что такое сферические координаты

Сферическая система координат

Знак азимута определяется выбором положительного смысла поворота вокруг зенита. Этот выбор является произвольным и является частью определения системы координат.

Высота угол составляет 90 градусов ( π / 2 радианы) за вычетом угла наклона.

Если наклон равен нулю или 180 градусам ( π радиан), азимут может быть произвольным. Если радиус равен нулю, азимут и наклон являются произвольными.

Соглашения

Углы обычно измеряются в градусах (°) или радианах (рад), где 360 ° = 2 π рад. Степени чаще всего используются в географии, астрономии и инженерии, тогда как радианы обычно используются в математике и теоретической физике. Единица измерения радиального расстояния обычно определяется контекстом.

Уникальные координаты

Если необходимо определить уникальный набор сферических координат для каждой точки, необходимо ограничить их диапазоны. Обычный выбор

г ≥ 0, 0 ° ≤ θ ≤ 180 ° (π рад), 0 ° ≤ φ

Диапазон [0 °, 180 °] для наклона эквивалентен [-90 °, + 90 °] для высоты (широты).

Сюжет

Сферические координаты полезны при анализе систем, обладающих некоторой степенью симметрии относительно точки, например объемных интегралов внутри сферы, поля потенциальной энергии, окружающего концентрированную массу или заряд, или глобального моделирования погоды в атмосфере планеты. Сфера, которая имеет декартово уравнение x 2 + y 2 + z 2 = c 2, имеет простое уравнение r = c в сферических координатах.

Трехмерное моделирование выходных паттернов громкоговорителей можно использовать для прогнозирования их характеристик. Требуется ряд полярных диаграмм, снятых с широким выбором частот, поскольку диаграмма сильно меняется с частотой. Полярные графики помогают показать, что многие громкоговорители имеют тенденцию к всенаправленности на более низких частотах.

В географии

Вместо радиального расстояния географы обычно используют высоту выше или ниже некоторой опорной поверхности, которая может быть уровнем моря или «средним» уровнем поверхности для планет без жидких океанов. Радиальное расстояние r можно вычислить, исходя из высоты, добавив средний радиус опорной поверхности планеты, который составляет приблизительно 6360 ± 11 км (3952 ± 7 миль) для Земли.

Однако современные географические системы координат довольно сложны, и позиции, подразумеваемые этими простыми формулами, могут быть ошибочными на несколько километров. Точные стандартные значения широты, долготы и высоты в настоящее время определены Всемирной геодезической системой (WGS) и учитывают сглаживание Земли на полюсах (около 21 км или 13 миль) и многие другие детали.

В астрономии

Поскольку сферическая система координат является лишь одной из многих трехмерных систем координат, существуют уравнения для преобразования координат между сферической системой координат и другими.

Декартовы координаты

Цилиндрические координаты

И наоборот, сферические координаты могут быть преобразованы в цилиндрические координаты по формулам

Модифицированные сферические координаты

Также возможно работать с эллипсоидами в декартовых координатах, используя модифицированную версию сферических координат.

Бесконечно малый элемент объема задается формулой

Коэффициент квадратного корня происходит из свойства определителя, которое позволяет извлекать константу из столбца:

Общий вид формулы для доказательства дифференциального линейного элемента: [4]

то есть изменение р <\ displaystyle \ mathbf > раскладывается на отдельные изменения, соответствующие изменениям отдельных координат.

Чтобы применить это к настоящему делу, необходимо вычислить, как р <\ displaystyle \ mathbf > меняется с каждой из координат. В используемых соглашениях

.>

Таким образом, дифференциальный телесный угол равен

Элемент поверхности на поверхности с постоянным полярным углом θ (конус с вершиной в начале координат) равен

Элемент поверхности на поверхности с постоянным азимутом φ (вертикальная полуплоскость) равен

.>

.>

. \ end <выравнивается>>>

Далее, обратный якобиан в декартовых координатах имеет вид

Расстояние между двумя точками можно выразить как

В сферических координатах положение точки записывается как

Тогда его скорость равна

Угловой момент является

Соответствующий оператор углового момента следует тогда из приведенной выше переформулировки фазового пространства:

Источник

Сферические координаты

Оглавление

Обычное соглашение

определение

Сферическая система координат в трехмерном евклидовом пространстве определяется выбором

Конверсии

Приложения

Другие соглашения

Приведенная выше конструкция в некоторых отношениях несовместима с построением плоских полярных координат. Для некоторых задач практичнее использовать представление

Обратное преобразование точки или вектора в угловые компоненты затем происходит с п → <\ displaystyle <\ vec

>>

Преобразование дифференциалов

Матрица якобиана

Дифференциалы, элемент объема, элемент поверхности, элемент линии

Матрица Якоби позволяет четко записать преобразование дифференциалов в виде линейной карты:

Метрика и матрица вращения

не имеет недиагональных элементов даже в сферических координатах.

Метрический тензор, очевидно, есть квадрат диагональной матрицы

Преобразование векторных полей и операторов

Далее в качестве примера будет показано преобразование векторов и дифференциальных операторов. Результаты предпочтительно записывать в компактной форме с использованием матриц преобразования. Подавляющее большинство утверждений и формул применимы только к точкам за пределами оси z, для которых определитель Якоби не равен нулю.

Преобразование базиса векторного пространства

Из этого вы получаете

Базисные векторы и получаются аналогично : е р <\ displaystyle e_ > е θ <\ Displaystyle е _ <\ theta>>

В обратном направлении уравнения выглядят следующим образом:

Преобразование векторного поля

Этому условию соответствует

Преобразование частных производных

и в обратном направлении

Трансформация оператора Набла

И частные производные, и единичные векторы должны быть преобразованы способом, полученным выше. Обнаруживается:

В этой форме преобразованный оператор Набла может использоваться непосредственно для вычисления градиента скалярного поля, заданного в сферических координатах.

Преобразование оператора Лапласа.

Обобщение на n-мерные сферические координаты

Углы складываются по:

Перенумерация дает формулу рекурсии для углов:

Из чего получаются следующие углы:

с и ‖ Л. → 0 ‖ знак равно 0 <\ Displaystyle \ left \ Vert <\ vec > _ <0>\ right \ Vert = 0>

р знак равно ‖ Л. → п ‖ <\ displaystyle r = \ left \ Vert <\ vec > _ \ right \ Vert>

Матрица якобиана

Матрица Якоби сферических координат имеет вид с учетом приведенной выше нумерации:

Примеры

пример

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Определение

Знак азимута определяется выбором положительного смысла поворота вокруг зенита. Этот выбор является произвольным и является частью определения системы координат.

Высота угол составляет 90 градусов ( π / 2 радианы) за вычетом угла наклона.

Если наклон равен нулю или 180 градусам ( π радиан), азимут может быть произвольным. Если радиус равен нулю, азимут и наклон являются произвольными.

Условные обозначения

Углы обычно измеряются в градусах (°) или радианах (рад), где 360 ° = 2 π рад. Степени чаще всего используются в географии, астрономии и инженерии, тогда как радианы обычно используются в математике и теоретической физике. Единица измерения радиального расстояния обычно определяется контекстом.

Уникальные координаты

Если необходимо определить уникальный набор сферических координат для каждой точки, необходимо ограничить их диапазоны. Обычный выбор

г ≥ 0, 0 ° ≤ θ ≤ 180 ° (π рад), 0 ° ≤ φ

Диапазон [0 °, 180 °] для наклона эквивалентен [-90 °, + 90 °] для высоты (широты).

Сюжет

Приложения

Сферические координаты полезны при анализе систем, обладающих некоторой степенью симметрии относительно точки, таких как объемные интегралы внутри сферы, поле потенциальной энергии, окружающее концентрированную массу или заряд, или глобальное моделирование погоды в атмосфере планеты. Сфера, которая имеет декартово уравнение x 2 + y 2 + z 2 = c 2, имеет простое уравнение r = c в сферических координатах.

Трехмерное моделирование выходных паттернов громкоговорителей можно использовать для прогнозирования их характеристик. Требуется ряд полярных диаграмм, снятых с широким выбором частот, поскольку диаграмма сильно меняется с частотой. Полярные графики помогают показать, что многие громкоговорители имеют тенденцию к всенаправленности на более низких частотах.

Сферическая система координат также обычно используется при разработке трехмерных игр для поворота камеры вокруг позиции игрока.

В географии

Вместо радиального расстояния географы обычно используют высоту выше или ниже некоторой опорной поверхности, которая может быть уровнем моря или «средним» уровнем поверхности для планет без жидких океанов. Радиальное расстояние r можно вычислить, исходя из высоты, добавив средний радиус опорной поверхности планеты, который составляет приблизительно 6360 ± 11 км (3952 ± 7 миль) для Земли.

Однако современные географические системы координат довольно сложны, и позиции, подразумеваемые этими простыми формулами, могут быть ошибочными на несколько километров. Точные стандартные значения широты, долготы и высоты в настоящее время определены Всемирной геодезической системой (WGS) и учитывают сглаживание Земли на полюсах (около 21 км или 13 миль) и многие другие детали.

В астрономии

Преобразования системы координат

Поскольку сферическая система координат является лишь одной из многих трехмерных систем координат, существуют уравнения для преобразования координат между сферической системой координат и другими.

Декартовы координаты

Цилиндрические координаты

И наоборот, сферические координаты могут быть преобразованы в цилиндрические координаты по формулам

Модифицированные сферические координаты

Также возможно работать с эллипсоидами в декартовых координатах, используя модифицированную версию сферических координат.

Бесконечно малый элемент объема задается формулой

Коэффициент квадратного корня происходит из свойства определителя, которое позволяет извлекать константу из столбца:

Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах

Общий вид формулы для доказательства дифференциального линейного элемента:

то есть изменение разбивается на отдельные изменения, соответствующие изменениям отдельных координат. р <\ displaystyle \ mathbf >

Чтобы применить это к настоящему случаю, необходимо вычислить, как изменяется каждая из координат. В используемых соглашениях р <\ displaystyle \ mathbf >

.>

Таким образом, дифференциальный телесный угол равен

Элемент поверхности на поверхности с постоянным полярным углом θ (конус с вершиной в начале координат) равен

Элемент поверхности на поверхности с постоянным азимутом φ (вертикальная полуплоскость) равен

.>

.>

. \ end <выравнивается>>>

Далее, обратный якобиан в декартовых координатах имеет вид

Расстояние в сферических координатах

Расстояние между двумя точками можно выразить как

Кинематика

В сферических координатах положение точки записывается как

Тогда его скорость равна

Соответствующий оператор углового момента следует тогда из приведенной выше переформулировки фазового пространства:

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Определение

Знак азимута определяется выбором положительного смысла поворота вокруг зенита. Этот выбор является произвольным и является частью определения системы координат.

Высота угол составляет 90 градусов ( π / 2 радианы) за вычетом угла наклона.

Если наклон равен нулю или 180 градусам ( π радиан), азимут может быть произвольным. Если радиус равен нулю, азимут и наклон являются произвольными.

Условные обозначения

Углы обычно измеряются в градусах (°) или радианах (рад), где 360 ° = 2 π рад. Степени чаще всего используются в географии, астрономии и инженерии, тогда как радианы обычно используются в математике и теоретической физике. Единица измерения радиального расстояния обычно определяется контекстом.

Уникальные координаты

Если необходимо определить уникальный набор сферических координат для каждой точки, необходимо ограничить их диапазоны. Обычный выбор

г ≥ 0, 0 ° ≤ θ ≤ 180 ° (π рад), 0 ° ≤ φ

Диапазон [0 °, 180 °] для наклона эквивалентен [-90 °, + 90 °] для высоты (широты).

Сюжет

Приложения

Сферические координаты полезны при анализе систем, обладающих некоторой степенью симметрии относительно точки, таких как объемные интегралы внутри сферы, поле потенциальной энергии, окружающее концентрированную массу или заряд, или глобальное моделирование погоды в атмосфере планеты. Сфера, которая имеет декартово уравнение x 2 + y 2 + z 2 = c 2, имеет простое уравнение r = c в сферических координатах.

Трехмерное моделирование выходных паттернов громкоговорителей можно использовать для прогнозирования их характеристик. Требуется ряд полярных диаграмм, снятых с широким выбором частот, поскольку диаграмма сильно меняется с частотой. Полярные графики помогают показать, что многие громкоговорители имеют тенденцию к всенаправленности на более низких частотах.

Сферическая система координат также обычно используется при разработке трехмерных игр для поворота камеры вокруг позиции игрока.

В географии

Вместо радиального расстояния географы обычно используют высоту выше или ниже некоторой опорной поверхности, которая может быть уровнем моря или «средним» уровнем поверхности для планет без жидких океанов. Радиальное расстояние r можно вычислить, исходя из высоты, добавив средний радиус опорной поверхности планеты, который составляет приблизительно 6360 ± 11 км (3952 ± 7 миль) для Земли.

Однако современные географические системы координат довольно сложны, и позиции, подразумеваемые этими простыми формулами, могут быть ошибочными на несколько километров. Точные стандартные значения широты, долготы и высоты в настоящее время определены Всемирной геодезической системой (WGS) и учитывают сглаживание Земли на полюсах (около 21 км или 13 миль) и многие другие детали.

В астрономии

Преобразования системы координат

Поскольку сферическая система координат является лишь одной из многих трехмерных систем координат, существуют уравнения для преобразования координат между сферической системой координат и другими.

Декартовы координаты

Цилиндрические координаты

И наоборот, сферические координаты могут быть преобразованы в цилиндрические координаты по формулам

Модифицированные сферические координаты

Также возможно работать с эллипсоидами в декартовых координатах, используя модифицированную версию сферических координат.

Бесконечно малый элемент объема задается формулой

Коэффициент квадратного корня происходит из свойства определителя, которое позволяет извлекать константу из столбца:

Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах

Общий вид формулы для доказательства дифференциального линейного элемента:

то есть изменение разбивается на отдельные изменения, соответствующие изменениям отдельных координат. р <\ displaystyle \ mathbf >

Чтобы применить это к настоящему случаю, необходимо вычислить, как изменяется каждая из координат. В используемых соглашениях р <\ displaystyle \ mathbf >

.>

Таким образом, дифференциальный телесный угол равен

Элемент поверхности на поверхности с постоянным полярным углом θ (конус с вершиной в начале координат) равен

Элемент поверхности на поверхности с постоянным азимутом φ (вертикальная полуплоскость) равен

.>

.>

. \ end <выравнивается>>>

Далее, обратный якобиан в декартовых координатах имеет вид

Расстояние в сферических координатах

Расстояние между двумя точками можно выразить как

Кинематика

В сферических координатах положение точки записывается как

Тогда его скорость равна

Соответствующий оператор углового момента следует тогда из приведенной выше переформулировки фазового пространства:

Источник

СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ

числа и связанные с декартовыми прямоугольными коорди натами х, у и z формулами

где Координатные поверхности (см. рис.): концентрич. сферы с центром полуплоскости, проходящие через ось круговые конусы с вершиной Ои осью Система С. к.- ортогональная.

Элемент площади поверхности:

Векторные дифференциальные операции:

Обобщенными С. к. наз. числа и, v и w, связанные с декартовыми прямоугольными координатами х, у и z формулами

где Координатные поверхности: эллипсоиды (u=const), полуплоскости (v=const) и эллиптич. конусы (w=const).

Смотреть что такое «СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ» в других словарях:

сферические координаты — точки М, три числа r, θ, φ (рис.), связанные с декартовыми координатами х, у, z этой точки формулами: х = r sinθcosφ, у = r sinθsinφ, z = r cosθ. Сферические координаты имеют большое применение в математике и её приложениях. * * * СФЕРИЧЕСКИЕ… … Энциклопедический словарь

Сферические координаты — точки М, три числа r, θ, φ, которые определяются следующим образом. Через фиксированную точку О (рис.) проводятся три взаимно оси Ox, Оу, Oz. Число r равно расстоянию от точки О до точки М, θ представляет собой угол между вектором Oz, φ… … Большая советская энциклопедия

СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ — точки М, три числа r, 0, ф (рис.), связанные с декартовыми координатами х, у, г этой точки формулами: С. к. имеют большое применение в математике и её приложениях … Естествознание. Энциклопедический словарь

сферические координаты — sferinės koordinatės statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. spherical coordinates vok. sphärische Koordinaten, f rus. сферические координаты, f pranc. coordonnées sphériques, f … Automatikos terminų žodynas

сферические координаты — sferinės koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. spherical coordinates vok. sphärische Koordinaten, f rus. сферические координаты, f pranc. coordonnées sphériques, f … Fizikos terminų žodynas

полярные сферические координаты — Две угловые величины, определяющие положение точки на поверхности шара соответственно от произвольно выбранной точки, принимаемой за полюс системы координат, и от ее меридиана. [ГОСТ 21667 76] Тематики картография Обобщающие термины… … Справочник технического переводчика

Координаты (математ.) — Координаты [от лат. co (cum) ≈ совместно и ordinatus ≈ упорядоченный, определённый], числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на любой поверхности или в пространстве. Первыми вошедшими в систематическое употребление К.… … Большая советская энциклопедия

КООРДИНАТЫ — (от лат. co совместно и ordinatus упорядоченный определенный), числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве. Прямоугольные (декартовы) координаты точки на плоскости суть снабженные знаками + … Большой Энциклопедический словарь

Источник