что такое промежутки возрастания и убывания функции

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №15. Возрастание и убывание функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение промежутков монотонности функции,

2) Определение алгоритма нахождения промежутков возрастания и убывания функции,

3) Решение задачи на нахождения промежутков возрастания и убывания функции

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x)

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1 f(x2)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежутки монотонности функции

1.Найдем область определения функции.

D(y) = что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

2.Найдем производную функции.

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

3.Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).

Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Так как на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциипроизводная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциипроизводная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает.

Так как на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциипроизводная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как в точках что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциифункция непрерывна, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания данной функции.

Следовательно, функция возрастает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции; функция убывает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Ответ: Функция возрастает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Функция убывает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

№2. Определите промежутки монотонности функции

у = х 5 –5х 4 +5х 3 – 4.

y =что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Ответ: Функция возрастает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции;

функция убывает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Источник

Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства.

теория по математике 📈 функции

Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.

Остановимся подробнее на свойствах функций.

Нули функции

Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииНа рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом. Внимание!

Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.

а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22

Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11

Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2

Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.

Промежутки знакопостоянства

Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.

Возрастание и убывание функции

Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Источник

Возрастание и убывание функции

Общие понятия о поведении функций

Исследуя функции, заданные определенными уравнениями, особенно уделяют внимание их свойствам, а именно возрастанию или убыванию.

Монотонной функцией называется функция, меняющаяся в одном направлении.
На графиках представлены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций.

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциичто такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Соответственно, монотонная функция может быть возрастающая или убывающая.

Возрастающей называется такая функция, у которой при увеличении значения аргумента, значение функции увеличивается, иными словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.

Математическое выражение этого определения выглядит следующим образом:

Убывающей называется такая функция, у которой при увеличении значения аргумента, значение функции уменьшается, иными словами, чем больше значение аргумента, тем меньшее значение функции.

Математическое выражение этого определения выглядит следующим образом:

Разберем примеры решения задач на изучение характера поведения функции.

Поскольку значения функции увеличиваются, при увеличении значений аргумента, то данная функция на заданном отрезке будет возрастать.

Поскольку значения функции уменьшаются, при увеличении значений аргумента, то данная функция на данном отрезке будет убывать.

Не возрастающей называется такая функция, у которой при увеличении значения аргумента, значение функции увеличивается или остается на том же уровне, иными словами, большему значению аргумента соответствует большее или равное значение функции.

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Не убывающей называется такая функция, у которой при увеличении значения аргумента, значение функции уменьшается или остается на том же уровне, иными словами, большему значению аргумента соответствует меньшее или равное значение функции.

Постоянной называется такая функция, которая не убывает и не возрастает, то есть при увеличении или при уменьшении значения аргумента, значение функции остается на одном и том же уровне. Пример такой функции можно наблюдать на рисунке.

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

То есть функция \(y=5\) будет постоянной.

Постоянная, не убывающая и не возрастающая функции не есть монотонные.

Свойства монотонных функций

К свойствам монотонных функций относятся такие характеристики:

Монотонность производной и заданной функций связаны между собой, и это описано в таких теоремах:

Источник

Возрастание, убывание и экстремумы функции

А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной. Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.

Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче!

Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции

Рассмотрим некоторую функцию что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции. Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ, как расположен график функции относительно оси что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции(выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём.

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, справедливо неравенство что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциирастёт на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, справедливо неравенство что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииубывает на интервалах что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.

Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциив первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииво 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности).

Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.

Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).

Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума. Вспоминаем:

Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии её стандартная что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции— окрестность:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
Собственно, определения:

Точка что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииназывается точкой строгого максимума, если существует её что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции-окрестность, для всех значений что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциикоторой за исключением самой точки что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциивыполнено неравенство что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. В нашем конкретном примере это точка что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Точка что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииназывается точкой строгого минимума, если существует её что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции-окрестность, для всех значений что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциикоторой за исключением самой точки что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциивыполнено неравенство что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. На чертеже – точка «а».

Примечание: требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям

Точки что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииназывают точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.

Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.

Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!):

Точка что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииназывается точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииданной окрестности выполнено неравенство что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.
Точка что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииназывается точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииданной окрестности выполнено неравенство что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииили «принцессой болота» что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Как разновидность, встречается остриё, направленное вверх либо вниз, например, минимум функции что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциив точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Да, кстати, о королевских особах:
– значение что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииназывают максимумом функции;
– значение что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииназывают минимумом функции.

Общее название – экстремумы функции.

Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!

Точки экстремума – это «иксовые» значения.
Экстремумы – «игрековые» значения.

! Примечание: иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.

Сколько может быть экстремумов у функции?

Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.

ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциимаксимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииминимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума, а экстремумы – локальными экстремумами. Ходят-бродят неподалёку и глобальные собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум или глобальный максимум. Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох.

Чайникам на первых порах рекомендую создать и осмыслить небольшой терминологический конспект, чтобы не путать Иран с Ираком.

Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?

Формулировка побуждает найти:

– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);

– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы 😉

Как всё это определить? С помощью производной функции!

Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?

Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной.

Рассмотрим дифференцируемую на некотором интервале функцию что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Тогда:

– если производная что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциина интервале, то функция что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциивозрастает на данном интервале;

– если производная что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциина интервале, то функция что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииубывает на данном интервале.

Примечание: справедливы и обратные утверждения.

Пусть точка что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциипринадлежит области определения функции что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Данная точка называется критической, если в ней производная равна нулю: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциилибо значения что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциине существует. Критическая точка может быть точкой экстремума. А может и не быть. Очень скоро мы рассмотрим необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Но сначала потренируемся на кошках разделаемся с простейшими примерами. Почин положен в конце теоретической статьи о производной, и на очереди другие жертвы анализа. Заодно есть возможность провести маленькое самотестирование – насколько хорошо вы запомнили, как выглядят графики жизненно важных функций? В тяжелом случае, конечно же, следует открыть первый урок на соседней вкладке и щёлкать туда-сюда по мере комментариев.

Производная кубической функции что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциинеотрицательна:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциидля любого «икс».
Действительно, кубическая парабола идёт «снизу вверх». Бесконечно близко около точки что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциискорость изменения функции равна нулю, о чём в рупор кричит производная: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. И вот вам, кстати, сразу пример, когда в критической точке нет максимума или минимума функции.

Функция что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииобитает на промежутке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, а её производная неравенством что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииоднозначно показывает, что «корень из икс» строго растёт на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииВ критической точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциифункция определена, но не дифференцируема.
С геометрических позиций тут нет общей касательной. Однако в теории рассматриваются так называемые односторонние производные, и в указанной точке существует правосторонняя производная с правосторонней касательной. Желающие разобраться в этом подробнее могут покурить первый том матана.

Примечание: согласно информации первого параграфа, точка что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциине является точкой минимума функции что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции(хотя «по понятиям» это вроде бы так). Дело в том, что определения точек максимума и минимума предполагают существование функции
и слева и справа от данных точек. Так же не считаются точками экстремума крайние значения области определения арксинуса и арккосинуса (см. ниже).

Стандартная гипербола что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииидёт «сверху вниз», то есть данная функция убывает на всей области определения. Что и показывает её производная:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциидля любого «икс» кроме нуля.
Здесь, к слову, точка что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциивообще не считается критической, так как функция что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциибанально в ней не определена.

Экспоненциальная функция что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциирастёт на всей числовой прямой (для любого значения «икс» справедливо строгое неравенство что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции). Исследуя же производную что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, легко сделать вывод, что функция что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциинаоборот – убывает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Что делает натуральный логарифм что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциисегодня вечером?
Растёт:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциина интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Начертите/распечатайте на соседних либо одном чертеже (иль просто представьте в уме) графики функции что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии её производной что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Там, где график косинуса находится над осью что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, синус растёт. Обратно – где график что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциирасположен ниже оси абсцисс, синус убывает. А в тех точках, где косинус пересекает ось (что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции), синусоида что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциидостигает минимума или максимума.

Аналогичная история с косинусом что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии его производной что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции(второй кадр запечатлён в статье Геометрические преобразования графиков).

Производная тангенса что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциинесёт бодрую весть о том, что функция что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциивозрастает на всей области определения.

С котангенсом и его производной что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииситуация ровно противоположная.

Арксинус на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциирастёт – производная здесь положительна: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.
При что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциифункция что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииопределена, но не дифференцируема. Однако в критической точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциисуществует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.

Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.

Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные, напоминаю, следуют непосредственно из определения производной.

Зачем исследовать функцию с помощью производной?

Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции: где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.

Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции:

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Решение:

1) На первом шаге нужно найти область определения функции, а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.

2) Второй пункт алгоритма обусловлен

необходимым условием экстремума:

Если в точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииесть экстремум, то что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциилибо значения что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциине существует.

Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».

Условие необходимо, но не достаточно, и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии её критическая точка что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции:

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Получилось обычное квадратное уравнение:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Положительный дискриминант доставляет две критические точки:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Примечание: корни можно традиционно обозначить через что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, однако в ходе полного исследования функции удобнее обойтись без подстрочных индексов, так как они вносят лишние оговорки и путаницу

Итак, что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции– критические точки

Но экстремумов в них может и не оказаться, поэтому нужно продолжить решение.

первое достаточное условие экстремума,

которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Тогда:

если при переходе через точку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциипроизводная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума;

если при переходе через точку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциипроизводная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.

Тут всё очень и очень наглядно, представьте – функция росла-росла-росла, и после прохождения некоторого рубежа вдруг стала убывать. Максимум. Во втором случае график шёл-шёл-шёл «сверху вниз», а при переходе через точку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииразвернулся в противоположную сторону. Минимум.

Исходя из вышесказанного, вытекает логичное решение: на числовой прямой нужно отложить точки разрыва функции, критические точки и определить знаки производной на интервалах, которые входят в область определения функции.

В рассматриваемом примере с непрерывностью на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциивсё тип-топ, поэтому работаем только с найдёнными критическими точками.

Напрашивается метод интервалов, который уже применялся для определения интервалов знакопостоянства функции. Так почему бы его не использовать для производной? Ведь производная тоже простая смертная функция, найдёшь её – и делай всё, что хочешь.

Внимание! Сейчас мы работаем с ПРОИЗВОДНОЙ, а не с самой функцией!

Перед нами парабола что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, ветви которой направлены вниз, и многим читателям уже понятны знаки производной, но ради повторения снова пройдёмся по всем этапам метода интервалов. Отложим на числовой прямой найденные критические точки:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
I) Берём какую-нибудь точку интервала что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии находим значение производной в данной точке. Удобнее всего выбрать что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, значит, производная отрицательна на всём интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

II) Выбираем точку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, принадлежащую интервалу что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, и проводим аналогичное действие:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, следовательно, что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциина всём интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

III) Вычислим значение производной в наиболее удобной точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциипоследнего интервала:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, поэтому что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциив любой точке интервала что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

В результате получены следующие знаки производной:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
Время собирать урожай!

На интервалах что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциипроизводная отрицательна, значит, САМА ФУНКЦИЯ что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциина данных интервалах убывает, и её график идёт «сверху вниз». На среднем интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, значит, функция возрастает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, и её график идёт «снизу вверх».

При переходе через точку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциипроизводная меняет знак с «–» на «+», следовательно, в этой точке функция достигает минимума:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

При переходе же через точку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциипроизводная меняет знак с «+» на «–», и функция достигает максимума в данной точке:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Ответ: функции возрастает на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии убывает на интервалах что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. В точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциифункция достигает минимума: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, а в точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции– максимума: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Остерегайтесь сокращенной записи что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Под значками что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииобычно понимают минимальное и максимальное значение, а это, как пояснялось выше, далеко не то же самое, что минимум и максимум.

Пример так тщательно провёрнут через мясорубку, что грех не привести графическое изображение всех событий. Незнакомец теоретической части статьи снимает шляпу:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
Что произошло? На первом этапе мы нашли производную что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии критические точки что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции(в которых парабола пересекает ось абсцисс). Затем методом интервалов было установлено, где что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции(парабола ниже оси) и что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции(парабола выше оси). Таким образом, с помощью производной мы узнали интервалы возрастания/убывания и экстремумы «синей» функции.

Помимо 1-го достаточного условия экстремума существует и 2-е достаточное условие, однако для исследования функций оно малоинформативно и больше используется в экстремальных задачах.

В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции: «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции…Итак, решение нашего уравнения: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции– именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции. Поэтому повысим степень:

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.

Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:

Исследовать функцию с помощью первой производной
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение:

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Решим уравнение что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Таким образом, получаем три критические точки:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, принадлежащую интервалу что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, и выполним подстановку: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, а значит, производная отрицательна и на всём интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии знаменатель что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциистрого положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциивозрастает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии убывает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

В точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциифункция достигает максимума: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
В точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциифункция достигает минимума: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение 😉

При переходе через точку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциипроизводная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент: точки что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциине считаются критическими – в них функция не определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ: функция возрастает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии убывает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииВ точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциидостигается максимум функции: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, а в точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции– минимум: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииесть две вертикальные асимптоты что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии наклонная асимптота что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Вот наш герой:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииэкстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Найти экстремумы функции
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается.
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)

В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.

Как отмечалось, в ходе выполнения задания всегда нужно внимательно следить за точками разрыва и интервалами, которые не входят в область определения функции. Казус состоит в том, что иногда производная может существовать на таких участках! Простейший пример: производная натурального логарифма что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииопределена на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, но сам логарифм – нет. Интервалы, которые не входят в область определения функции, НЕЛЬЗЯ рассматривать и у производной!

Типичный барьерный риф:

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Приближаю оформление к боевым условиям и прекращаю нумерацию пунктов алгоритма.

Решение: в Примере 11 статьи об интервалах знакопостоянства была найдена область определения данной функции: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, знание которой КРИТИЧЕСКИ ВАЖНО учитывать в нашей задаче:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Вроде бы всё хорошо: у нас есть корень что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии крайние точки области определения:что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Но производная проявила своеволие – она в отличие от свого родителя определена и на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Более того, точка что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции(не критическая. ;)) вошла в этот нехороший интервал! Что делать? Мама всегда права, поэтому определяем знаки производной только на интервалах области определения функции:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
Функция убывает на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии возрастает на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Точки экстремума (и, понятно, экстремумы) ОТСУТСТВУЮТ. Значение что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииосталось не при делах, так как на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциипопросту нет графика функции что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

Ответ: функция убывает на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии возрастает начто такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы отсутствуют.

Будьте очень внимательны, если вам встретится логарифм или корень – в подобных примерах просто необходимо увАжить область определения функции!

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Это приятный разгрузочный пример для самостоятельного решения.

И заключительный пример посвящен другому приключению непослушной дочери:

Найти точки экстремума функции
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Решение: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Найдём критические точки:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

На всякий случай детализирую преобразования знаменателя:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, затем сокращаем числитель и знаменатель на «икс».

Таким образом, что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции– критические точки. Почему значения что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, обращающие знаменатель производной в ноль, следует отнести к критическим точкам? А дело в том, что САМА-ТО ФУНКЦИЯ в них определена! Ситуация необычна, но клубок распутывается по стандартной схеме.

Определим знаки производной на полученных интервалах:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
Функция возрастает на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии убывает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

В точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциифункция достигает минимума: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.
В точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциифункция достигает максимума: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.
В точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциинет экстремума.

Ответ: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции– точка минимума, что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции– точка максимума

По условию требовалось найти точки экстремума и что-то добавлять излишне. Но в решении как бы невзначай вычислены и сами экстремумы 😉

Давайте посмотрим на на эту оригинальную картину:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
В точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции– классическое остриё, направленное вниз, при что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции– «нормальный» максимум. В точках что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциифункция не дифференцируема, однако в них существуют бесконечные производные и вертикальные касательные (см. теорию производной).

. да, родители и дети бывают разными. Но мама права в 95% случаев с погрешностью что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Я проводил статистическое исследование.

Пример 2: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
2) Найдём критические точки:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции– критическая точка.
3) Методом интервалов определим знаки производной:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
Ответ: функция убывает на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии возрастает на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. В точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциифункция достигает минимума: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Пример 4: Решение:

1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.
2) Найдём критические точки:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции, что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции– критические точки.
3) Методом интервалов определим знаки производной:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
В точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциифункция достигает минимума: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.
В точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииэкстремум отсутствует.

Ответ: в точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциифункция достигает минимума: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
Примечание: обратите внимание, что информацию об интервалах монотонности раскрывать не обязательно, так как по условию требовалось найти только экстремумы функции

Пример 5: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.

2) Найдём критические точки:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
Примечание: в данном случае перед дифференцированием выгодно почленно разделить числитель на знаменатель
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции– критическая точка.
3) Определим знаки производной:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
Ответ: функция возрастает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии убывает на что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. В точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииона достигает максимума: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Пример 7: Решение:

Область определения: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции.
Найдём критические точки:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции– критическая точка.
Определим знаки производной:
что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции
Ответ: функция убывает на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциии возрастает на интервале что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функцииВ точке что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функциифункция достигает минимума: что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть фото что такое промежутки возрастания и убывания функции. Смотреть картинку что такое промежутки возрастания и убывания функции. Картинка про что такое промежутки возрастания и убывания функции. Фото что такое промежутки возрастания и убывания функции Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *