что такое система линейных уравнений

Системы линейных уравнений

Линейные уравнения с двумя переменными

У школьника имеется 200 рублей, чтобы пообедать в школе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе можно накупить на 200 рублей?

25x — стоимость x пирожных
10y — стоимость y чашек кофе

Итоговая сумма должна равняться 200 рублей. Тогда получится уравнение с двумя переменными x и y

Сколько корней имеет данное уравнение?

Всё зависит от аппетита школьника. Если он купит 6 пирожных и 5 чашек кофе, то корнями уравнения будут числа 6 и 5.

6 и 5 не единственные корни, которые обращают уравнение 25x + 10y = 200 в тождество. При желании на те же 200 рублей школьник может купить 4 пирожных и 10 чашек кофе:

Более того, школьник может вообще не покупать кофе, а купить пирожные на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 8 и 0

Или наоборот, не покупать пирожные, а купить кофе на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 0 и 20

Так будет удобно и самому школьнику. Пирожные удобнее покупать целыми, чем к примеру несколько целых пирожных и половину пирожного. Кофе также удобнее брать целыми чашками, чем к примеру несколько целых чашек и половину чашки.

Уравнение вида ax + by = c называют линейным уравнением с двумя переменными. Решением или корнями этого уравнения называют пару значений ( x; y ), которая обращает его в тождество.

Некоторые линейные уравнения с двумя переменными могут быть приведены к каноническому виду.

На самом деле уравнение ax + by = c имеет бесчисленное множество решений. Решая уравнение 25x + 10y = 200, мы искали его корни только на множестве целых чисел. В результате получили несколько пар значений, которые обращали данное уравнение в тождество. Но на множестве рациональных чисел уравнение 25x + 10y = 200 будет иметь бесчисленное множество решений.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Но бывает и так, что переменные x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. В этом случае они образуют так называемую систему линейных уравнений с двумя переменными. Такая система уравнений может иметь одну пару значений (или по-другому: «одно решение»).

Может случиться и так, что система вовсе не имеет решений. Бесчисленное множество решений система линейных уравнений может иметь в редких и в исключительных случаях.

Два линейных уравнения образуют систему тогда, когда значения x и y входят в каждое из этих уравнений.

Поставим текст задачи следующим образом:

«Школьник купил на 200 рублей несколько пирожных и несколько чашек кофе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе купил школьник, если известно что количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе?»

Давайте решим данную систему. Это позволит увидеть, как мы придём к значениям 6 и 5. Существует много методов решения таких систем. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Метод подстановки

Название этого метода говорит само за себя. Суть его заключается в том, чтобы одно уравнение подставить в другое, предварительно выразив одну из переменных.

Значит пара (6; 5) является решением системы уравнений, как мы и задумывали. Выполняем проверку и убеждаемся, что пара (6; 5) удовлетворяет системе:

Пример 2. Решить методом подстановки следующую систему уравнений:

Значит решением системы является пара значение (5; 3)

Пример 3. Решить методом подстановки следующую систему уравнений:

Здесь в отличие от предыдущих примеров, одна из переменных не выражена явно.

Чтобы подставить одно уравнение в другое, сначала нужно выразить одну из переменных.

Теперь подставим первое уравнение во второе и найдем значение y

Подставим y в первое уравнение и найдём x

Значит решением системы является пара значений (3; 4)

Пример 4. Решить методом подстановки следующую систему уравнений:

Подставим первое уравнение во второе и найдём y

Значит решением системы является пара значений (5; −3)

Метод сложения

Метод сложения заключается в том, чтобы почленно сложить уравнения, входящие в систему. Это сложение приводит к тому, что образуется новое уравнение с одной переменной. А решить такое уравнение довольно просто.

Решим следующую систему уравнений:

Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. Получим следующее равенство:

Приведем подобные слагаемые:

Значит решением системы является пара значений (9; 6)

Пример 2. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. В получившемся равенстве приведем подобные слагаемые:

Значит решением системы является пара значений (4;3)

Из рассмотренных примеров видно, что основная цель сложения уравнений это избавление от одной из переменных. Но не всегда удаётся сразу решить систему уравнений методом сложения. Чаще всего систему предварительно приводят к виду, при котором можно сложить уравнения, входящие в эту систему.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному. Это правило справедливо и для системы линейных уравнений с двумя переменными. Одно из уравнений (или оба уравнения) можно умножить на какое-нибудь число. В результате получится равносильная система, корни которой будут совпадать с предыдущей.

Умножим оба уравнения, входящие в эту систему на какие-нибудь числа. Скажем первое уравнение умножим на 2, а второе на 3

В результате получили систему
Решением этой системы по-прежнему является пара значений (6; 5)

Это значит, что уравнения входящие в систему можно привести к виду, пригодному для применения метода сложения.

Вернемся к системе , которую мы не смогли решить методом сложения.

Умножим первое уравнение на 6, а второе на −2

Тогда получим следующую систему:

Если первое время тяжело складывать уравнения в уме, то можно записывать как складывается левая часть первого уравнения с левой частью второго уравнения, а правая часть первого уравнения с правой частью второго уравнения:

Пример 4. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Умножим второе уравнение на −1. Тогда система примет следующий вид:

Пример 5. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Желательно, чтобы слагаемые содержащие одинаковые переменные, располагались друг под другом. Поэтому во втором уравнении слагаемые 5y и −2x поменяем местами. В результате система примет вид:

Умножим второе уравнение на 3. Тогда система примет вид:

Пример 6. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 36, а второе на 12

В получившейся системе первое уравнение можно умножить на −5, а второе на 8

Пример 7. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Приведем оба уравнения к нормальному виду. Здесь удобно применить правило пропорции в обоих уравнениях. Если в первом уравнении правую часть представить как , а правую часть второго уравнения как , то система примет вид:

У нас получилась пропорция. Перемножим её крайние и средние члены. Тогда система примет вид:

Первое уравнение умножим на −3, а во втором раскроем скобки:

Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения этих уравнений, мы получим равенство, в обеих частях которого будет ноль:

Получается, что система имеет бесчисленное множество решений.

Получившаяся пара значений (2; −2) будет удовлетворять системе:

Найдём еще одну пару значений. Пусть x = 4. Подставим это значение в систему:

На глаз можно определить, что значение y равно нулю. Тогда получим пару значений (4; 0), которая удовлетворяет нашей системе:

Пример 8. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Умножим первое уравнение на 6, а второе на 12

Перепишем то, что осталось:

Раскроем скобки в обоих уравнениях и приведём подобные слагаемые:

Первое уравнение умножим на −1. Тогда система примет вид:

Система линейных уравнений с тремя переменными

В линейное уравнение с тремя переменными входит три переменные с коэффициентами, а также свободный член. В каноническом виде его можно записать следующим образом:

Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Решением в этом случае является тройка значений (x; y; z) которая обращает уравнение в тождество.

Если переменные x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех линейных уравнений с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять те же методы, которые применяются к линейным уравнениям с двумя переменными: метод подстановки и метод сложения.

Пример 1. Решить следующую систему уравнений методом подстановки:

Раскроем скобки в обоих уравнениях и приведём подобные слагаемые:

Мы пришли к системе линейных уравнений с двумя переменными. В данном случае удобно применить метод сложения. В результате переменная y исчезнет, и мы сможем найти значение переменной z

Таким образом, тройка значений (3; −2; 2) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:

Пример 2. Решить систему методом сложения

Сложим первое уравнение со вторым, умноженным на −2.

Таким образом, тройка значений (1; 1; 1) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:

Задачи на составление систем линейных уравнений

Задача на составление систем уравнений решается путем ввода нескольких переменных. Далее составляются уравнения на основании условий задачи. Из составленных уравнений образуют систему и решают её. Решив систему, необходимо выполнить проверку на то, удовлетворяет ли её решение условиям задачи.

Задача 1. Из города в колхоз выехала машина «Волга». Обратно она возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой. Всего в оба конца машина проехала 35 км. Сколько километров составляет длина каждой дороги?

Решение

Пусть x — длина первой дороги, y — длина второй. Если в оба конца машина проехала 35 км, то первое уравнение можно записать как x + y = 35. Это уравнение описывает сумму длин обеих дорог.

Сказано, что обратно машина возвращалась по дороге которая была короче первой на 5 км. Тогда второе уравнение можно записать как x − y = 5. Это уравнение показывает, что разница между длинами дорог составляет 5 км.

Поскольку переменные x и y в обоих уравнениях обозначают одно и то же число, то мы можем образовать из них систему:

Решим эту систему каким-нибудь из изученных ранее методов. В данном случае удобно воспользоваться методом подстановки, поскольку во втором уравнении переменная x уже выражена.

Подставим второе уравнение в первое и найдём y

Подставим найденное значение y в во второе уравнение x = y + 5 и найдём x

Выполним проверку. Для начала убедимся, что система решена правильно:

Теперь проверим удовлетворяет ли решение (20; 15) условиям задачи.

Было сказано, что всего в оба конца машина проехала 35 км. Складываем длины обеих дорог и убеждаемся, что решение (20; 15) удовлетворяет данному условию: 20 км + 15 км = 35 км

При составлении системы важно, чтобы переменные обозначали одни и те же числа во всех уравнениях, входящих в эту систему.

Задача 2. На платформу были погружены дубовые и сосновые шпалы, всего 300 шпал. Известно, что все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые. Определить, сколько было дубовых и сосновых шпал отдельно, если каждая дубовая шпала весила 46 кг, а каждая сосновая 28 кг.

Решение

В результате получаем два уравнения, которые образуют систему

Подставим первое уравнение во второе и найдём y

Подставим y в уравнение x = 300 − y и узнаем чему равно x

Значит на платформу было погружено 100 дубовых и 200 сосновых шпал.

Проверим удовлетворяет ли решение (100; 200) условиям задачи. Для начала убедимся, что система решена правильно:

Было сказано, что всего было 300 шпал. Складываем количество дубовых и сосновых шпал и убеждаемся, что решение (100; 200) удовлетворяет данному условию: 100 + 200 = 300.

Решение

Составим ещё одно уравнение. Пусть это уравнение будет описывать количество меди, взятого с каждого сплава и сколько меди оказалось в получившемся сплаве.

Сложим , , и приравняем эту сумму к 9,6. Это и будет нашим третьим уравнением:

Попробуем решить данную систему.

Для начала упростим третье уравнение. Подставим в него второе уравнение и посмотрим, что из этого выйдет:

Теперь в главной системе вместо уравнения запишем уравнение, которое мы сейчас получили, а именно уравнение 25y + 10z = 115,2

Подставим второе уравнение в первое:

Значит масса третьего сплава составляет 9,12 кг.

Источник