что такое скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые

Урок 7. Геометрия 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Скрещивающиеся прямые»

· дадим определение скрещивающихся прямых;

· рассмотрим возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве;

· докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых

· докажем теорему о том, что через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.

Для начала давайте вспомним определение параллельных прямых в пространстве. Итак, две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Давайте рассмотрим все тот же наш любимый куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

Понятно, что прямые, на которых лежат его ребра AB и DC параллельны, ведь они лежат в одной плоскости, например, ABC и не пересекаются.

Проведем диагонали AB₁A₁B грани AA₁B₁B. Видно, что прямые на которых лежат указанные диагонали расположены в одной плоскости AA₁B₁ и пересекаются.

Теперь давайте проведем диагональ куба B₁D. И попытаемся разобраться о взаимном расположении прямых, на которых лежат диагональ B₁D и ребро AA₁. Обратите внимание, что нет такой плоскости, которая проходила бы через обе эти прямые. Значит, параллельными они быть не могут, по определению параллельности прямых в пространстве. Пересекаться также не могут, так как не лежат в одной плоскости.

Для такого случая расположения прямых также есть название. Такие прямые называют скрещивающимися.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

На экране изображены скрещивающиеся прямые а и b. Их обозначают следующим образом .

Итак, возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

1. прямые пересекаются, т.е. имеют одну только общую точку.

2. прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости, не параллельны и не пересекаются.

Наглядным примером о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой.

Линии электропередач и река. Они также дают нам представление о скрещивающихся прямых.

Докажем теорему, которая позволяет выяснить, являются ли две прямые скрещивающимися. Эту теорему называют признаком скрещивающихся прямых.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство. Пусть прямая а лежит в плоскости α, а прямая b пересекает эту плоскость в точке М, не лежащей на прямой а. Докажем, что прямые а и b скрещиваются, т.е. не существует плоскость, в которой они обе лежат.

Предположим, что прямые а и b лежат в некоторой плоскости β. Тогда плоскость β проходит через прямую а и точку М, а следовательно, совпадает с плоскостью α (так как через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость).

Получили, что прямая b лежит в плоскости α, а это противоречит условию теоремы.

Таким образом, наше предположение неверно, а значит, прямые а и b – скрещивающиеся.

Рассмотрим пример. Пусть ABCA₁B₁C₁ – прямая треугольная призма.

Тогда прямые AB₁ и BC – скрещивающиеся, так как прямая AB₁ пересекает плоскость ABC в точке А, не лежащей на прямой BC.

Задача. Точки и лежат на ребре , а точки и на ребре тетраэдра . Докажите, что прямые и – скрещивающиеся.

Доказательство. Прямая ТК пересекает плоскость ABC в точке C, не лежащей на прямой ОЕ, следовательно, прямые ТК и ОЕ скрещивающиеся. Значит, точки Т, К, Е и О не лежат в одной плоскости. Обратите внимание, прямая ТО лежит в плоскости ТОC. КЕ пересекает плоскость ТОC в точке К. Точка К не принадлежит прямой ТО. Отсюда следует, что прямые ТО и КЕ не лежат в одной плоскости, т.е. по признаку скрещивающихся прямых они являются скрещивающимися. Что и требовалось доказать.

Докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство. Пусть а и b скрещивающиеся прямые. Докажем, что через прямую b проходит плоскость, параллельная прямой а. Через какую-либо точку М прямой b проведем прямую c, параллельную прямой а.

Пусть α– плоскость, проходящая через прямые b и c. Так как прямая а не лежит в плоскости α и параллельна прямой c, лежащей в этой плоскости, то прямая а параллельна плоскости α.

Понятно, что плоскость α – единственная плоскость, проходящая через прямую b и параллельная прямой а. Действительно, любая другая плоскость, проходящая через прямую b, пересекается с прямой c, а следовательно, пересекается и с параллельной ей прямой а. Теорема доказана.

Наглядным примером этой теоремы служат две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой. Нижняя дорога лежит в плоскости земли, параллельной дороге на эстакаде. Ясно, что и через дорогу на эстакаде проходит плоскость, параллельная плоскости земли, а значит, параллельная нижней дороге.

Задача. Точки и – центры граней куба. Докажите, что прямые и скрещиваются

Что и требовалось доказать.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы дали определение скрещивающихся прямых. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Рассмотрели три возможных случая взаимного расположения двух прямых в пространстве. Доказали теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых. А также доказали теорему о том, что через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.

Источник

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые – прямые, которые невозможно поместить в одну плоскость, то есть они не параллельны и не пересекаются.

Признак скрещивающихся прямых

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Через две скрещивающиеся прямые можно провести две параллельные плоскости (единственным образом).

Расстояние между скрещивающимися прямыми – есть расстояние между этими плоскостями.

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок, перпендикулярный каждой из двух скрещивающихся прямых, концы которого лежат на этих прямых.

Длина общего перпендикуляра равна расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Угол между скрещивающимися прямыми

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

(Одну из прямых можно вполне и не переносить параллельно самой себе, а ограничиться только параллельным переносом одной из прямых до пересечения со второй).

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые — вариант расположения двух прямых в трёхмерном евклидовом пространстве.

Содержание

Определение и примеры

Две прямые в трёхмерном евклидовом пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, их содержащей. Иначе говоря, две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.

Пример скрещивающихся прямых — транспортная развязка, здесь верхняя дорога — это одна прямая, а идущая под ней дорога — скрещивающаяся с первой вторая прямая, высота опоры моста примерно равна расстоянию между этими двумя прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые заданы векторными параметрическими уравнениями:

Тогда расстояние между ними можно определить, используя операции смешанное произведение и векторное произведение [1] :228 :

Галерея

Пример двух скрещивающихся прямых

См. также

Примечания

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Скрещивающиеся прямые» в других словарях:

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ — прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости … Большой Энциклопедический словарь

скрещивающиеся прямые — прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости. * * * СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ, прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости … Энциклопедический словарь

Скрещивающиеся прямые — прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости. Через С. п. можно провести параллельные плоскости, расстояние между которыми называется расстоянием между С. п. Оно равно кратчайшему расстоянию между точками С. п … Большая советская энциклопедия

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ — прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости. Углом между С. п. наз. любой из углов между двумя параллельными им прямыми, проходящими через произвольную точку пространства. Если а и b направляющие векторы С. п., то косинус угла между С. п … Математическая энциклопедия

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ — прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости … Естествознание. Энциклопедический словарь

Параллельные прямые — Содержание 1 В Евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского … Википедия

Ультрапаралельные прямые — Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского 3 См. также … Википедия

РИМАНА ГЕОМЕТРИЯ — э л л и п т и ч е с к а я г е о м е т р и я, одна из неевклидовых геометрий, т. е. геометрич, теория, основанная на аксиомах, требования к рых отличны от требований аксиом евклидовой геометрии. В отличие от евклидовой геометрии в Р. г.… … Математическая энциклопедия

Накрест лежащие — Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского 3 См. также … Википедия

Параллель (геометрия) — Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского 3 См. также … Википедия

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Открытый электронный ресурс:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)

Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые

На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.

Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.

Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:

Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой

Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен

Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Доказательство.
Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).

Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD

Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:

Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.(рис. 3)

1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB.
2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α
3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.
Теорема доказана.

Рисунок 3 – прямые АВ, СD, DЕ

Любая прямая, например ОО₁, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О₁А₁ параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О₁А₁ и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рис. 4)

Рисунок 4 – сонаправленные лучи

Теорема.Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны. (рис. 5)

Доказательство:

при доказательстве ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.

На соответствующих сторонах угла O₁ отложим отрезки OA₁ и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB.

2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA₁O₁.

Так как противолежащие стороны OA и O₁A₁ этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник– параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA₁ и OO₁.

3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB₁O₁ параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ₁ и OO₁.

4. Если две отрезка AA₁ и BB₁ равны параллельны третьему отрезку OO₁, значит, они равны и параллельны, т. е. АА₁||BB₁ и AA₁ = BB₁.

По определению четырехугольник АВВ₁А₁ – параллелограмм и из этого получаем АВ=А₁В₁.

5.Из выше построенного и доказанного АВ=А₁В₁, ОA =O₁A₁ и OB =O₁B₁ следует, что треугольники AOB и A₁ O₁ B₁. равны по трем сторонам, и поэтому О= О₁.

Рисунок 5 – равные углы с сонаправленными сторонами

Источник

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Стереометрия:

Контакты

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающимися прямыми называются прямые, не лежащие в одной плоскости.

Свойство скрещивающихся прямых. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Угол между скрещивающимися прямыми – угол между прямыми, параллельными скрещивающимся и проходящими через произвольную точку пространства.

Признак скрещивающихся прямых:

Если одна из двух данных прямых лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые являются скрещивающимися. См.Рис.1.

Расстояние между скрещивающимися прямыми:

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между параллельными плоскостями, содержащими данные скрещивающиеся прямые. См.Рис.2.

Для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, надо:

Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр. См.Рис.3.

Длина общего перпендикуляра d равна расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимися прямым.

Источник