Что такое прием решения задачи
Статья на тему: «Методы и способы решения текстовых задач»
Методы и способы решения текстовых задач
Текстовые задачи мы можем условно классифицировать по типам: задачи на числовые зависимости; задачи, связанные с понятием процента; задачи на «движение», «концентрацию смесей и сплавов», «работу» и т. д.
Решение текстовых задач делится на несколько этапов:
восприятие и осмысление задачи;
поиск плана решения;
выполнение плана решения;
Существуют различные методы решения текстовых задач:
метод проб и ошибок.
В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.
Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.
Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.
Работа над текстовой задачей остается одним из важнейших аспектов обучения в начальной школе, когда закладываются основы знаний; является движущим фактором в развитии младших школьников. Из текстов задач дети открывают новое об окружающем мире, испытывают чувство удовлетворения и радости от их успешного решения.
Решение текстовых задач и нахождение разных способов их решения на уроках математики способствует развитию у детей мышления, памяти, внимания, творческого воображения, наблюдательности, последовательности рассуждения и его доказательности, развитию умения кратко, четко и правильно излагать свои мысли.
При решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что приводит к более короткому решению. Если после составления уравнений, полученная система не решается, то необходимо попробовать выбрать другие неизвестные. Количество неизвестных не имеет значения, правильное составление системы превыше всего. Также, нужно обращать особое внимание на единицы измерения – в течение всего решения они обязательно должны быть одинаковыми. А именно, если это часы, то на протяжении всей задачи время должно выражаться в часах, а не в минутах, так и, километры и метры не должны применяться в одном решении и т. п.
Для преобразования условия задачи в математическую модель математические знания практически не нужны – здесь необходим здравый смысл. Очень важно обязательно сформулировать, используя переменные, что мы обязаны найти, т. к. переменных может быть намного больше, чем уравнений, где все их найти просто невозможно.
Решая системы нужно помнить, что в текстовых задачах все величины, как правило, положительны, т. к. в природе отрицательных скоростей и расстояний не существует. Это даёт нам право на умножение, деление и на возведение в квадрат получающиеся уравнения и неравенства.
Решая задачи «на работу», очень выгодно принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах, будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе. Во время исследования была обнаружена всего одна задача, где помимо рассмотрения деятельности всех рабочих, важно рассмотреть их совместную деятельность, а иначе задача будет решена не верно.
В задах «на производительность» стоит лишь отметить то, что за производительность трубы принимается объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени. Также, бывают случаи, когда необходимо принять за неизвестные одновременно объём бассейна, производительность труб и время наполнения бассейна каждой трубой, чего не стоит опасаться.
Статья «Приёмы работы над задачей»
Приёмы работы над задачей
Особую роль в повышении качества знаний, умений и навыков учащихся начальных классов играют задачи. В процессе их решения формируются основные математические понятия курса математики начальных классов, совершенствуются вычислительные навыки, развивается мышление и речь учащихся. Овладение учащимися умением решать задачи оказывает существенное влияние на их интерес к предмету.
Знакомство с простыми задачами начинается в 1-м классе при изучении чисел первого десятка. Это задачи на сложение и вычитание. Во 2-м классе при изучении новых арифметических действий (умножение и деление) ребята знакомятся и с новыми задачами, при решении которых используются эти действия. В 3-м классе происходит закрепление умений решать простые задачи, знакомство с задачами на нахождение доли числа, решаются задачи на цену, количество, стоимость. В 4-м классе к новым видам простых задач относятся задачи, сформулированные в косвенной форме и задачи, с помощью которых раскрывается связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием.
Поспешное и поверхностное отношение детей к обдумыванию решения задачи начинает складываться ещё в 1 классе. Каждый учитель из своего опыта знает, что сразу же после ознакомления с содержанием задачи ребёнок спешит назвать ответ и только по требованию учителя сообщает решение задачи (3 + 2 = 5). Ошибки при этом маловероятны, потому что сюжеты задач близки жизненному опыту детей, числа в условии небольшие и, следовательно, нужное арифметическое действие и число – ответ можно найти даже по представлению, не прибегая к вычислениям. Решение задач кажется первокласснику совсем не сложным. Зарождается стремление и постепенно формируется прочная привычка сводить всю работу над задачей к простой вычислительной деятельности. Но, как известно, процесс решения любой текстовой задачи состоит из нескольких этапов.
Остановимся на содержании первого этапа – восприятие и первичный анализ задачи. Основная цель ученика на первом этапе – понять задачу. Ученик должен чётко представить себе: О чём эта задача? Что в задаче известно? Что нужно найти? Как связаны между собой данные (числа, величины, значения величин)? Какими отношениями связаны данные и неизвестные, данные и искомое? Что является искомым: число, отношения, некоторое утверждение?
Можно выделить следующие возможные приёмы выполнения первого этапа решения текстовой задачи:
Каждый из перечисленных выше приёмов начинается с чтения или слушания задачи. От того, как будет прочитана или прослушана задача, зависит её понимание, а следовательно, и эффективность дальнейших действий по её решению.
Основное требование к чтению задачи – правильное чтение всех слов, сочетаний слов, соблюдение знаков препинания, правильная расстановка логического ударения.
В процессе решения разнообразных текстовых задач нетрудно заметить много общего. Возникает необходимость выделить это общее, изучить его и целенаправленно использовать.
Обобщённые, или, по-другому, общие, умения решать задачи – это умения, необходимые и используемые при решении многих или хотя бы нескольких математических задач. Формирование таких умений очень важная учебная задача в обучении математике: её решение существенно определяет уровень развития учащихся, их подготовленность самостоятельно решать предлагаемые им математические задачи. К сожалению, проблеме формирования обобщённых умений не уделяется должного внимания. Это приводит к тому, что в практике обучения нередко каждая предлагаемая учащимся математическая задача воспринимается ими как совершенно новая, которую нужно решать как-то по особому.
Термин “решение задачи” используется в двух смыслах: как обозначение ответа на вопрос задачи, т.е. как некоторый результат, так и обозначение процесса, ведущего к этому результату. В процессе решения математической задачи необходимы обобщённые умения разных видов, например умения выделять опорные слова, выполнять краткую запись задачи и т. д. Но особо важное значение имеют обобщённые умения, входящие в процесс поиска плана решения задачи.
Ребёнок мыслит образами, а его хотят научить мыслить абстрактно. Для этого очень важно при работе над задачей научить детей выделять основные (опорные) слова, которые связаны с действием, соответствующим сюжету.
Прорези удобны тем, что, прикрепив опору к доске, в прорезях можно записать недостающие числа, слово, знак “?” и получать краткую запись конкретной задачи. Использование данных опор приучает первоклассников правильно оформлять задачи (постоянно видят образец), даёт возможность при работе различать задачи по их существенным признакам. Наряду с демонстрационными таблицами удобно использовать такие же индивидуальные, что позволяет включить в работу всех учеников.
Опоры можно применять как перфокарты, делая записи на подложенном под таблицу листочке.
Как известно, математика по сравнению с другими является более абстрактным предметом. Эта особенность и требует применения в процессе обучения математике в начальных классах разнообразия и занимательности.
Опыт передовых учителей убеждает нас в том, что введение в курс математики начальных классов занимательность содействует усвоению математических знаний и развитию логического мышления учащихся.
Существует немало пособий, содержащих в себе математические игры и развлечения. Сюда относятся и логические упражнения, которые развивают мышление, интуицию и математическое творчество.
Отметить, что игру можно проводить только в том случае, если игра:
Известно, что один из главных психологических моментов, сопровождающих игру или развлечение – это интерес, проявляемый к ней учеником. Элементы занимательности, используемые в начальных классах, по форме разнообразны. Главные из них – игры, загадки, задачи – шутки, головоломки, числовые курьёзы и соотношения.
Проверка и самопроверка задач.
В методике преподавания математике под проверкой решения задачи чаще всего понимают проверку ответа задачи. Известно несколько способов такой проверки:
Рассмотрим теперь каждый из названных выше способов проверки.
1. Составление и решение обратной задачи.
При проверки решения задачи этим способом учащиеся, как известно, должны выполнить ряд действий:
Объективно степень сложности обратной задачи такая же, что и прямой. Действительно, обратная задача содержит столько же данных, те же отношения и связи, что и прямая. Значит, и для учащихся она далеко не всегда будет более лёгкой. Но, кроме решения обратной задачи, учащиеся должны ещё составить её. Это ещё более усложняет процесс проверки.
Из сказанного следует, что составление и решение обратной задачи в абсолютном большинстве случаев задание более сложное для учащихся, чем решение прямой задачи, а потому психологически не может восприниматься ими как критерий правильности решения прямой задачи. Самостоятельное применение этого способа проверки в качестве средства контроля для учащихся вряд ли приемлемо.
2. Решение задачи другим способом.
Получение того же результата при решении задачи другим способом подтверждает правильность первого решения лишь при верном решении задачи этим способом. Чтобы решение задачи другим способом воспринималось учащимися как средство контроля и самоконтроля, необходимо, чтобы этот второй способ решения был более освоен ими, чем первый способ. Только в этом случае учащиеся смогут использовать его для самоконтроля.
3. Соотнесение полученного результата и условия задачи.
Раскрытие содержания этого способа заключается не только и не столько в выполнении арифметических действий и в получении чисел, данных в задаче, но и в обосновании с помощью логических рассуждений того, что если считать полученный результат верным, то все отношения и зависимости между данными и искомым будут выполнены. Проверка рассматриваемым способом заключается в проведении рассуждений по тексту задачи с выполнением при необходимости арифметических действий. Проведение этих рассуждений носит всегда неформальный характер, основано на понимании проверяющим всех слов и предложений текста задачи.
4. Прикидка ответа или установление его границ.
Содержание прикидки заключается в том, что до начала решения задачи на основе предварительного анализа текста задачи прогнозируется с некоторой степенью точности результат решения. Обучение этому на первый взгляд весьма примитивному способу проверки очень важно для формирования самоконтроля. Прикидка помогает и осуществлению поиска решения задачи, так как предполагает проведение первоначального анализа основных связей между данными и искомым, предполагает выделение основного отношения между ними.
Этапы работы над задачей и приемы их выполнения
Этапы работы над задачей и приемы их выполнения
Общеизвестно, что существует 2 подхода к решению задач:
частный подход – знакомство с алгоритмом и доведение его до автоматизма;
общий подход – заключается в знании, что такое задача, знании этапов решения задачи и умении выполнять эти этапы.
Частный подход связан с решением задач частных видов, общий подход основан на том, что есть общего при решении любых задач – этапы решения, которые вычленил Д. Пойа. Количество этапов и их содержание примерно одинаково у разных авторов, что говорит об объективном характере существования соответствующих этапов в деятельности решающего. Базовыми считаются четыре этапа решения задачи.
Знания об этапах решения представлены в виде таблицы 7, в которой выделены четыре этапа, цель и приёмы выполнения каждого из них.
Этапы решения задачи
Драматизация, обыгрывание задачи.
Разбиение текста задачи на смысловые части.
Постановка специальных вопросов.
Построение подходящей модели (предметная модель, рисунок, краткая запись, схема, чертеж, таблица).
Определение вида задачи выполнение соответствующей краткой записи (частный подход).
Поиск плана решения задачи
«Связать» вопрос и условие.
Рассуждения (арифметический, алгебраический и геометрический методы):
-от условия к вопросу;
-от вопроса к условию;
Составление уравнения (алгебраический метод).
Название вида, типа задач и определение алгоритма решения (частный подход)
Выполнить операции в соответствующей математической области (арифметика, алгебра, геометрия, логика и др.) устно или письменно.
Запись и оформление арифметических действий:
-по действиям (с пояснением, без пояснения, с вопросами);
Измерение, счёт на модели.
Выполнения алгоритма решения (частный подход).
Убедиться в истинности выбранного плана и выполненных действий, после чего сформировать ответ задачи.
-установление границ ответа с точки зрения здравого смысла.
-по смыслу полученных выражений;
-осмысление хода решения по вопросам.
После решения задачи:
-решение другим способом;
-решение другим методом;
-подстановка результата в условие;
-сравнение с образцом;
-составление и решение обратной задачи.
Каждый этап решения есть сложное умственное действие, входящее в состав еще более сложного – решения задачи. Тогда каждый «прием выполнения» есть операция или совокупность операций соответствующего действия.
В методике рассматривается также и другое количество этапов работы над задачей. Ниже представлено описание 6 этапов работы над задачей.
I. Восприятие и осмысление задачи.
Цель: понять задачу, т.е. установить смысл каждого слова, словосочетания, предложения и на этой основе выделить множества, отношения, величины, зависимости, известные и неизвестные, искомое, требование.
Правильное чтение задачи (правильное прочтение слов и предложений, правильная расстановка логических ударений) в случае, когда задача задана текстом.
Правильное слушание при восприятии задачи на слух.
Представление ситуации, описанной в задаче (создание зрительного, возможно, слухового и кинестетического образов).
Разбиение текста на смысловые части.
Переформулировка текста задачи (изменение текста или построение словесной модели):
замена термина содержательным описанием;
замена содержательного описания термином;
замена некоторых слов синонимами или другими словами, близкими по смыслу;
исключение части текста, не влияю щей на результат решения;
замена некоторых слов, терминов словами, обозначающими более общее или более частное понятие;
изменение порядка слов и (или) предложений;
дополнение текста пояснениями;
замена числовых данных другими, более наглядными;
замена числовых данных буквенными;
замена буквенных данных числовыми;
введение произвольных единиц величин и связанные с этим другие изменения текста.
Построение материальной или материализованной модели:
предметной (показ задачи на конкретных предметах, в лицах – драматизация с использованием приема «оживления» или без него);
геометрической (показ задачи с помощью графических изображений геометрических фигур или предметных моделей фигур с использованием их свойств и отношений между ними);
словесно-графической (схематическая краткая запись текста задачи, переформулированного в результате применения предыдущего приема);
Постановка специальных вопросов:
Что требуется узнать (доказать, найти)?
Что обозначают слова. словосочетания. предложения?
Какие предметы, понятия, объекты описываются в задаче?
Какими свойствами, величинами они характеризуются?
Сколько раз и как дается характеристика каждого предмета, понятия, объекта?
Какая ситуация описывается в задаче?
Сколько ситуаций описывается в задаче?
Другие вопросы по содержанию задачи.
II. Поиск плана решения.
Цель: составить план решения задачи. Приемы выполнения:
Рассуждения «от вопроса к данным» и (или) «от данных к вопросу» без построения графических схем:
Рассуждения «от вопроса к данным» и (или) «от данных к вопросу» с построением графической схемы:
Замена неизвестного переменной и перевод текста на язык равенств и (или) неравенств с помощью рассуждений «от вопроса к данным» и (или) «от данных к вопросу»:
III. Выполнение плана решения.
Цель: найти ответ на вопрос задачи (выполнить требование задачи).
Приемы и формы выполнения:
Устное выполнение каждого пункта плана.
Письменное выполнение каждого пункта плана:
в виде выражения с записью шагов по его составлению, вычислений и полученного результата этих вычислений — равенства;
в виде выражения, преобразуемого после вычислений в равенство, без записи шагов по составлению выражения;
по действиям с пояснениями;
по действиям без пояснений;
по действиям с вопросами;
в виде уравнения (неравенства) и его решения;
через запись шагов составления уравнения, самого уравнения и его решения;
Графического и геометрического решения:
в виде чертежа и (или) рисунка без промежуточных шагов построения и измерения;
в виде чертежа и (или) рисунка с представлением промежуточных шагов построения и измерения;
в виде таблицы с записью шагов по ее построению и заполнению;
в виде таблицы и ее заполнения без представления промежуточных шагов;
с использованием символического языка логики;
без использования символического языка логики.
Выполнение решения путем практических действий с предметами:
Выполнение пунктов плана с помощью вычислительной техники или других вычислительных средств:
с записью программы для ЭВМ, МК или др. техники;
без записи программы для ЭВМ, МК и др. техники.
IV. Проверка решения
Цель: установить, соответствует ли процесс и результат решения образцу правильного решения.
Прогнозирование результата (прикидка, установление границ ответа на вопрос задачи) и последующее сравнение хода решения с прогнозом. При несоответствии прогнозу – решение неверно. При соответствии решение может быть как верным, так и неверным. (Возможно установление правильности (правдоподобности) или неправильности (неправдоподобности) хода решения.)
Установление соответствия между результатом решения и условием задачи: введение в текст задачи вместо вопроса (требования) ответа на него (утверждение о выполнении требования), получение всех возможных следствий из полученного текста, сопоставление результатов друг с другом и с информацией, содержащейся в тексте. (Если в результате будут обнаружены противоречивые утверждения, то задача решена неправильно. В противном случае – результат решения верен. Правильность хода решения не устанавливается).
Решение другим методом или способом. (Если в результате решения другим (другими) способом или методом получили тот же результат – этот результат верен, в противном случае – неверен. Правильность хода решения не устанавливается).
Составление и решение обратной задачи. (Если в результате решения обратной задачи получено данное прямой задачи, то результат решения верен. В противном случае – неверен. Правильность хода решения не устанавливается).
Определение смысла составленных в процессе решения выражений. (Если все выражения имеют смысл и смысл последнего таков, что позволяет ответить на вопрос задачи, то выражения составлены верно и после проверки правильности нахождения значений выражений можно утверждать, что ход и результат решения верны. В противном случае либо ход решения, либо его результат – неверны. Возможно установление правильности как хода, так и результата решения).
Сравнение с правильным решением – с образцом хода и (или) результата решения. (При решении задачи тем же методом и способом, что и в имеющемся образце, возможно установление правильности как хода, так и результата решения).
Повторное решение тем же методом и способом. (Возможно установление правильности хода и результата решения).
Графическое решение может быть геометрическим, если основано на геометрических свойствах изображений, и негеометрическим, если свойства геометрических фигур не используются.
Результаты проверки любым из перечисленных приемов достоверны лишь в той мере, в какой правильно осуществлены все проверяющие действия и операции.
Решение задач «с малыми числами» с последующей проверкой вычислений. (Возможно установление правильности хода и результата решения).
Решение задач с упрощенными отношениями и зависимостями с последующим восстановлением отношений и зависимостей, данных в задаче. (Возможно установление правильности как хода, так и результата решения).
Обоснование (по ходу) каждого шага решения через соотнесение с более общими теоретическими положениями. (Возможно установление правильности как хода, так и результата решения).
V. Формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении требования).
Цель: дать ответ на вопрос задачи (подтвердить факт выполнения требования задачи).
Формы и способы выполнения:
Построение развернутого истинного суждения вида: «Так как. то можно сделать вывод, что. (формулируется ответ на вопрос задачи полным предложением в устной или письменной форме).
Формулировка полного ответа на вопрос задачи без обосновывающей части устно или письменно.
Формулировка краткого ответа устно или письменно с помощью специальных знаков.
VI. Исследование решения.
Цель: установить, является ли данное решение (результат решения) единственным или возможны и другие результаты (ответы на вопрос задачи), удовлетворяющие условию задачи.
Изменение результата решения в соответствии с его смыслом и установление характера (направления) изменений в отношениях между измененным результатом и условием задачи.
Подбор другого результата решения и установление соответствия (возможности соответствия) условию задачи. Оценка степени возможности удовлетворения условию задачи других результатов.
Итак, чтобы решить задачу, нужно вначале ознакомиться с ней и понять ее, затем составить план решения, после чего выполнить его, сформулировать ответ на вопрос (вывод о выполнении требования) задачи, проверить ход и результат решения; выяснить, возможны ли другие результаты решения. Выполнить каждый из перечисленных этапов можно, применив один или несколько приемов, названных выше или сконструированных на их основе самостоятельно.
Часть из перечисленных выше приемов универсальна, т.е. применима к любым задачам, другая часть применима лишь к математическим задачам. Существуют и приемы более узкого назначения – для задач определенного вида. Выбор данного выше набора приемов обусловлен прежде всего результативностью и конструктивностью, т.е. возможностью расчленения на вполне конкретные и доступные освоению детьми операции.
Возможно и другое вычленение «инструментария» решения задач, как в ТРИЗ, как в работе И. И. Ильясова и др. источниках.
Представленные элементы решения задач, их смыслы, содержательное наполнение составляют содержание обучения решению задач и соответствующий взгляд на проблему обучения этому содержанию.
Различные приемы работы над задачами
Просмотр содержимого документа
«Различные приемы работы над задачами»
Различные приемы работы над решением текстовых задач
Текстовые задачи на уроке математики в начальных классах могут быть использованы для самых разных целей: для подготовки к введению нового понятия (в частности, арифметических действий); для ознакомления с новым понятием; для углубления и расширения математических знаний и умений; для формирования вычислительных навыков; для обучения методам и приемам решения задач и др.
Характер работы над той или иной задачей должен соответствовать поставленной на уроке цели.
Наиболее распространенными видами работы над задачами являются следующие: решение задач, выполнение части решения задачи, составление задачи учащимися.
Рассмотрим каждый вид работы поподробнее.
Наиболее распространенный вид работы над задачей – решение задач, который может отличаться формой организации деятельности детей, характером и степенью руководства процессом решения, содержанием решаемых задач, способом оформления решения и т.п. Исходя из этого даже решение задач на разных уроках в разных классах в зависимости от целей урока может осуществляться по-разному: фронтальное (коллективное) решение задачи под руководством учителя; фронтальное решение под руководством учащегося; самостоятельное решение задачи учащимися.
1. Фронтальное (коллективное) решение задачи под руководством учителя наиболее известно, однако содержание такого решения не скорректировано на конкретную учебную цель. Поэтому учащиеся видят цель решения только в скорейшем получении ответа. Однако такая форма работы может преследовать различные цели. Так, например, коллективное решение может использоваться для знакомства детей с решением задач определенного вида и на понимание и запоминание основных шагов такого решения. Например, данный прием работы запланирован учителем для ознакомления учащихся с решением задач на нахождение числа по двум разностям: «Купили 2 куска ленты. В одном куске 6 метров, а в другом 4 метра. За второй кусок заплатили на 1 рубль меньше, чем за первый. Сколько рублей стоит каждый кусок?».
Коллективную работу полезно начать так:
-Прочитайте задачу. Скажите, решали ли мы раньше такие задачи? (Нет, не решали.)
-Что нового в содержании, почему вы сделали такой вывод. (Не дана ни цена ленты, ни стоимость какого-либо количества метров ленты).
После решения задачи полезно вновь задать вопрос об особенностях задач данного вида и их решения, обобщить ход решения.
Коллективное решение задач под руководством учителя полезно также использовать для того, чтобы дети запомнили этапы работы над задачей, приемы, помогающие решению задач.
2. Фронтальное решение задачи под руководством учащегося – эта форма работы может быть использована для овладения учащимися умением последовательно выполнять этапы решения задачи, для закрепления умения пользоваться определенными приемами и методами решения. Учитель в этом случае только побуждает детей к руководству решением. Работа также должна завершаться обобщенными выводами в соответствии с её целями.
3. Самостоятельное решение – одна из форм работы над задачами, ориентированный на различные цели: формирование умения решать задачи определенного вида; решать задачи с помощью определенных средств, приемов, методов; проводить проверку и самопроверку, оценку и самооценку; использовать при решении задач свойства действий, вычислительные приемы.
Другой вид работы – выполнение части решения. Основные цели – формирование у учащихся выполнять определенный этап решения, формирование представлений учащихся об арифметических действиях. Задания, которые определяют данный вид работы могут быть следующие:
Сделайте рисунок, чертеж к данной задаче.
Прочитайте задачу. Представьте то, о чем в ней говориться. Расскажите, что представили.
Пользуясь схемой разбора задачи от вопроса к данным, составьте план решения данной задачи.
Проверьте, правильно ли решена эта задача, определив смысл каждого действия (решив задачу другим способом, решив задачу графически, решив задачу схематично).
Реализовать разнообразные функции задач возможно и выполнение такого вида работы над задачей как составление задач самими учащимися. Само составление задач тоже может осуществляться в разных видах работ, с различной степенью полноты. Например, дополнение задачи недостающими данными; постановка вопроса к данному условию, составление задачи по краткой записи, рисунку, чертежу, числовым данным; составление задачи, аналогично данной по способу решения, по сюжету, по величинам; дополнение условия задачи; дополнение условия задачи сведениями, меняющими способ решения, но не меняющим результат; составление задачи по данной записи решения, по уравнению; составление и решение задачи, обратной данной; устное сочинение «О чем может рассказать данное математическое выражение?».
Также существует большое число видов дополнительной работы над уже решенной задачей. Цели такой работы самые различные: формирование у учащихся смысла арифметических действий; формирование умений находить другие способы решения задачи, решать задачи разными методами, проводить анализ содержания задачи, ставить вопросы к условиям задач; формирование нахождения особенностей способа решения задач определенного вида, обучение элементам исследования задачи, обучение умению обосновывать правильность решения задачи.
Виды дополнительной работы над решенной задачей:
Изменение условия задачи так, чтобы она решалась другим действием.
Постановка нового вопроса к решенной задаче, постановка всех вопросов, ответы на которые еще можно найти по данному условию.
Сравнение содержания данной задачи и её решения с содержанием и решением другой задачи.
Решение задачи другим способом или с помощью других средств, методов.
Изменение числовых данных задачи так, чтобы появился новый способ решения или, наоборот, чтобы один из способов решения стал невозможен.
Исследование решения. (Сколько способов решения имеет задача? При каких условиях она не имела бы решения? Какие приемы наиболее целесообразны для поиска решения этой задачи? Возможны ли другие методы решения данной задачи?)
Обоснование правильности решения задачи (проверка решения задачи любым из известных приемов).
Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить её, преобразовав задачу на нахождение четвертого пропорционального. Полезны упражнения на составление задач учащимися с последующим решением их, а также упражнения по преобразованию. Можно предлагать для составления задач краткую запись с числовыми данными или рисунок.
При ознакомлении с задачами на нахождение неизвестного по двум разностям также можно использовать различные пути: можно сначала составить задачу, преобразовав её на нахождение четвертого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу кратко представленную в таблице или выполнить рисунок и после коллективного составления плана записать решение.
Среди составных задач особое внимание должно быть уделено задачам на встречное движение и движение в противоположных направлениях. В данном случае используется прием решение трех взаимообратных задач, их сравнение; также составление задач по чертежу, по данным в таблице значениям величин и соответствующим выражениям. Например,
1) 60х4; 2) 75х4; 3) (60+75)х4; 4) (75-60)х4
Здесь учащиеся знакомятся с новым для них способом решения задач – способом отношений. В дальнейшем учащиеся решают задачи преимущественно самостоятельно, причем при затруднении можно предложить им записать задачу кратко.
С целью формирования умения решения задач различными способами используются следующие приемы:
разъяснения плана решения задачи;
пояснение готовых способов решения;
соотнесение пояснения с решением;
продолжение начатых вариантов решения;
нахождение «ложного» варианта решения из числа предложенных.
Рассмотрим каждый из приемов на конкретных примерах.
Разъяснение плана решения задачи.
Учащимся предлагаются планы решения в различных формах: повелительной, вопросительной и т.д. На основе плана решения необходимо составить арифметические действия к каждому способу. Например, согласно пояснениям арифметических действий решить задачу различными способами.
На одной из станций метро 9 пропускных автоматов. За один день в каждый из них опустили 8000 пятаков. Эти пятаки с помощью счетных машин расфасовывают в специальные мешочки по 2000 штук в каждый. Сколько рублей составят все пятаки, поступившие в пропускные автоматы за день на этой станции метро? Сколько рублей составят все пятаки в каждом мешочке?
Пояснение готовых способов решения.
Учитель предлагает возможные варианты решения и модель задачи. Учащиеся поясняют каждое арифметическое действие способов.
Например, можно предложить задачу с последующим обсуждением.
Задача: Длина пришкольного участка прямоугольной формы 120 м., а ширина 85 м. Третья часть площади участка занята цветами, а остальная площадь – овощами и ягодами. Чему равна площадь участка, занятого овощами и ягодами?
1-ый способ 5-й способ
120 * 85 = 10200 1) 120 * 85 = 10200
10200 : 3 = 3400 2) 10200 : 3 = 3400
10200 – 3400 = 6800 3) 3400 * 2 = 6800
2-й способ 6-й способ
1)120 * 85 = 10200 1) 120 : 3 = 40
2) 120 : 3 = 40 2) 40 * 2 = 80
3) 40 * 85 = 3400 3) 80 * 85 = 6800
3. Соотнесения пояснения с решением.
Учащимся предлагаются несколько планов и способов решения. Нужно каждому плану сопоставить вариант решения. Желательно, чтобы количество арифметических действий в каждом варианте было одинаковое.
Задача: В трех школах 1945 учеников. В первой и второй вместе 1225 учеников, а во второй и третьей 1300 учеников. Сколько учеников в каждой школе?
1945
1-ый способ 3-й способ
Учеников в III школе 1) Учеников в I школе
Учеников во II школе 2) Учеников в I и III школах
Учеников в I школе 3) Учеников во II школе
2-й способ 4-й способ
Учеников в I школе 1) Учеников в III школе
Учеников во II школе 2) Учеников в I школе
Учеников в III школе 3) Учеников во II школе
Возможны и различные способы решения.
Продолжение начатого способа решения.
Учащимся предлагается часть решения задачи, которую они должны пояснить, затем самостоятельно дополнить вариант суждения.
Существуют 4 способа решения.
5. Нахождение «ложного» способа решения.
Предлагаются различные математические записи без пояснения арифметических действий, так как возможны варианты, где в ответе на требование задачи численные значения совпадают, а пояснения к ним – различны. Учащиеся должны найти неверное решение и доказать, что оно ложно. Данные виды упражнений вооружают учащихся умением решать сходные задачи различными способами и приобщают к культуре математических суждений..
Решая задачи, учащиеся часто не задумываются над их жизненным содержанием, над теми отношениями, в которых находятся их компоненты, не улавливают сущности поставленного вопроса. Это приводит к формальному решению задачи, а затем к механическому (решению задачи) подражанию при самостоятельной составлении задач.
Дети достаточно быстро привыкают к тому, что в условии всегда имеются нужные сведения, исходя из которых можно решить задачу. Если учитель читает задачу, значит она правильная, и все данные могут быть использованы при ее решении. Это не только приводит часто к ошибочному решению, но и препятствует развитию мыслительной деятельности, ведет к неумению осуществлять поиск рациональных путей решения задачи. Практика показывает, что именно нестандартные, «нестандартные» задачи активизируют мыслительную деятельность, создают возможности поиска «открытий», которые в свою очередь способствуют повышению интереса к учению, ощущению радости от достигнутого результата. К числу таких задач относятся задачи с меньшими и недостающими данными. Дети не сразу замечают особенности таких задач, хотя они внимательно слушают чтение задачи учителем.
Для развития мыслительной деятельности первоклассников учитель применяет прием проверки правильности решения задачи.
Первоклассники быстро адаптируются вариативному решению задач. Как показывают наблюдения, решение «неправильных» задач воспитывает внимание, активизирует поиск рациональных способов решения, тесно увязывает обычное понимание подходов к решению задач с умениями находить правильный ответ на вопрос любой стандартной или нестандартной задачи.
1. Клименченко Д. Задачи с многовариантными решениями. // Начальная школа. – 1991 г., №6.
2. Лебедь Л.В., Юсим Е.Д. Один из приемов обучения решению задач. // Начальная школа. – 1987 г., №10.
3. Матвеева Н.А. Различные арифметические способы решения задач. // Начальная школа. – 2001 г., №3.