что такое сходственные стороны
Подобные треугольники. Отношение периметров подобных треугольников. Коэффициент подобия
Что такое подобные треугольники?
Подобные треугольники определение
Подобные треугольники определение:
На рисунке изображены два подобных треугольника, у них углы соответственно равны, т.е. угол A равен углу A1, угол B равен углу B1, угол C равен углу C1. 
Сходственные стороны треугольников
Сходственные стороны треугольников пропорциональны:
здесь k называется коэффициентом подобия.
Отношение площадей подобных треугольников
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
Отношение периметров подобных треугольников
Отношение периметров подобных треугольников:
Докажем это утверждение. Пусть имеются два подобных треугольника ABC и A1B1C1. По определению подобных треугольников их сходственные стороны пропорциональны:
Периметр треугольника ABC равен сумме длин его трёх сторон:
Сумма в скобках в правой части равенства представляет собой периметр треугольника A1B1C1. Разделим обе части равенства на периметр A1B1 + B1C1 + A1C1. Получаем:
что и требовалось доказать. Итак, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Для установления факта подобия двух треугольников используют признаки подобия треугольников:
Подобные треугольники
Подобные треугольники — это треугольники, у которых все три угла равны, а все стороны одного треугольника в одно и то же число раз длиннее (или короче) сторон другого треугольника, то есть треугольники подобны если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Сходственные стороны — это стороны двух треугольников, лежащие против равных углов.
Рассмотрим два треугольника 
ABC и A1B1C1, у которых ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1:
Стороны AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1, лежащие напротив равных углов, называются сходственными сторонами. Следовательно, отношения сходственных сторон равны:
| AB | = | BC | = | AC | = k, |
| A1B1 | B1C1 | A1C1 |
k — это коэффициент подобия ( число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников). Если k = 1, то треугольники равны, то есть равенство треугольников – это частный случай подобия.
Подобие треугольников обозначается знаком
: ABC
A1B1C1.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами S и S1, то:
Первый признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.
то ABC
A1B1C1.
Второй признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
| Если | AB | = | AC | , ∠A = ∠A1, |
| A1B1 | A1C1 | |||
| то ABC
| ||||
Третий признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
Что такое сходственные стороны
Признака подобия треугольников
Две фигуры `F` и `F’` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры `F` и `F’` подобны, то пишется `F
F’`. Напомним, что запись подобия треугольников `Delta ABC
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если `Delta ABC
Delta A_1B_1C_1`, то `/_ A = /_ A_1`, `/_ B = /_ B_1`, `/_ C = /_ C_1`,
`A_1B_1 : AB = B_1C_1 : BC = C_1A_1 : CA`.
Два треугольника подобны, если:
1. два угла одного соответственно равны двум углам другого;
2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
3. три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.
В решении задач и доказательстве теорем часто используется утверждение, которое, чтобы не повторять каждый раз, докажем сейчас отдельно.
Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне (рис. 9), то она отсекает треугольник, подобный данному.
Действительно, из параллельности `MN` и `AC` следует, что углы `1` и `2` равны. Треугольники `ABC` и `MBN` имеют два равных угла: общий угол при вершине `B` и равные углы `1` и `2`. По первому признаку эти треугольники подобны.
И сразу применим это утверждение в следующем примере, в котором устанавливается важное свойство трапеции.
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках `M` и `N`. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны `a` и `b`.
Delta COB` по двум углам (рис. 10б):
`(OD)/(OB) = (AD)/(BC)`, то есть `(OD)/(OB) = a/b`.
3. Учитывая, что `BD = BO + OD` находим отношение
`(BO)/(BD) = (BO)/(BO + OD) = 1/(1 + OD//BO) = b/(a + b)`.
Подставляя это в (1), получаем `MO = (ab)/(a + b)`; аналогично устанавливаем, что `ON = (ab)/(a + b)`, таким образом `MN = (2ab)/(a + b)`.
Delta MBF`. Из подобия следует `(AE)/(MF) = (AM)/(MB) = 1/3`.
Напомним, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Верно также следующее утверждение: отношение медиан, биссектрис и высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках, равно отношению сходственных сторон.
Отношение радиусов вписанных окружностей, как и отношение радиусов описанных окружностей, в подобных треугольниках также равно отношению сходственных сторон.
Попытайтесь доказать это самостоятельно.
Прямоугольные треугольники подобны, если:
1. они имеют по равному острому углу;
2. катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;
3. гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.
Два первых признака следуют из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует, например, из второго признака подобия и теоремы Пифагора.
Заметим, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных между собой и подобных данному. Доказанные в § 1 метрические соотношения Свойств 1, 2, 3 можно доказать, используя подобие указанных треугольников.
СВОЙСТВА ВЫСОТ И БИССЕКТРИС
Если в треугольнике `ABC` нет прямого угла, `A A_1` и `BB_1` — его высоты, то `Delta A_1B_1C
Delta ABC` (этот факт можно сформулировать так: если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному).
Как всегда, полагаем `AB = c`, `BC = a`, `AC = b`.
а) Треугольник `ABC` остроугольный (рис. 12а).
В треугольниках `A_1 B_1C` и `ABC` угол `C` общий, прилежащие стороны пропорциональны: `(A_1C)/(AC) = (B_1C)/(BC) = cos C`.
Таким образом, `Delta A_1 B_1 C
$$\left.\begin
\Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos C =b \cos C;\\
\Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos C =a \cos C,
\end
\right\>\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC,$$
коэффициент подобия `ul (cos C)`, `/_ A_1 B_1 C = /_B`.
$$\left.\begin
\Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|;\\
\Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|,
\end
\right\>\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC$$
с коэффициентом подобия `ul (k = |cos C|`, `(/_A_1B_1C=/_B)`.
В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` (рис. 13).
Треугольник, вершинами которого служат основания высот, называется «высотным» треугольником (или ортотреугольником).
Доказать, что лучи `A_1 A`, `B_1 B` и `C_1 C` являются биссектрисами углов высотного треугольника `A_1 B_1 C_1` (т. е. высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника).
По первой лемме о высотах `Delta A_1 B_1 C
Delta ABC`, `/_ A_1 B_1 C = /_ B`.
Аналогично `Delta AB_1C_1
Delta ABC`, `/_ AB_1 C_1 = /_ B`, т. е. `/_A_1 B_1C = /_ AB_1 C_1`.
Высоты `A A_1`, `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H` (рис. 14). Доказать, что имеет место равенство `AH * H A_1 = BH * HB_1`, т. е. произведение отрезков одной высоты равно произведению отрезков другой высоты.
Delta BHA_1`, имеют по равному острому углу при вершине `H` (заметим, что этот угол равен углу `C`). Из подобия следует `(AH)/(BH) = (HB_1)/(HA_1)`, откуда `AH * HA_1 = BH * HB_1`. Для тупоугольного треугольника утверждение также верно. Попробуйте доказать самостоятельно.
Высоты `A A_1` и `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`, при этом `BH = HB_1` и `AH = 2 HA_1` (рис. 15). Найти величину угла `C`.
Установим ещё одно свойство биссектрисы угла треугольника.
Биссектриса треугольника делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной `3` и `5`. Найти в каких пределах может изменяться периметр треугольника.
По свойству биссектрисы `AB : AC = 3:5`. Положим `AB = 3x`, тогда `AC = 5x`. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е. `ul (5x 1`.
Периметр треугольника `P = 8 + 8x = 8(1 + x)`, поэтому `ul (16
Подобие треугольников
Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.
Содержание
Признаки подобия треугольников
Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.
Первый признак
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.
То есть 
Дано: 
и 
Доказать: 
Второй признак
Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Дано: и 
Доказать:
1) Рассмотрим 
, в котором 
и 
(первый признак) 
(первый признак) 
(первый признак).
Третий признак
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, 
= 
= 
.
Доказать: ∆ABC 
∆A1B1C1.
∆ABC2 ∆A1B1C1 (первый признак) => = 
= 
.
= = => AC=AC2, BC=BC2 => ∆ABC = ∆ABC2 (третий признак);
∆ABC2 ∆A1B1C1 => ∆ABC ∆A1B1C1.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
Свойства подобных треугольников
Подобие в прямоугольном треугольнике
Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:
Связанные определения
Литература
См. также
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Подобие треугольников» в других словарях:
ПОДОБИЕ — ПОДОБИЕ, я, ср. 1. Что н. сходное с чем н. другим, содержащее образ, вид чего н. (книжн.). Создать что н. по своему образу и подобию (т. е. похожим на себя). 2. В геометрии: тождество формы при различии величины. П. двух треугольников. Толковый… … Толковый словарь Ожегова
подобие — сущ., с., употр. сравн. часто Морфология: (нет) чего? подобия, чему? подобию, (вижу) что? подобие, чем? подобием, о чём? о подобии; мн. что? подобия, (нет) чего? подобий, чему? подобиям, (вижу) что? подобия, чем? подобиями, о чём? о подобиях 1.… … Толковый словарь Дмитриева
подобие — я; ср. 1. Пренебр. Нечто похожее, сходное с чем л. Жалкое п. старинного полонеза. П. человеческой фигуры. Не Гамлет, а его бесконечные подобия. Лепить по своему подобию (влияя на кого л., воспитывая кого л., делать его похожим на себя). 2. Матем … Энциклопедический словарь
подобие — я; ср. 1) пренебр. Нечто похожее, сходное с чем л. Жалкое подо/бие старинного полонеза. Подо/бие человеческой фигуры. Не Гамлет, а его бесконечные подобия. Лепить по своему подобию (влияя на кого л., воспитывая кого л., делать его похожим на… … Словарь многих выражений
Признаки подобия треугольников — Подобные треугольники треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Содержание 1 Признаки подобия треугольников 1.1 Первый признак … Википедия
Подобные треугольники — Подобные треугольники треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Содержание 1 Признаки подобия треугольников 1.1 Первый признак … Википедия
Теорема Пифагора — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 … Википедия
Пифагора теорема — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 Формулировки 2 Доказательства … Википедия
Фалес Милетский — Θαλῆς ὁ Μιλήσιος Θαλῆς ὁ Μιλήσιος … Википедия
Подобные треугольники
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.
Содержание
Признаки подобия треугольников
Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.
Первый признак
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
Доказать: ∆ABC 
∆A1B1C1.
= 
= 
=> 
= 
.
= = => ∆ABC ∆A1B1C1.
Второй признак
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, ∠A=∠A1, = .
Доказать: ∆ABC ∆A1B1C1.
∆ABC2 ∆A1B1C1 (первый признак) => = 
.
= => AC=AC2 => ∆ABC = ∆ABC2 (первый признак) =>
∠B=∠ABC2=∠B1 => ∆ABC ∆A1B1C1 (первый признак).
Третий признак
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, = = .
Доказать: ∆ABC ∆A1B1C1.
∆ABC2 ∆A1B1C1 (первый признак) => = 
= .
= = => AC=AC2, BC=BC2 => ∆ABC = ∆ABC2 (третий признак);
∆ABC2 ∆A1B1C1 => ∆ABC ∆A1B1C1.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
Свойства подобных треугольников
Подобие в прямоугольном трегольнике
Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:
Связанные определения
Литература
См. также
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Подобные треугольники» в других словарях:
Признаки подобия треугольников — Подобные треугольники треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Содержание 1 Признаки подобия треугольников 1.1 Первый признак … Википедия
Теорема Пифагора — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 … Википедия
Пифагора теорема — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 Формулировки 2 Доказательства … Википедия
ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера
ПОДОБНЫЙ — ПОДОБНЫЙ, подобная, подобное; подобен, подобна, подобно. 1. кому чему. Сходный, совершенно похожий. Происшествие, подобное этому, было в прошлом году. 2. Такой, этот (о котором говорится). «Где еще мыслимы подобные вещи?» Маяковский. Перечислить… … Толковый словарь Ушакова
Высота треугольника — У этого термина существуют и другие значения, см. Высота (значения). Высота в треугольниках различного типа Высота треугольника перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. В зав … Википедия
Теорема Наполеона — Теорема Наполеона утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках … Википедия
ПОДОБИЕ — ср. (доба, время, пора, срок, год, година: добрый, удобный, сдобный и пр.) сходство, согласие, одновидность, схожесть. И подобия нет подлинника. | Вещь сделанная по образцу или в подражанье; изображенье чего; образ чего либо. Иссеченное из камня… … Толковый словарь Даля
Мгновенный центр скоростей — Мгновенный центр скоростей при плоскопараллельном движении точка, обладающая следующими свойствами: а) её скорость в данный момент времени равна нулю; б) относительно неё в данный момент времени вращается тело. Содержание 1 Положение… … Википедия