что такое прямая сумма подпространств
Подпространство линейного пространства
Определение и размерность подпространства
Определение 6.1. Подпространством L n-мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.
Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y∈L следует, что x+y∈L и если x∈L, то λ x∈L, где λ— любое вещественное число.
Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R, состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R. Эти подпространства называются тривиальными или несобственными.
Подпространство n-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.
Сумма и пересечение подпространств
Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).
Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).
Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:
dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).
Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис 
. Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть 
базис подпространства L и пусть 
базис подпространства M. Покажем, что векторы
составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).
Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:
Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор
принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:
Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:
Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и 
. Тогда (6.2) примет вид:
В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:
Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы
Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:
dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■
Прямая сумма подпространств
Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y∈ L и z∈M.
Прямая сумма обозначается L⊕M. Говорят, что если F=L⊕M, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.
Теорема 6.2. Для того, чтобы n-мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.
Доказательство. Выберем некоторый базис 
в подпространстве L и некоторый базис 
в подпространстве M. Докажем, что
является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:
Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда
Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.
Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):
Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x1∈L и x2∈M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:
Вычитая (6.19) из (6.17), получим
Так как 
, 
и L∩M= 0, то 
и 
. Следовательно 
и 
. ■
Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств
Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств
Последнее уравнение обычно называют пространственным разложением. Людмила Фирмаль
Из всех векторов, параллельных плоскости Окси и подпространству R ^ Все векторы параллельны оси Oz. Теорема 2.10. n-мерное пространство R Прямая сумма подпространств R1 и R2 была достаточной Но пересечение R \ и R ^ содержит только нулевые элементы И так, что размерность R равна сумме субпро-измерений Пространство R \ и R2.
Доказательство. Выберите ei, …, ek в подпункте. Подпространство i пространство R \ и некоторая база gi, …, g / Сочетание этих основ e …, ek, gi, …, g / B.20) Представляет базу всего пространства R. Теорема, размерность n полного пространства R равна сумме k + I R \ а я? В случае 2 теорема 2.5 достаточна для доказательства линейности Независимость элементов Б.20).
Представление B.19) остается доказать уникальным В дополнение к Ним B.19), еще один прогноз настройка х = х; + х2, В.24) Где x ^ — элемент ft, а x2 — элемент ft. Вычтите В.24) из В.19) 0 = xi-x ^ + X2-x2 или xi-x ^ = X2-x2. с того времени Левая часть последнего уравнения — это элемент ft, правая.
Поскольку элемент R2 и пересечение R \ и R2 содержат только нули. Людмила Фирмаль
Элемент, из этого уравнения, xi-x ^ = 0, x2-x2 = 0, То есть х. [= xi, X2 = x2. Теорема доказана. Замечания. Space R Нормальная сумма подпространств R \ и R2, а не напрямую B.19) Пробел R элемент x также действителен, Вообще говоря, это единственный. Например, пусть R трехмерное пространство.
Из всех свободных векторов R \ — подпространство всех векторов, параллельное Плоскость оху, R2 подпространство всех векторов Самолет самолета Oxz. В предыдущем абзаце R Представляет сумму подпрофи (но, конечно, не прямую сумму) Подопечные Ри и R2. i, j, k обозначают базисные векторы.
Разделенные по осям Og, Oy, Oz, любой Существует реальный элемент x пространства R относительно базисов i, j, k Числа a, / 3, 7 — это x = w + /? С другой стороны, потому что J + 7 ^ xi = xi + X2, где xi = w + ^ j — элемент ft, X2 = 7 ^ — элемент С другой стороны, ft — это x = x ^ + x2, а x ^ = ^ j — это элемент ft. x2 = w + 7 ^ это элемент ft
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
ПРЯМАЯ СУММА
— конструкция, широко используемая в теориях таких математич. структур, категории к-рых близки к абелевым категориям;в неабелевом случае конструкция прямой суммы обычно наз. дискретным прямым произведением. Пусть 
— нек-рый класс однотипных алгебраич. систем, содержащих одноэлементную (нулевую) подсистему. Прямой суммой или (дискретным) прямым произведением систем 
, из класса U наз. подсиcтема прямого произведения
, состоящая из таких функций 
, все значения к-рых, кроме конечного числа, принадлежат соответствующим нулевым подсистемам. П. с. обозначается одним из следующих способов:
Для конечного числа слагаемых используются также обозначения
Непосредственно из определений следует совпадение П. с. и прямого произведения в случае конечности числа слагаемых.
Для каждого слагаемого П. с. 
существует канонич. вложение 
, к-рое элементу 
сопоставляет функцию 
, принимающую значение хпри значении аргумента iи равную нулю в остальных случаях. Следовательно, можно считать, что П. с. содержит свои слагаемые. В случае W-групп (в частности, в случае групп, абелевых групп, векторных пространств, колец) можно дать «внутреннее» определение П. с. W-группа G является П. с. своих W-подгрупп 
, если выполнены следующие условия: a) Gпорождается 
; б) каждая W-подгруппа G i является идеалом в G; в) пересечение G i с W-подгруппой, порожденной остальными идеалами, является нулевой подгруппой для каждого i.
Всякое векторное пространство есть П. с. одномерных подпространств. Всякая свободная абелева группа является П. с. бесконечных циклич. групп. Всякая конечная абелева группа есть П. с. примерных циклич. групп. Всякое ассоциативное кольцо с единицей, удовлетворяющее условию минимальности для идеалов, есть П. с. конечного числа полных колец линейных преобразований подходящих конечномерных векторных пространств.
В теории категории иногда П. с. паз. понятие, двойственное понятию произведения, т. е. копроизведение объектов категории. М. Ш. Цаленко.
Полезное
Смотреть что такое «ПРЯМАЯ СУММА» в других словарях:
Прямая сумма — Символ означает взятие прямой суммы; это также символ Земли в астрономии и астрологии и символ операции исключающее «или». Прямая сумма производный математический объект, создаваемый по определённым ниже правилам из базовых объектов. В качестве… … Википедия
Теория категорий — Теория категорий раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Теория категорий занимает центральное место в современной математике[1], она также нашла… … Википедия
Категория (математика) — Теория категорий раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Некоторые математики[кто?] считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для… … Википедия
Контравариантный функтор — Теория категорий раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Некоторые математики[кто?] считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для… … Википедия
Морфизм — Теория категорий раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Некоторые математики[кто?] считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для… … Википедия
МОДУЛЬ — абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек рым кольцом. Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А модулем, если определено… … Математическая энциклопедия
ЛИ АЛГЕБРА — лиева алгебра, унитарный k модуль Lнад коммутативным кольцом k с единицей, к рый снабжен билинейным отображением прямого произведения в L, обладающим следующими двумя свойствами: 1) [ х, х] = 0 (откуда вытекает антикоммутативность 2) ( х,[ у,… … Математическая энциклопедия
Эллиптическая кривая — Не следует путать с Эллипс. Эллиптическая кривая над полем K это множество точек проективной плоскости над K, удовлетворяющих уравнению вместе с точкой на бесконечности. Эллиптические кривые являются одним из основных объектов изучения в… … Википедия
Дополнительное подпространство
Существование такого разложения для любого вектора равносильно утверждению, что сумма двух подпространств равна всему пространству, а единственность эквивалентна тому, что эта сумма является прямой (которая характеризуется тем, что пересечение двух подпространств приводит к сводится к нулевому вектору).
Резюме
Частая путаница
Понятие дополнения часто путают с установленным понятием дополнения, которое сильно отличается. Различия между этими двумя концепциями многочисленны. Прежде всего, это уникальность дополнительного, тогда как для данного подпространства, как правило, существует бесконечное множество различных дополнительных. Тогда пересечение подпространства с дополнительным не пусто, а содержит нулевой вектор (и только этот). Более того, дополнение векторного подпространства никогда не является векторным подпространством. Наконец, объединение подпространства и дополнительного не равно всему пространству, более тонко, оно порождает это пространство. Интуитивно понятно, что два дополнительных подпространства содержат именно ту информацию, которая необходима для восстановления всего пространства.
Определение
Критерии
Эквивалентность между 1, 4 и 5 подробно описана в статье « Проектор (математика) ». Осталось показать, что 1, 2, 3, 6 и 7 эквивалентны.
В конечномерном измерении из него выводятся другие критерии, из которых наиболее полезен следующий:
Характеристики
Критерий 2 доказывает следующий частный случай формулы Грассмана (в конечной или бесконечной размерности):
каждое подпространство F в E имеет дополнительные.
Топологическое дополнение
В нормализованном векторном пространстве любое конечномерное подпространство и любое замкнутое конечное коразмерное подпространство допускает топологическое дополнение.