что такое сравнение по модулю

Сравнение чисел по модулю

Определение 1. Если два числа 1 ) a и b при делении на p дают один и тот же остаток r, то такие числа называются равноостаточными или сравнимыми по модулю p.

Утверждение 1. Пусть p какое нибудь положительное число. Тогда всякое число a всегда и притом единственным способом может быть представлено в виде

1 ) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Действительно. Если s получит значение от −∞ до +∞, то числа sp представляют собой совокупность всех чисел, кратных p. Рассмотрим числа между sp и (s+1)p=sp+p. Так как p целое положительное число, то между sp и sp+p находятся числа

что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулючто такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю

Но эти числа можно получить задав r равным 0, 1, 2. p−1. Следовательно sp+r=a получит всевозможные целые значения.

Покажем, что это представление единственно. Предположим, что p можно представить двумя способами a=sp+r и a=s1p+r1. Тогда

что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю
что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю(2)

Число r называется вычетом числа a по модулю p (другими словами, число r называется остатком от деления числа a на p).

Утверждение 2. Если два числа a и b сравнимы по модулю p, то a−b делится на p.

Действительно. Если два числа a и b сравнимы по модулю p, то они при делении на p имеют один и тот же остаток p. Тогда

что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю

где s и s1 некоторые целые числа.

Разность этих чисел

что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю(3)

делится на p, т.к. правая часть уравнения (3) делится на p.

Утверждение 3. Если разность двух чисел делится на p, то эти числа сравнимы по модулю p.

Доказательство. Обозначим через r и r1 остатки от деления a и b на p. Тогда

что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю
что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю

По утверждению a−b делится на p. Следовательно rr1 тоже делится на p. Но т.к. r и r1 числа 0,1. p−1, то абсолютное значение |rr1| Свойство 1. Для любого a и p всегда

Действительно. Из условия свойства 2 следует a−b и b−c делятся на p. Тогда их сумма a−b+(b−c)=a−c также делится на p.

a≡b mod (p) и m≡n mod (p),
a+m≡b+n mod (p) и a−m≡b−n mod (p).

Действительно. Так как a−b и m−n делятся на p, то

также делятся на p.

Это свойство можно распространить на какое угодно число сравнений, имеющих один и тот же модуль.

a≡b mod (p) и m≡n mod (p),

Действительно.Так как a−b делится на p, то (a−b)m также делится на p, следовательно

Далее m−n делится на p, следовательно b(m−n)=bm−bn также делится на p, значит

Таким образом два числа am и bn сравнимы по модулю с одним и тем же числом bm, следовательно они сравнимы между собой (свойство 2).

где k некоторое неотрицательное целое число.

Действительно. Имеем a≡b mod (p). Из свойства 4 следует

a·a≡b·b mod (p).
a·a·a≡b·b·b mod (p).
.
a k ≡b k mod (p).

Все свойства 1-5 представить в следующем утверждении:

При делении все обстоит иначе. Из сравнения

не всегда следует сравнение

Утверждение 5. Пусть

Доказательство. Пусть λ наибольший общий делитель чисел m и p. Тогда

Так как m(a−b) делится на k, то

что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю

имеет нулевой остаток. Тогда

что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулючто такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю.
что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю

имеет нулевой остаток, т.е. m1(a−b) делится на k1. Но числа m1 и k1 числа взаимно простые. Следовательно a−b делится на k1=k/λ и, тогда, a≡b mod (p/λ).

Утверждение 6. Если

и m является один из делителей числа p, то

Действительно. a−b делится на p. p делится на m. Следовательно a−b делится на m.

Утверждение 7. Если

a≡b mod (p), a≡b mod (q), a≡b mod (s)

где h наименьшее общее кратное чисел p,q,s.

Действительно. Разность a≡b должна быть числом, кратным p,q,s. и, следовательно должна быть кратным h.

В частном случае, если модули p,q,s взаимно простые числа, то

Заметим, что можно допустить сравнения по отрицательным модулям, т.е. сравнение a≡b mod (p) означает и в этом случае, что разность a−b делится на p. Все свойства сравнений остаются в силе и для отрицательных модулей.

Источник

Конспект «теория сравнения по модулю»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Семлевская средняя общеобразовательная школа №1

Вяземского района Смоленской области

Научно-исследовательская работа по теме
«Теория сравнения по модулю»

Подготовила
ученица 9 класса: Попова Анастасия

Преподаватель: Перцева С.М.

Понятие модуля числа известно каждому, а вот что означает понятие сравнение по модулю, знают далеко не все. Тема моей работы «Теория сравнения по модулю». Я обратилась к этой теме, так как она недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, а задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах, так и на вступительных экзаменах в вузы.

1) Изучить краткий исторический обзор возникновения теории;

2) Дать определение сравнения по модулю;

3) Изучить свойства сравнения по модулю;

4) Рассмотреть операции со сравнениями;

5) Применить знания для решения практических заданий.

1)Теоретический анализ и обобщение научной литературы;
2)Математический расчет;

Если два целых числа что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулюи что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулюпри делении на что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулюдают одинаковые остатки, то они называются сравнимыми по модулю числа что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю.

Сравнимость чисел что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулюи что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулюзаписывается в виде формулы ( сравнения ):

что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю

Число что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулюназывается модулем сравнения.

Определение сравнимости чисел что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулюи что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулюпо модулю что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулюравносильно любому из следующих утверждений:

Разность чисел что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулюи что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулюделится на что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулюбез остатка; что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю

Число что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулюможет быть представлено в виде что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю, где что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю— некоторое целое число.

Например : 32 и −10 сравнимы по модулю 7, так как оба числа при делении на 7 дают остаток 4:

что такое сравнение по модулю. Смотреть фото что такое сравнение по модулю. Смотреть картинку что такое сравнение по модулю. Картинка про что такое сравнение по модулю. Фото что такое сравнение по модулю

Также, 32 и −10 сравнимы по модулю 7, так как их разность 42 делится на 7, и к тому же имеет место представление:

Источник

Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю

Содержание

Сравнения по модулю [ править ]

Будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на данное целое число m, которое назовем модулем. Каждому целому числу отвечает определенный остаток от деления его на m. Если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток r, то они называются сравнимыми по модулю m.

Сравнимость для a и b записывается так :
[math]a \equiv b(mod \text < >m)[/math]

Сравнимость чисел a и b по модулю m равносильна:

Арифметика сравнений [ править ]

Свойства сравнений [ править ]

Полная и приведенная система вычетов [ править ]

Числа равноостаточные(сравнимые по модулю m) образуют класс чисел по модулю m. Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме [math]mt + r [/math] заставим t пробегать все целые числа. Таким образом для каждого значения остатка имеется свой класс чисел.

Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по этому модулю.

Согласно 10 свойству сравнений, числа одного класса по модулю m имеют одинаковый НОД. Особенно важны классы, содержащие числа, взаимно простые с модулем. Взяв вычет от каждого такого класса, получим приведенную систему вычетов по модулю m.

Решение линейных систем по модулю [ править ]

Примеры решения [ править ]

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *