что такое разложение числа

Разложение числа на множители онлайн

Онлайн калькулятор раскладывает число в произведение простых множителей. Для вычислений используется длинная арифметика, поэтому можно легко разложить на множители даже большие числа.

Что такое разложение числа на множители?

Натуральное число называется делителем целого числа если для подходящего целого числа верно равенство . В этом случае говорят, что делится на или что число кратно числу .

Простым числом называют натуральное число , делящееся только на себя и на единицу. Составным числом называют число, имеющее больше двух различных делителей (любое натуральное число не равное имеет как минимум два делителя: и ). Например, числа – простые, а числа – составные.

Как разложить число на множители?

В школе на уроках математики разложение числа на множители обычно записывают столбиком в две колонки. Делается это так: в левую колонку выписываем исходное число, затем

Повторяем эти шаги, при этом работаем уже с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение заканчивается, когда в левой колонке будет записано число 1.

Чтобы лучше понять алгоритм, разберём несколько примеров.

Решение. Записываем число 84 в левую колонку:

Берём первое простое число — два и проверяем, делится ли 84 на 2. Так как 84 оканчивается на 4, а 4 делится на 2, то и 84 делится на 2 по признаку делимости. Записываем 2 в правую колонку. 84:2 = 42, число 42 записываем в левую колонку. Получили вот что:

Теперь работаем уже с числом 42. Число 42 делится на 2, поэтому записываем 2 в правую колонку, 42:2 = 21, число 21 записываем в левую колонку.

Число 21 на 2 не делится, поэтому проверяем его делимость на следующее простое число — 3. Число 21 делится на 3, 21:3 = 7. Записали 3 в правую колонку, 7 — в левую. Получили

Число 7 — простое число, поэтому в правой колонке записываем 7, в левую пишем 1. В итоге получили:

Всё, число разложено!

В результате в правой колонке оказались записаны все простые множители числа 84. То есть 84=2∙2∙3∙7.

О калькуляторе

Программа раскладывает числа на множители методом перебора делителей. Для вычислений используется длинная арифметика, поэтому раскладывать можно даже большие числа. Однако если число простое или имеет большие простые делители, разложение его на множители занимает продолжительное время.

Источник

Разложение числа на простые множители

Что значит разложение числа на простые множители

В теории чисел важная роль отводится классу простых чисел.

Простым называется такое число, большее единицы, которое не имеет иных делителей, кроме единицы и самого себя.

Например, к простым числам относят: 2, 7, 11, 13 и т. д.

Любое число может быть представлено в виде произведения простых чисел. Эти простые числа будут делителями заданного числа.

Делитель — это число, на которое делится нацело данное число.

Если число не простое, то его можно последовательно раскладывать на множители, пока все множители не окажутся простыми.

Число, которое отличается от нуля и единицы и не является простым, называют составным.

Например, составными числами являются: 4, 6, 8, 9, 10 и т. д.

Разложить число на простые множители = представить число в виде произведения простых чисел.

При разложении множители могут располагаться в любом порядке, но единственным образом. В этом заключается свойство единственности.

Каждое натуральное число N, которое больше единицы, может быть разложено на простые множители только одним способом.

Основные способы, описание алгоритмов

Составное число можно разложить на простые множители путем представления его в виде произведения меньших составных чисел, которые потом преобразуются в произведения простых чисел.

1 вариант

Больше составных чисел в произведении нет. Значит, разложение на множители закончено.

Вся цепочка разложения: 144 = 12 · 12 = 3 · 4 · 2 · 6 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3

Здесь есть повторяющиеся числа: двойка встречается 4 раза, тройка — 2 раза.

Тогда разложение можно упростить, представив выражение в виде произведения степеней чисел 2 и 3:

2 вариант

72 можно представить в виде произведения 6 и 12. Эти числа составные, тогда их можно разложить на множители:

В этих разложениях составным числом будет 4. Осталось представить 4 в виде произведения простых множителей:

Все множители в конечном варианте являются простыми, значит, разложение закончено.

Каноническое разложение числа на простые множители

Разложение на простые множители рассматривают как процесс последовательного деления заданного числа на простые числа. Для этого используют признаки делимости.

Алгоритм выполнения заданий на разложение числа на простые множители:

Разложите 18 на простые множители.

Записываем число 18 и проводим справа вертикальную черту.

Подбираем простое число, на которое делится 18. Самое маленькое число, на которое делится 18 — 2.

Записываем 2 справа от черты.

Делим 18 на 2. Результат деления записываем под 18.

Подбираем число, на которое делится 9 нацело. Этим простым числом является 3. Записываем 3 под 2.

Делим 9 на 3. Получаем 3. Подписываем 3 слева от черты под 9.

Подбираем простое число, на которое делится 3 нацело. Это 3. Подписываем 3 справа от черты.

Делим 3 на 3. Получаем 1. Подписываем 1 под 3 слева от черты.

Дошли до единицы в результатах деления, записанных слева от вертикальной черты. Значит, разложение на простые множители закончили.

Простые множители — делители — оказались записаны справа от вертикальной черты.

Использование признаков делимости

При разложении числа на простые множители также используют признаки делимости.

Примеры признаков:

При разложении числа 100 на простые множители воспользуемся признаками делимости. Число оканчивается нулем, значит, по признаку делимости на 10 оно делится нацело на 10.

Числа 2 и 5 являются простыми, тогда разложение можно записать:

Примеры решения задач для 6 класса

Разложить на простые множители число 218.

Чтобы разложить 218 на простые множители, воспользуемся соответствующим алгоритмом.

Пишем число 218 и отделяем его вертикальной чертой справа.

По признаку делимости определяем, что число 218 делится нацело на 2, потому что заканчивается четной цифрой 8. Справа от черты записываем делитель 2:

Теперь делим 218 на 2. Получим 109. Число 109 пишем слева от черты под 218:

Берем число 109. Определим его делитель. 109 — это простое число, поэтому оно делится только на 1 и на 109. Соответственно, пишем справа от черты делитель 109:

При делении 109 на 109 получаем 1.

Когда получили единицу в результате деления, заканчиваем разложение на простые множители.

Представьте в виде произведения простых множителей число 325.

Используем алгоритм разложения на простые множители: ищем самое маленькое простое число, на которое делится 325.

325 не делится нацело ни на 2 — число нечетное, ни на 3 — сумма цифр числа (3+2+5=10) не делится нацело на 3. Следующим простым числом является 5.

По признаку делимости: число 325 заканчивается на пять, значит, делится нацело на 5.

Число 65 делится нацело на 5 по признаку делимости:

Число 13 является простым. Значит, делителем станет само число:

В результате деления получили единицу, значит, разложение на простые множители закончено.

В разложении есть повторяющиеся числа: пять встречается два раза. Поэтому запись можно изменить:

Напишите все однозначные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух одинаковых чисел.

Выделим однозначные составные числа: 4, 6, 8, 9.

Разложим каждое на простые множители:

Из них выберем те числа, разложение которых состоит из двух одинаковых чисел: 4 и 9.

Источник