Что такое последовательные целые числа

Какие числа называются целыми

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Определение целых чисел

Что важно знать о целых числах:

Целые числа на числовой оси выглядят так:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

На координатной прямой начало отсчета всегда начинается с точки 0. Слева находятся все отрицательные целые числа, справа — положительные. Каждой точке соответствует единственное целое число.

В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, если отложить от начала координат данное количество единичных отрезков.

Натуральные числа — это целые, положительные числа, которые мы используем для подсчета. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 + ∞.

Целые числа — это расширенное множество натуральных чисел, которое можно получить, если добавить к ним нуль и отрицательные числа. Множество целых чисел обозначают Z.

Выглядит эти ребята вот так:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Последовательность целых чисел можно записать так:

Свойства целых чисел

Таблица содержит основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c:

Источник

Калькулятор суммы последовательных чисел

Все числа характеризуются свойствами делимости или факторизации, но кроме этого существуют числа, которые легко представить в виде суммы последовательных натуральных чисел.

Разложение чисел на составляющие

В теории чисел каждое натуральное число легко представить в виде составляющих. Разложение элементов натурального множества на простые множители позволяет выразить числа в виде произведения составляющих. Простые множители — это элементы целого ряда, которые делятся только на себя и на единицу, но их произведение формирует искомое число. Например, 50 легко разбить на неделимые и записать его в виде 2 × 5 × 5. Однако числа можно представлять не только в виде произведения, но и в форме суммы.

Совершенные числа

Наиболее известным примером выражения натуральных чисел в виде суммы являются совершенные и последовательные числа. Совершенные числа представляют собой математические объекты, которые записываются в виде суммы собственных делителей. Например, к таким объектам относятся 6 и 28:

По мере того, как натуральный ряд растет, совершенные числа встречаются все реже. Первые шесть членов совершенной последовательности выглядят так:

6, 28, 496, 8 128, 33 550 336, 8 589 869 056.

Очевидно, что совершенных чисел не так много, а математикам до сих пор неизвестно, существуют ли их предел или совершенная последовательность устремляется в бесконечность.

Последовательные числа

Последовательные числа записываются в виде суммы последовательных членов натурального ряда. Натуральный ряд — это положительные целые числа, которые мы используем при счете предметов. Последовательные члены ряда — это два рядом стоящих элемента, к примеру, 2 и 3, 17 и 18, 178 и 179.

Достаточно много натуральных чисел мы можем записывать в виде суммы последовательных элементов. Например, число 57 мы можем записать в трех вариантах:

Точно также легко записать 58, 59, 60 и далее, а вот 64 последовательным числом не является и его невозможно представить в виде суммы последовательных членов натурального ряда.

Наш онлайн-калькулятор позволяет представить натуральные числа в виде суммы последовательных. Как видно, выразить число в виде суммы можно несколькими способами, поэтому наша программа высчитывает только один способ, который раскладывает число на сумму наибольшего количества слагаемых.

Примеры

Суммирование последовательных чисел

В работе с последовательными элементами натурального ряда существует несколько хитростей. Первая из таких уловок — это сложение пяти последовательных чисел быстрым способом, который состоит в умножении на 5 третьего члена последовательности. Например, если мы хотим быстро сложить 1 + 2 + 3 + 4 + 5, нам достаточно умножить 3 на 5 и получить 15. Давайте проверим и введем 15 в форму онлайн-калькулятора:

Если мы возьмем следующую сумму из пяти последовательных чисел, например, 10 + 11 + 12 + 13 + 14, то умножив третий член на 5, мы получим 12 × 5 = 60. Проверим число 60 на возможность разложения в последовательный ряд:

Как видите, число 60 легко разложить на сумму тремя способами, среди которых есть и наш, который выражен в виде суммы пяти последовательных чисел.

Разложение чисел на сумму последовательных элементов

Для решения такой задачи от вас потребуется только ввести число в форму калькулятора. Давайте попробуем разложить на последовательные слагаемые большие числа:

Таким образом, вы можете разложить достаточно большое количество членов натурального ряда, так как не последовательные числа встречаются довольно редко.

Заключение

Теория чисел — чистая математика, которую трудно использовать в повседневной жизни. Несмотря на это, вы можете использовать нашу программу для исследования самых разных свойств чисел.

Источник

Числовые последовательности для чайников: определение, формулы

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной.

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность?

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N.

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Какие бывают последовательности

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа
Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Сумма первых n членов прогрессии:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором.

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Источник

Что такое последовательные целые числа

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Составные числа

Число так называемых простых чисел, т. е. целых чисел, больших единицы, не делящихся без остатка ни на какие другие целые числа, кроме единицы и самих себя, бесконечно велико.

Для удобства будем пользоваться условным символом n!, который обозначает произведение всех чисел от 1 до n включительно. Например 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5. Мы сейчас докажем, что ряд

включительно состоит из n последовательных составных чисел.

состоит из двух слагаемых, каждое из которых кратно 3. Значит, и это число составное.

делится без остатка на 4, так как состоит из слагаемых, кратных 4.

Подобным же образом устанавливаем, что следующее число

кратно 5 и т. д. Иначе говоря, каждое число нашего ряда содержит множитель, отличный от единицы и его самого; оно является, следовательно, составным.

Если вы желаете написать, например, пять последовательных составных чисел, вам достаточно в приведенный выше ряд подставить вместо n число 5. Вы получите ряд

Или еще меньшие числа:

Попробуем теперь решить задачу:

Написать десять последовательных составных чисел.

На основании ранее сказанного устанавливаем, что в качестве первого из искомых десяти чисел можно взять

Искомой серией чисел, следовательно, может служить такая!

Однако существуют серии из десяти гораздо меньших последовательных составных чисел. Так, можно указать на серию даже не из десяти, а из тринадцати составных последовательных чисел уже во второй сотне:

Источник

Числовая последовательность

Определение 1. Числовой последовательностью называется функция, аргументом которой является множество всех натуральных чисел, или множество первых n натуральных чисел.

Обозначается числовая последовательность так:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа
Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

где Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаi-ый член последовательности.

При словестном задании последовательности, описывается из каких элементов она состоит.

Последовательность нечетных чисел:

Последовательность простых чисел :

Последовательности (1) и (2) мы задали словестно.

Последовательность нечетных чисел аналитически задается формулой

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Отметим, что последовательность простых чисел невозможно задать аналитически.

Пример задания рекуррентной последовательности:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

В этой последовательности

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Пример стационарной последовательности:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Возрастающие и убывающие последовательности

Определение 3. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) больше предыдующего, называется возрастающей :

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Определение 4. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) меньше предыдующего, называется убывающей :

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Пример 1. Выяснить, монотонна ли последовательность

Решение. Запишем n+1 член последовательности (подставим вместо n, n+1):

Найдем разность членов Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаи Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа
Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.(3)

Так как n=1,2,3. то правая часть уравнения (3) положительна. Тогда:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Таким образом, каждый последующий член последовательности больше предыдующего. Следовательно последовательность является возрастающим (и монотонным).

Пример 2. Выяснить, при каких значениях a последовательность (bn) является возрастающей и при каких, убывающей:

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

Найдем разность членов Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаи Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа
Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа(4)

Посмотрим на правую часть выражения (4). Если a 10, то Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа. Тогда последовательность является убывающей. При a=10 Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа. Последовательность имеет одинаковые члены:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

т.е. имеем дело с последовательностью

Очевидно, что последовательность (5) не является монотонной. Она является стационарной последовательностью.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 5. Последовательность (yn) называется ограниченной сверху, если существует такое число k, что yn Определение 6. Последовательность (yn) называется ограниченной снизу, если существует такое число k, что yn>k при любом n.

Определение 7. Последовательность (yn) называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Пример 3. Показать, что последовательность (an) является монотоннной и ограниченной:

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

Найдем разность членов Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаи Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа
Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа(6)

Правая часть равенства (6) положительна при любых натуральных чисел n. Следовательно последовательно (an) возрастающая (и монотонная).

Далее, сделаем эквивалентное преобразование для проследовательности (5):

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Из выражения (7) видно, что при любых n an≤1. Т.е. хотя последовательность возрастает, то остается меньше числа 1 (ограничена сверху). Запишем несколько членов данной последовательности, задав n=1,2,3.

Так как последовательность возрастающая, то все члены последовательности не меньше Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа. Тогда последовательность ограничена также и снизу. Таким образом последовательность ограничена и всерху, и снизу, т.е. является ограниченной последовательностью.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности:

На координатной прямой изобразим члены этих последовательностей:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа
Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Предел числовой последовательности

Точка, к которой приближаются члены последовательности при увеличении n, называется пределом последовательности. Для последовательности (10) пределом является число 0. Более строго предел последовательности определяется так:

Определение 8. Число k называют пределом последовательности (yn), если для любой заранее выбранной окресности точки k, можно выбрать такой номер n0, чтобы все члены последовательности, начиная с номера n0 содержались в указанной окрестности.

Если k является пределом последовательности (yn), то пишут Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа( Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числастремится к k или Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числасходится к k).

Обозначают это так:

Выраженние (11) читается так: предел проследовательности Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа, при стремлении n к бесконечности равен k.

Изложим некоторые пояснения к определению 8.

Пусть выполнено (11). Возьмем окрестность точки k, т.е. интервал Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа, где Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числарадиус этой окрестности ( Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа>0). По определению, существует номер n0, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окресности, т.е.

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

Если же взять другую окресность Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа(пусть Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа), то найдется другой номер n1, начиная с которого, вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше n1 > n0.

Пример 4. Дана полследовательность (yn):

Доказать, что Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

Решение. Найдем любую окрестность точки 0. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n0 так, чтобы Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

Пусть, например, r=0.001. Вычислим n‘ из уравнения

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

В качестве n0 берем 501. Имеем:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

Запишем члены последовательности (12) начиная с номера 501:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

Далее, учитывая (13), имеем:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

Следовательно, все члены последовательности (12) начиная с номера 501 попадают в окресность Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа. А по определению 8, это означает:

Пример 5. Дана полследовательность (yn):

Доказать, что Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

Решение. Найдем любую окрестность точки 2. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n0 так, чтобы

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.
Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

Неравенство в (17) всегда выполняется так как n0 натуральное число, а правая часть неравенства отрицательно (это означает, что Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числадля любого n0). Из неравенства (16) можно найти номер n0, начиная с которого члены последовательности попадают в окресность (2−r; 2+r). Например, пусть r=0.001, тогда Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа. Тогда нужно брать n0=2000. И тогда все члены последовательности, начиная с номера 2000 попадают в окрестность (2−r; 2+r).

Запишем члены последовательности, начиная с номера 2000:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

Легко проверить, что Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа. Тогда, учитывая, что данная последовательность возрастающая (см. пример 1), получим:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

Пример 6. Найти предел последовательности

Решение. Выполним некоторые преобразования выражения (18):

Тогда последовательность (18) можно переписать так:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа(19)

Как видно из (19), пройдя по членам последовательности слева направо, из числа 1 вычитается все меньшее и меньшее положительное число. Т.е. последовательность приближается к числу 1. Тогда 1 является пределом последовательности (19) и (18):

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

Свойства сходящихся последовательностей

Сходящиеся последовательности обладают рядом свойств.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится (теорема Вейерштрасса).

Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

Теорема. Если Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа, то

1. Предел суммы равен сумме пределов:

2. Предел произведения равен произведению пределов:

3. Предел частного равен частному пределов:

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа

4. Постоянный множитель можно вывести за знак предела:

Пример 7. Найти предел последовательности:

Решение. Так как Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа, то

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

Пример 8. Найти предел последовательности:

Решение. Применив правило «предел суммы» теоремы, получим

Что такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числаЧто такое последовательные целые числа. Смотреть фото Что такое последовательные целые числа. Смотреть картинку Что такое последовательные целые числа. Картинка про Что такое последовательные целые числа. Фото Что такое последовательные целые числа.

Пример 9. Вычислить:

Решение. Делим числитель и знаменатель дроби на наивысшую из имеющихся степень переменного n. Далее используем правило «предел суммы» для числителя и знаменателя и правило «предел частного»:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *