Релятивистская механика
Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.
Содержание
Общие принципы
Релятивистская механика — теория, в которой, в отличие от классической механики, где пространственные координаты и время являются независимыми, при отсутствии голономных связей зависящих от времени, (время является абсолютным, то есть течёт одинаково во всех системах отсчёта) и действуют преобразования Галилея, события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца. Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта.
Основные законы релятивистской механики — релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца.
Второй закон Ньютона в релятивистской механике
Сила определяется как 
, также известно выражение для релятивистского импульса:
Взяв для определения силы производную по времени от последнего выражения, получим:
где введены обозначения: 
и 
.
В результате выражение для силы приобретает вид:
Отсюда видно, что в релятивистской механике в отличие от нерелятивистского случая ускорение не обязательно направлено по силе, в общем случае ускорение имеет также и составляющую, направленную по скорости.
Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике
Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия: 
, где 
-положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО) 
, подставляя в интеграл движения, находим: 
. Но, с другой стороны, интеграл движения, можно выразить через функцию Лагранжа: 
. Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть:
.
Далее, разложим последнее выражение по степеням 
, получим:
, первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа: 
, нетрудно определить константу :
. Таким образом, окончательно получаем вид функции Лагранжа свободной частицы:
.
Рассуждения, приведенные выше, можно рассматривать не только для частицы, но и для произвольного тела, лишь бы его части двигались как одно целое.
Релятивистская частица как неголономная система
Поскольку квадрат 4-вектора импульса 
является постоянной величиной:
Источники
См. также
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Релятивистская механика» в других словарях:
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА — раздел теор. физики, рассматривающий классич. законы движения тел (ч ц) при скоростях движения v, сравнимых со скоростью света с. Р. м. основана на спец. теории относительности. Осн. ур ния Р. м. релятив. обобщение 2 го закона Ньютона и релятив.… … Физическая энциклопедия
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА — рассматривает классические (неквантовые) законы механического движения тел (частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света; основана на специальной относительности теории … Большой Энциклопедический словарь
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА — раздел теоретической физики, рассматривающий классические законы движения тел (частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света в вакууме. Р. м. основана на специальной теории относительности … Большая политехническая энциклопедия
релятивистская механика — рассматривает классические (неквантовые) законы механического движения тел (частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света; основана на специальной относительности теории. * * * РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА, рассматривает… … Энциклопедический словарь
релятивистская механика — reliatyvistinė mechanika statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. relativistic mechanics vok. relativistische Mechanik, f; Relativitätsmechanik, f rus. релятивистская механика, f pranc. mécanique relativiste, f … Fizikos terminų žodynas
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА — (от лат. relati vus относительный) механика тел, движущихся со скоростями v, близкими к скорости с распространения электромагнитных волн в вакууме (м/с Большой энциклопедический политехнический словарь
Релятивистская механика — (от лат. relativus относительный + механика) механика Эйнштейна, основанная на принципе относительности и на постулате о постоянстве скорости света по всем направлениям относительно любой инерциальной системы отсчета. Отличается от механики… … Начала современного естествознания
Релятивистская механика — раздел теоретической физики, рассматривающий классические законы движения тел (частиц) при скоростях движения v, сравнимых со скоростью света. Р. м. основана на теории относительности. Основные уравнения Р. м. релятивистское обобщение… … Большая советская энциклопедия
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА — рассматривает классич. (неквантовые) законы механич. движения тел (частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света; основана на спец. теории относительности … Естествознание. Энциклопедический словарь
МЕХАНИКА — МЕХАНИКА, раздел физики, изучающий свойства тел (ВЕЩЕСТВ) под действием приложенных к ним сил. Делится на механику твердых и механику жидких тел. Другой раздел, статика, изучает свойства тел в состоянии покоя, а ДИНАМИКА движение тел. В статике… … Научно-технический энциклопедический словарь
Понятие релятивистской механики
Обновлено: 05 Июля 2021
Мы понимаем принципы работы классической механики. Однако какие законы действуют на скоростях, близких к скорости света? В этой статье расскажем об основных законах релятивистской механики.
Что такое релятивистская механика
Релятивистская механика изучает движение частиц, у которых скорость близка к скорости света. Этот раздел появился на стыке механики, специальной теории относительности и общей теории относительности.
В основе лежат два постулата:
Основной закон релятивистской механики
Сформулировать основную теорию релятивистской механики можно следующим образом: скорость изменения импульса физического тела равняется силе, действующей на точку. Такая формулировка этой теории формально совпадает со вторым законом Ньютона.
Первое положение универсальной теории относительности говорит о том, что формы фундаментальных постулатов физики во всех существующих инерциальных системах отсчета должны обязательно сохраняться.
В то же время основной закон динамики Ньютона выражается уравнением, в котором масса m является абсолютной и одинаковой во всех инерциальных системах отсчета. И при переходе от одной системы отсчета к другой форма записи закона также будет кардинально видоизменяться. Из чего можно сделать вывод о том, что этот закон не может стать базой для релятивистской динамики.
Эйнштейном было доказано, что форма второго закона Ньютона сохранится, если под общей массой понимать коэффициент, измеряющийся только в инерциальной системе отсчета при помощи материальной точки и скорости света в пустоте.
Закон взаимосвязи массы и энергии
Закон соотношения между массой и энергией можно выразить следующей формулой:
Тело обладает энергией и при нулевой скорости. Такая энергия называется энергией покоя.
Полную энергию свободного тела можно приравнять к произведению его релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме: \(E = mc^2\)
При этом нельзя говорить, что масса переходит в энергию. Осуществляется переход из одной формы энергии в другую. Однако любое превращение энергии сопровождается превращением массы.
Преобразование Лоренца
Преобразования, в основе которых лежат постулаты Эйнштейна, называются преобразованиями Лоренца.
В свою очередь в преобразованиях Лоренца он равен \(y.\)
Расчет для \(t\) в преобразованиях Лоренца будет иметь следующий вид:
Следствия из преобразований Лоренца:
где \(Δt \) – промежуток времени между событиями, а \(Δt0\) – собственное время.
где \(l0\) – собственная длина.
Проекция скорости материальной точки на координатные оси в системе \(K\) :
Проекция скорости материальной точки на координатные оси в системе \(K\) ’:
Принцип относительности в релятивистской механике
Принцип относительности – базовый постулат теории Эйнштейна, в котором говорится о том, что все физические процессы проходят единовременно и одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Но в релятивистской механике теория относительности основывается не только на первом постулате, но и на втором, суть которого заключается в том, что скорость света в пустоте равна для всех существующих в той же среде инерциальных систем отсчета. На нее не влияют ни скорость светового сигнала, ни скорость самого источника.
Следствия, которые вытекают из постулатов теории относительности:
Если вам нужна курсовая, дипломная работа по этой или другой теме, авторы ФениксХелп отлично справятся с такой задачей.
Основы механики для «чайников» (часть 3): релятивистская механика
Релятивистская механика
Релятивистская механика – это механика, в которую превращается механика Ньютона в случае если тело движется со скоростью, близкой к скорости света. На таких высоких скоростях с вещами начинают происходить ну просто волшебные и совершенно неожиданные вещи, такие как, например, релятивистское сокращение длины или замедление времени.
Но как именно классическая механика становится релятивистской? Обо всем по порядку в нашей новой статье.
Начнем с самого начала.
Принцип относительности Галилея
Принцип относительности Галилея (1564-1642) гласит:
В инерциальных системах отсчета все процессы протекают одинаково, если система неподвижна или движется равномерно и прямолинейно.
В данном случае речь идет исключительно о механических процессах. Что это значит? Это значит, что если мы, например, будем плыть на равномерно и прямолинейно движущемся пароме через туман, мы не сможем определить, движется паром или покоится. Иными словами, если провести эксперимент в двух одинаковых замкнутых лабораториях, одна из которых равномерно и прямолинейно движется относительно другой, результат эксперимента будет одинаковым.
Галилео Галилей
Преобразования Галилея
Преобразования Галилея в классической механике – это преобразования координат и скорости при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Не будем приводить здесь всех вычислений и выводов, а просто запишем формулу для преобразования скорости. Согласно этой формуле скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела в движущейся системе отсчета и скорости движущейся системы отсчета относительно неподвижной.
Приведенный нами выше принцип относительности Галилея является частным случаем принципа относительности Эйнштейна.
Принцип относительности Эйнштейна и постулаты СТО
В начале двадцатого века после более чем двухсотлетнего господства классической механики возник вопрос о распространении принципа относительности на немеханические явления. Причиной возникновения такого вопроса стало закономерное развитие физики, в частности оптики и электродинамики. Результаты многочисленных экспериментов то подтверждали справедливость формулировки принципа относительности Галилея для всех физических явлений, то в ряде случаев указывали на ошибочность преобразований Галилея.
Например, проверка формулы сложения скоростей показала ее ошибочность при скоростях, близких к скорости света. Более того, опыт Физо в 1881 году показал, что скорость света не зависит от скорости движения источника и наблюдателя, т.е. в любой системе отсчета остается постоянной. Данный результат эксперимента никак не укладывался в рамки классической механики.
Первый постулат: во всех инерциальных системах отсчета все физические явления протекают одинаково. При переходе от одной системы к другой все законы природы и явления, описывающие их, инвариантны, то есть никакими опытами нельзя отдать предпочтение одной из систем, ибо они инвариантны.
Второй постулат: скорость света в вакууме одинакова во всех направлениях и не зависит от источника и наблюдателя, т.е. не изменяется при переходе от одной инерциальной системы к другой.
Скорость света – предельная скорость. Никакой сигнал или действие не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света.
Преобразования координат и времени при переходе от неподвижной системы отсчета к системе, движущейся со скоростью света, называются преобразованиями Лоренца. К примеру, пусть одна система покоится, а вторая движется вдоль оси абсцисс.
Как видим, время также изменяется наряду с координатами, то есть выступает как бы в роли четвертной координаты. Преобразования Лоренца показывают, что в СТО пространство и время неразделимы в отличие от классической механики.
Помните парадокс двух близнецов, один из которых ждал на земле, а второй летел на космическом корабле с очень большой скоростью? После того как брат-космонавт вернулся на землю, он застал своего брата стариком, хотя сам был практически так же молод, как в момент начала путешествия. Типичный пример того, как изменяется время в зависимости от системы отсчета.
Парадокс близнецов
При скоростях же много меньших скорости света преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Даже при скорости современных реактивных самолетов и ракет отклонения от законов классической механики настолько малы, что их практически невозможно измерить.
Релятивистская механика
Механика, учитывающая преобразования Лоренца, и называется релятивистской.
В рамках релятивистской механики меняются формулировки некоторых физических величин. Например, импульс тела в релятивистской механике в соответствии с преобразованиями Лоренца может быть записан так:
Соответственно, второй закон Ньютона в релятивистской механике будет иметь вид:
А полная релятивистская энергия тела в релятивистской механике равна
Если тело покоится и скорость равна нулю, данная формула преобразуется в знаменитую
Формула энергии покоя тела
Данная формула, которую, кажется, знают все, показывает, что масса является мерой полной энергии тела, а также иллюстрирует принципиальную возможность перехода энергии вещества в энергию излучения.
Дорогие друзья, на этой торжественной ноте мы закончим наш сегодняшний обзор релятивистской механики. Мы рассмотрели принцип относительности Галилея и Эйнштейна, а также некоторые основные формулы релятивистской механики. Самым стойким и дочитавшим статью до конца напоминаем – в мире нет «нерешабельных» задач и проблем, которые невозможно решить. Паниковать и переживать из-за незаконченной курсовой нет никакого смысла. Просто вспомните о масштабах Вселенной, вздохните полной грудью и поручите выполнение настоящим профессионалам своего дела – авторам компании Zaochnik.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Несколько слов о физических теориях как приближениях реального мира
Предисловие
Решил написать небольшую статью, рассматривающую современный уровень развития некоторых физических теорий (в моём уровне понимания) в контексте сравнения с теориями, названными классической нерелятивистской физикой.
В первую очередь хочу указать, что классической нерелятивистской физикой я называю часть теоретической физики, которая была создана в второй половине XVIII — первой половине XIX века Лагранжем, Гамильтоном и позже расширены другими физиками в течении XIX века (я тут не упоминаю имена этих физиков, которые могли способствовать приведению теории и её мат. аппарата к современному виду, включая уроженцев Российской империи).
Классическая нерелятивистская механика и теория гравитации
Основы классической механики были заложены И. Ньютоном, сформулировавшим свои «3 закона» в труде «Математические начала натуральной философии» (год издания — 1687), хотя следует упомянуть принцип относительности, сформулированный Г. Галилеем в 1632 году (тоже использую год издания).
В самом простейшем случае можно сказать, что механика Ньютона (как и Лагранжа, и Гамильтона) может быть сформулирована в виде:
где p — это импульс, в общем случае — так называемый «обобщенный импульс», а F — сила. В отсутствии магнитного поля (а слабое или сильное взаимодействие я здесь тем более не упоминаю) эта сила может быть консервативной. Консервативной называется такая сила, работа которой на любой траектории не зависит от формы траектории и скорости движения (это в том числе отсылка к релятивистской динамике, фактически получается, что в СТО не существует понятия «консервативная сила»).
Для консервативных сил упомянутый выше закон может быть переписан в виде
где x — обобщенная координата, а p — соответствующий ей обобщенный импульс.
Подобная формулировка «2 закона Ньютона» является более общей, т. к. она получается при записи уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона. Уравнения Лагранжа и Гамильтона выводятся из принципа наименьшего действия. Действие — интеграл, который имеет размерность Дж *с и берется между 2 конфигурациями системы, то есть наборами координат и импульсов (x,p). В общем случае он выражается разными способами для разных подходов к классической механике.
Если говорить о классической теории гравитации, то она формулируется в виде закона гравитации Ньютона (через силу, а можно и записать через потенциальную энергию)
где сила действует в направлении притягивающего тела (этим сила гравитации отличается от электрической силы, которая создает отталкивание для одинаковых зарядов).
Формулировка закона гравитации через потенциальную энергию может быть выражена простейшей фразой:
Сумма кинетической энергии T(v) и потенциальной энергии U(r) остается постоянной все время движения частицы (системы частиц) вдоль их траектории.
Из этого закона можно получить простейшее уравнение:
В том случае, если мы смогли свести задачу к 1-мерной координате r (расстояние между центрами масс этих 2 тел) — мы можем записать решение задачи через интеграл:
Дальнейший метод решения — взять корень и дальше получаем простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Тут возникает 2 проблемы:
Сила Лоренца (деленная на электрический заряд частицы) тут интересна тем, что является по сути приближением для понятия «напряженность электрического поля E в системе отсчета частицы, движущейся со скоростью v» для скоростей v, много меньших скорости света.
Специальная теория относительности
Специальная теория относительности (СТО) была создана в 1892-1905 годах трудами Х. Лоренца, А. Пуанкаре и А. Эйнштейна. Описывает инерциальные системы отсчета (ИСО), строго говоря её постулаты нарушаются сразу, как только система отсчета перестает быть инерциальной (характер движения системы перестает быть равномерным и прямолинейным). В квантовой теории поля (по моему скромному пониманию) работает такой «закон», что после нахождения СО в состоянии неинерциального движения первый из упомянутых ниже постулатов перестает выполняться вообще, даже на время будущего равномерного и прямолинейного движения.
Наверное все помнят постулаты СТО, из которых выводятся преобразования Лоренца, но я сформулирую их следующим образом:
Она описывает связь между энергией частицы, импульсом и массой покоя.
Одно из следствий СТО — частица с массой покоя выше 0 не может достигнуть скорости света, хотя ещё энергия может расти выше «классического» предела
Данное утверждение согласуется с тем фактом, что элементарная частица может иметь кинетическую энергию, которая существенно больше этой величины.
И конечно следует упомянуть метрику Лоренца, также известную, как метрика Минковского:
Через эту метрику можно ввести понятие «длина 4-вектора», к 4-векторам относятся:
В этом случае я применил систему обозначений, при которой время измеряется в метрах, а скорость света равна единице. То есть, «хорошая» запись 4-вектора требует, чтобы он состоял из 4 величин одинаковой размерности.
Важное свойство любого 4-вектора — его значение при переходе в другую систему отсчета преобразуется так же, как соответствующие компоненты 4-координаты.
В электродинамике существует такая величина, как 4-мерная плотность тока. Вектор 4-тока может быть записан в виде:
Также следует упомянуть, что существуют ковариантные (как первая запись 4-тока) и контравариантные (как вторая запись) вектора. Переход между этими векторами осуществляется по формуле:
здесь применено соглашение Эйнштейна, которое означает, что в этой записи подразумевается суммирование по паре одинаковых индексов, расположенных в верху и внизу.
И так как статья о приближениях, конечно упомяну, как можно показать приближение СТО к механике Ньютона и как можно использовать. Из формулы (1) можно выразить энергию через импульс:
Кинетическую энергию можно выразить как разницу между полной энергией E и энергией покоя:
И в приближении p * я тут применил в смысле комплексного сопряжения. Конечно по определению не очень хорошо вводить метрику с комплексными элементами тензора, но физика не всегда оперирует действительными величинами, так что оставлю выражение в таком виде. В общем случае можно попробовать подставить в уравнения вообще любой (то есть не действительный) вид метрики, но Вы тогда можете получить комплексный тензор энергии-импульса. Все компоненты метрического тензора могут зависеть от координат, но при этом эти зависимости должны оставаться достаточно гладкими, так как тензор является решением дифференциального уравнения.
Понятие кривизны пространства-времени вводится в ОТО через такие понятия, как символы Кристоффеля и ковариантную производную (в необходимом мне смысле ковариантная производная записана здесь).
Тензор кривизны впервые введен немецким математиком Бернхардом Риманом в работе «Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen» ([1]), впервые опубликованной уже после смерти Римана. С помощью упомянутых выше символов этот тензор четвертого ранга можно записать в таком виде:
И достаточным условием того, что все компоненты тензора кривизны будут равны нулю, будет равенство нулю всех символов Кристоффеля:
Тривиальным условием для выполнения этого будет диагональность матрицы g и условие для любой перестановки индексов
Теперь перейду к тому, как получить пространство-время с нулевым тензором кривизны, а точнее — тензором Риччи. Тензором Риччи называют свертку тензора кривизны по первому и последнему индексу:
Забегая вперед скажу, что согласно уравнению Эйнштейна нулевой тензор Риччи может быть только в пустом пространстве (когда все компоненты тензора энергии-импульса равны нулю). В таком пространстве мы не получим гравитации по теории Ньютона. Желающие могут попробовать найти такую метрику, которая отличная от метрики Минковского, но сохраняет нулевой тензор Риччи. Возможно, что Вы откроете гравитационные волны.
Проведя свертку тензора Риччи по оставшимся 2 индексам мы получим скалярную кривизну:
Теперь перейду к самому уравнению Эйнштейна, также известному как уравнение Эйнштейна-Гильберта.
Цитата из Википедии:
Летом 1915 года Эйнштейн приехал в Гёттингенский университет, где прочитал ведущим математикам того времени, в числе которых был и Гильберт, лекции о важности построения физической теории гравитации и имевшихся к тому времени у него наиболее перспективных подходах к решению проблемы и её трудностях. Между Эйнштейном и Гильбертом завязалась переписка с обсуждением данной темы, которая значительно ускорила завершение работы по выводу окончательных уравнений поля. До недавнего времени считалось, что Гильберт получил эти уравнения на 5 дней раньше, но опубликовал позже: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свою работу, содержащую правильный вариант уравнений, 25 ноября, а заметка Гильберта «Основания физики» была озвучена 20 ноября 1915 года на докладе в Гёттингенском математическом обществе и передана Королевскому научному обществу в Гёттингене, за 5 дней до Эйнштейна (опубликована в 1916 году). Однако в 1997 году была обнаружена корректура статьи Гильберта от 6 декабря, из которой видно, что Гильберт выписал уравнения поля в классическом виде не на 5 дней раньше, а на 4 месяца позже Эйнштейна. В ходе завершающей правки Гильберт вставил в свою статью ссылки на параллельную декабрьскую работу Эйнштейна, добавил замечание о том, что уравнения поля можно представить и в ином виде (далее он выписал классическую формулу Эйнштейна, но без доказательства).
При выводе уравнения гравитационного поля ученые применили 2 принципа:
Эти утверждения я считаю доказанными учеными. Другие ученые могли вводить модификацию действия Эйнштейна, наиболее известный пример — теория Бранса-Дикке. Достаточных доказательств этих теорий в наблюдениях пока не получено. Желающие изучить саму теорию могут почитать например здесь.
С учетом введенных выше обозначений уравнение Эйнштейна можно записать в следующем виде:
где G — гравитационная постоянная. Краткий смысл уравнения можно сформулировать так:
Квантовая механика
Квантовая механика была создана физиками для описания микроскопических систем. Одним из первых достижений квантовой теории, подтверждавшейся в наблюдаемых данных, была полуклассическая модель атома Н. Бора, созданная в 1913 году. Я применю для записи уравнений квантовой механики такую вольность — обозначу приведенную постоянную Планка буквой h (вместо символа «h с чертой»). Постулат теории Бора, имеющий минимальное отношение к настоящей квантовой механике, это постулат о квантовании момента импульса электрона массы m на «орбитах» в атоме:
где n — натуральное число (в настоящей квантовой механике момент импульсам может быть 0, но это число n, называемое «главное квантовое число», является натуральным).
Дальнейшим этапом развития квантовой механики было формулирование Э. Шрёдингером уравнения, названного позднее его именем. Это уравнение записывается через особый оператор, называемый «гамильтониан». Оператор получатся из функции Гамильтона путем замены классического импульса на оператор импульса:
где x — обобщенная координата, соответствующая классическому обобщенному импульсу px.
В общем случае уравнение Шрёдингера записывается для волновой функции (обозначается греческой буквой «пси») как нестационарное:
здесь применен частный случай, когда в функции Гамильтона классической системы обобщенный импульс имеет вид обычного классического импульса. А для случая консервативных систем уравнение Шрёдингера может быть записано в стационарной форме, которая может рассматриваться как уравнение для нахождения собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона:
где E — соответствующее собственное значение оператора.
Для рассмотрения перехода от квантовой механики к классической рассмотрим замену волновой функции в уравнении Шрёдингера на следующую переменную:
Уравнение Шрёдингера можно решать путем разложения функции S (имеющей размерность действия) по степеням постоянной Планка:
После подстановки функции S в уравнение получает следующий вид:
где константа A была сокращена.
Для получения уравнения классической механики (известного как уравнение Гамильтона-Якоби) нам следует указать, что величина действия S на любой классической траектории имеет величину много больше, чем постоянная Планка. После этого последний член уравнения может быть откинут.
При необходимости более точного решения уравнения применяется упомянутое выше разложение действия по степеням h. Функция S1 находится как решение уравнения Гамильтона-Якоби, после чего подставляется в систему уравнений, полученную путем разложения уравнения по степеням h (то есть что левая и правая часть должна совпасть или при переносе в одну сторону коэффициенты условного полинома должны стать равны нулю).
Идеология приближенного решения уравнения Шрёдингера (точнее — нахождения поправок к уровням энергии) может быть сформулирована так:
Используя волновые функции невозмущенного гамильтониана H0 и величину возмущения H1 (равную H — H0) путем нескольких итераций можно найти новые уровни энергии E.
Гамильтониан физической системы представляется в виде:
где… подразумевают, что в разных случаях нам требуется учесть разное число поправок, которые, как правило, имеют разный порядок малости. Эти поправки к гамильтониану называются возмущениями, а волновые функции гамильтониана H1 должны быть точно известны. Соответствующая теория решения уравнения называется «теория возмущений«.
Если нам известны волновые функции гамильтониана H1, то они образуют базис линейного пространства (ЕМНИП). Это означает, что вообще любая волновая функция может быть представлена в виде линейной комбинации волновых функций невозмущенного гамильтониана. С учетом этого можно показать, что первый порядок теории возмущений приводит к изменению энергии уровня под номером n на величину
$» data-tex=»display»/>
Данное выражение называется матричным элементом оператора H2 по волновым функциям, соответствующим состояниям с номерами n и n.
Самое первое (по времени открытия) и (ЕМНИП) самое большое по величине отклонение уровней энергии атома водорода от предсказания нерелятивистской квантовой механики может быть получено при условии подстановки в виде возмущения гамильтониана системы оператора кинетической энергии в форме формулы (2):
$» data-tex=»display»/>
Вы могли увидеть, что эта величина отрицательна. Тут есть 2 замечания. Во первых, оператор импульса здесь соответствует релятивистскому импульсу, который может превысить mc — значит в релятивистском случае растет и первый член в разложении кинетической энергии. Во вторых, к тому моменту, как формула 2 начинает падать с ростом импульса, Вы точно знаете, что должны были учесть:
Вместо послесловия
На этом я заканчиваю свой обзор, так как он приблизился к границам моей области знаний. Но наука не стоит на месте. За 100 лет после формулировки ОТО были открыты гравитационные волны, а за 100 лет после формулировки постулатов Бора был открыт целый набор элементарных частиц и, фактически, 3 новых фундаментальных взаимодействия. СТО и квантовая механика уже нашли применение в практических устройствах (речь идет не только про экспериментальные научные установки, но и про множество оптических устройств).
Список упомянутых источников:
1. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867