Сложение

Умножение

Для закрепления материала Вам предлагается поработать на испытательных полигонах, где Вы сможете сами составить примеры на сложение и вычитание в раличных системах счисления (от двоичной до шестнадцатеричной) и управлять процессом вычисления.

Испытатель 1 ( сложение чисел в различных системах счисления ).

Испытатель 2 ( вычитание чисел в различных системах счисления ).

Источник

Системы счисления (c/c)

Системы счисления делятся на:

В непозиционной системе счисления цифры не меняют количественное значения при изменении их расположения в числе. Примером непозиционной системы счисления является римская.

В позиционной системе счисления количественное значения каждой цифры зависит от её расположения в числе. Примером позиционной системы счисления является арабская.

Алфавит системы счисления

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,C, D, E, F

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

Смотрим по таблице, цифра 3 десятичной с/с соответствует 0011 в двоично-десятичной с/с,

Ответ: A_2-10= 001101011000

Для этого над каждой цифрой числа 32 карандашом напишем порядковый номер начиная с 0.

Затем вычисляем A₁₀=3*8 1 +2*8 0 =24+2=26

1 5 1 4 0 3 1 2 0 1 1 0

A₁₀=1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =53

Полученные остатки от деления и последнее частное записываем в обратном порядке.

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

После каждого умножения целая часть произведения берется в виде очередной цифры в новой с/с.

Для перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную необходимо в двоичном числе выделить триады(тетрады) начиная от точки разделяющей целую часть от дробной.

Выделяем триады A₂= 001101011,010101

Для перевода из восьмеричной(шестнадцатеричной) с/с в двоичную необходимо каждую цифру числа заменить триадой(тетрадой) соответствующих двоичных разрядов.

Источник

Презентация «Пятиричная система счисления»

Презентация по дисциплине «Основы теории информации» на тему «Пятеричная система счисления»

Презентация по дисциплине «Основы теории информации» на тему «Пятеричная система счисления»

Выполнил:
Студент гр. Кс117
Корешков Никита Николаевич
Принял:
Ситова Анна Алексеевна

Департамент образования Владимирской области
Государственное автономное професиональное образовательное учреждение Владимирской области
«Гусь-Хрустальный технологический колледж» им. Г.Ф. Чехлова

Гусь- Хрустальный, 2019

Содержание Определение Применение

Определение
Применение
Возможности перевода
Арифметические действия
Список источников

Применение Очевидна связь пятеричной системы со строением человеческой руки

Очевидна связь пятеричной системы со строением человеческой руки.
По свидетельству известного исследователя Африки Стэнли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления. Долгое время пользовались этой системой счисления и в Китае. Также пятеричная система использовалась в Древнем Риме.

Применение в римской сисчтеме счисления 5

Применение в римской сисчтеме счисления

Возможность перевода Перевод из пятеричной

Где ai – цифры СС
n и m число целых и дробных разрядов
Пример:
4405 перевести в десятеричную СС
4405=0*50+4*51+4*52= 0+20+100=12010
Ответ: 4405= 12010

Возможность перевода Перевод из десятеричной

Перевод из десятеричной СС в пятеричную СС производиться с помощью алгоритма перевода из десятичной системы в пятеричную:
Выполнить деление исходного числа на 5. Если результат деления больше или равен 5, продолжать делить его на 5 до тех пор, пока результат деления не станет равен 1,2,3 или 4. Выписать результат последнего деления и все остатки от деления в обратном порядке в одну строку.
Пример:
4610 переведем в пятеричную СС
46:5=9(остаток 1)
9:5=1(ост. 4)
1:5=0(ост. 1)

Арифметические действия Сложение и вычитание

4.Арифметические действия Сложение и вычитание

Составим таблицу сложения для пятеричных цифр (будем использовать ее при сложении и вычитании чисел в «столбик»).

Арифметические действия Пример операции сложения:

Пример операции сложения:
Найдем 2345 + 3125. Складываем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно справа налево.

Арифметические действия Пример операции вычитания:

Пример операции вычитания:
Найдем 2035 – 345. Вычитать будем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно справа налево.

Арифметические действия Умножение

4.Арифметические действия Умножение

Составим таблицу умножения для пятеричной системы счисления (цифру 0 не включаем, т.к. умножение на 0 всегда равно 0).

Арифметические действия Деление

4.Арифметические действия Деление

Рассмотрим так же пример деления:
Разделим 124215 на 325

Источник

Что такое пятеричная система счисления

I. Введение

Цели и задачи:

1. Изучить и сравнить древние и современные системы счисления.

2. Найти сходства и различия в древних и современных системах счисления.

3. Классифицировать системы счисления

Объекты исследования:

Древние и современные системы счисления

Методы:

В школе на уроке информатики мы столкнулись с темой «Системы счисления». В учебнике была напечатана такая фраза: «Десятичная система связана со счетом на пальцах». Подробно изучить и разобрать этот момент, не было возможности, в связи с лимитом времени на уроке. Поэтому мы решили поглубже окунуться в эту тему самостоятельно. И открыли для себя целый мир цифр и символов.

Объектом наших исследований стали системы счисления, которых оказалось гораздо больше, чем мы даже могли предположить. Стало очень интересно узнать о жизни предков и попробовать считать как они. По мере изучения выяснилось, что и в наши дни осталось достаточно много «воспоминаний» о канувших в лета системах счислений.

II. Основная часть

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

1.Все начинается с пальцев

Существует много систем счисления и многие из них используются в разных областях до сих пор. Например, вы когда-то задумывались, почему люди используют именно десятичную систему счисления?

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». (слайд 4) Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. Ну а что может быть проще, чем собственные пальцы?

Таким образом, что вполне логично, существовали пятеричная и двадцатеричная системы счисления.

2.Пятеричная система счисления

По свидетельству известного исследователя Африки Стэнли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления.

Долгое время пользовались пятеричной системой счисления и в Китае. Очевидна связь этой системы со строением человеческой руки. (слайд 8) Также пятеричная система использовалась в Древнем Риме. Происхождение цифр явно связано со счетом с помощью тех же «подручных средств». Только здесь уже в ход пошли не только пальцы, а кисти рук полностью.

3.Двадцатеричная система счисления

Но совсем непростительно было бы не воспользоваться и остальными «счетными средствами».

Таким образом, у ацтеков и Майя была принята двадцатеричная система счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году. Для записи основными знаками были точки(единицы) и отрезки(пятёрки).Также двадцатеричная система счисления была принята и у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Основу для счета в этой системе составляли пальцы рук и ног. Некоторые следы двадцатеричной системы счисления кельтов сохранились во французской денежной системе: основная денежная единица – франк делится на 20 су.

4.Шестидесятеричная система счисления

Также нельзя не сказать о шестидесятеричной системе счисления.

Происхождение этой системы неясно. По одной гипотезе, она связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5 × 12, где 5 — число пальцев на руке).

Вавилонское государство также унаследовало шестидесятеричную систему и передало её, вместе с таблицами наблюдений за небом, греческим астрономам

В более позднее время шестидесятеричная система использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами, в первую очередь, для представления дробей. Поэтому средневековые учёные часто называли шестидесятеричные дроби «астрономическими». Эти дроби использовались для записи астрономических координат — углов, и эта традиция сохранилась по сей день. В одном градусе 60 минут и в одной минуте 60 секунд. Возможно, эта система взята не от человека, а от Солнца. По представлениям древних астрономов год состоял из 360=60×6 дней, то есть за одни сутки Солнце сдвигалось относительно звезд на 1/360 всего годового пути, а именно на 1 градус. Число 60 лежит и в основе более мелких угловых единиц: минут и секунд. Представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд: величина «d дней, h часов, m минут, s секунд» соответствует значению d×24×60×60+h×60×60+m×60+s секунд.

5.Двенадцатеричная система счисления

И, наконец, не менее интересная система счисления – двенадцатеричная. Она заслуживает особого внимания! Хотя бы потому, что ею пользовались купцы на Руси, исчисляя товар в дюжинах.

Как говорится, нет предела совершенству. Придумали тот же простой счет на пальцах, но с использованием лишь одной руки. Для этого использовались не пальцы обеих рук, а фаланги одной руки, а большой палец помогал считать, но сам в счет не входил.

Можно провести некоторую параллель между двенадцатеричной системой счисления и нашей, десятичной. В любой системе есть так называемые круглые числа. Итак, наш привычный десяток соответствует дюжине, то есть числу 12, сотня (10×10) соответствует следующему разряду десятичной системы, в двенадцатеричной он называется гроссу, наша тысяча соответствует следующему разряду – массе. Именно отсюда взялось выражение «У меня масса дел…». Здесь используется не физическая величина, а именно эта единица двенадцатеричной системы.

А знаком ли вам жест «чуть-чуть?». Он взялся именно из двенадцатеричной системы счисления. Это не что иное, как единица, то есть наименьшее число системы.

Ну и, раз уж дюжина так основательно вошла в обиход, появились и другие измерения с ее использованием.

Так как чуть ли не основным товаром купцов были шкурки пушных зверьков, именно для них и ввелись новые единицы.

1 резана=2дюжинам белей – шкурок горностая

1 куна=4 дюжинам белей

1 ногата=5 дюжинам белей

1 гривна=100 дюжинам белей

Элементы двенадцатеричной системы сохранились в Англии и по сей день. В системе мер 1 фут=12 дюймам. В денежной системе 1 шиллинг=12 пенсам. Нередко мы сталкиваемся с отголосками двенадцатеричной системы и в быту: сервиз на 12 персон, на циферблате часов 12 чисел, в году 12 месяцев, 12-летний цикл в названиях месяцев по китайскому календарю, и даже яйца за границей продают по 12 штук в отличие от наших десятков.

6.Алфавитные системы счисления

До сих пор речь шла о системах счисления, в которых использовались цифры. Но существовали также и другие. Для записи цифр использовали буквенные символы. Примеров можно привести несколько.

a.Славянская кириллическая

Начнем с нашей Родины. Древние славяне использовали для счета алфавитную систему счисления. Это значит, что вместо цифр они использовали буквы алфавита. Так «аз»-первая буква, означала единицу, «И»-десятая, означала десять, а буква «рцы»- двадцатая, означала сотню. Более крупные числа, тьма(обозначало 10 000) или миллион, выглядели следующим образом: к обычной цифре добавляли специальный знак, который обозначал тысячу. (слайд)

b. Древнегреческая ионийская

На слайде перед вами древнегреческая ионийская десятеричная система счисления, которая возникла примерно в 3 тысячелетии до нашей эры. Она состоит из отдельных иероглифов: 1(вертикальная палочка обозначавшая, мерную палку), 10 (напоминает путы для стреноживания коров), 100 (мерительная веревка), 1000 (цветок лотоса), 10 000 (указательный палец), 100 000 (лягушка), 1 000 000 (человек, поднявший вверх руки перед таким большим числом), 10 000 000 (Солнце или вся Вселенная). При записи числа иероглифы писались столько раз, сколько в этом числе единиц соответствующего разряда. Разряды писались справа налево (слева – меньшие, справа – большие) – в обратном порядке, чем у нас сейчас. Попробуйте сложить два больших числа, зная, что более 9 одинаковых иероглифов использовать нельзя, и вы сразу поймете, что для работы с этой системой нужен специальный человек. Это являлось недостатком такой системы счисления. Но, с другой стороны нас очень привлекла система знаков для обозначения чисел в Древнем Египте: они очень интересны, своеобразны, а также имеют интересную жизненную интерпретацию.

В дальнейшем эта система претерпела некоторые изменения. Она стала во многом аналогична с древнеславянской. Цифры изображаются с помощью букв, и сверху ставится специальная черточка.

c. Славянская глаголическая

7. Классификация систем счислений на позиционные и непозиционные

(слайд 23) В наше время одновременно сосуществуют различные системы счисления: арабская, римская и многие другие. Все они принципиально делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционная система

Если в системе счисления позиция, на которой находится цифра, влияет на ее величину, то система, соответственно, позиционная. Примером непозиционной системы, помимо известной нам римской, может служить древнеегипетская десятичная, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до нашей эры, в ней использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106 и 107. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз. На слайде представлен пример записи числа 345 на древнеегипетской системе счисления.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1.Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел,

2.Невозможно представлять дробные и отрицательные числа,

3.Сложно выполнять арифметические операции.

b. Позиционная система

Примером позиционной системы счисления может служить наша с вами система, в среде которой выполняются все наши операции.

Возникновение десятичной системы – это одно из самых важных событий в математике. Неудивительно, что история десятичной системы счисления занимает умы многих ученых. Существует несколько версий возникновения системы. Существует версия, что она зародилась в Китае. Есть также предположение, что ее изобрел Аль-Хорезми (узбекский математик). Но более распространенная версия состоит в том, что история возникновения десятичной системы началась в Индии. Сначала в этой системе счисления было всего девять цифр, ноль появился гораздо позднее.

Европейцы заимствовали систему у арабов, и назвали арабской. Это неправильное название сохранилось и до сих пор. Как ни странно, но сами арабы называют эти цифры индийскими. Первые записи десятичной системы счисления в Европе, найдены в испанских рукописях, которые датируются X веком. Но закрепилась она только в 12 в. Но эта система счисления была очень сложной, и первое время ей даже запрещали пользоваться. История десятичной системы счисления была очень долгой и непростой.

8.Системы счисления в информационных технологиях

Также актуальна тема систем счисления в сфере компьютерного мира и представления данных и кодировании информации. Здесь нашли применение 4 системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная.

(слайд 27) Основоположником двоичной системы является немецкий философ Лейбниц Готфрид Вильгельм. Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов (на подобии азбуки Морзе).

С точки зрения технической реализации использование двоичной системы счисления для кодирования информации оказалось намного более простым, чем применение других способов. Действительно, удобно кодировать информацию в виде последовательности нулей и единиц: 0 – отсутствие электрического сигнала, 1 – наличие электрического сигнала.

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

— для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток и нет тока, намагничен и не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, как в десятичной;

— представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

— двоичная арифметика намного проще десятичной.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Для программистов удобнее работать с более компактной записью. (слайд 29)

В итоге было решено использовать альтернативные и более простые системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. Числа 8 и 16 являются степенями двойки (2 в третьей и 2 в четвёртой степени соответственно), поэтому выполнять преобразования из двоичной системы и, наоборот, гораздо легче, чем при десятичной системе счисления, которая не может похвастаться своей причастностью к степеням числа 2.

Кроме того, числа в восьмеричной системе как минимум более приятны глазу и гораздо короче, чем их аналоги в двоичной системе.

(слайд 31) Учитывая, что спокойно сосуществуют разные системы счисления, вполне логично предположить, что между ними есть связь. Перевести число из одной системы счисления в другую довольно просто. Чтобы перевести из привычной нам десятичной системы в другую надо всего лишь использовать известное нам с начальной школы деление «уголочком» или столбиком. А так как из десятичной переводят делением, то обратно, что вполне логично, переводят умножением.

III. Заключение

Работая над этим проектом, мы столкнулись с огромным количеством интересной информации. Мы бы хотели закончить наше выступление словами немецкого философа Готфрида Вильгельма Лейбница: «Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет…»

Анкета соц.опроса. (было опрошено 30 человек)

1. Знаете ли вы, как считали на пальцах, когда счет велся не на десятки, а на дюжины?

2. Сколько это – дюжина?

3. Масса – это сколько?

4. Равно ли число, записанное в римской и в арабской системах счисления тремя единицами?

5. Лягушка – это сколько?

9.Список литературы.

Источник

Глава 4. Арифметические основы компьютеров

4.1. Что такое система счисления?

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем : двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

где a i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

4.2. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета [44]:

4.3. Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?

4.4. Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

4.5. Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

4.6. Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

4.7. Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?

Умножение пpоизводится до тех поp, пока дpобная часть пpоизведения не станет pавной нулю. Это значит, что сделан точный пеpевод. В пpотивном случае пеpевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифp в pезультате, котоpое поместится в ячейку.

Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

4.8. Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?

4.9. Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую

Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую.

Порядок переводов определим в соответствии с рисунком:

Например: означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.

Сводная таблица переводов целых чисел

4.10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?

Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатиричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная: F 16 +6 16

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
10101 2 = 2 4 + 2 2 + 2 0 = 16+4+1=21,
25 8 = 2*8 1 + 5*8 0 = 16 + 5 = 21,
15 16 = 1*16 1 + 5*16 0 = 16+5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F 16 +7 16 +3 16

Проверка:
11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25,
31 8 = 3*8 1 + 1*8 0 = 24 + 1 = 25,
19 16 = 1*16 1 + 9*16 0 = 16+9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Вычитание

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 –1 = 141,5;
215,4 8 = 2*8 2 + 1*8 1 + 5*8 0 + 4*8 –1 = 141,5;
8D,8 16 = 8*16 1 + D*16 0 + 8*16 –1 = 141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
11110 2 = 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 30;
36 8 = 3•8 1 + 6•8 0 = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
1011011101001 2 = 2 12 + 2 10 + 2 9 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 0 = 5865;
13351 8 = 1*8 4 + 3*8 3 + 3*8 2 + 5*8 1 + 1*8 0 = 5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 13351 8 :163 8

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
110011 2 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 51; 63 8 = 6*8 1 + 3*8 0 = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 43 8 : 16 8

4.11. Как представляются в компьютере целые числа?

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

а) число 72 10 = 1001000 2 в однобайтовом формате:

б) это же число в двубайтовом формате:

в) число 65535 в двубайтовом формате:

Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией cложения.

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

4.12. Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами?

Сложение и вычитание

При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные. Например:

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа –11 10 вместо обратного кода числа –10 10 ) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

Все эти случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел:

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Умножение и деление

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.

4.13. Как представляются в компьютере вещественные числа?

Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:

Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе.

Примеры нормализованного представления:

Десятичная система Двоичная система

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному. При этом компьютер обычно предоставляет программисту возможность выбора из нескольких числовых форматов наиболее подходящего для конкретной задачи — с использованием четырех, шести, восьми или десяти байтов.

В качестве примера приведем характеристики форматов вещественных чисел, используемых IBM-совместимыми персональными компьютерами:

При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:

· Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа.

· Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

Покажем на примерах, как записываются некоторые числа в нормализованном виде в четырехбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка.

1. Число 6.25 10 = 110.01 2 = 0,11001•2 11 :

2. Число –0.125 10 = –0.0012 = –0.1*2 –10 (отрицательный порядок записан в дополнительном коде):

4.14. Как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами?

К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.

Сложение и вычитание

В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

Умножение

Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:

Деление

Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:

Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.

4.15. Упражнения

4.1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.

4.4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?

4.6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?

4.8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.

4.10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

4.12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:

4.14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:

4.15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.

4.16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.

4.18. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:

4.19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):

4.22. Разделите 10010110 2 на 1010 2 и проверьте результат, умножая делитель на частное.

4.23. Разделите 10011010100 2 на 1100 2 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.

4.27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):

а) 31; б) –63; в) 65; г) –128.

4.28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):

а) –9; б) –15; в) –127; г) –128.

4.29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:

а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000.

4.30. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:

а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000.

Источник

• ← что такое сертифицированные леса
• Что такое постер на стену →