Радиус кривизны плоской кривой
Любая линия является кривой, даже прямая. Поэтому к любой линии применимы такие характеристики как кривизна или радиус кривизны. Как правило кривизна обозначается латинской литерой k, а радиус кривизны греческой литерой ρ.
Между собой эти характеристики кривой связаны следующим образом:
k = 1/ρ (542.1)
Т.е. чем больше радиус кривой, тем меньше ее кривизна.
А теперь рассмотрим несколько частных случаев кривых.
Радиус кривизны окружности
Как определить радиус окружности, мы рассмотрим ниже.
Кривизна дуги
На рисунке 542.1 мы видим дугу АВ, показанную оранжевым цветом, являющуюся частью окружности с радиусом R. Кроме того, мы видим, что угол α, образованный радиусами в точках А и В, равен углу между касательными (показаны фиолетовым цветом) к окружности в этих точках.
Эти закономерности позволяют определить радиус дуги и найти центр окружности даже тогда, когда изначально мы окружность не видим, а только имеем дугу.
Понятие кривизны дуги формулируется так:
Т.е. зная длину дуги m и угол α между касательными, мы можем определить кривизну дуги:
А так как длина дуги зависит от угла между радиусами или между касательными в концах дуги:
то, подставив значение длины дуги в уравнение (542.3), получим:
Примечание: При измерении угла между касательными не в радианах, а в градусах уравнение длины дуги имеет другой вид:
но сути дела это не меняет. Такая запись по-прежнему означает, что мы рассматриваем часть длины окружности. Так при α = 360° дуга становится окружностью
Более того, сама идея радианов на этой формуле и основана, так прямой угол 90° = П/2, развернутый 180° = П и т.д.
Рисунок 542.2. Дуга из точки начала координат.
Радиус кривизны прямой линии
Любая прямая линия, даже бесконечно длинная, может рассматриваться как бесконечно малая часть окружности, т.е. как дуга. Соответственно в каких единицах измерять радиус такой окружности даже трудно представить.
Поэтому обычно прямой линией называют кривую с бесконечно большим радиусом:
kп.л = 1/∞ = 0 (542.6)
все линии, которые в одной из плоскостей имеют бесконечно большой радиус кривизны, считаются плоскими
Ну и на закуску еще несколько парадоксов, на этот раз связанных с определениями кривизны и радиуса:
1. Из уравнения (542.1) можно сделать вывод, что:
kp = 1 (542.7)
Соответственно для прямой линии:
0·∞ = 1 (542.7.2)
Т.е. если бесконечно много раз взять ноль, то на единичку мы наскребем. Впрочем дальше будет еще веселее.
Получается, что параллельные прямые пересекаться не должны, но где-то в бесконечности все-таки пересекаются.
Разрешить этот парадокс пытались многие математики, однако в пределах евклидовой геометрии при принятом толковании определений данный парадокс не разрешим.
Радиус кривизны точки
kт. = 1/0 = ∞ (542.9)
И хотя нас с первых лет обучения в школе учат, что делить на 0 нельзя и даже встроенный в операционную систему калькулятор пишет, что «деление на ноль невозможно», тем не менее делить на ноль можно, а результатом деления всегда будет бесконечность.
Как и в случае с прямой мы имеем парадоксальный результат, выражаемый формулой (542.5.2). Тем не менее точку также можно отнести к плоской кривой, имеющей постоянный радиус кривизны.
Рисунок 541.4. Радиус окружности, как гипотенуза прямоугольного треугольника.
R 2 = x 2 + y 2 (541.1.2)
А в общем случае, когда координаты центра окружности не совпадают с началом координат:
Рисунок 542.3. Окружность, центр которой не совпадает с началом координат.
Плоские кривые с изменяющимся радиусом кривизны
Примеров плоских кривых с изменяющимся радиусом кривизны очень много, это и гиперболы, и параболы, и синусоиды и т.п. Определение радиуса кривизны таких кривых основано на следующих теоретических предпосылках:
1. Любую окружность можно рассматривать как некоторое множество дуг.
2. Если количество дуг, составляющих окружность, стремится к бесконечности, то соответственно длина таких дуг стремится к нулю (m → 0).
3. Если мы обозначим длину такой очень короткой дуги как приращение функции длины окружности (m = Δl), то уравнение кривизны (542.3) примет следующий вид:
(542.3.1)
4. Тогда любую плоскую кривую с изменяющимся радиусом можно рассматривать как стремящееся к бесконечности множество дуг с постоянным радиусом. Другими словами в пределах любой кривой, описываемой параметрическими уравнениями, всегда можно выделить дугу, пусть даже и очень малой длины, стремящейся к точке и определить для нее кривизну и радиус кривизны в рассматриваемой точке.
(542.11)
Соответственно кривизна плоской кривой в рассматриваемой точке будет равна:
(542.12)
k = y» = d 2 y/dx 2 (542.12.2)
Т.е. формально в таких случаях кривизной считается не отношение угла наклона между касательными к длине дуги, а некоторая величина, примерно соответствующая высоте h на рисунке 542.2.
Эта особенность второй производной очень активно используется в частности для упрощения определения прогиба элементов строительных конструкций.
Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»
Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783
Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV
Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).
РАДИУС КРИВОЙ
расстояние от центра кривой до оси пути. От размеров Р. к. зависит кривизна данного участка жел.-дор. пути: чем больше Р. к., тем меньше кривизна, тем меньше сопротивление движению поезда в пределах кривой и тем меньше износ рельсов и колесных пар подвижного состава. При проектировании ж. д. в кривых участках пути стремятся поэтому применять большие радиусы (2 000 — 1 000 м); однако в трудных топографических условиях (напр. в гористой местности) это не всегда выполнимо и может вызывать значительное увеличение объема земляных работ и удорожание строительства. В связи с этим ТУ проектирования ж. д. разрешается в отдельных трудных местах уменьшать размеры Р. к. до 300 м. В случаях необходимости расположения станций, разъездов и обгонных пунктов на кривых радиус их д. б. не менее 600 м, а в горных условиях — 500 м (ПТЭ, § 11).
Смотреть что такое «РАДИУС КРИВОЙ» в других словарях:
Радиус кривой в плане наименьший — радиус, при котором обеспечивается безопасное движение автомобилей с расчетной скоростью при чистом увлажненном покрытии, с устройством виражей и уширением проезжей части. Источник: Справочник дорожных терминов … Строительный словарь
РАДИУС — (лат. radius луч). 1) полупоперечник круга; в кривых линиях и кривых поверхностях линия, проведенная от центра в окружности. 2) кость, лежащая рядом с локтевою и образующая с нею локтевую часть руки. Радиус вектор. Расстояние какой нибудь точки… … Словарь иностранных слов русского языка
Радиус — окружности У этого термина существуют и другие значения, см. Радиус (значения). Радиус (лат. … Википедия
радиус кривизны переходной кривой зуба в точке — (ρf) радиус кривизны переходной кривой [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины понятия, относящиеся к зубчатому колесупрофиль зуба Синонимы радиус кривизны переходной кривой … Справочник технического переводчика
РАДИУС-ВЕКТОР — термин, которым в конических сечениях (эллипсе, гиперболе, параболе) называется расстояние какой нибудь точки кривой линии от её фокуса. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. радиус вектор 1) мат. а)… … Словарь иностранных слов русского языка
радиус поворота планировщика полей — радиус поворота Радиус минимальной окружности, в которую вписывается тягач с планировщиком полей при движении по кривой. [ГОСТ 22313 77] Тематики машины и орудия для обработки почвы Синонимы радиус поворота … Справочник технического переводчика
радиус кривизны переходной кривой исходного контура в граничной точке профиля зуба — (ρf) [ГОСТ 19325 73] Тематики передачи зубчатые конические Обобщающие термины исходные контуры и производящие поверхности конических зубчатых колес … Справочник технического переводчика
Радиус кривизны — радиус круга кривизны (См. Кривизна) в данной точке кривой … Большая советская энциклопедия
радиус кривизны — 2.8 радиус кривизны: Радиус дуги окружности, наиболее точно соответствующей форме закругления рассматриваемого элемента. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Радиус кривизны
Радиус кривизны — величина, обратная кривизне. Радиус кривизны характеризует величину соответствия кривой от прямой. Чем больше радиус кривизны, тем больше кривая похожа на прямую.
Радиус кривизны определяется для конкретной точки конкретной кривой он равняется радиусу соприкасающейся окружности.
Вычисление
Пусть кривая задана параметрически, r(τ) Тогда радиус кривизны можно найти, воспользовавшись формулой:
Полезное
Смотреть что такое «Радиус кривизны» в других словарях:
радиус кривизны — Радиус дуги окружности, наиболее точно соответствующей форме закругления рассматриваемого элемента. [ГОСТ Р 41.61 2001] Тематики автотранспортная техника … Справочник технического переводчика
Радиус кривизны Rn — Радиус рабочей поверхности преобразователя Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
радиус кривизны — 2.8 радиус кривизны: Радиус дуги окружности, наиболее точно соответствующей форме закругления рассматриваемого элемента. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
радиус кривизны — kreivumo spindulys statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Kreivės arba kreivo paviršiaus spindulys. atitikmenys: angl. radius of curvature vok. Krümmungsradius, m rus. радиус кривизны, m pranc. rayon de courbure, m … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
радиус кривизны — kreivumo spindulys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. radius of curvature vok. Krümmungsradius, m rus. радиус кривизны, m pranc. rayon de courbure, m … Fizikos terminų žodynas
Радиус кривизны — радиус круга кривизны (См. Кривизна) в данной точке кривой … Большая советская энциклопедия
Радиус кривизны — см. ст. Дифференциальное исчисление и ст. Кривизна … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Радиус кривизны мульды сдвижения — величина, обратная кривизне мульды сдвижения. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
радиус кривизны беговой дорожки протектора — радиус кривизны беговой дорожки Радиус наружной поверхности беговой дорожки протектора в радиальной плоскости колеса. Rпр радиус кривизны беговой дорожки; С раствор бортов; Вб ширина борта покрышки. [ГОСТ 22374 77] Тематики шины пневматические… … Справочник технического переводчика
радиус кривизны линии притупления продольной кромки зуба — (Pk) радиус кривизны линии притупления [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины понятия, относящиеся к зубчатому колесупрофиль зуба Синонимы радиус кривизны линии притупления … Справочник технического переводчика