) называется биномиальным. Если Докажем формулу (64.8). Пусть Формула (64.8) может быть получена разными способами: 1) пользуясь правилом разложения функции в ряд; 2) рассматривая ряд 3) воспользовавшись формулой (64.7): положив в ней Докажем формулу (64.9). Пусть справедливое для всех Можно показать, что это равенство справедливо и для х = 1. В Докажем формулу (64.10). Пусть Положив в формуле (64.7) а = —1 и заменив Можно показать, что равенство справедливо и при х = ±1, т. е. при всех х € [-1; 1]. Докажем формулу (64.12). Пусть Положив в формуле (64.7) Можно показать, что полученное равенство справедливо при всех Ряды (64.4)-(64.14) в комбинации с правилами сложения, вычитания, умножения, дифференцирования, интегрирования степенных рядов (см. свойства степенных рядов) могут быть использованы при разложении (некоторых) других функций в ряд Маклорена (Тейлора). Пример: Разложить в ряд Маклорена функцию Решение: Так как Пример: Выписать ряд Маклорена функции Решение: то, воспользовавшись формулой (64.9), в которой заменим х на (— получим: Пример: Разложить в ряд Маклорена функцию Решение: Воспользуемся формулой (64.8). Так как то, заменив Приближенное вычисление значений функции: Пусть требуется вычислить значение функции f(х) при Если функцию f(х) в интервале (—R;R) можно разложить в степенной ряд и а приближенное — частичной сумме Точность этого равенства увеличивается с ростом п. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е. Таким образом, ошибку Для рядов лейбницевского типа В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки Пример: Найти sin 1 с точностью до 0,001. Решение: Согласно формуле (64.5), Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно). Так как то для нахождения sin 1 с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых: Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член (т.е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение sin 1 примерно равно 0,84147. Пример: Вычислить число е с точностью до 0,001. Решение: Подставляя х = 1 в формулу (64.4), получим: Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем п слагаемых и оценим ошибку т.е. Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при Замечание: Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена где с находится между Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции (см. § 34) либо нахождение первообразной сложно. Пусть требуется вычислить Пример: Вычислить интеграл Решение: Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя Интегрируя обе части равенства (65.1) на отрезке Получили ряд лейбницевского типа. Так как то с точностью до 0,001 имеем: Замечание: Первообразную F(x) для функции играют очень важную роль в теории вероятностей. Первая — плотность стандартного распределения вероятностей, вторая — функция Лапласа (или интеграл вероятностей). Мы получили, что о функция Лапласа представляется рядом который сходится на всей числовой оси. Если решение дифференциального уравнения не выражается че-1>ез элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом Тейлора. Познакомимся с двумя способами решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Пусть, например, требуется решить уравнение удовлетворяющее начальным условиям Решение у = у(х) уравнения (65.2) ищем в виде ряда Тейлора: при этом первые два коэффициента находим из начальных условий (65.3). Подставив в уравнение (65.2) значения Рассмотренный способ применим и для построения общего решения уравнения (65.2), если Способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка. Пример: Методом последовательного дифференцирования найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения Решение: Будем искать решение уравнения в виде Здесь При х = — 1 имеем: Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим: Этот способ приближенного решения наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Пусть, например, требуется решить уравнение с начальными условиями Предполагая, что коэффициенты с неопределенными коэффициентами. Коэффициенты Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд (65.6) два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выражения для функции у и ее производных в уравнение (65.5), заменив в нем Пример: Найти решение уравнения используя метод неопределенных коэффициентов. Решение: Разложим коэффициенты уравнения в степенные ряды: Ищем решение уравнения в виде ряда Из начальных условий находим: Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Отсюда находим, что Таким образом, получаем решение уравнения в виде Решение заданий и задач по предметам: Дополнительные лекции по высшей математике: Образовательный сайт для студентов и школьников Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника. © Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
$$
\sum_
$$
$$
\sum_
$$
сходятся абсолютно в круге \(K_<0>\), а в круге \(K_<1>\) — абсолютно и равномерно.
$$
|c_
$$
\frac<1>
$$
а если существует конечный или бесконечный \(\displaystyle\lim_
$$
R = \lim_
$$
$$
\frac<1>
$$
которую называют формулой Коши-Адамара.
$$
\overline<\lim_
$$Регулярные функции.
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta_ <\varepsilon>> 0: \forall z: |z — a| Определение.
$$
f(z) = \sum_
$$
$$
R = \min_ <1 \leq k \leq m>|z_
$$
где \(z_
f(z) = \sum_
$$
Докажем, что \(c_ Свойства степенных рядов.
$$
R_ <1>= R = R_<2>.\label
$$
$$
\left|\frac
$$
Неравенства \eqref
$$
\sum_
$$
составленный из производных членов ряда \eqref
$$
a_ <0>= f(x_<0>),\quad a_
$$внутри интервала сходимости можно почленно складывать, вычитать и умножать.
— остаточный член в форме Лагранжа.
Степенные ряды
Содержание
Определение [ править ]
Лемма Абеля [ править ]
[math]\triangleleft[/math] Радиус сходимости [ править ]
[math]\triangleleft[/math] Примеры [ править ]
Произведение степенных рядов [ править ]
Степенные ряды в математике с примерами решения и образцами выполнения
— некоторая последовательность функций.
то получим числовой ряд
, если числовой ряд (2) полученный из ряда (1) подстановкой
, является сходящимся рядом. При этом
называется точкой
сходимости ряда.. В самом деле, подставляя в (3)
получим числовой ряд
, так как числовой ряд
. В самом деле, при
получаем числовой ряд
и, следовательно, сходится; если же
, то ряд (4) расходится.
. Область определения суммы ряда
совпадает с областью сходимости данного ряда. Говорят также, что ряд (1) сходится к функции
и что для функции
имеет место разложение
прогрессии со знаменателем следовательно, для
сумма ряда (3) равна функции
Таким образом, для
имеет место разложение
существует такой номер N, что
следовательно, общий член ряда не стремится к нулю, т. е. ряд расходится на всей числовой прямой.
при любом
Так как ряд
Следовательно, этот ряд сходится при
т. е. при
Отсюда получаем, что область сходимости этого ряда состоит из двух интервалов
Как и в случае числовых рядов, для
функционального ряда (1) можно составить последовательность
частичных суммВ каждой точке x из области сходимости ряда (1) его сумма
равняется пределу последовательности частичных сумм при
:
остатком ряда (1). Область сходимости ряда (6) совпадает с областью сходимости ряда (1), сумму
ряда. (6) тоже называют остатком ряда (1), причем в этом случае
при
. Кроме того, из (7) получаем
представляет собой абсолютную погрешность приближения
. Как известно, для конечных сумм имеют место следующие свойства: сумма непрерывных функций
является непрерывной функцией; производная суммы равна сумме производных слагаемых; интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых. Для функциональных рядов (бесконечных сумм) эти свойства, вообще говоря, не имеют места. В результате почленного
дифференцирования (интегрирования) функционального ряда можно получить ряд, сумма которого отлична от производной (интеграла) суммы данного ряда или даже расходящийся ряд.Степенные ряды и их свойства
постоянные коэффициенты.
, то степенной ряд примет вид
. В самом деле, если подставить в (1)
, получим значение
Таким
образом, точка входит в области сходимости любого степенного ряда.
, то он абсолютно сходится при любом значении x, для которого
то он расходится при любой значении x, для которого
следовательно, числовой ряд
. Отсюда следует, что последовательность
причем
. Мы должны показать, что ряд
ряд (7) является рядом геометрической прогрессии со знаменателем
и, следовательно, сходится. Тогда, по признаку сравнения рядов, ряд (6) также сходится, а это означает, что ряд (5) или» что то же самое, (4) сходится абсолютно, что и требовалось доказать.
степенной ряд (1) расходится и
Мы должны доказать, что при
ряд (1) расходится. Допустим противное, что ряд (1) сходится в точке
Но тогда, так как
, по доказанной первой части данный ряд сходится в точке
— получили противоречие. Лемма доказана полностью.
, что ряд (1) абсолютно сходится при всех x из интервала
,
т. е. для которых , и расходится при всех x, для которых
.
— точка сходимости ряда (1). Тогда по Лемме Абеля все точки интервала
являются точками абсолютной сходимости ряда. Если в точке
ряд расходится, то он расходится на полупрямой
и на полупрямой
(рис. 125). Поэтому интуитивно ясно
(строгое доказательство мы здесь опускаем), что существует такая точка , что при
ряд сходится, а при
ряд расходится.
зависит от конкретного ряда.
. Область сходимости состоит из одной точки
.
;
называется интервалом сходимости ряда. Следовательно, область сходимости степенного ряда либо совпадает с его интервалом сходимости, либо получается из этого интервала добавлением одной или обеих граничных точек.
, в случае 2
, случаю 3 соответствует значение
, т. е. общий член ряда не стремится к нулю. Таким образом, в каждой точке
ряд расходится.
; если некоторые коэффициенты равны нулю, например, если x входит только в четных или только в нечетных степенях, то радиус сходимости можно определить, аналогично оперируя с двумя
соседними членами ряда. Для нашего случая имеем:существует:
из соотношения (9) при
получаем
получаем соотношение
; тогда по признаку Даламбера ряд сходится для любого x, т. е.
. В случае
ряд расходится для любого
, следовательно,
.
.
. Исследуем ряд на сходимость в концах интервала. При x = 2
приходим к ряду
.
и мы приходим к тому же интервалу
После этого надо проверить сходимость на концах интервала.
неприменима, так как отсутствуют нечетные степени переменной Применяем
непосредственно признак Даламбера:, то формула (5) неприменима Применяем признак Даламбера:
то по признаку сравнения сходится и ряд (12)
.
получаем ряд
получаем ряд
.
Свойства степенных рядов
). Сформулируем основные свойства степенных рядов.
, т. e.
содержащегося в области сходимости ряда (1),
, то его можно интегрировать на отрезке
если известно разложение (13)
в степенной ряд. Для этого достаточно степенной ряд (13) интегрировать на отрезке
для любого x из области сходимости ряда (13) (тогда, как известно, и весь отрезок
принадлежит области сходимости):
в некотором интервале имеет место разложение (13), то для функции
имеет место о разложение (16) в том же интервале.
. Интегрируя ряд (17) на отрезке
, получаем
в степенной ряд в промежутке
. Отсюда, например, при
получаем
получим разложение
. Интегрируя ряд (19) на отрезке
получим ряд
.
т. е. имеет место равенство (7), то ряд
функции
т. е.
он приводится к степенному ряду вида (1). Интервалом сходимости степенного ряда (22) будет
.
т. е.
при . Следовательно, областью сходимости является отрезок
.
Формула Тейлора и ее остаточный член
определена в точке
и имеет в некоторой окрестности этой точки все производные до (n + 1)-го порядка включительно. Тогда для функции
можно составить выражение
в точке
. Из (1) видно, что при
. Подсчеты показывают, что для многих функций, встречающихся в математике, физике, технике и других областях, многочлены Тейлора
для значений x, близких к
, принимают значения, близкие к
. Обозначив абсолютную погрешность, т. е. разность
, через
, получим
формулу , или
в точке
.
называется остаточным членом формулы Тейлора, Известны различные выражения для остаточного члена
.
при
и интервала
при
.
, то формула Тейлора (4) принимает вид
, причем t и x одного знака.
с остаточным членом в форме Лагранжа для n = 4.
Следовательно,
и x — одного знака.
Ряд Тейлора
, которая имеет производные любого порядка в точке
. Тогда можно составить ряд
в точке
. Функция
называется порождающей для ряда Тейлора (1).
может быть расходящимся, может сходиться в некотором промежутке, но его сумма необязательно должна равняться порождающей функции
. Поэтому очень важно знать условия, при которых ряд (1) сходится к порождающей его функции
. Приводим необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции.
в некоторой окрестности точки
тогда и только тогда, когда остаточный член в формуле Тейлора
для функции
в каждой точке этой окрестности стремится к нулю.
ряда (1) совпадает с многочленом Тейлора
степени
для функции
Пусть теперь ряд (1) сходится к функции
в некоторой окрестности точки
т. е.
Тогда
Тогда
ограничены в некоторой окрестности точки
то для любого x из этой окрестности ряд Тейлора функции
сходится к функции
, т. е. имеет место
разложениеИз условия нашей теоремы следует существование такого числа M, что для любого n
Для этого заметим, что ряд
т. е. Отсюда получаем
и тогда из теоремы 1 следует требуемое равенство (2).
Единственность разложения функции в степенной ряд
разлагается в некотором промежутке в степенной ряд
в точке
, т. е.
в формулу (4) и в полученные формулы для производных функции
, получим:
в точке
. Теорема доказана.
то получаем ряд
. Из формулу (2) при
получаем разложение функции
в ряд Маклорена:
Ряды Тейлора для некоторых элементарных функций
, т. е. рядами Маклорена, которые чаще используются на практике.
в ряд Маклорена надо вычислить значения всех производных данной функции при
и воспользоваться формулой (5) предыдущего параграфа.
. Заметим, что
и, вообще,
Отсюда
сопоставляется ряд
равна сумме этого ряда. Для данного x найдем интервал
, содержащий число x и обозначим
. Тогда для любой производной функции имеем
где
, получим
. Отсюда при нечетном n, т. е. при
, получим
для четного n рассмотрим отдельно случаи
при
имеем
при
имеем
, sin x; и cos x; разлагаются в свои ряды Маклорена на всей числовой оси.
, где
— произвольное действительное число
сопоставляется следующий ряд Маклорена:
, т. е. в интервале
, и расходится при
.
в интервале сходимости
.Таким образом,
разложение (5) верно и в обоих концах интервала
, т. е. имеет место на отрезке
, а при
— в правом конце, т. е. на полуинтервале
.
— натуральное число,
, то все члены формулы (5), начиная с
— го, равны нулю, так как содержат множитель
. В этом случае биномиальный ряд (5) представляет собой известную формулу бинома Ньютона:
,
при помощи замены переменной, интегрирования и дифференцирования степенных рядов. Заметим, например, что разложение (3) функции cos x можно получить путем почленного дифференцирования
из разложения (2) функции sin x.Элементарные функции в области комплексных чисел
от комплексного переменного z принимается следующее определение:
от комплексной переменной
называется функция, заданная формулой
определяются по формулам:
определены для всех
, т. е. что соответствующие ряды сходятся на всей комплексной плоскости.
можно вывести формулу Эйлера (см. § 8
где
— действительное число, получим
и sin
, то получаем формулу Эйлера
Примеры практического применения степенных рядов
Вычисление значений функций
при x = 1, с точностью до 0,001 (если известно, что e
При x = 1 получаем
Но так как
то
) равен 0,3142, то
следовательно, достаточно
ограничиться двумя членами:Вычисление определенных интегралов
с точностью до 0,0001.
, получаем
получаем
содержится в интервале сходимости
полученного ряда, то этот ряд можно почленно интегрировать в пределах от 0 до
:
Решение дифференциальных уравнений
начальным условиям:будет содержать и производную
:
. По этим данным можно написать разложение искомого решения у в ряд Тейлора в точке
Таким образом, решение уравнения (1) получается в виде степенного ряда.
, получаем разложение решения в ряд Маклорена:
Дифференцируя (8), находим
Дифференцируем (9):
Дифференцируем (10):
и т. д. Следовательно, искомое решение записывается в виде ряда Тейлора в точке
:
Дополнение к степенным рядам
Решение степенных рядов
Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
— постоянные.
сводится к ряду (1). Степенной ряд (1) всегда сходится в точке х = 0, а ряд (2) — в точке Х0, и их сумма в этих точках равна
то он сходится абсолютно для всех х таких, что
если степенной ряд расходится при х = x2, то он расходится при любом х, для которого
т. е. сходится числовой ряд
для всех n. Рассмотрим ряд
и оценим его общий член. Имеем
Но ряд
и значит, сходится. На основании признака сравнения ряд
сходится в любой точке х, для которой
Следовательно, степенной ряд
абсолютно сходится для
ряд сходится. Тогда ряд будет абсолютно сходиться в интервале
Если в некоторой точке х2 (здесь
ряд расходится, то он будет расходиться и в бесконечных интервалах
В этих условиях на оси Ох существуют две точки (симметричные относительно начальной точки О), которые отделяют интервалы расходимости от интервала сходимости. Имеет место следующая теорема.
Тогда либо этот ряд абсолютно сходится в каждой точке числовой прямой, либо существует число R > 0 такое, что ряд сходится абсолютно при |х| R.
(-R, R) ряд абсолютно сходится, а в точках х таких, что |х| > R, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.
имеет тот же радиус сходимости, что и ряд
можно найти по формуле
т. е. степенной ряд сходится абсолютно для всех х таких, что
и расходится при
По определению радиуса сходимости получаем, что
т. е.
(это имеет место, например, при
, либо отрезок
либо один из полуинтервалов
Если
то областью сходимости ряда будет вся числовая ось, т. е. интервал
Для отыскания области сходимости степенного ряда
в котором рад абсолютно сходится, затем — исследовать «сходимость рада в концах интервала сходимости — в точках
то будем иметь
При х = 1 получим числовой ряд
то для нахождения радиуса сходимости применим формулу (5):
то получим
Равномерная сходимость степенного ряда и непрерывность его суммы
Имеем
Дифференцирование степенных рядов
— радиус сходимости ряда
Ряд Тейлора
на интервале (-R, R), если на этом интервале указанный ряд сходится и его сумма равна f(х):
степенного ряда (1) формулой (2) определяются однозначно.
функция f(х) разлагается в степенной ряд
эта функция имеет производные всех порядков, которые находятся по обычным правилам
— многочлен степени Зn относительно
. В связи с этим возникает естественный вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция f(х) на интервале
чтобы ее можно было разложить в сходящийся к ней ряд Тейлора?
Условия разложимости функции в ряд Тейлора
(-R, R).
всех порядков. По теореме 5 (формула (2)) коэффициенты ряда (2) имеют вид
(-R, R).
для любого
Поскольку
Поскольку в квадратных скобках записана n-я частичная сумма ряда Тейлора, то формула (4) означает, что ряд Тейлора функции f(х) сходится на интервале (-R, R) и его суммой является функция f(х).
для всех
В самом деле, учитывая, что
будем иметь
Числовой ряд
Ряды Тейлора элементарных функций
разлагается в ряд Тейлора на любом интервале (-а, а) и, тем самым, на всей оси Ох. Так как
то получаем ряд
Тем самым, по теореме 8 функция sin а: разлагается в сходящийся к ней на интервале
ряд Тейлора. Так как
любое действительное число.
получаем:
(-1,1). Отсюда следует, что
(-1,1). Имеем
Имеем
получим
а ряд (15) сходится для
Оба ряда (14) и (15) будут сходиться одновременно для |x|
формулу (8), заменяя в ней
В результате для |-X2| =
получаем
не выражается через элементарные функции. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, пользуясь тем, что
законно. Равенство (17) сохраняется и при t = 0, если считать, что при t = 0 отношение
Тем самым, ряд (17) сходится при всех значениях t
Интегрируя его почленно, получим
также не является элементарной функцией. Для вычисления интеграла заменим в формуле
Получим
и является знакочередующимся при х > 0.
Степенные ряды основные определения и свойства с подробным объяснением и теорией
Функциональные ряды
, мы получим числовой ряд
называется точкой сходимости ряда (62.1); если же ряд расходится — точкой расходимости функционального ряда.
имеет место соотношение
а ряд с общим членом
сходится (обобщенный гармонический ряд,
см. п. 60.4), то по признаку сравнения ряд (62.2) сходится при
Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех
называются коэффициентами ряда (62.3),
— действительная переменная.
, т. е. ряд вида
— некоторое постоянное число.
Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степенными рядами вида (62.3).
Сходимость степенных рядов
).
Теорема Н.Абеля
то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству
сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости
Отсюда следует, что величина
ограничена, т. е. найдется такое число М > 0, что для всех п выполняется неравенство
тогда величина
и, следовательно,
есть точка сходимости степенного ряда, то интервал
весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд (62.3) расходится.
и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив
, интервал сходимости можно записать в виде (—R;R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. R > 0 — это такое число, что при всех х, для которых |х| R ряд расходится (см. рис. 259).
то считаем, что R = 0. Если же ряд (62.3) сходится при всех значениях
(т. е. во всех точках числовой оси), то считаем, что
т. е. ряд сходится при тех значениях х, для которых
Таким образом, для ряда (62.3) радиус абсолютной сходимости
то можно убедиться, что ряд (62.3) абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае
Если
, имеет вид
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.
который сходится по
это тоже сходящийся лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок [-1; 1].
Свойства степенных рядов
имеющие радиусы сходимости соответственно
, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел
.
Разложение функции в степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
и имеющей в ней производные до (п + 1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:
остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде
где
Формулу (64.1) кратко можно записать в виде
стремится к нулю при
то из формулы Тейлора получается разложение функции f(х) по степеням
, называемое рядом Тейлора:
, то получим разложение функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:
. Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции f(x); он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции f(x). Так, например, функция
при всяком п (см. пример 19.5). Ряд Маклорена имеет вид
т. е. чтобы
, т. е.
Так как п-я частичная сумма
ряда (64.2) совпадает с многочленом Тейлора
, т. е.
, находим:
Тогда
(Напомним, что
a
— сумма ряда Тейлора.)
Если сделать это не просто, то следует каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.
одним и тем же числом М > 0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(х) сходится к функции f(х), т. е. имеет место разложение (64.2).
Тогда имеем:
Для этого рассмотрим ряд
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
Если такой интервал существует, то в нем функция f(х) и сумма ряда Маклорена совпадают.
имеем
т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом
.
Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех
Следовательно, по теореме 64.2 имеет место разложение (64.5).
:
ряд сходится в интервале (—1; 1).
остаточный член
) стремится к нулю при
.
то все члены ряда с (п + 1)-го номера равны 0, так как содержат множитель
В этом случае ряд (64.7) представляет собой известную формулу бинома Ньютона:
как ряд геометрической прогрессии, первый член которой равен единице и знаменатель q = х; известно (см. пример 62.1), что данный ряд сходится при
и его сумма равна
и заменив х на -х, получим формулу (64.8).
Формула (64.9) также может быть доказана разными способами. Приведем один из них.
. Используя свойство 4 степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке
, получим равенство
и заменив
получим равенство
то, заменяя х на xln3 в разложении (64.4), получим:
в формуле (64.8), получим:
Некоторые приложения степенных рядов
заданной точностью
то точное значение
равно сумме этого ряда при
, т. е.
, т.е.
можно найти, оценив остаток
ряда.
берут величину остатка этого нового ряда.
Остается подобрать наименьшее натуральное число it, чтобы выполнялось неравенство
Поэтому имеем:
. В последнем примере
Так как
При п = 6 имеем:
Приближенное вычисление определенных интегралов
с точностью до
Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням х и интервал сходимости (-R; R) включит в себя отрезок [а; b], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.
с точностью до
в формуле (64.4):
, лежащем внутри интервала сходимости
, получим:
легко найти в виде степенного ряда, проинтегрировав равенство (65.1) в пределах от 0 до х:
Приближенное решение дифференциальных уравнений
Способ последовательного дифференцирования
находим третий коэффициент:
Значения
находим путем последовательного дифференцирования уравнения (65.2) по х и вычисления производных при
-Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в равенство (65.4). Ряд (65.4) представляет искомое частное решение уравнения (65.2) для тех значений х, при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения (65.2).
рассматривать как произвольные постоянные.
Находим у»(—1), подставив х = — 1 в исходное уравнение:
Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное уравнение:
Способ неопределенных коэффициентов
и свободный член f(х) разлагаются в ряды по степеням
, сходящиеся в некотором интервале
, искомое решение у = у(х) ищем в виде степенного ряда
определяются при помощи начальных условий
их разложениями. В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты. Построенный ряд (65.6) сходится в том же интервале
и служит решением уравнения (65.5).
Подставляем полученные ряды в дифференциальное уравнение: