Что такое поток векторного поля

Поток векторного поля

В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий:

Поток векторного поля через поверхность

Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл первого рода по поверхности . По определению

где — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), — элемент поверхности.

Иногда, особенно в физике, применяется обозначение

тогда поток записывается в виде

Физическая интерпретация

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения . Тогда объем жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность , будет равен потоку векторного поля через поверхность .

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Поток векторного поля» в других словарях:

Ротор векторного поля — Ротор, или вихрь векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной… … Википедия

ЛИНИИ ТОКА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ — линии, в каждой точке которых касательная имеет направление вектора поля в этой точке. Л. т. в. п. в гидродинамике это линия, в каждой точке которой касательная совпадает по направлению со скоростью частицы жидкости в данный момент времени.… … Словарь по гидрогеологии и инженерной геологии

Поток вектора — В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий: 1. Поток векторного поля через гиперповерхность (см. ниже), 2. Поток векторного поля однопараметрическое семейство диффеоморфизмов Γt определямых дифференциальным… … Википедия

Поля теория — математическая теория, изучающая свойства скалярных, векторных (в общем случае тензорных) полей, т. е. областей пространства (или плоскости), каждой точке М которых поставлено в соответствие число u (М) (например, температура, давление,… … Большая советская энциклопедия

Поток — Поток: В Викисловаре есть статья «поток» Поток постоянное перемещение масс жидкости или газа в определённом направлении … Википедия

ПОТОК — векторного поля одно из понятий теории векторного поля. П. векторного поля а через поверхность дV выражается с точностью до знака поверхностным интегралом где п единичный вектор нормали к поверхности дV (предполагается, что изменение вектора ппо… … Математическая энциклопедия

Поток — векторного поля, одно из понятий теории поля. П. векторного поля через поверхность ∑ выражается с точностью до знака поверхностным интегралом где а = и n единичный вектор нормали к поверхности ∑… … Большая советская энциклопедия

Ротор поля — Ротор, или вихрь векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной… … Википедия

Оптический поток — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Оптический поток это изображение видимого движения объектов, поверхностей или краев сцены, получаемое в результате перемещения н … Википедия

Векторный потенциал электромагнитного поля — Классическая электродинамика … Википедия

Источник

Поток векторного поля: теория и примеры

Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла

Своим названием поток векторного поля обязан задачам гидродинамики о потоке жидкости. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла, который выражает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую поверхность в направлении вектора скорости течения жидкости в данной точке. Понятие потока векторного поля обобщается также на магнетический поток, поток электричества, поток тепла через заданную поверхность и другие. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла как первого, так и второго рода и далее мы дадим его вывод через эти интегралы.

Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле

Определение потока векторного поля. Потоком W поля вектора через поверхность σ называется поверхностный интеграл

Обозначим как a n проекцию вектора на на единичный вектор . Тогда поток можем записать как поверхностный интеграл первого рода

поток векторного поля можно вычислить и как поверхностный интеграл второго рода

Направление и интенсивность потока векторного поля

Поток векторного поля зависит от местоположения поверхности σ. Если поверхность размещена так, что во всех её точках вектор поля образует с вектором нормали поверхности острый угол, то проекции вектора a n положительны и, таким образом поток W также положителен (рисунок ниже). Если же поверхность размещена так, что во всех её точках вектор образует с вектором нормали поверхности тупой угол, то поток W отрицателен.

Вычисление потока векторного поля: примеры

Пример 1. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.

Координатами вектора нормали данной поверхности являются коэффициенты при переменных в уравнении плоскости:

Длина вектора нормали:

Единичный вектор нормали:

Из выражения единичного вектора нормали следует, что направляющий косинус . Тогда .

Теперь можем выразить поток векторного поля в виде поверхностного интеграла первого рода и начать решать его:

Выразим переменную «зет»:

Продолжаем вычислять интеграл и, таким образом, поток векторного поля:

Получили ответ: поток векторного поля равен 64.

2) Выражая поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода, получаем

Осталось только сложить все три интеграла:

Получили ответ: поток векторного поля равен 64. Как видим, он совпадает с ответом, полученным в первом случае.

Пример 2. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.