Что такое признак делимости

Признаки делимости чисел

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

Источник

Признаки делимости чисел

Что такое «признак делимости»

Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.

Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.

Однозначные, двузначные и трехзначные числа

Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.

Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).

Чётные и нечётные числа

Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.

Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.

Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.

Источник

Основные признаки делимости.

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости.

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы: на единицу делится все числа. Так же элементарно и с признаками делимости на два, пять, десять. На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять – число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9, 4, 6 и 8, 25. Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9.

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее.

Цифру можно без остатка разделить на четыре, если у нее две последние цифры нули или являются числом, которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь. Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть, если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и «числа, оставшегося без последней цифры»делится на семь, то и само число делится на семь.

Характерная особенность делимости на 11.

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

На двадцать пять поделятся числа, две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах – число невозможно поделить целиком на 25.

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

Источник

Признак делимости

При́знак дели́мости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Существуют несколько простых правил, позволяющих найти малые делители числа в десятичной системе счисления:

Содержание

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (так как все числа вида 10 n при делении на 3 дают в остатке единицу).

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр (оно может быть двузначным, однозначным или нулём) делится на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится на 7).

Либо использовать модификацию признака деления на 1001=10³+1, которое само делится на 7:
Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на семь.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11

Признак делимости на 12

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного проще — число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17 (например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15; поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23

Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) = 46 — очевидно, делится на 23).

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75).

Признак делимости на 99

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признак делимости на 2 n

Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5 n

Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 10 n − 1

Признак делимости на 10 n

Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

Признак делимости на 10 n + 1

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Признак делимости» в других словарях:

Признак Паскаля — метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости». Содержание 1 Общий вид 2 Доказательство 3 О … Википедия

ПРИЗНАК — ПРИЗНАК, признака, муж. Та сторона в предмете или явлении, по которой его можно узнать, определить или описать, которая служит его приметой, знаком. «Основной признак различия между классами их место в общественном производстве, а следовательно,… … Толковый словарь Ушакова

ПРИЗНАК — ПРИЗНАК, а, муж. Показатель, примета, знак, по к рым можно узнать, определить что н. Различительные признаки. Признаки пола. Признаки весны. П. нетерпения. Без признаков жизни (в состоянии смерти). Признаки делимости (спец.). | прил. признаковый … Толковый словарь Ожегова

ДЕЛИМОСТИ ПРИЗНАК — на натуральное число d условие, к рому удовлетворяет натуральное число Ав том и только в том случае, если оно делится на d. Желательно, чтобы это условие можно было легко проверить и чтобы эта проверка была не сложнее непосредственного деления… … Математическая энциклопедия

Признак — в математике, логике то же, что и достаточное условие. В менее строгих науках слово «признак» употребляется, как описание фактов, позволяющих (согласно существующей теории и т.п.) сделать вывод о наличии интересующего явления. Примеры… … Википедия

Признаки делимости — Признак делимости алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному[1]. Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его … Википедия

Признаки делимости — На 2 делится каждое четное число. На 3 делится число, если сумма цифр его делится на три. На 4 делится число, если число, представляемое двумя последними цифрами, делится на 4. Число, оканчивающееся нулем или 5 ю, делится на пять. Четные числа,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Теория чисел — Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… … Википедия

История арифметики — Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы … Википедия

99 (число) — 99 девяносто девять 96 · 97 · 98 · 99 · 100 · 101 · 102 Факторизация: 3×3×11 Римская запись: XCIX Двоичное: 1100011 Восьмеричное: 143 Шестнадцатеричное: 63 … Википедия

Источник

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком. Признаки делимости

Содержание

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком

В противном случае говорят, что число a не делится на число b.

Если число a больше, чем число b, и не делится на число b, то число a можно разделить на число b с остатком.

Признаки делимости

Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.

Сумма цифр числа должна делиться на 3

Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4

Число должно оканчиваться цифрой 0 или 5

Число должно делиться на 2 и на 3

На 7 должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой

Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на 8

Сумма цифр должна делиться на 9

Число должно оканчиваться 0

Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на 11

На 13 должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой

Число должно оканчиваться на 00 или 50

Число должно оканчиваться на 00

Число должно оканчиваться на 000

Источник