что такое сходимость функции
Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
Сходимость функциональной последовательности и ряда.
Сходимость последовательности функций.
Пусть функции \(f_
Последовательность \(\
$$
\lim_
$$
или
$$
f_
$$
или, короче,
$$
f_
$$
По определению предела запись \eqref
$$
\forall x \in E\ \forall \varepsilon > 0\ \exists N = N_<\varepsilon>(x): \forall n \geq N \rightarrow |f_
Найти предельную функцию \(f(x)\) последовательности \(\
Сходимость функционального ряда.
Пусть функции \(u_
$$
\sum_
$$
называют сходящимся на множестве \(E\).
Если \(S(x)\) — предельная функция последовательности \(\
$$
\lim_
$$
то функцию называют \(S(x)\) суммой ряда \eqref
$$
\sum_
$$
Например, если \(u_
Равномерная сходимость функциональной последовательности.
Понятие равномерной сходимости последовательности функций.
Последовательность функций
$$
\
$$
называется равномерно сходящейся на множестве \(E\) к функции \(f(x)\), если
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>:\ \forall n \geq N_ <\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |f_
Доказать, что последовательность \(\
Критерии равномерной сходимости последовательности функций.
Чтобы последовательность функций \(\
$$
\lim_
$$
\(\circ\) Обозначим \(\sigma_
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists n_<\varepsilon>: \forall n \geq n_ <\varepsilon>\rightarrow \sigma_
Доказать, что последовательность \(\
Так как при \(x \neq 0\) справедливо неравенство \(1 + n^<\alpha>x^ <2>\geq 2n^<\alpha/2>|x|\), причем это неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда \(n^<\alpha>x^ <2>= 1\), то есть \(|x| = n^<-\alpha/2>\), то
$$
|f_
$$
Следовательно, \(\displaystyle\sup_
(критерий Коши равномерной сходимости последовательности)
Чтобы последовательность функций \(\
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb
\(\circ\) Необходимость. Пусть \(f_
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall k \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |f_
$$
Доказать, что последовательность \(\
\(\vartriangle\) Для любого \(k \in \mathbb
$$
|f_
$$
то есть выполняется условие \eqref
Если существует предельная функция \(f(x)\) последовательности \(\
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall k \in \mathbb
$$
то говорят, что последовательность \(\
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множестве \(E\) последовательность \(\
Неравномерную сходимость последовательности можно установить, используя теорему 1. Если условие \eqref
$$
\sup_
$$
то \(\
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность \(f_
\(\vartriangle\) Предельная функция \(f(x) = 0\), \(x \in E\). Так как уравнение \(f_
Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.
Пусть функции \(u_
$$
S_
$$
Ряд
$$
\sum_
$$
называется равномерно сходящимся на множестве \(E\), если на этом множестве определена функция \(S(x)\) такая, что
$$
S_
$$
Согласно определению равномерной сходимости последовательности функций запись \eqref
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |S_
$$
или
$$
\sup_
$$
то ряд \eqref
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на указанных множествах ряд \(\displaystyle\sum_
(критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для того чтобы ряд \eqref
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb
\(\circ\) По определению равномерная сходимость ряда \eqref
Согласно теореме 2 \(S_
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb
$$
то ряд \eqref
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall n_ <0>\in \mathbb
$$
то ряд \eqref
Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_
Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.
Признак Вейерштрасса.
Если для функционального ряда \eqref
$$
|u_
$$
то ряд \eqref
\(\circ\) Согласно условию \eqref
$$
\left|\sum_
$$
Из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb
Если сходится ряд \(\displaystyle\sum_
Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_
Признак Дирихле.
Ряд
$$
\sum_
$$
сходится равномерно на множестве \(E\), если выполняются условия:
Условие \eqref
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall k \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |a_
Доказать, что при \(\alpha > 0\) ряд
$$
\sum_
$$
сходится равномерно на множестве \(E = [\delta, 2\pi-\delta]\), где \(0 Решение.
\(\vartriangle\) Если \(\alpha > 1\), то по признаку Вейерштрасса ряд \eqref
Признак Абеля.
Ряд \eqref
\(\circ\) Обозначим \(B_
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_ <\varepsilon>\forall j \in \mathbb
Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.
Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
Если все члены ряда \eqref
\(\circ\) Пусть \(x_<0>\) — произвольная точка отрезка \([a, b]\). Для определенности будем считать, что \(x_ <0>\in (a, b)\).
Нужно доказать, что функция
$$
S(x) = \sum_
$$
непрерывна в точке \(x_<0>\), то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_<\delta>(x_<0>) \rightarrow |S(x)-S(x_<0>)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in [a, b] \rightarrow |S(x)-S_
Если последовательность \(\
\(\circ\) Доказательство этого утверждения следует из теоремы 7. \(\bullet\)
Почленное интегрирование функционального ряда.
Если все члены ряда \eqref
$$
\sum_
$$
также равномерно сходится на \([a, b]\), и если
$$
S(x) = \sum_
$$
то
$$
\int\limits_a^x S(t)\ dt = \sum_
$$
то есть ряд \eqref
\(\circ\) По условию ряд \eqref
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \in N_<\varepsilon>\ \forall t \in [a, b] \rightarrow |S(t)-S_
Равенство \eqref
Если \(S_
$$
\int\limits_
$$
для любой точки \(x_ <0>\in [a, b]\).
\(\circ\) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 9. \(\bullet\)
Почленное дифференцирование функционального ряда.
Если функции \(u_
$$
\sum_
$$
сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), а ряд
$$
\sum_
$$
сходится хотя бы в одной точке \(x \in [a, b]\), то есть сходится ряд
$$
\sum_
$$
то ряд \eqref
$$
S'(x) = \sum_
$$
где
$$
S(x) = \sum_
$$
\(\circ\) Обозначим через \(\tau(x)\) сумму ряда \eqref
$$
\tau(x) = \sum_
$$
По теореме 9 ряд \eqref
$$
\int\limits_
$$
где \(x_<0>,\ x \in [a, b]\), причем ряд \eqref
$$
\int\limits_
$$
где
$$
v_
$$
Ряд \eqref
Из равенств \eqref
$$
\int\limits_
$$
Так как функция \(\tau(t)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\) по теореме 7, то в силу свойств интеграла с переменным верхним пределом левая часть равенства \eqref
При условиях теоремы 11 функция \(S'(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то есть \(S(x)\) — непрерывно дифференцируемая на \([a, b]\) функция.
Если последовательность \(\
$$
S'(x) = \lim_
$$
\(\circ\) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 11. \(\bullet\)
Сходимость
Полезное
Смотреть что такое «Сходимость» в других словарях:
сходимость — конвергенция; конвергентность. Ant. расходимость, дивергенция Словарь русских синонимов. сходимость сущ., кол во синонимов: 1 • конвергентность (2) … Словарь синонимов
СХОДИМОСТЬ — понятие математического анализа, означающее, что некоторая последовательность имеет предел … Большой Энциклопедический словарь
СХОДИМОСТЬ — СХОДИМОСТЬ, в математике свойство бесконечного ряда (или последовательности), имеющего единственный и конечный предел. Так, для ряда 1 + 1/2 + 1/22 + 1/23 +. сумма первых двух членов равна 1,5, первых трех 1,75, первых четырех 1,875; по мере… … Научно-технический энциклопедический словарь
Сходимость — В математике Сходимость означает то, что бесконечная последовательность или сумма бесконечного ряда или несобственный интеграл имеют предел. Понятия имеют смысл для произвольных последовательностей, рядов и интегралов: Предел последовательности… … Википедия
сходимость — 3.6 сходимость (repeatability): Близость результатов двух испытаний, полученных одним методом, в идентичных условиях, водной лаборатории. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Сходимость в Lp — У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Сходимость в в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах вид сходимости измеримых функций или случайных величин. Определение Пусть пространство с… … Википедия
СХОДИМОСТЬ — одно из основных понятий математич. анализа, означающее, что нек рый математич. объект имеет предел. В этом смысле говорят о С. последовательности каких либо элементов, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. цепной дроби, С. интеграла и т. п.… … Математическая энциклопедия
сходимость — понятие математического анализа, означающее, что некоторая последовательность имеет предел. * * * СХОДИМОСТЬ СХОДИМОСТЬ, понятие математического анализа, означающее, что некоторая последовательность имеет предел … Энциклопедический словарь
сходимость — glaustis statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. convergence vok. Konvergenz, f rus. сходимость, f pranc. convergence, f … Radioelektronikos terminų žodynas
сходимость — rezultatų glaudumas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Nepriklausomų tyrimo rezultatų, gautų tomis pačiomis sąlygomis, artumas. atitikmenys: angl. precision vok. Wiederholbarkeit von Messungen, f rus. сходимость, f pranc … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
сходимость — rezultatų glaudumas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Rezultatų, gautų apibrėžtomis sąlygomis keletą kartų bandant tuo pačiu metodu ir tas pačias medžiagas, atitikimo artumas. atitikmenys: angl. precision vok.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
Функциональные последовательности и ряды
в комплексной области
Основные понятия, связанные с функциональными последовательностями и рядами в комплексной области, вводятся так же, как и в действительной.
Определение функциональной последовательности
z\in D» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />.
Равномерная сходимость функциональной последовательности
Функциональный ряд в комплексной области
Область сходимости и равномерная сходимость рядов
z\in D.» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />
\forall z\in D.» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />
Равномерно сходящиеся ряды (и последовательности) непрерывных функций комплексной переменной, как и аналогичные ряды в действительной области, обладают свойствами конечных сумм, в частности сумма такого ряда является функцией, непрерывной на множестве, где ряд сходится равномерно. Кроме того, ряд можно почленно интегрировать. Это означает, что полученный ряд, т.е. ряд, членами которого являются интегралы от членов данного ряда, сходится и его сумма равна интегралу от суммы данного ряда:
Признак Вейерштрасса и равномерная сходимость
8. Для исследования функционального ряда на равномерную сходимость и нахождения области его равномерной сходимости можно использовать, как и в действительной области, достаточный признак равномерной сходимости.
Теорема 3.1 (признак Вейерштрасса). Если ряд (3.1) на множестве мажорируется сходящимся числовым рядом с положительными членами, то он сходится на равномерно, т.е. из условия
c_n>0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />
9. Для равномерно сходящихся рядов аналитических функций справедливы отмеченные выше свойства непрерывности суммы ряда и почленного интегрирования. Кроме того, имеет место свойство, связанное с почленным дифференцированием ряда.
Теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций
Нахождение области сходимости рядов
Примеры исследования сходимости рядов с комплексными членами
Пример 3.1. Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:
Пример 3.2. Исследовать сходимость комплексных функциональных рядов:
a) ; область сходимости 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADkAAAAVBAMAAAAOWFv7AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADXRSTlMAwoFBKKBYQuoQkXGxE+DiDQAAAJJJREFUKM9jYMAPtkAoVuyyyhCKEUPCAZ+s6QU8shonMGRZVBDSjJh6C0MwZZnEOAOgJiOk4bIregMdYPbWiKPLBnCKIVzlKoZuL2sCkptd29Bkw5B95CSGKjurgAGPySIMXAkwWVd0V7E2LhKE6S0URvfRVvZeSaisIdy7tnfvXgLLOjBMgYVkCNExSLEsvpQDAFnBICbT0tyvAAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» /> — внешность круга с центром в точке и радиусом 1. На границе круга ряд расходится.
б) ; область сходимости 2″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQqHA6l0h0RCRMbAyfQ/L+w8AAACrSURBVBjTY2AgAUhgF55uV4VNmPMCl0sCnCfbAGPxeTDMmwAXZzSCqeF7xSBnwMDAtbshECJxAKoigCFuAwNDSonnBgh/swBMs14AA0MgQzjUaDZlqATXIxDJYwFTxqYeAKZbFEDk4gZ08Uqwcg24sDJEmCmAAejOQwwcBRB7YcarMjBuYOBy3zslAOJOqDCvs7HfBQb2A3quaP569+5dAAMbAxeYJ5SAEkgA9HIgzw7zK3AAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> — внешность круга с центром в точке и радиусом 2. На границе круга ряд расходится.
Используем для решения радикальный признак Коши: