что такое сходимость интеграла

Несобственные интегралы. Примеры решений

К изучению несобственных интегралов лучше приступать в последнюю очередь в ходе изучения интегрального исчисления функции одной переменной. Читатель данного урока должен быть хорошо подкован в неопределенных интегралах, определенных интегралах, уметь находить площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла. Кроме того, потребуются знания простейших пределов и графиков элементарных функций. По логике изложения материала эта статья является продолжением урока Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры.

Вы еще здесь? =) Нет, я никого не пытался запугать, просто тема несобственных интегралов – очень хорошая иллюстрация тому, как важно не запускать высшую математику и другие точные науки. Для освоения урока на сайте всё есть – в подробной и доступной форме, было бы желание….

Итак, начнем-с. Образно говоря, несобственный интеграл – это «продвинутый» определенный интеграл, и на самом деле сложностей с ними не так уж и много, к тому же у несобственного интеграла есть очень хороший геометрический смысл.

Что значит вычислить несобственный интеграл?

Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (то есть, получить в итоге бесконечность вместо числа).

Несобственные интегралы бывают двух видов.

Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования

Иногда такой несобственный интеграл называют несобственным интегралом первого рода. В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла.

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралаили с двумя бесконечными пределами: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла, и их мы рассмотрим позже – когда войдёте во вкус 🙂

Ну а сейчас разберём самый популярный случай что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. В подавляющем большинстве примеров подынтегральная функция что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграланепрерывна на промежутке что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла, и этот важный факт следует проверять в первую очередь! Ибо если есть разрывы, то есть дополнительные нюансы. Для определённости предположим, что что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралаи тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так:

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Обратите внимание, что она бесконечна (не ограничена справа), и несобственный интеграл что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралачисленно равен её площади. При этом возможны следующие варианты:

1) Первая мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла», иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что несобственный интеграл расходится.

2) Но. Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится.

3) О третьем варианте чуть позже.

В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла, и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла(расходится) либо равен конечному отрицательному числу.

Таким образом, несобственный интеграл может быть отрицательным.

Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно. Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.

Коль скоро несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла.

В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла(неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела. У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений, ибо лучше поздно, чем в армии.

Рассмотрим два классических примера:

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Для наглядности я построю чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно.

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Подынтегральная функция что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграланепрерывна на полуинтервале что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла, значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.

Применение нашей формулы что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралаи решение задачи выглядит так:

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.

В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применяется эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла«динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».

Если Вам не понятно почему что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралапри что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла, то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции. Во втором случае посетите урок Графики и свойства элементарных функций.

При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:


что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Подынтегральная функция непрерывна на что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Несобственный интеграл расходится.

! При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функциейнепрерывна она на промежутке интегрирования или нет. Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла и обосновываем дальнейшие действия.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Выполним чертеж:
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграланепрерывна на полуинтервале что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Гуд. Решаем с помощью формулы что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла:

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.

(3) Указываем, что что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралапри что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла(Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.

Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:


что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Подынтегральная функция непрерывна на что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Что делать, если вам встретится интеграл наподобие что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла– с точкой разрыва что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралана интервале интегрирования? Это говорит о том, что в примере опечатка (вероятнее всего), либо о продвинутом уровне обучения. В последнем случае, в силу свойства аддитивности, следует рассмотреть два несобственных интеграла на промежутках что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралаи что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралаи затем разобраться с суммой.

Иногда вследствие опечатки либо умысла несобственного интеграла может вовсе не существовать, так, например, если в знаменатель вышеуказанного интеграла поставить квадратный корень из «икс», то часть промежутка интегрирования вообще не войдёт в область определения подынтегральной функции.

Более того, несобственного интеграла может не существовать даже при всём «видимом благополучии». Классический пример: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Несмотря на определённость и непрерывность косинуса, такого несобственного интеграла не существует! Почему? Всё очень просто, потому что:
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла– не существует соответствующего предела.

И такие примеры пусть редко, но встречаются на практике! Таким образом, помимо сходимости и расходимости, есть ещё и третий исход решения с полноправным ответом: «несобственного интеграла не существует».

Следует также отметить, что строгое определение несобственного интеграла даётся именно через предел, и желающие могут ознакомиться с ним в учебной литературе. Ну а мы продолжаем практическое занятие и переходим к более содержательным задачам:

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Подынтегральная функция непрерывна на что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла.

Интеграл не так прост, особенно для чайника. Что делать, если интеграл кажется не самым простым или не сразу понятно как его решать? В этом случае целесообразно применить алгоритм, о котором я уже рассказал в статье Определенный интеграл. Примеры решений.

Сначала попытаемся найти первообразную функцию что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла(неопределенный интеграл). Если нам не удастся этого сделать, то несобственный интеграл мы, естественно, тоже не решим.

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Проведем замену: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Неопределенный интеграл найден, константу что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралав данном случае добавлять не имеет смысла.

На черновике всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден правильно.

Теперь находим несобственный интеграл:

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

(1) Записываем решение в соответствии с формулой что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница. Почему что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралапри что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла? Смотрите график арктангенса в уже неоднократно рекомендованной статье.

(3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралаполезно знать наизусть.

Продвинутые студенты могут не находить отдельно неопределенный интеграл, и не использовать метод замены, а использовать метод подведения функции под знак дифференциала и решать несобственный интеграл «сразу». В этом случае решение должно выглядеть примерно так:


что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Подынтегральная функция непрерывна на что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла.
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

А сейчас два примера для самостоятельного решения.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

! Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата, более подробно с методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Этот интеграл можно решить подробно, то есть сначала найти неопределенный интеграл, проведя замену переменной. А можно решить «сразу» – подведением функции под знак дифференциала. У кого какая математическая подготовка.

Полные решения и ответы в конце урока.

Примеры решений несобственных интегралов с бесконечным нижним пределом интегрирования можно посмотреть на странице Эффективные методы решения несобственных интегралов. Там же разобран случай, когда оба предела интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Или несобственные интегралами второго рода. Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралаНо, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралатерпит бесконечный разрыв (не существует): 1) в точке что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла, 2) или в точке что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла, 3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка на дополнительный урок.

Если подынтегральной функции не существует в точке что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Сразу пример, чтобы было понятно: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего предела что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла, то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!

Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования. В этой связи проверим и верхний предел: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Здесь всё хорошо.

Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.

Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта*: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конечному числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).

* по умолчанию привычно полагаем, что несобственный интеграл существует

Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграласправа. Легко проследить по чертежу: по оси что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграламы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва справа.

Посмотрим, как это реализуется на практике.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла(не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!)

Сначала вычислим неопределенный интеграл:
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Замена: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

У кого возникли трудности с заменой, обратитесь к уроку Метод замены в неопределенном интеграле.

Вычислим несобственный интеграл:

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

(1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Добавка что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралаобозначает, что мы стремимся к значению что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграласправа (что логично – см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом. В данном случае у нас правосторонний предел.

(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.

(3) Разбираемся с что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралапри что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Как определить, куда стремится выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла, подставляем три четверти и указываем, что что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Причесываем ответ.

В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу. В этом никакого криминала нет, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла.

А сейчас два примера для самостоятельного решения.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Если подынтегральной функции не существует в точке что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом:

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел у нас стремится к значению что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграласлева. По оси что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграламы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва слева.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла(устно проверяем, что с другим пределом интегрирования всё нормально!).

Для разнообразия я решу этот интеграл сразу – методом подведения функции под знак дифференциала. Те, кому трудно, могут сначала найти неопределенный интеграл по уже рассмотренной схеме.

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Добавка что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралаобозначает, что предел у нас левосторонний, и к точке что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграламы приближаемся по оси что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграласлева.

Разбираемся, почему дробь что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла(это лучше делать устно или на черновике).
Подставляем под корень предельное значение что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла:
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралаи тогдачто такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Окончательно:
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Несобственный интеграл расходится.

Будьте очень внимательны в знаках. Да, конечно, несобственный интеграл расходится, но что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралаи что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла– это разные вещи, разные жанры, и если Вы недосмотрите за знаками, то, строго говоря, допустите серьезную ошибку.

И заключительные два примера для самостоятельного рассмотрения:

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Разбор ситуации, когда оба предела интегрирования «плохие», или точка разрыва содержится прямо на отрезке интегрирования, можно найти в статье Эффективные методы решения несобственных интегралов.

Пример 4: Решение:
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Подынтегральная функция непрерывна на что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла.
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Пример 5: Решение:
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Подынтегральная функция непрерывна на что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла.
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Несобственный интеграл расходится.

Пример 7: Решение:
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Несобственный интеграл расходится.

Примечание: с пределом выражения что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграламожно разобраться следующим образом: вместо что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интегралаподставляем что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Пример 8: Решение:
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Примечание: Разбираемся в пределе выражения что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Если что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла, то что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла(см. график логарифмической функции!), тогда: что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Именно эти соображения и помечаются как что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Пример 10: Решение:
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла

Пример 11: Решение:
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла
Несобственный интеграл расходится

Примечание: Разбираемся в пределе выражения что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Если что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла, то что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла, и тогда что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла. Будьте очень внимательны в знаках!

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

что такое сходимость интеграла. Смотреть фото что такое сходимость интеграла. Смотреть картинку что такое сходимость интеграла. Картинка про что такое сходимость интеграла. Фото что такое сходимость интеграла Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *