что такое система сходящихся сил и равнодействующая сходящихся сил

5 Система сходящихся сил. Способы нахождения равнодействующей системы сходящихся сил

§ 3. Система сходящихся сил. Способы нахождения равнодействующей системы сходящихся сил

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точ­ке, называется системой сходящихся сил.

Система сходящихся сил либо приводится к равнодействующей, либо находится в равновесии.

Теорема. Равнодействующая системы сходящихся сил равна век­торной сумме этих сил.

Изложенный способ определения равнодействующей является геометрическим. Однако равнодействующую силу R можно определить и аналитически, по проекциям на неподвижные оси декартовой системы координат, выбрав за начало координат точку О пересечения линий действия системы сходящихся сил.

Равновесие системы сходящихся сил.

Рекомендуемые файлы

Условия равновесия системы сходящихся сил

Если система сходящихся сил находится в равновесии, механи­ческим условием равновесия является равенство нулю равнодейст­вующей силы. Получим

Так как векторная сумма сил равна нулю, то многоугольник сил является замкнутым (начало первого вектора силы и конец по­следнего совпадают).

Таким образом, при равновесии системы сходящихся сил много­угольник сил является замкнутым (условие равновесия в геометри­ческой или графической форме).

В аналитической форме условия равновесия системы сходящихся сил заключаются в следующем.

Если пространственная система сходящихся сил находится в рав­новесии, то алгебраическая сумма проекций этих сил на каждую из трех координатных осей должна равняться нулю (на две оси, если система сходящихся сил расположена на плоскости).

Поскольку в случае равновесия указанной системы сил их рав­нодействующая равна нулю (R = 0), то равны нулю и ее проекции на оси координат, т. е. R_х = 0, R_у = 0, R_г = 0. На основании (1.10) получим

Для плоской сходящейся системы сил имеем

Условия (1.13) и (1.14) в аналитической форме называются также уравнениями равновесия. Для статической определенности задачи число неизвестных не должно превышать числа уравнений равно­весия.

Момент силы относительно точки и оси. Главный вектор и главный момент. Пара сил. Момент силы относительно точки

Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на силу. Итак, по определению (рис. 12),

Обозначая длину перпендикуляра, опущенного из центра момента на линию действия силы, через h (величину h в дальнейшем будем называть плечом), можно модуль вектора Мо (F) представить в виде произведения Fh, т. е.

Таким образом, момент силы относительно точки — это вектор, направленный перпендикулярно к плоскости, содержащей силу и точку, в ту часть пространства,.

Для аналитического определения момента силы относительно точки выберем произвольную систему координат О_xyz с началом в точке О (рис. 13) и обозначим проекции радиуса-вектора г и силы F на координатные оси О_x, О_Y, О_z, соответственно через х, у, z и X, У, Z. Заметим, что проекции х, у, z радиуса-вектора г точки прило­жения силы одновременно означают координаты этой точки. Тогда, спроектировав обе части векторного равенства (1.15) на оси координат, получим выражение момента силы относительно точки в анали­тической форме в виде трех его проекций на координатные оси:

,

.

Теорема о моменте равнодействующей системы

сходящихся сил (теорема Вариньона)

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется проекция на ату ось момента силы относительно произвольной точки на оси. Момент силы F относительно оси Оz обозначается через М_z (F). Таким обра­зом,

М

Момент силы относительно оси, как будет показано в динамике, является физической величиной, характеризующей вращательное движение твердого тела.

Согласно определению, моменты силы относительно координат­ных осей выражаются величинами (1.18), т. е. соответственно равны проекциям

Укажем практический способ определения момента силы относи­тельно оси.

Главный вектор и главный момент системы сил

R=

Таким образом, главный вектор системы сил можно определить геометрически с помощью многоугольника сил.

Аналитически главный вектор определяется тремя своими проекциями на координатные оси;

R

R

R

M

Таким образом, главный момент системы сил относительно точки можно определить геометрически с помощью многоугольника момен­тов этих сил относительно данной точки.

Аналитически главный момент относительно точки определяется тремя своими проекциями на координатные оси:

M

M

M

; ;

Заметим, что понятия главного вектора и равнодействующей системы сил не тождественны. Как мы увидим в следующей главе, не всякая система сил имеет равнодействующую. Если же система сил и приводится к равнодействующей, то последняя, хотя геометрически и равна главному вектору, но имеет вполне определенную линию действия, в то время как главный вектор (также и главный момент) является свободным вектором.

В лекции «3. Архитектура операционной системы» также много полезной информации.

Парой сил называется система двух параллельных сил, равных по величине, направленных в противоположные стороны и приложенных к твердому телу.

Пара сил может быть ориентирована положи­тельно (против часовой стрелки в правой системе координат) и отрицательно (по часовой стрелке в левой системе координат). Очевидно, что с переходом от правой системы координат к левой ориентация пары сил изменяется на противоположную. Кратчайшее рас­стояние Н между линиями действия сил пары называется ее плечом.

Главный вектор пары сил равен нулю. Пусть силы F и —F пары приложены соответственно в точках А и В. Определим главный мо­мент пары сил относительно какой-либо точки О. Главный момент пары сил не зависит от выбора центра момен­тов; он обозначается М и называется моментом пары сил:

Итак, момент пары сил — это свободный вектор, по модулю равный М = Fh и направленный перпендикулярно плоскости ее действия так, чтобы с вершины этого вектора пара сил была ориентирована положительно.

Источник

Теоретическая механика

4. Система сходящихся сил

Условие равновесия сходящейся системы сил

Пусть на тело действует сходящаяся система сил (рис. С14).

На основании следствия из аксиомы №2 перенесем все силы в точку пересечения линий действия сил О.

Уравнение (С.1) является уравнением равновесия сходящейся системы сил в векторной форме.

Запишем условие равновесия в координатной форме. Для этого разложим все действующие силы по осям координат

Тогда в соответствие с уравнением (С.1) можно записать

Из формулы (С.4) следует, что вектор равен нулю, значит и проекции вектора на оси координат тоже равны нулю

Система уравнений (С.5) является координатной формой записи условия равновесия сходящейся системы сил.

Груз в виде шара подвешен на нити, как указано на рис.С.16.

Источник

Плоская система сходящихся сил

Содержание:

Плоская система сходящихся сил – это система сил линии действия которых сходятся в одной точке, называются сходящимися.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Если все силы, приложенные к телу, расположенные в одной плоскости и линии их действия пересекаются в одной точке, то такая система сил носит название плоской системы сходящихся сил.

Покажем на рис. 1.6 произвольное тело, к которому приложена плоская системы сходящихся сил , , . . При этом линии действия всех сил пересекаются в точке A.

Определение равнодействующей системы сходящихся сил

Геометрический способ сложения сил:

Добавить систему сил означает определить их равнодействующую. Попробуем найти равнодействующую для плоской системы сходящихся сил, которая изображена на
рис. 1.6. Возьмем (условно) две первые силы и и на основании III аксиомы
статики найдем их равнодействующую , для чего на силах и , как на
сторонах, построим свой параллелограмм, диагональ которого, которая приложена в
точке A, и является их равнодействующей . Далее геометрически добавим две следующие силы и , и уже на этих силах как на сторонах построим свой
параллелограмм, диагональ которого будет второй равнодействующей . Так же дальше продолжаем до последней силы . Когда построено последний параллелограмм и проведена последняя диагональ, то она и будет равнодействующей системы сходящихся сил, которая показана на рис. 1.6

Если внимательно присмотреться к геометрическому построению параллелограммов, то можно увидеть, что к концу вектора силы был присоединен вектор силы (то есть в конец вектора перенесено параллельно вектор ) и так далее до последней силы .

Таким образом, геометрический способ добавления сходящихся сил сводится к построению силового многоугольника. Он строится путем параллельного переноса векторов сил в масштабе, когда начало следующей силы совпадает с концом предыдущей силы. Тогда вектор равнодействующей соединяет начало первой силы с концом последней силы. Это можно записать так:

Величина равнодействующей силы не изменится, если будет изменен порядок
присоединения (добавление) сил до многоугольника, но конфигурация силового
многоугольника будет другой.

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил в геометрической форме

Если к свободному материальному телу приложена одна сила, то о равновесии этого тела речи не может быть. Таким образом, если рассматривать плоскую систему сходящихся сил, которая сведена к равнодействующей, то тело не может быть в равновесии.

Для равновесия тела под действием плоской системы сходящихся сил необходимо и
достаточно, чтобы равнодействующая всех сил была равна нулю.

Равнодействующая такой системы сил будет равна нулю, когда силовой многоугольник будет замкнутым, то есть когда начало вектора первой силы будет совпадать с концом вектора последней силы.

Теорема о равновесии тела под действием трех не параллельных сил

Если тело под действием системы трех плоских не параллельных сил находится в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Представим тело (рис. 1.7), к которому в точках А, B, C приложены силы
, , , векторы которых расположены в одной плоскости. Рассмотрим сначала две силы и . На основании следствия из I и II аксиом статики указанные силы всегда можно перенести по линии их действия в одну точку, например, в точку О.

Далее, если есть в точке О две приложенные силы, то на основании III аксиомы статики их можно заменить одной силой, то есть равнодействующей . Построим на рис. 1.7 на указанных векторах сил и параллелограмм и покажем равнодействующую .Теперь тело находится под действием только двух сил и и оно будет в равновесии только тогда, когда векторы этих сил расположены на одной прямой, то есть на прямой CO. Тогда и вектор силы пересекает точку О. Теорема доказана.

Проекция силы на ось и на плоскость

Представим силу , вектор который произвольно расположен в плоскости чертежа (рис. 1.8). Выберем в этой плоскости ось, например, ось x. Необходимо спроектировать указанную силу на эту ось x.

Обозначим сначала конце вектора силы буквами А и В и опустим из них на ось x перпендикуляры. Точки пересечения перпендикуляров с осью x (обозначим их соответствующими строчными буквами а и в) образовали на оси x направленный отрезок, который и будет проекцией силы на ось x. По величине этот отрезок равен произведению модуля силы || на косинус угла, под которым вектор силы пересекает ось. А именно:

По знаку проекция силы на ось тогда будет положительная, когда угол α (угол пересечения направления вектора силы или линии действия силы с осью) острый. В полной мере разумеется, если этот угол равен в 90º, то проекция силы на ось x равна нулю. Если угол α будет тупой, то проекция силы на ось x будет иметь отрицательный знак. Значения проекции в данном случае будет

Но практически тут удобнее использовать тупой угол α₂, а острый угол β между вектором силы и направлением оси x. Знак проекции легко определяется из схемы

Таким образом, проекция силы на ось — это направленный отрезок на оси, образованный между перпендикулярами, которые опущены из концов вектора силы на ось, и который по величине равен произведению модуля силы на косинус угла между направлением вектора силы и осью.

Спроектируем теперь вектор силы на плоскость и оси координат.

Возьмем силу , вектор которой произвольно расположен в пространстве (рис. 1.9). Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz, начало отсчета которой (точка O) совмещенное с точкой приложения вектора силы . Спроектируем вектор силы на плоскость xOy. Опустим из точки А (конец вектора силы) на указанную плоскость перпендикуляр, который пересекает ее в точке а. На плоскости xOy создан вектор , который и является проекцией силы на плоскость. По модулю эта проекция равна

где α — угол между вектором силы и плоскостью xOy.

Следует заметить, что проекция вектора силы на плоскость является вектором, потому что плоскость на имеет базисных векторов, ортов.

Если в плоскости xOy обозначить угол β, то есть возможность спроектировать силу на оси x и y, опуская с точки a на оси перпендикуляры и по известному уже правилу получить проекции вектора на указанные оси:

В данном случае через ось z и вектор силы можно провести плоскость, поэтому есть возможность спроектировать силу на эту ось по известному правилу. Эта проекция будет равняться

где ϒ — угол между вектором силы и осью z.

Определение силы за ее проекциями

Предположим, что у нас в плоскости рисунка имеем прямоугольную декартову систему координат Oxy, заданные две проекции силы — и (рис. 1.10). Надо по данным проекциями вычислить модуль вектора самой силы , а также его направление.

На заданных проекциях, как на сторонах, строим прямоугольник, диагональ которого, проходит через точку пересечения проекций, и является искомым вектором силы . Модуль силы можно определить из следующего выражения:

Углы между вектором силы и осями x и y можно определить с помощью направляющих косинусов

Зная направляющие косинусы, через арккосинус есть возможность найти сами углы.

Аналогично для пространственной системы сил (рис. 1.9) можно построить на проекциях сила как на сторонах параллелепипед, а модуль силы определить так:

Направление вектора этой силы также определяется через направляющие косинусы его углов с соответствующими осями координат x, y и z:

Через арккосинус определяют сами углы.

Теорема о проекции равнодействующей силы на ось

Проекция вектора равнодействующей силы на ось равна алгебраической сумме проекций векторов составляющих сил на ту же ось.

Доказательство. Имеем систему сил , , , ,которая сведена к равнодействующей с помощью силового многоугольника (рис. 1.11). Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Ox y и спроектируем на ось x все силы. Для этого обозначим концы векторов всех сил буквами — А, В, С, D, K и проведем перпендикуляры из каждой точки на ось x. Точки пересечения перпендикуляров с осью, которые обозначены соответствующими строчными буквами — а, в, с, d, k образовали на оси x направлены отрезки, которые и являются проекциями всех сил на эту ось. Каждая проекция, соответственно, равна

Добавим алгебраически все проекции и подсчитаем, почему эта сумма равна:

Но отрезок ak и является проекцией равнодействующей силы на ось x. Распространяя эту сумму на n сил, можно записать:

Аналитический способ добавления системы сходящихся сил

На основании теоремы о проекции равнодействующей силы на ось, имеем:

Аналогично проекция равнодействующей силы на ось y будет равняться

Модуль равнодействующей равен

Углы между вектором равнодействующей и осями координат x и y определим через направляющие косинусы углов между соответствующей осью и равнодействующей:

Зная направляющие косинусы, через арккосинус есть возможность найти сами углы.

Условия равновесия тела под действием плоской системы сходящихся сил в аналитической форме

Плоскую систему сходящихся сил можно заменить одной силой, которая носит название равнодействующей.

Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая была равна нулю. А если равнодействующая равна нулю, то и ее проекции на оси x и y тоже должны равняться нулю. Поскольку проекции
равнодействующей равны алгебраическим суммам проекций составляющих сил, то,
окончательно, иметь условия равновесия тела под действием плоской системы
сходящихся сил

Для равновесия тела, находящегося под действием плоской системы сходящихся
сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на оси
координат были равны нулю.

Услуги по теоретической механике:

Учебные лекции:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник