Что такое шаблон угла
Математика. 5 класс
Конспект урока
Углы. Измерение углов
Перечень рассматриваемых вопросов:
— понятие «угол», «величина угла»;
— измерение величины угла.
Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки, которая называется вершиной угла.
Градус – единица измерения углов, составляющая часть развёрнутого угла.
Градусная мера угла – число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия», – сказал в своё время французский архитектор Ле Корбюзье, и трудно с ним не согласиться. Геометрические фигуры постоянно встречаются в творениях природы и человека.
Сегодня мы рассмотрим ещё одну геометрическую фигуру – угол, разберём его виды и опишем процесс построения и измерения углов.
Для начала определим, что называют углом.
Углом называют геометрическую фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки.
Построим угол. Для этого отметим на плоскости точку О и проведём два луча – ОК и ОМ. Получим геометрическую фигуру, образованную точкой О и двумя лучами, исходящими из этой точки. Такую геометрическую фигуру и называют углом.
Лучи ОК и ОМ называют сторонами угла, точку О – общее начало этих лучей – называют вершиной угла.
Обозначается угол чаще всего тремя буквами. Например, ∠КОМ или ∠МОК. В середине пишется буква, которой обозначена вершина угла. Также угол можно обозначать и одной буквой, поставленной у вершины угла. Например, ∠О.
Начертим два луча, исходящих из точки О и принадлежащих одной прямой.
Лучи ОС и OК вместе с точкой О дополняют друг друга до прямой – это дополнительные лучи. Угол называют развёрнутым, если его стороны являются дополнительными лучами.
Угол СОК – развёрнутый.
Построим развёрнутый угол АОВ и полуокружность с центром в точке О. Полуокружность разделим на 180 равных частей. Если построим углы с вершиной в точке О, стороны которых проходят через точки деления полуокружности, то таких углов будет 180. Один такой угол будет составлять часть развёрнутого угла.
Меру угла, составляющего часть развёрнутого угла, принимают за единицу измерения углов и называют градусом. Обозначают: 1º.
Градусной мерой угла называют число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.
Например, градусная мера угла КOВ равна 25 градусам, так как в нём единица измерения градус содержится двадцать пять раз. Записывают: ∠КОВ = 25º.
Стоит отметить, что для более точного измерения угла используют доли градуса:
– минуты, которые обозначают одной чёрточкой сверху над цифрой справа,
– секунды, которые обозначаются двумя чёрточками над цифрой справа.
В одном градусе содержится 60 минут, а в одной минуте – 60 секунд.
Например, если угол А равен 10 градусам 5 минутам, записывают: ∠А = 10º5′.
Градусная мера развёрнутого угла равна 180º.
Для измерения углов в градусах пользуются прибором, который называется транспортиром. На транспортире имеется шкала – полуокружность, разделённая на 180 равных частей. На линейке транспортира чёрточкой отмечен центр полуокружности транспортира.
Чтобы найти градусную меру угла, например, угла АВС, нужно совместить центр транспортира с вершиной угла, в данном случае точкой В; расположить линейку транспортира так, чтобы одна из сторон угла прошла через начало отсчёта шкалы транспортира – ноль градусов (в данном случае сторона АВ), и найти на шкале транспортира деление, через которое проходит другая сторона угла – в данном случае сторона ВС.
Это деление шкалы покажет градусную меру угла. В нашем случае – это 120º.
Транспортир применяется также для построения угла, мера которого известна. Построим, например, угол KNM, равный 60º. Для этого:
— совместим центр транспортира с точкой N;
— расположим линейку транспортира так, чтобы луч NM прошёл через начало отсчёта шкалы транспортира;
— найдём на шкале транспортира деление, соответствующее шестидесяти градусам, и отметим напротив него точку К;
— проведём луч NK. Мы построили угол KNM, равный 60º.
Ответить на вопрос, равны ли углы, и, если не равны, то какой из них больше или меньше, можно, сравнивая их градусные меры. Углы с равными градусными мерами равны. Из двух углов больше тот, который имеет большую градусную меру; а меньше тот, который имеет меньшую градусную меру.
Углы можно сравнить также наложением. Если при этом они совпадают, то равны.
Помимо развёрнутого, углы можно разделить на следующие виды: прямой, острый и тупой.
Угол называют прямым, если его градусная мера равна 90º.
Острым – если его градусная мера меньше 90º.
Тупым – если его градусная мера больше 90º и меньше 180º.
Рассмотрим ещё два вида углов, которые встречаются в геометрических задачах: это вертикальные углы, то есть пара углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Например, угол один и два.
И смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.
Например, угол САВ и угол САD.
Вместе смежные углы составляют развёрнутый угол. Следовательно, сумма величин смежных углов составляет 180º.
Итак, сегодня мы познакомились с разными видами углов и научились строить их с помощью транспортира.
Для определения величины углов используется прибор, который называют транспортир. Но существуют и более высокоточные приборы.
Так, гониометр использовался для определения положения судна в море или океане.
Теодолит – прибор для измерения горизонтальных и вертикальных углов при геодезических работах, в строительстве и т. п.
Секстант применялся для измерения высоты Солнца над горизонтом с целью определения географических координат той местности, в которой производится измерение, и на судах.
Посох Якова, служащий для измерения углов, – один из первых инструментов для астрономических наблюдений.
Шаблон для точной и быстрой настройки углового упора циркулярной пилы
Процесс изготовления.
Итак, для данного мини-проекта нужен обрезок листовой фанеры толщиной 20 мм. Автор использует ламинированную фанеру, однако это не принципиально.
Автор разрезает лист на циркулярной пиле, используя поперечные салазки, поскольку они обеспечат идеальный прямой угол. Основная идея конструируемого приспособления заключается в том, чтобы с его помощью быстро, аккуратно и надёжно выставлять нужный угол углового упора.
Затем подобный паз пропиливается в центре доски, это для настройки под углом в 90 градусов. Далее мастер разворачивает доску перпендикулярно пропилам и делает ещё один паз в противоположном направлении.
Было бы неплохо, по мнению автора, прежде потренироваться на пробном листе фанеры, чтобы убедиться в точности пропилов и по возможности исключить неровности и люфты пазов. Тогда приспособление не будет иметь неряшливый вид.
Чтобы правильно применить получившуюся направляющую, нужно положить её поверх планки углового упора, протянуть вплоть до самого борта упора и зажать винт.
Так можно быть уверенным, что угловой упор выставлен чётко под прямым углом.
Если одно из соединений открывается, значит угловой упор следует развернуть в этом направлении, чтобы сделать угол более острым. А это значит, что вот этот край направляющей следует немного подобрать.
Это можно исправить с помощью ручного рубанка. Но автор предпочитает убрать дефект с помощью циркулярной пилы.
Если вы вырезали деталь строго под прямым углом и затем так же точно вымерили угол в 60 градусов, то Вам не стоит беспокоиться о точности угла 30 градусов. Он будет идеальным. В последнюю очередь проверяется угол в 45 градусов.
Всем хорошего настроения, удачи, и интересных идей!
Авторское видео можно найти здесь.
Мерзляк 5 класс — § 13. Многоугольники. Равные фигуры
Вопросы к параграфу
1. Какая фигура ограничивает многоугольник? — Замкнутая ломаная, звенья которой не пересекаются.
2. Могут ли звенья ломаной, ограничивающей многоугольник, пересекаться? — Нет, не могут.
3. Какие элементы многоугольника вы знаете? — Вершина, сторона, углы многоугольника.
4. Как называют и обозначают многоугольник? — Многоугольники называют и обозначают по его вершинам. Чтобы записать название многоугольника, надо последовательно записать все его вершины.
5. Что называют периметром многоугольника? — Периметр многоугольника — это сумма длин все его сторон.
6. Какие многоугольники называют равными? — Многоугольники называют равными, если они совпадают при наложении.
7. Какие фигуры называют равными? — Фигуры называют равными, если они совпадают при наложении.
Решаем устно
1. Сумму чисел 24 и 18 уменьшите на 33.
(24 + 18) — 33 = 42 — 33 = 9
2. Разность чисел 30 и 14 увеличьте в 3 раза.
3. Произведение чисел 12 и 5 увеличьте на 19.
(12 • 5) + 19 = 60 + 19 = 79
4. Частное чисел 189 и 9 уменьшите в 7 раз.
(189 : 9) : 7 = 21 : 7 = 3
5. Укажите среди данных отрезков равные, если:
Ответ: АВ = TQ и EF = MN.
Упражнения
321. Назовите вершины и стороны пятиугольника, изображённого на рисунке 109.
323. Вычислите периметр пятиугольника, стороны которого равны 2 см, 4 см, 5 см 5 мм, 6 см, 7 см.
Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон.
2 см + 4 см + 5 см 5 мм + 6 см + 7 см = 24 см 5 мм — периметр данного пятиугольника.
324. Вычислите периметр шестиугольника, три стороны которого равны по 8 см, а три другие — по 10 см.
Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон.
8 • 3 + 10 • 3 = 24 + 30 = 54 (см) — периметр данного шестиугольника.
325. Нарисуйте в тетради фигуру, равную той, которая изображена на рисунке 110.
326. Нарисуйте в тетради фигуру, равную той, которая изображена на рисунке 111.
327. Одна из сторон четырёхугольника равна 8 см, вторая сторона в 3 раза больше первой, а третья — на 7 см меньше второй и на 9 см больше четвёртой. Вычислите периметр четырёхугольника.
1) 8 • 3 = 24 (см) — длина второй стороны четырёхугольника.
2) 24 — 7 = 17 (см) — длина третьей стороны четырёхугольника.
3) 17 — 9 = 8 (см) — длина четвёртой стороны четырёхугольника.
4) 8 + 24 + 17 + 8 = 57 (см) — периметр четырёхугольника.
328. Стороны пятиугольника пронумеровали. Первая сторона равна 4 см, а каждая следующая сторона на 2 см длиннее предыдущей. Вычислите периметр пятиугольника.
1) 4 + 2 = 6 (см) — длина второй стороны пятиугольника.
2) 6 + 2 = 8 (см) — длина третьей стороны пятиугольника.
3) 8 + 2 = 10 (см) — длина четвёртой стороны пятиугольника.
4) 10 + 2 = 12 (см) — длина пятой стороны пятиугольника.
5) 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 40 (см) — периметр пятиугольника.
329. 1) Сколько диагоналей можно провести из одной вершины: а) пятиугольника; б) девятиугольника; в) и-угольника, где п > 3?
а) Из одной вершины пятиугольника можно провести 2 диагонали.
б) Из одной вершины девятиугольника можно провести 6 диагоналей.
в) Из одной вершины n-угольника можно провести (n-3) диагоналей, так как:
2) Сколько всего диагоналей можно провести: а) в пятиугольнике; б) в девятиугольнике; в) в и-угольнике, где п > 3?
а) Мы знаем, что из одной вершины пятиугольника можно провести 2 диагонали (n-3), Значит из 5 вершин можно провести 5 • 2 = 10 диагоналей (n • (n-3)). Но если провести все 10 диагоналей, то каждая пара из них будет совпадать, так как одна диагональ всегда соединяет две вершины. Значит всего в пятиугольнике можно провести 10 : 2 = 5 диагоналей ((n •(n-3) : 2). Рисунок подтверждает наш вывод.
б) Мы знаем, что из одной вершины девятиугольника можно провести 6 диагоналей (n-3 = 9 — 3 = 6), Значит из 9 вершин можно провести 9 • 6 = 54 диагонали (n • (n-3) = 9 • (9 — 3) = 9 • 6 = 54). Но если провести все 54 диагонали, то каждая пара из них будет совпадать, так как одна диагональ всегда соединяет две вершины. Значит всего в девятиугольнике можно провести 54 : 2 = 27 диагоналей ((n • (n-3) : 2 = 9 • (9 — 3) : 2 = 9 • 6 : 2 = 54 : 2 = 27). Рисунок подтверждает наш вывод.
в) Исследуя предыдущие два задания мы вывели формулу, по которой можно посчитать количество возможных диагоналей в n-угольнике, при n > 3: n • (n-3) : 2. Это значит, у количество диагоналей:
Ответ: 5, 27, n • (n-3) : 2.
330. Как, используя шаблон угла, градусная мера которого 13°, построить угол, градусная мера которого равна 2°?
Для того, чтобы используя шаблон угла, градусная мера которого 13°, построить угол, градусная мера которого равна 2° надо:
331. Как построить угол, градусная мера которого 1°, используя шаблон угла, градусная мера которого равна:
а) 19°
Для того, чтобы используя шаблон угла, градусная мера которого 19°, построить угол, градусная мера которого равна 1° надо:
Для того, чтобы используя шаблон угла, градусная мера которого 7°, построить угол, градусная мера которого равна 1° надо:
332. Существует ли многоугольник с периметром, равным 1 000 000 см, который можно целиком расположить в квадрате со стороной 1 см?
Да, теоретически такой многоугольник существует. Для этого надо из квадрата со стороной 1 см вырезать множество полосок либо треугольников, либо ещё каких-нибудь фигур вдоль нескольких сторон исходного квадрата. Точное количество таких вырезанных фигур будет зависеть от длины вырезаемых из квадрата сторон фигуры, а также от длины оставшихся от исходного квадрата сторон.
В реальности такую операцию способны выполнить только суперточные приборы, например лазерный принтер. Кроме того, необходимо провести очень точный расчёт вырезаемых фигур.
Упражнения для повторения
333. Сравните:
1) 3 986 г и 4 кг: 4 кг = 4000 г ⇒ 3 986 г
2) 6 м и 712 см: 6 м = 600 см ⇒ 600 см
3) 60 см и 602 мм: 60 см = 600 мм ⇒ 600 мм
4) 999 кг и 10 ц: 10 ц = 1000 кг ⇒ 999 кг
334. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (636 + 927) + 364 = (636 + 364) + 927 = 1 000 + 927 = 1 927
2) (425 + 798) + 675 = (425 + 675) + 798 = 1 100 + 798 = 1 898
3) 212 + 493 + 788 + 807 = (212 + 788) + (493 + 807) = 1 000 + 1 300 = 2 300
4) 161 + 455 + 839 + 945 = (161 + 839) + (455 + 945) = 1 000 + 1 400 = 2 400
335. Известно, что ∠ABC = 74°, а луч BD — его биссектриса. Вычислите величину угла DBC.
Мы знаем, что биссектриса угла всегда делит угол пополам. Значит:
∠DBC = ∠ABC : 2 = 74° : 2 = 37°
336. Высота самой высокой горы Западной Европы Монблан равна 4 809 м. Она на 2 151 м ниже самой высокой горы Южной Америки Аконкагуа, которая на 770 м выше самой высокой горы Северной Америки Денали. Какова высота самой высокой горы Африки Килиманджаро, если она на 295 м ниже горы Денали? Какова высота самой высокой горы мира Джомолунгмы (Эверест) (рис. 112), если она на 2 953 м выше горы Килиманджаро?
1) 4 809 + 2 151 = 6 960 (м) — высота горы Аконкагуа.
2) 6 960 — 770 = 6 190 (м) — высота горы Денали.
3) 6 190 — 295 = 5 895 (м) — высота горы Килиманджаро.
4) 5 895 + 2 953 = 8 848 (м) — высота горы Джомолунгма.
Ответ: 8 848 метров.
Задача от мудрой совы
337. Лимоны одинаковой массы продают поштучно. Масса каждого лимона составляет целое количество граммов. Купили больше двух, но меньше семи лимонов. Масса всей покупки составляет 850 г. Какова масса одного лимона?
Так как купили больше двух, но меньше семи лимонов, то количество купленных лимонов может быть либо 3, либо 4, либо 5, либо 6.
Масса каждого лимона — целое число, причём все лимоны одинаковые. Проверим, на какое из возможных чисел (3, 4, 5 или 6) общая масса покупки 850 г делится без остатка. Для этого применим метод подбора.
Под заданные условия подходит только число 5.
Угловой шаблон для соединения деталей под 90 градусов
Чтобы соединить две заготовки под прямым углом, можно воспользоваться самодельным приспособлением — угловым шаблоном.
Одной пары таких шаблонов будет достаточно, чтобы работать с заготовками различной ширины.
Самодельное приспособление удобно тем, что оно универсально в работе — его можно использовать в связке с разными столярными зажимами.
Например, для фиксации заготовок можно использовать зажимы-прищепки, мини струбцины, стандартные F-образные струбцины. И это очень удобно.
Идеей изготовления универсального углового шаблона поделился автор YouTube канала JSK-koubou — берите себе на заметку.
Пошаговый процесс изготовления углового шаблона для столярных работ
Первым делом необходимо будет вырезать из фанеры две одинаковых заготовки квадратной формы. Размеры деталей — на ваше усмотрение.
После этого склеиваем заготовки вместе с помощью клея ПВА, зажимаем струбцинами и оставляем на некоторое время — до высыхания клея.
Когда основа для изготовления двух шаблонов готова, можно приступать к ее разметке.
На следующем этапе высверливаем два отверстия, и вырезаем четыре паза. Разрезаем квадратную заготовку на две части — треугольники одинакового размера.
На лобзиковом или ленточном станке необходимо вырезать в заготовках лишние части. Обрабатываем детали на шлифовальном станке.
Подробно о том, как сделать своими руками угловой шаблон для соединения деталей под 90 градусов, вы можете посмотреть на видео ниже.