что такое радикал в математике
Радикал, в математике
Полезное
Смотреть что такое «Радикал, в математике» в других словарях:
РАДИКАЛ (в математике) — РАДИКАЛ, математический знак (измененное латинское r), которым обозначают действие извлечения корня, а также результат извлечения корня, т. е. число вида … Энциклопедический словарь
Радикал в математике — Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
РАДИКАЛ — (лат., radix, radicis корень). 1) Политик, стремящийся к коренным преобразованиям в управлении страны. 2) английские социалисты носят также название радикалов. 3) В органической химии сложные вещества, способные соединяться с другими веществами… … Словарь иностранных слов русского языка
радикал — РАДИКАЛ, а, муж. 1. Сторонник радикализма (в 1 знач.), член радикальной партии. 2. Приверженец крайних, решительных действий, взглядов. | прил. радикалистский, ая, ое. II. РАДИКАЛ, а, муж. 1. В математике: знак, (Ц) обозначающий извлечение корня… … Толковый словарь Ожегова
РАДИКАЛ — (от лат. radicalis коренной) многозначный термин, используемый в разных науках (напр., в химии и математике) и практиках. 1, Сторонник радикальных (крайних, решительных) взглядов и действий, партий, движений. Бескомпромиссный человек. Склонность… … Большая психологическая энциклопедия
Радикал — В Викисловаре есть статья «радикал» Радикал (буквально: «коренной» от лат. radix … Википедия
РАДИКАЛ — Основное значение имеющий отношение к корню. Таким образом: 1. В математике знак (V), выражающий операцию разложения числа, стоящего под ним, на его корни. 2. В социальных/политических терминах описание любой точки зрения или предложения, в… … Толковый словарь по психологии
Центр (в математике) — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Вербицкий, Михаил Сергеевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Вербицкий. Михаил Вербицкий … Википедия
Абель Нильс Хенрик — (Abel) (1802 1829), норвежский математик. Доказал, что алгебраические уравнения степени выше 4 й в общем случае неразрешимы в радикалах. Изучал интегралы от алгебраических функций (абелевы интегралы). Один из создателей теории эллиптических… … Энциклопедический словарь
Радикал в математике
Здесь а называется подкоренным числом, n — показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р. подразумевается число положительное. Алгебраическое выражение, содержащее Р., может подвергаться преобразованиям при помощи формул:
a = r (cos φ + i sin φ), где r > 0.
Для n значений Р. получается выражение
где k = 0, 1, 2. n— 1. В правой части
Полезное
Смотреть что такое «Радикал в математике» в других словарях:
РАДИКАЛ (в математике) — РАДИКАЛ, математический знак (измененное латинское r), которым обозначают действие извлечения корня, а также результат извлечения корня, т. е. число вида … Энциклопедический словарь
Радикал, в математике — Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
РАДИКАЛ — (лат., radix, radicis корень). 1) Политик, стремящийся к коренным преобразованиям в управлении страны. 2) английские социалисты носят также название радикалов. 3) В органической химии сложные вещества, способные соединяться с другими веществами… … Словарь иностранных слов русского языка
радикал — РАДИКАЛ, а, муж. 1. Сторонник радикализма (в 1 знач.), член радикальной партии. 2. Приверженец крайних, решительных действий, взглядов. | прил. радикалистский, ая, ое. II. РАДИКАЛ, а, муж. 1. В математике: знак, (Ц) обозначающий извлечение корня… … Толковый словарь Ожегова
РАДИКАЛ — (от лат. radicalis коренной) многозначный термин, используемый в разных науках (напр., в химии и математике) и практиках. 1, Сторонник радикальных (крайних, решительных) взглядов и действий, партий, движений. Бескомпромиссный человек. Склонность… … Большая психологическая энциклопедия
Радикал — В Викисловаре есть статья «радикал» Радикал (буквально: «коренной» от лат. radix … Википедия
РАДИКАЛ — Основное значение имеющий отношение к корню. Таким образом: 1. В математике знак (V), выражающий операцию разложения числа, стоящего под ним, на его корни. 2. В социальных/политических терминах описание любой точки зрения или предложения, в… … Толковый словарь по психологии
Центр (в математике) — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Вербицкий, Михаил Сергеевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Вербицкий. Михаил Вербицкий … Википедия
Абель Нильс Хенрик — (Abel) (1802 1829), норвежский математик. Доказал, что алгебраические уравнения степени выше 4 й в общем случае неразрешимы в радикалах. Изучал интегралы от алгебраических функций (абелевы интегралы). Один из создателей теории эллиптических… … Энциклопедический словарь
РАДИКАЛ (в математике)
Смотреть что такое «РАДИКАЛ (в математике)» в других словарях:
Радикал в математике — Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Радикал, в математике — Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
РАДИКАЛ — (лат., radix, radicis корень). 1) Политик, стремящийся к коренным преобразованиям в управлении страны. 2) английские социалисты носят также название радикалов. 3) В органической химии сложные вещества, способные соединяться с другими веществами… … Словарь иностранных слов русского языка
радикал — РАДИКАЛ, а, муж. 1. Сторонник радикализма (в 1 знач.), член радикальной партии. 2. Приверженец крайних, решительных действий, взглядов. | прил. радикалистский, ая, ое. II. РАДИКАЛ, а, муж. 1. В математике: знак, (Ц) обозначающий извлечение корня… … Толковый словарь Ожегова
РАДИКАЛ — (от лат. radicalis коренной) многозначный термин, используемый в разных науках (напр., в химии и математике) и практиках. 1, Сторонник радикальных (крайних, решительных) взглядов и действий, партий, движений. Бескомпромиссный человек. Склонность… … Большая психологическая энциклопедия
Радикал — В Викисловаре есть статья «радикал» Радикал (буквально: «коренной» от лат. radix … Википедия
РАДИКАЛ — Основное значение имеющий отношение к корню. Таким образом: 1. В математике знак (V), выражающий операцию разложения числа, стоящего под ним, на его корни. 2. В социальных/политических терминах описание любой точки зрения или предложения, в… … Толковый словарь по психологии
Центр (в математике) — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Вербицкий, Михаил Сергеевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Вербицкий. Михаил Вербицкий … Википедия
Абель Нильс Хенрик — (Abel) (1802 1829), норвежский математик. Доказал, что алгебраические уравнения степени выше 4 й в общем случае неразрешимы в радикалах. Изучал интегралы от алгебраических функций (абелевы интегралы). Один из создателей теории эллиптических… … Энциклопедический словарь
«Радикализм» в числах
В этом году исполнилось 350 лет со дня смерти Пьера де Ферма — одного из известнейших математиков прошлого. Ферма считается одним из создателей нескольких разделов математики: аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. К теории чисел можно отнести и знаменитую Великую теорему Ферма, которую он сформулировал в виде комментария на полях «Арифметики» Диофанта: «Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.» В «формульном» виде это выглядит так:
Для любого натурального n > 2 у уравнения a n + b n = c n нет ненулевых решений в целых числах a, b, c.
За три с лишним века, прошедших со времен Ферма, математика сильно развилась и изменилась. Возникло много новых разделов и направлений, а счет новым идеям и методам уже давно никто не ведет. Даже теорему Ферма доказали уже почти 20 лет назад (это сделал Эндрю Уайлс в 1995 году). Но, как это довольно часто случается, между разными понятиями и теориями, даже если их разделяет несколько веков, можно обнаружить неожиданные взаимосвязи. Увидеть маленький пример такой связи — неожиданный подход к теореме Ферма — позволит эта задача. Нам потребуется одно несложное определение.
Радикалом натурального числа n (обозначается rad(n)) называется произведение всех простых делителей числа n, взятых по одному разу. Например, rad(100) = 10, rad(7) = 7, а rad(48) = 6.
Задача
Существуют ли такие три попарно взаимно простых натуральных числа A, B, C, что A + B = C и при этом C > 1000·rad(A·B·C)?
Подсказка
Такие числа существуют.
Что делает операция взятия радикала с числом? Если в разложении числа на простые множители какие-то из множителей встречаются в высоких степенях, то эта операция сильно уменьшит такое число: ведь после нее каждый из таких множителей останется только в первой степени. Поэтому если удачно подобрать A, B и C и в каждом из этих чисел будут множители в высоких степенях, то rad(A·B·C) будет во много раз меньше произведения A·B·C и может оказаться меньше сомножителей. Так, что даже умножение на 1000 не спасет.
Если сразу подобрать такие числа не получается, то можно попробовать вместо 1000 взять коэффициент поменьше. Например, 10. Также, чтобы не возиться с взаимной простотой, можно положить B = 1. Это сразу обеспечит требуемую в условии попарную взаимную простоту всех трех чисел (подумайте, почему).
Решение
Следуя совету из подсказки, будем считать, что B = 1. Тогда C = A + B = A + 1. Поскольку разность двух чисел делится на любой общий делитель этих двух чисел, а у нас получилось, что C − A = 1, то числа A и C взаимно просты.
Пусть пока коэффициент перед радикалом равен 10. Попробуем найти такие числа A и C, что А + 1 = С и C > 10·rad(A·C). Будем действовать «методом тыка».
Пусть С = 100. Тогда А = 99, rad(A·C) = 330, 10·rad(A·C) = 3300. Не совсем то, что хочется. За таким выбором С никаких глубоких соображений не стоит, просто автору показалось, что удобно взять степень 10, так как справа стоит множитель 10. Попробуем взять С = 1000. Тогда А = 999, rad(A·C) = 1110, 10·rad(A·C) = 11 100. Уже лучше!
Что будет, если продолжать пробовать в качестве С брать всё более высокие степени 10? Кое-что про это понять довольно легко. Так как А и С взаимно просты, то
Ясно, что есть и другие примеры подходящих чисел. Наверняка можно подобрать гораздо меньшие числа. Но данный способ решения ценен тем, что в нем видны все этапы рассуждений: от «экспериментальных» данных через обобщение и формулировку гипотезы к полному решению, которое годится для любого коэффициента перед радикалом в правой части неравенства из условия.
Послесловие
Рассмотренная задача напоминает формулировку abc-гипотезы — не доказанного еще утверждения из теории чисел, которое было сформулировано в середине 1980-х годов. Вот формулировка этой гипотезы:
Из решения нашей задачи видно, что если в правой части неравенства взять первую степень радикала (то есть при ε = 0), то сразу окажется бесконечно много троек чисел A, B, C, которые нарушают это неравенство. А вот если ε > 0, то такого «раздолья» уже не будет: для каждого ε можно подобрать такую константу k (для разных ε константы будут разные), что какую бы мы не взяли тройку натуральных чисел, удовлетворяющих равенству A + B = C, для них обязательно будет выполняться указанное неравенство. Если, конечно, гипотеза верна. Верна она или нет — сейчас неизвестно. Пока никому не удалось ни доказать ее, ни опровергнуть.
Попытки доказать abc-гипотезу регулярно предпринимаются, но пока все тщетно. Последней, видимо, серьезной заявкой на успех было доказательство японского математика Синъити Мотидзуки, однако представленные им тексты настолько трудны для понимания даже ведущими специалистами, что, вероятно, в ближайшее время никто не сможет проверить, верно ли его доказательство или нет. Ну, а раз математическому сообществу проверить не удается, то это фактически означает, что доказательства нет. «The Paradox of the Proof» — не отягощенный серьезными математическими подробностями рассказ об этом всем (есть неплохой русский перевод этого текста).
Есть два довода в пользу того, что гипотеза верна. Оба они ни в коем случае не могут рассматриваться как серьезные аргументы — скорее, эти доводы вселяют слабую надежду в справедливость гипотезы. Первый — большое количество компьютерных вычислений по поиску связанных с гипотезой троек чисел. Ищут тройки, для которых ε был бы как можно больше, но пока даже значение ε = 0,7 не достигнуто. Кстати, каждый может поучаствовать в этом.
Второй довод в пользу справедливости гипотезы состоит в том, что из нее следуют многие очень сложные и глубокие теоремы и еще не доказанные гипотезы. Достаточно упомянуть лишь гипотезу Морделла (которую в 1983 году доказал Фальтингс, за что он получил Филдсовскую медаль). Подробнее об этом можно узнать из лекции Д. Орлова «АВС-гипотеза и ее следствия».
Доступность формулировки гипотезы чем-то напоминает историю с Великой теоремой Ферма, формулировка которой тоже понятна школьнику. Правда, в остальном эти утверждения скорее противоположны. Дело тут не в том, одно из них уже доказанная теорема, а про второе пока ничего не понятно. Важно значение для развития науки и тот способ, которым это значение достигается. Теорема Ферма несколько веков была притягательной задачей для многих ученых. В попытках ее доказать родилось много плодотворных идей и методов. А доказана она была с использованием мощнейшего аппарата алгебраической геометрии, который был создан в XX веке (подробнее об этом читайте в статье Ю. Соловьева «Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма», а вся история этой теоремы изложена в книге С. Сингха «Великая теорема Ферма»). Но вот из самой теоремы Ферма никаких полезных следствий нет. В противоположность этому из abc-гипотезы, как уже говорилось, следует много важных и не очень фактов. В том числе — что если abc-гипотеза верна, то из нее буквально в несколько предложений следует Великая теорема Ферма. Вот как это получается.
Вот такое вот простое и понятное доказательство теоремы Ферма. Вряд ли француз имел в виду это доказательство в своем комментарии в книге Диофанта. Но мы можем теперь сказать, что почти знаем поистине чудесное доказательство этой теоремы, которое вполне можно уместить на полях. Осталось только доказать abc-гипотезу.
Рассмотренная задача предлагалась участникам LXXVII Московской математической олимпиады.
Исследовательская работа на тему «Радикал»
МБОУ «Западнодвинская СОШ №1»
Выполнила ученица 9 «Б» класса
Сергеева Нина Александровна.
Цель первая: узнать, что означает радикал, его области применения.
Цель вторая: определить, насколько популярно его значение в наше время.
Задачи: рассмотреть применение корня на практике; сделать опрос и выводы на тему актуальности радикала.
— изучение литературы по данной теме;
— опрос людей и анализ полученных результатов;
Понятия. Области применения…….………4
Политика и общество…………….…………5
Химия, биология, медицина…..……………9
Названия объектов инфраструктуры……. 10
Применение арифметического корня в
математике и физике при решении задач……………………………………………….11-18
Использование повсеместно. Опрос……….19
Изучая на уроке математики тему «радикал», мне стало интересно, что же означает это слово? В науке математике я поняла, что это корень квадратный. Но тут же вспомнила, что похожее слово я слышала на уроке истории. Да нет же! Это и есть слово радикал, участник какой-либо радикальной партии. У меня закрадываются сомнения, тут что-то не ладно.…Придя домой, я немедленно включила интернет, и в поисковой строке набрала «радикал». Моему удивлению не было предела.… Оказывается, радикал внёс свой маленький вклад в каждую науку! Как интересно было читать и узнавать, что в каждой системе, в каждой отрасли нашли его применение. Тогда я решила исследовать, насколько его значение знакомо не только учёным, профессорам, но и нам, только вставшим на путь развития, школьникам. Ведь само слово радикал не часто услышишь в устной разговорной речи.
Понятия. Области применения.
Значение радикала и его применение обширно. Допустим, знакомимся мы с наукой математикой. Научились извлекать корень квадратный, и мы уже с лёгкостью можем решать задачи как по математике, так и по физике (с формулами, при вычислении которых необходим радикал). Если же мы решим познакомиться с химией, мы узнаем о реакциях взаимодействия свободных радикалов не только на природу (Биохимия), но и на организмы человека и животных (Медицина). Остановимся на каждом понятии подробнее.
Политика и общество.
В политике радикалом принято называть человека, который стремится к коренным преобразованиям в существующей государственной системе. Это сторонник решительных мер без компромиссов, отстаивающий свои политические идеи, не считаясь с иными мнениями. Как правило, радикальные движения возникают на волне кризисов государственности, когда становится реальной угроза размеренному существованию общества. Радикалы, как правило, требуют проведения реформ.
Наряду с политическими радикалами существуют и радикалы в религии и философии.
Время не стоит на месте, развиваются технологии, и вот, выпускаются МФУ, оснащённые функцией вывода на печать файлов с фотохостингов напрямую без подключения к ПК.
Радикал в математике — знак извлечения арифметического корня.
Впервые обозначение √ ввёл немецкий математик Кристоф Рудольф в 1125 году.
Рене Декарт (1596-1650) ввёл черту вместо скобок V ( a + b ). Затем знак V и черта слились. Соединил эти знаки уже Рене Декарт в 1637 году.
Знак радикала использовал и Франсуа Виет (1540-1603). Его считают творцом алгебраических формул и называют «творцом алгебры».
предложил метод приближённого вычисления значения корня Герон Александрийский ( I век н.э.).
Китайский ученый знает 20 000 иероглифов. Для того, чтобы читать китайскую литературу, достаточно знать 1000. Знание 200 иероглифов позволят вам понимать 40% литературы, дорожные знаки, меню в ресторане, интернет-сайты или газеты.
Не существует точно определенного или общепринятого количества радикалов.
В различных словарях, количество и набор радикалов может слегка варьироваться (на 10-20 радикалов).
Некоторые радикалы могут быть разбиты на более простые радикалы. Однако они используются в качестве радикалов по традиции или для удобства классификации и поиска в словарях.
Один иероглиф может быть найден в словаре и классифицирован по различным радикалам.
Разбиение на категории используется здесь исключительно для простоты запоминания радикалов и не представляет собой строгую или общепринятую систему.
Химия, биология, медицина.
В 1956 году советский академик Николай Николаевич Семёнов
получает Нобелевскую премию за открытие свободных радикалов,
чем открывает новую страницу в химии, физике и медицине.
Свободными радикалами называют нестабильные молекулы или атомы, оказывающие вредное воздействие на организм человека. Причина нестабильности свободного радикала кроется в наличии неспаренного электрона. Из курса химии известно, что такие вещества обладают высокой химической активностью и называются положительно заряженными ионами. Свободные радикалы, стремясь получить недостающий электрон, вступают в реакцию с ближайшей молекулой и отрывают от неё свободный электрон. А пострадавшая молекула, потеряв электрон, становится свободным радикалом со всеми вытекающими последствиями. Развиваясь, такая реакция способна разрушить клетки и ткани живого организма.
Основные факторы, стимулирующие образование свободных радикалов в человеческом организме: плохая экология, стресс, солнечная радиация, курение, лекарственные препараты, радиационное излучение.
Воздействие на организм человека. С каждым годом обнаруживаются новые заболевания, причиной которых является воздействие свободных радикалов. Уничтожая клетки организма, свободные радикалы нарушают правильное функционирование тканей и органов организма, провоцируют воспалительные процессы и разрушают иммунную систему человека. Свободные радикалы считают одной из главных причин возникновения таких заболеваний как: депрессии, катаракта, артриты, астма, варикозное расширение вен, атеросклероз, болезнь Паркинсона, рак и многие другие.
Названия объектов инфраструктуры.
Название, содержащее в себе столь значений, особенно, когда людям неизвестно ни одно значение, вызывает любопытство. Именно поэтому необыкновенные названия впечатляют и вдохновляют предпринимателей. Так, например, в 1951 году в Киеве был создан огромнейший химический завод «Радикал». На этом химическом гиганте изготавливали поролон, удобрения и каустическую соду на весь СССР и на пол-Европы. В своё время завод был расположен за окраиной, но в итоге оказался в населённом месте. В середине 90-х его признали банкротом, а на его территории оставалось более 120 тонн ртути. Хорошо, что все события на «Радикале» прошли тихо и незаметно для киевлян, хотя по масштабам экологической катастрофы его можно назвать «ртутным Чернобылем». 
Другой пример: не так давно, в 2009 году, в Киеве создан банк Радикал. Банк предоставляет различные финансовые услуги частным клиентам, малому и среднему бизнесу, а также корпоративным клиентам. По мнению прессы, прогноз ПАО «Радикал Банк» является «позитивным». 
Применение арифметического корня в математике, физике при решении задач.
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к боковой стороне, равна h и образует угол α с другой боковой стороной. Найдите длину основания.
Основания трапеции равны 16см и 44см, а боковые стороны – 17см и 25см. Определите площадь трапеции.
Докажите, что значение выражения рациональное число: