Что такое правильный многогранник
Правильный многогранник
Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.
Содержание
Определение
Многогранник называется правильным, если:
Список правильных многогранников
Существует всего пять правильных многогранников:
| Изображение | Правильный многогранник | Число сторон у грани | Число рёбер, примыкающих к вершине | Число вершин | Число рёбер | Число граней | Тип пространственной симметрии |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 | Тетраэдр | 3 | 3 | 4 | 6 | 4 | Th |
 | Октаэдр | 3 | 4 | 6 | 12 | 8 | Oh |
 | Икосаэдр | 3 | 5 | 12 | 30 | 20 | Ih |
 | Гексаэдр или куб | 4 | 3 | 8 | 12 | 6 | Oh |
 | Додекаэдр | 5 | 3 | 20 | 30 | 12 | Ih |
Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова «грань».
Комбинаторные свойства
Геометрические свойства
С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника
Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:
где 
принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.
Угловой дефект при вершине многогранника – это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект 
при любой вершине правильного многогранника:
По теореме Декарта, он равен 
делённым на число вершин (т.е. суммарный дефект при всех вершинах равен ).
Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:
Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы ( стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.
Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа 
– золотое сечение.
| Многогранник | Двугранный угол θ |  | Плоский угол между рёбрами при вершине | Угловой дефект (δ) | Телесный угол при вершине (Ω) | Телесный угол, стягиваемый гранью | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| тетраэдр | 70.53° |  | 60° | π |  |  | π |
| куб | 90° | 1 | 90° |  |  |  |  |
| октаэдр | 109.47° | √2 | 60°, 90° |  |  |  | |
| додекаэдр | 116.57° |  | 108° |  |  |  |  |
| икосаэдр | 138.19° |  | 60°, 108° | |  |  | |
Радиусы, площади и объёмы
С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:
Радиусы описанной (
) и вписанной (
) сфер задаются формулами:
Площадь поверхности S правильного многогранника
Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:
Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.
| Многогранник (a = 2) | Радиус вписанной сферы (r) | Радиус срединной сферы (ρ) | Радиус описанной сферы (R) | Площадь поверхности (S) | Объём (V) |
|---|---|---|---|---|---|
| тетраэдр |  | |  |  |  |
| куб |  |  |  |  |  |
| октаэдр |  | | |  |  |
| додекаэдр |  |  |  |  |  |
| икосаэдр |  |  |  |  |  |
Константы φ и ξ задаются выражениями
Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.
История
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.
В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок № 16. Правильные многогранники
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Правильный многогранник – выпуклый многогранник, все грани которого равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.
Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников.
Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников.
Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников.
Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов.
Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.
Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1.
Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.
Точки Аи А1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.
Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.
Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (128 с. – 131 с.)
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (68 с. – 73 с.)
Открытые электронные ресурсы:
Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Также нам уже знаком правильный тетраэдр.
Заметьте, что правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида – это различные многогранники!
Напомним, что пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром многоугольника. Таким образом, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но могут быть не равны ребрам основания пирамиды, а в правильном тетраэдре все ребра равны.
Правильных многогранников существует всего 5. Перечислим их.
Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников, значит сумма плоских углов при каждой вершине равна 180.
Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240.
Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов, значит, сумма плоских углов при
каждой вершине равна 270.
Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 300.
Рисунок 4 – Правильный икосаэдр
Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 324.
Рисунок 5 – Правильный додекаэдр
Докажем, что правильных многогранников существует ровно 5, то есть что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6.
По этой причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, либо четырех, либо пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников.
Симметрия в пространстве
Одно из интересных свойств правильных многогранников – это элементы симметрии.
Прежде чем мы их выделим давайте определим симметрию в пространстве.
Вам уже знакома симметрия из курса планиметрии. Там мы рассматривали фигуры симметричные относительно прямой и точки. В стереометрии же рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости.
Будем говорить, что точки А и А1 симметричны относительно точки О (рис. 6), если О – середина отрезка АА1. В таком случае О будет являться центром симметрии и будет симметрична сама себе.
Рисунок 6 – Центральная симметрия
Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этом отрезку (рис. 7). Прямая а называется осью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.
Рисунок 7 – Осевая симметрия
Точки АА1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку (рис. 8). Плоскость α называется плоскостью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.
Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.
Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.
Рисунок 8 – Зеркальная симметрия
Рисунок 9 – Элементы симметрии куба
Примером фигуры, обладающей и центральной, и осевой и зеркальной симметрией является куб (рис. 9).
Фигура может иметь один или несколько центров (осей, плоскостей) симметрии. Так, например, у куба один центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии.
В геометрии центр, ось и плоскость симметрии многогранника называют элементами симметрии многогранников.
С симметрией мы часто можем встретиться в природе, архитектуре, быту.
Например, многие кристаллы имеют центр ось или плоскость симметрии.
Многие здания симметричны относительно плоскости. Примером такого здания является здание Московского государственного университета.
Рисунок 10 – Здание Московского государственного университета
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1 Выберите неверные утверждения
1) правильный додекаэдр состоит из 8 правильных треугольников
2) тетраэдр имеет 4 грани
3) гексаэдр состоит из шести параллелограммов
4) правильный октаэдр состоит из правильных пятиугольников
Утверждение под номером 1 неверно, так как название «додекаэдр» с греческого означает «двенадцать граней». В действительности, додекаэдр состоит из двенадцати правильных пятиугольников.
Утверждение 2 верно. Тетраэдр с греческого означает 4 грани и состоит тетраэдр из 4-х треугольников.
Гексаэдр, он же куб состоит из квадратов, которые в свою очередь являются параллелограммами, поэтому утверждение 3 верно.
С греческого «октаэдр» означает 8 граней, состоять в таком случае из пятиугольников он не может. Октаэдр состоит из восьми треугольников. Утверждение 4 неверно.
№ 2 Установите соответствие между правильными многогранниками и их развертками.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
Для выполнения этого задания необходимо понять, из каких многоугольников составлен многогранник.
Итак, куб состоит из квадратов. Единственная развертка, состоящая из квадратов это развертка под номером 6. Проверить себя можно и мысленно сложив из развертки кубик.
Многогранник под номером 2 – тетраэдр, состоит из четырех треугольников. Поэтому ему будет соответствовать развертка под номером 7. Мысленно сложите из развертки тетраэдр.
Октаэдр состоит из 8 треугольников, в этом несложно убедиться исходя из изображения. Развертка под номером 8 как раз состоит из 8 треугольников.
Многогранник под номером 4 состоит также из треугольников, а единственная развертка, состоящая из треугольников, осталась под номером 10. Попробуйте вырезать такую развертку из бумаги и собрать свой икосаэдр!
Многогранник под номером 5 состоит из пятиугольников. Оставшаяся развертка 9 тоже состоит из пятиугольников. Осталось проверить, что количество совпадает.