что такое спираль архимеда

Что такое спираль архимеда

Стороны квадратов в «золотом прямоугольнике» равны соответственно числам Фибоначчи 1 1 2 3

Стороны квадратов в «золотом треугольнике» равны соответственно числам Фибоначчи 1 1 2 3 5 8 13

Леонардо Пизанский (Leonardo Pisano), Фибоначчи (Fibonacci) — итальянский математик (1180-1240). Родился в Пизе. Он долгое время жил на Востоке, где познакомился с математикой арабов. Достижения арабских математиков Фибоначчи продвигал в Западную Европу:

· В 1202 г. Леонардо написал труд под названием «Книга абака» (Liber Abaci). «Книга абака» стала первой математической энциклопедией средневековья, сыгравшей существенную роль в развитии математики в Европе.

· Самым главным трудом Леонардо считается Liber Abaci (1202).
В «Книге абака» Леонардо сформулировал задачу о кроликах:

«Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару? «

· В 1220 г. Фибоначчи издал сочинение: «Практика геометрии» (Practica geometria).

Фибоначчи решил множество сложных математических и практических проблем, опередив на столетия развитие науки. Е го идеи легли в основу огромного множества исследований, которыми занимается современная математическая наука.

Фибоначчи занимался проблемами торговли и решал практические задачи, например: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказал, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16.

Источник

Как построить параметризированную геометрию спирали Архимеда

Спирали Архимеда широко используются при построении геометрий для катушек индуктивности, спиральных теплообменников и микрогидродинамических устройств. В этой заметке мы покажем, как построить спираль Архимеда, используя аналитические выражения и их производные для задания необходимых кривых. Сначала мы создадим двухмерную геометрию, а затем, задав нужную толщину, преобразуем её в трёхмерную с помощью операции Extrude (Вытягивание).

Что такое спираль Архимеда?

Широко распространённые в природе спирали или завитки используются во многих инженерных конструкциях. Например, в электротехнике и электронике с помощью проводников спиралевидной формы наматывают катушки индуктивности или проектируют геликоидные антенны. В машиностроении спирали используются при проектировании пружин, косозубых цилиндрических передач или даже механизмов часов, один из которых изображён ниже.

Пример спирали Архимеда, которая используется в часовом механизме. Изображение представлено Greubel Forsey. Доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 из Wikimedia Commons.

В данной статье мы разберём только один вид спирали, а именно, спираль Архимеда, которая изображена в механизме выше. Спираль Архимеда – это особый вид спирали с постоянным расстоянием между витками. Благодаря этому свойству она широко распространена при проектировании катушек и пружин.

Уравнение спирали Архимеда в полярной системе координат записывается, как:

Задание параметризированной геометрии спирали Архимеда

Теперь, когда вы уже знаете, что такое спираль Архимеда, давайте приступим к параметризации и созданию геометрии в COMSOL Multiphysics.

Спираль Архимеда может быть задана как в полярных, так и в декартовых координатах.

Для начала необходимо преобразовать уравнение спирали из полярной системы координат в декартову и выразить каждое уравнение в параметрической форме:

После преобразования уравнения спирали в параметрической форме в декартовой системе координат примут вид:

Параметры, которые используются для построения геометрии спирали.

Начнём наше построение, выбрав трёхмерную задачу (3D Component) и создадим Work Plane (Рабочую плоскость) в разделе Geometry (Геометрия). В геометрии для Work Plane добавляем Parametric Curve (Параметрическую кривую) и записываем параметрические уравнения, описанные выше, чтобы задать двухмерную геометрию спирали Архимеда. Данные уравнения можно сразу вписать в соответствующие поля во вкладке Expression либо сначала можно задать каждое уравнение отдельной Аналитической функцией (Analytic function):

Выражение для X-компоненты уравнения спирали Архимеда, заданное аналитической функцией.

Настройки для Parametric Curve (Параметрической кривой).

Как только вы зададите все параметры и нажмёте на кнопку «Build Selected», будет построена кривая, изображённая на скриншоте выше. Теперь давайте зададим толщину спирали, чтобы получить твёрдотельную (solid) двухмерную фигуру.

Расстояние между витками определяется толщиной спирали и величиной зазора.

Чтобы ввести параметр толщины и сохранить постоянное расстояние между витками, последнее перепишем, как:

После этого выражаем показатель роста спирали через толщину:

Также нужно выразить конечный угол спирали через начальный угол и конечный радиус:

где s — это параметр, используемый в узле Parametric Curve. Чтобы получить нормированные единичные вектора, необходимо эти выражения разделить на длину нормали:

Обновленные параметрические уравнения спирали Архимеда со смещением:

Записывать такие длинные выражения довольно неудобно, поэтому введём следующие обозначения:

Примеры оператора производной, который используется в аналитической функции

Выражения для второй смещённой параметрической кривой.

Уравнения кривой на конце:

Уравнения кривой, соединяющей спираль в центре.

В итоге, мы имеем пять кривых, которые определяют осевую линию спирали и её четыре стороны. Осевую линию можно отключить (функция disable) или даже удалить, так как она не является необходимой. Добавив узел Convert to Solid, создаём единый геометрический объект. Последним шагом является вытягивание данного профиля с помощью операции Extrude и создание трёхмерного объекта.

Полная геометрическая последовательность и вытянутая (экструдированная) трёхмерная геометрия спирали.

Краткие выводы по моделированию спирали Архимеда в COMSOL Multiphysics

В данной заметке мы разобрали основные шаги по созданию параметрической спирали Архимеда. С помощью данной модели вы можете сами экспериментировать с различными значениями параметров, а также попробовать решить с использованием данной параметризации оптимизационную задачу. Надеемся, что данная статья оказалась полезной и вы будете применять данную технику в своих последующих моделях.

Источник

Математика, которая мне нравится

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Архимедова спираль

История спирали Архимеда

Архимедова спираль была открыта (правильно, Вы угадали!) Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.

Использование архимедовой спирали в древности

Архимедову спираль использовали как наилучший способ определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и площади круга. Однако вскоре, когда Архимед попытался вычислить более точно значение , которое упрощало нахождение площади круга, было доказано, что спираль для этого не подходит.

Что такое обобщенная Архимедова спираль?

Обобщенная Архимедова спираль определяется как кривая, которая задается в полярных координатах уравнением (далее положим ). Спираль Архимеда, в частности, принадлежит множеству обобщенных Архимедовых спиралей.

Lituus – загнутый авгурский посох, жезл.

Общий вид в полярных координатах:

Спираль Архимеда:

Гиперболическая спираль:

Спираль Ферма:

Литуус:

Параметризация спирали Архимеда

Начнем с уравнения спирали .

Воспользуемся теоремой Пифагора

– радиус окружности).

Также нам понадобятся формулы

Возведем уравнение спирали в квадрат:

Теперь аналогично выразим :

Источник

В Архимедова спираль (также известный как арифметическая спираль) это спираль назван в честь III века до нашей эры Греческий математик Архимед. Это локус точек, соответствующих местоположениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловая скорость. Эквивалентно в полярные координаты (р, θ) его можно описать уравнением

Таким образом, из приведенного выше уравнения можно утверждать: положение частицы от начальной точки пропорционально углу θ по прошествии времени.

Архимед описал такую ​​спираль в своей книге. На спиралях. Конон Самосский был его другом и Паппус заявляет, что эта спираль была открыта Кононом. [1]

Содержание

Вывод общего уравнения спирали.

А физический подход используется ниже для понимания понятия спиралей Архимеда.

Приведенные выше уравнения можно интегрировать, применяя интеграция по частям, что приводит к следующим параметрическим уравнениям:

Возведение двух уравнений в квадрат с последующим сложением (и некоторыми небольшими изменениями) приводит к декартову уравнению

(используя тот факт, что ωt = θ и θ = arctan у / Икс ) или же

Его полярная форма

Характеристики

Архимедова спираль обладает тем свойством, что любой луч из начала координат пересекает последовательные повороты спирали в точках с постоянным разделительным расстоянием (равным 2πb если θ измеряется в радианы), отсюда и название «арифметическая спираль». В отличие от этого, в логарифмическая спираль эти расстояния, а также расстояния до точек пересечения, измеренные от начала координат, образуют геометрическая прогрессия.

Для больших θ точка движется с хорошо приближенным равномерным ускорением по спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью [2] (см. вклад Михаила Гайченкова).

Общая архимедова спираль

Иногда термин Архимедова спираль используется для более общей группы спиралей

Приложения

Один метод квадрат круга, согласно Архимеду, использует спираль Архимеда. Архимед также показал, как можно использовать спираль для разрезать угол. Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах. [3]

Код для создания спирали Архимеда

Следующее р код создает первый график выше.

Источник

Что такое спираль архимеда

Наука. Величайшие теории: выпуск 7: Эврика! Радость открытия.

Архимед. Закон Архимеда.

Пер. с итал. — М.: Де Агостини, 2015. — 160 с.

© Eugenio Manuel Fernandez Aguilar, 2012 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2012 © ООО «Де Агостини», 2014-2015

Наука. Величайшие теории Выпуск № 7, 2015 Еженедельное издание

© Eugenio Manuel Fernandez Aguilar, 2012 (текст)

Моей сестре Джеки, потому что своими гелиоскопами и «эврикой» она всегда рада поделиться со всеми, ничего не прося взамен.

Международный математический союз учредил медаль Филдса, которая раз в четыре года вручается одному или нескольким (вплоть до шести) математикам, так или иначе отличившимся в своей научной области. Данная награда представляет собой высшую почесть, которой может удостоиться математик, потому что для этой науки Нобелевской премии не предусмотрено. На одной из сторон медали выбита строка римского поэта Марка Манилия, она обрамляет рельефный портрет Архимеда: Transire suum pectus mundoque potiri («Превзойти человеческую природу и покорить Вселенную»).

Математик, физик, инженер и астроном — такие определения обычно встречаются во множестве текстов об Архимеде из Сиракуз, человеке, посвятившем свою жизнь науке и оставившем в ней неизгладимый след на более чем две тысячи лет. Познакомиться с личностью Архимеда можно лишь совершив путешествие по его научным трудам, так как, по счастью, до нас дошли многие из его трактатов, чего нельзя сказать о деталях его биографии. Все, что сохранилось до наших дней, — это огромное количество книг по математике, содержащих в себе исследования по геометрии, арифметике и алгебре; среди них, например, удивительно точное вычисление величины, которая ныне называется числом пи. Ученый был почти полным современником Евклида — великого математика, чей главный труд «Начала» посвящен систематическому построению геометрии. Трактаты Архимеда поражают исключительной строгостью и весомостью, которых не удалось превзойти за последующие века, а также изящностью построений, делающей их приятным и гармоничным чтением. Можно даже сказать, что с академической точки зрения речь идет о фундаментальных текстах. Архимед занимался шарами, квадратами, параболами, параболоидами и огромным количеством других геометрических фигур. Но он не только исследовал то, что было известно в его время, но и вводил в математику новые геометрические фигуры, такие как спираль и разные трехмерные фигуры, носящие его имя. Вклад греческого математика в геометрию всем известен, но для большинства людей остается незамеченным другой неоспоримый факт: Архимед одним из первых начал использовать вычисления бесконечно малых величин, сделав таким образом первый шаг к интегральному исчислению. Очень жаль, но его идеи на данную тему не нашли сколько-нибудь серьезного отклика в научном сообществе из-за своей сложности, и вплоть до Нового времени им не придавали особого значения. Как бы то ни было, наследие Архимеда в этой области могло бы стать частью вводного курса математики университетского уровня.

Он был человеком с широкими связями как в политических, так и в научных кругах. Дошедшие до нас источники подтверждают, что ученый вел оживленную переписку с Эратосфеном Киренским, который упоминается в книгах по истории науки как человек, первым измеривший радиус Земли (причем измерение он выполнил с необыкновенной точностью). И с ним, и с другими учеными своего времени Архимед часто обменивался письмами. Его сохранившиеся трактаты начинаются с личного письма, представляющего собой вместе с тем предисловие к самой научной работе. Известно и о тесных связях Архимеда с Гиероном II, царем Сиракуз и, кроме того, его родственником. Это Гиерон II подвиг Архимеда к постройке множества механизмов, многие из которых были военными машинами. Как раз благодаря его дружбе с царем известны некоторые детали биографии ученого. Например, мы знаем со слов Архимеда о том, что его отец Фидий был астрономом, и это, вероятно, повлияло на его образование.

Исторический момент, на который пришлась жизнь сиракузского мудреца, был непростым: речь идет об эпохе Пунических войн. Сиракузы занимали стратегическое положение между римлянами и карфагенянами, что стало актуальным, когда между этими двумя могущественными державами вспыхнула война. Эпоха, в которой выпало жить ученому, оказала влияние на круг его научных и технических изысканий. Несомненно, рассказ об обороне Сиракуз не может обойтись без описания вклада в нее Архимеда. Именно из-за этого вклада его часто представляют как великого инженера, настолько успешно построившего защиту города, что благодаря его изобретениям Сиракузы два года выдерживали римскую осаду.

Эту книгу мы начнем с биографии Архимеда (хотя, к сожалению, о его жизни известно не так много), включив ее, как было упомянуто выше, в общий социальный и исторический контекст. Мы рассмотрим некоторые наиболее достоверные источники, рассказывающие о его жизни, чтобы, насколько возможно, познакомиться поближе с великим математиком. В первой главе будет представлен список его сочинений, и мы остановимся на наиболее важных из них. Они достаточно просты в чтении для каждого, кто знаком с математическими и, особенно, геометрическими текстами.

Во второй главе нас ждут темы, связанные с физикой. Прежде всего, мы займемся знаменитым законом Архимеда и обратимся к рассказу о короне царя Гиерона II, а также популярнейшему возгласу «Эврика!», который издал Архимед после принятия, вероятно, самой известной в истории науки ванны. Затем мы не сможем обойти вниманием закон рычага. Мы разберем математический аппарат, который разработал в данной области Архимед. И наконец, в той же второй главе мы расскажем о его труде в области измерения Вселенной, где излагается, помимо прочего, интересный способ выражения больших чисел.

Третья глава посвящена основным математическим достижениям сиракузского мудреца, в ней мы рассмотрим главным образом ряд математических рассуждений, простых для понимания и призванных пояснить выкладки самого Архимеда современным языком. В той же главе нас ждет удивительное путешествие к истокам дифференциального исчисления. Оно начнется с анализа методов, использованных Архимедом. Мы рассмотрим различные фигуры, связанные с геометрией (окружности, параболы, спирали и тому подобное), а также покажем метод, с помощью которого Архимед приблизился к идее пределов, что интересно с математической точки зрения; разберем «Задачу о быках», написанную в поэтической форме и посвященную разным способам подсчета поголовья скота. Еще мы исследуем свойства особых геометрических фигур — «сапожного ножа» и «солонки».

В четвертой и последней главе мы обсудим некоторые изобретения, приписываемые герою нашей книги. Чтобы сделать чтение более увлекательным, они будут рассматриваться не столько в техническом аспекте, сколько с точки зрения их пользы, а также проблемы авторства нашего персонажа. Мы поговорим о винте Архимеда, о гигантском корабле, носившем имя «Сиракузия», о зажигательных зеркалах, о катапультах.

Источник