Что такое порождающий элемент

Порождающее множество группы

Содержание

Свободная группа

Наиболее общая группа, порождённая множеством S это группа, свободно порождённая S. Каждая группа, порождённая S, изоморфна факторгруппе такой группе — свойство, используемое для задания групп.

Смотрите также

Внешние ссылки

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Порождающее множество группы» в других словарях:

Глоссарий теории групп — Группа (математика) Теория групп … Википедия

Мультипликативная группа кольца вычетов — Приведённая система вычетов по модулю m множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(·) функция Эйлера. В качестве приведённой системы вычетов… … Википедия

Свободная группа — Граф Кэли свободной группы образованной двумя элементами a и b В математике, а именно, в теории групп, группа … Википедия

КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННАЯ ГРУППА — группа G, обладающая конечным порождающим множеством М= <а 1. ad>. Состоит из всевозможных произведений где Если Мсодержит dэлементов, то Gназ. d n орожденной. Из любого порождающего множества К. п. г. можно выбрать конечное порождающее… … Математическая энциклопедия

ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ — Введение Э. т. (метрическая теория динамических систем) раздел теории динамических систем, изучающий их статистич. свойства. Возникновение Э. т. (1 я треть 20 в.) было стимулировано попытками доказать эргодическую гипотезу (термин введён П. и Т.… … Физическая энциклопедия

КОБОРДИЗМ — кобордизмов теория, обобщенная теория когомологий, определенная спектрами пространств Тома и связанная с различными структурами в стабильном касательном или нормальном расслоении к многообразию. Теория К. двойственна (в смысле S двойственности… … Математическая энциклопедия

Дело Pussy Riot — … Википедия

УНИТАРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — топологической группы представление топологич. группы унитарными операторами в гильбертовом пространстве. Теория У. п. один из наиболее разработанных разделов теории представлений топологич. групп, что связано как с его многочисленными… … Математическая энциклопедия

Казахстан — Республика Казахстан, гос во на 3. Азии. В основе названия Казахстан самоназвание коренного населения казахи. Элемент названия стан страна, земля, область имеет ираноязычное происхождение и широко распространен на Востоке. Географические названия … Географическая энциклопедия

Ада (язык программирования) — У этого термина существуют и другие значения, см. Ада. Ада Семантика: мультипарадигменный: конкурентное, обобщённое, императивное, объектно ориентированное, распределённое программирование Тип исполнения: компилируемый Появился в: 1980 … Википедия

Источник

Первообразные корни и индексы. Порождающий элемент и дискретный логарифм.

В этом параграфе рассмотрены теоретико-числовые основы, ведущие к задачам дискретного логарифмирования над конечным полем, а также приведены некоторые приложения теории конечных групп к таким вопросам как тесты на простоту и построение простых чисел.

Основные понятия и теоремы.

При (a,m)=1 существуют положительные γ с условием a γ ≡1(mod m). Наименьшее из таких γ называется показатель, которому a принадлежит по модулю m.

В том, что такие γ существуют, можно убедиться, вспомнив теорему Эйлера (γ=φ(m)).

Докажем несколько важных теорем, описывающих свойства O_m(a):

Теорема 1.

Действительно, из того, что a l ≡a k (mod m), 0 ≤ k l — k ≡1(mod m), 0 γ ≡a β (mod m) γ≡β(mod δ).

Пусть теперь γ≡β(mod δ) Тогда, по теореме делимости, найдутся такие числа q, w, r: 0 ≤ r δ ≡1(mod m) следует, что

Что и требовалось доказать.

Теорема 3.

Следует из Теоремы 2 при β=0 и из теоремы Эйлера (a φ ( m ) ≡1(mod m)).

Последняя теорема также может быть доказана как следствие из теоремы Лагранжа (порядок любого элемента в группе делит порядок группы) применительно к группе U_m.

Числа, принадлежащие показателю φ(m) (если они существуют), называются первообразными корнями по модулю m.

Если существует первообразный корень по модулю m, то мультипликативная группа U_m является циклической группой.

Доказательство очевидным образом следует из вышесказанного.

2: 2 0 =1, 2 1 =2, 2 2 =4, 2 3 =8, 2 4 =5, 2 5 =10, 2 6 =9, 2 7 =7, 2 8 =3, 2 9 =6, 2 10 =1. O₁₁(2)=10.

3: 3 0 =1, 3 1 =3, 3 2 =9, 3 3 =5, 3 4 =4, 3 5 =1. O₁₁(3)=5.

4: 4 0 =1, 4 1 =4, 4 2 =5, 4 3 =9, 4 4 =3, 4 5 =1. O₁₁(4)=5.

5: 5 0 =1, 5 1 =5, 5 2 =3, 5 3 =4, 5 4 =9, 5 5 =1. O₁₁(5)=5.

6: 6 0 =1, 6 1 =6, 6 2 =3, 6 3 =7, 6 4 =9, 6 5 =10, 6 6 =5, 6 7 =8, 6 8 =4, 6 9 =2, 6 10 =1. O₁₁(6)=10.

7: 7 0 =1, 7 1 =7, 7 2 =5, 7 3 =2, 7 4 =3, 7 5 =10, 7 6 =4, 7 7 =6, 7 8 =9, 7 9 =8, 7 10 =1. O₁₁(7)=10.

8: 8 0 =1, 8 1 =8, 8 2 =9, 8 3 =6, 8 4 =4, 8 5 =10, 8 6 =3, 8 7 =2, 8 8 =5, 8 9 =7, 8 10 =1. O₁₁(8)=10.

9: 9 0 =1, 9 1 =9, 9 2 =4, 9 3 =3, 9 4 =5, 9 5 =1. O₁₁(9)=5.

10: 10 0 =1, 10 1 =10, 10 2 =1. O₁₁(10)=2.

Действительно, порядки всех элементов делят порядок группы. При этом в группе U₁₁ нашлись порождающие элементы, причем не один, а четыре. Это 2, 6, 7 и 8. Однако не во всех группах U_m существуют порождающие элементы, убедимся в этом на следующем примере:

3: 3 0 =1, 3 1 =3, 3 2 =1. O₈(3)=2.

5: 5 0 =1, 5 1 =5, 5 2 =1. O₈(5)=2.

7: 7 0 =1, 7 1 =7, 7 2 =1. O₈(7)=2.

Итак, в группе U₈ нет порождающего элемента.

Возникает вопрос – в каких группах U_m порождающий элемент существует, а в каких – нет, и как найти порождающий элемент? На этот вопрос ответим в следующих пунктах данного параграфа.

6.2. Существование первообразных корней по модулю p.

Лемма 1.

O_m(x)=ab O_m(x a )=b.

Лемма 2.

O_m(x)=a, O_m(y)=b, (a,b)=1 O_m(xy)=ab.

Доказательства этих лемм не представляют принципиальной сложности, поэтому предоставляются читателю в качестве упражнения.

Теорема 1 (Критерий Люка).

Тогда, согласно Лемме 1, O_p(η)= , где η= .

Согласно Лемме 2, O_p(g)=τ= , где g=η₁η₂…η_k.

Поэтому, согласно Теореме 3, п.1, τ\(p—1).

Теорема (о существовании первообразного корня по модулю p α )

Пусть g – первообразный корень по модулю p, тогда существуют такое число t, что u= не делится на p, и тогда g+pt – первообразный корень по модулю p α α>1.

Число u, заданное условием, является целым в силу теоремы Ферма. Действительно, поскольку g U_p, то (g,p)=1 (g+pt,p)=1 по теореме Ферма, (g+pt) p —1 ≡1(mod p) p\((g+pt) p —1 –1).

где если t пробегает Z_p, то и u пробегает Z_p (полную систему вычетов по модулю р). Поэтому существует такое t Z_p, для которого u не делится на p. При таком t из (*) получаем:

Теорема 2.

Доказанные теоремы вкупе с теоремой о существовании первообразных корней по модулю p позволяют сделать следующий

p=71, наименьший первообразный корень по модулю 71 есть 7.

Найти первообразный корень по модулю 71 α и 2·71 α для всех α.

Согласно Теореме 1, нужно найти такое t, чтобы (g+pt) p — 1 —1 0(modp 2 ).

Будем перебирать t:

7 70 —1 mod 5041 = (7 10 ) 7 –1 mod 5041 = 2814 7 —1 mod 5041 =

= (2814 2 ) 3 ·2814—1 mod 5041 = 4226 2 ·4226·2814—1 mod 5041=

= 3854·4226·2814 –1 mod 5041 = 1562 ≠ 0.

Итак, 7 – первообразный корень по модулю 71 α для всех α.

Вообще говоря, нам повезло, первое же испытанное число t подошло. В другом случае, возможно, пришлось бы перебирать несколько t, прежде чем отыскали бы первообразный корень.

Разумеется, мы не отыскали все первообразные корни по данному модулю. Алгоритмы нахождения их весьма трудоемки, особенно тогда, когда требуется найти все или несколько первообразных корней.

Дата добавления: 2015-11-28 ; просмотров: 1891 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Реферат: Образующие элементы в различных группах

Исследование алгебраических уравнений в начале XIX века привело математиков к необходимости выделения особого математического понятия — понятия группы. Новое понятие оказалось настолько плодотворным, что не только проникло почти во все разделы современной математики, но и стало играть важную роль в некоторых разделах других наук, например, в квантовой механике и в кристаллографии. Исследования, связанные с понятием группы, выросли в отдельную ветвь современной математики — теорию групп. Что же представляет собой понятие группы в математике? Какой смысл несут образующие элементы в группе? Что такое система образующих? На эти и другие вопросы предстоит ответить в данной работе.

Работа посвящена рассмотрению и описанию образующих элементов в теории групп. Группа — один из основных типов алгебраических систем, а теория групп — один из основных разделов современной алгебры.

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющих многочисленные применения как в самой математики, так и за ее пределами — в топологии, теории функции, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания. Конечной целью собственно теории групп является описание всех групповых композиций.

Понятие же группы приобретает в настоящее время все большее господство над самыми различными разделами математики и ее приложений и наряду с понятием функции относится к самым фундаментальным понятиям всей математики.

Образующие элементы в группе — это базовое понятие теории. Элементы эти можно сравнить с буквами, из которых состоят слова. Отсюда делаем вывод, что изучение темы: «Образующие элементы» — имеет практическое и теоретическое значение, а в следствии этого актуальным на сегодняшний день…

Целью данной работы является рассмотрение образующих элементов в различных группах, а также описание того, как ведут себя образующие элементы и системы образующих в тех или иных группах.

А для достижения поставленной в курсовой работе цели нами решались следующие задачи:

— рассмотрение основных определений группы: алгебраической операции, понятие группы, циклической группы

— определение сущности понятия образующих элементов

— рассмотрение систем образующих элементов

— введение понятия непорождающих элементов

— анализ поведения образующих элементов в различных группах

— рассмотрение графического описания групп и др.

Объектом исследования в работе являются группы различных видов, а соответственно, предметом исследования являются образующие элементы группы. Так как образующий элемент — это одно из основных понятий группы, следовательно, предмет исследования является частью объекта исследования.

Опишем вкратце содержание.

Глава 1 посвящена изучению основных понятий группы. Содержит все необходимые для дальнейшего изучения сведения из теории групп. Здесь же вводится понятие образующего элемента, а также системы образующих. Кроме того, приводится большое количество наглядных примеров групп различных видов с различными элементами, в том числе и циклических групп.

Известно, что геометрическим эквивалентом групп являются графы. Вторая глава работы полностью посвящена графическому представлению групп, т.е. графам. Здесь будут рассмотрены подробные примеры различных групп, представленных графами, а именно конечные и бесконечные группы, а также некоторые свойства графов. Кроме того, в этой главе мы узнаем, что ставится в соответствие в графе элементам и образующим группы, и каковы образующие элементы конечных и бесконечных групп.

Глава 3 — это практическая часть курсовой работы. Здесь приводится ряд основных задач и упражнений, посвященных теме «образующие элементы».

Курсовое исследование написано при использовании литературы по теории групп, комбинаторной теории групп, основам алгебры, введению в теорию групп, группам и их графам. Кроме того, использовались интернет-ресурсы. Библиографический список представлен в конце курсовой работы.

Список литературы, используемой в данной работе, можно рекомендовать для изучения других проблем, не освещенных в данной курсовой работе.

Весьма часто в различных приложениях встречаются множества, в которых определена (или в данный момент рассматривается) лишь одна алгебраическая операция. Дадим определение этого понятия.

Можно указать многочисленные примеры числовых множеств с одной операцией, удовлетворяющих данному выше определению. Бинарными операциями являются, например, сложение на множестве натуральных или на множестве целых чисел, вычитание на множестве целых чисел.

Этому определению не удовлетворяют, например, вычитание на множестве натуральных чисел, т.к., например, упорядоченной паре (3, 5) вычитание не ставит в соответствие никакого натурального числа, множество отрицательных целых чисел относительно умножения, множество нечетных чисел относительно сложения, а также множество всех действительных чисел, если в качестве операции рассматривается деление — последнее ввиду невыполнимости деления на нуль.

Дадим теперь общее определение группы.

1. Эта операция ассоциативна : для любых трех элементов а, b , с из G :

.

2. ВG существует «нейтральный» элемент е такой, что:

3. Для каждого элемента а из G существует «обратный» ему элемент а –1 такой, что:

Группа, в которой дополнительно выполняется коммутативный закон:

Комментарии к определению группы

2. В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:

3. Вышеприведенные аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального () и левого обратного () элементов. При этом они автоматически являются e и а –1 :[4]

.

2. Верны законы сокращения:

(левое сокращение);

(правое сокращение).

Докажем первый закон. Используем существование обратного элемента и свойство ассоциативности операции.

y= z. Что и требовалось доказать. Второй закон (для правого сокращения) доказывается анологично.

3. Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.

.

Действительно, поскольку , имеем , откуда по закону сокращения получаем.

. Имеем: , и значит можно взять . Однозначность z следует из закона сокращения: .

Этот закон справедлив для неабелевых групп. Здесь то и различаются левое и правое деления.

Далее, если из множества всех целых чисел выделить подмножество чисел, делящихся на данное числоk , то и оно обладает такими же свойствами. Это множество тоже «замкнуто» относительно «операции сложения» — сумма любых двух чисел, делящихся на k , делится на k ; это множество содержит 0 (нуль делится на любое число); и, наконец, если а делится на k , то и – а делится на k .

Аналогичными свойствами обладают и множество всех рациональных чисел, множество всех вещественных чисел или всех комплексных чисел— каждое из них замкнуто относительно операции сложения; нуль является одновременно числом рациональным, вещественным и комплексным; для каждого (комплексного) числа а имеется противоположное к нему число – а такое, что а + (– а) = 0, причем — а при вещественном а будет вещественным, а при рациональном а — рациональным. Операция сложения в множестве комплексных чисел (а значит, и подавно, в множестве вещественных и в множестве рациональных чисел) коммутативна и ассоциативна. Все это —примеры «групп по сложению».

Рассмотрим теперь множество всех отличных от нуля вещественных чисели «операцию умножения» в нем. Произведение любых двух таких чисел — снова отличное от нуля вещественное число; произведение любого числа а на (вещественное, отличное от нуля) число 1 равно а, и для каждого (отличного от нуля!) вещественного числа а имеется обратное ему (и тоже отличное от нуля) вещественное число а –1 произведение которого на а равно 1.

Это — примеры «групп по умножению». Можно привести и более неожиданный пример: группу по умножению образует, например, пара чисел,1 и – 1. Впрочем, множество, состоящее из одного числа1 (или 0), тоже образует группу по умножению (соответственно по сложению). Комплексные числа 1, i , – 1, – i также образуют, очевидно, группу по умножению.

Складывать можно матрицы одного и того же строения(т.е. [m ´n ]-матрицы, где m и п — какие-то заранее заданные целые положительные числа). Это сложение ассоциативно и коммутативно, имеется нулевая матрица, прибавление которой не меняет второго слагаемого — это матрица, состоящая из одних нулей, и для каждой матрицы [a _ik ]имеется противоположная к нейматрица [– a _ik ] — такая, что [a _ik ] + [– a _ik ] есть нулевая матрица. Если рассматривать только так называемые целочисленные матрицы(т.е. матрицы с целыми элементами a _ik ),то и суммой двух таких матриц будет матрица такого же строения, нулевая матрица является целочисленной, и для каждой целочисленной матрицы, противоположной к ней, будет тоже целочисленная матрица. Все это — тоже примеры групп по сложению.

С другой стороны, и перемножать можно не только числа, но, например, невырожденные квадратные матрицы одного и того же порядка п с вещественными (или только с рациональными или, наоборот, с комплексными) элементами. Произведение двух таких матриц тоже будет невырожденной матрицей (т.к. произведение невырожденных матриц также невырожденное) с вещественными (соответственно с рациональными, комплексными) элементами; единичная матрица является невырожденной, и у каждой невырожденной матрицы имеется обратная (тоже невырожденная и тоже с вещественными или соответственно рациональными, комплексными элементами). Умножение матриц ассоциативно, однако оно не коммутативно. Множество всех невырожденных матриц порядка п с вещественными (рациональными, комплексными) элементами представляет собой пример некоммутативной группы по умножению.[5]

Способы задания групп

Конкретная группа может быть определена следующими способами:

1. Как множество элементов с бинарной операцией, удовлетворяющей трем групповым аксиомам. Это основное определение, из которого можно получить все другие.

2. При помощи графической схемы (сети), составленной из направленных отрезков и обладающей основными свойствами, которыми должен обладать граф группы.

Хотя из таблицы умножения группы можно извлечь все то, что мы хотим знать о группе, поскольку в ней указаны все попарные произведения элементов группы, можно предвидеть ряд трудностей, которые возникнут при любой попытке неограниченно расширить область ее применения. Представьте себе, например, что вам нужно проанализировать группу порядка 60 с помощью ее таблицы умножения.

Следует отметить, что понятию «образующий элемент» предлагают схожее по смыслу понятие «порождающий элемент» (от анг. generative — порождающий). Такое различие часто встречается в разных источниках и литературе по теории групп. И, например, вместо того, чтобы говорить: элемент а порождает группу H (a ), часто говорят: элемент a есть образующий элемент группы H (a ).

Рис. 1.2.1. Таблица умножения группы вращений треугольника

2. Знакопеременная группа A_n порождается множеством 3-циклов.

Всякая группа имеет систему образующих.

Если группа G обладает системой образующих, состоящей из конечного числа элементов, то G называется группой с конечным числом образующих.

1. Циклическая группа — группа с одной образующей.

3. Система <3,7>— является системой образующих группы .

Всякая система образующих группы с конечным числом образующих содержит конечное подмножество, являющееся неприводимой системой образующих этой группы.

Заметим, что различные неприводимые системы образующих группы с конечным числом образующих могут содержать, вообще говоря, различное число элементов. Например, в циклической группе можно выбрать неприводимые системы образующих, состоящие более чем из одного элемента. Так, систему образующих для аддитивной группы целых чисел составляют, например, числа 2 и 3.

Всякая бесконечная группа с конечным числом образующих является счетной.

Группы с конечным числом образующих составляют, следовательно, класс групп, промежуточный между конечными и счетными группами.

1. Примером группы с двумя образующими служит таблица умножения группы самосовмещений равностороннего треугольника.

2. Знакопеременная группа А _n порождается множеством 3-циклов.

Два важных примера систем образующих содержатся в приводимых ниже теоремах.

Группа S _n порождается транспозициями.

Отметим, что каждая транспозиция обратна сама себе. Поэтому утверждение теоремы означает, что любая подстановка разлагается в произведение транспозиций.

.

Отметим, что матрица, обратная к элементарной, также элементарна. Поэтому утверждение теоремы означает, что любая невырожденная матрица разлагается в произведение элементарных матриц.

Множество S всех непорождающих элементов группы G совпадает с подгруппой Фраттини Ф (G ).

Рассмотрим далее, элемент а –1 и обозначим последовательно

Обозначения эти оправданы тем, что, действительно,

Но в силу нашего предположения фигурная скобка равна единице, значит,

что и требовалось доказать.

Пусть теперь р и q — два целых числа. Из наших определений следует, что для любых целых р и q имеем

Мы получаем следующий результат.

a ₀ —поворот на Ð 0 (тождественное преобразование),

a ₁ — поворот на

a ₂ — поворот на

a _{n –1} — поворот на .

По определению, умножение поворотов — это их последовательное выполнение одного за другим:

2. Циклической группой порядка 3 является группа вращений треугольника. Выписав степени образующей а :

3. Группа целых чисел (по сложению) тоже является циклической — она порождается одним из своих элементов: ведь 2 = 1 + 1, 3 = (1 + 1)+ 1, — 1 есть элемент, противоположный к 1, и т.д. Эта группа является бесконечной циклической группой ; обозначается она символомС _∞ [19] .

Всякая циклическая группа, коммутативна.

Поскольку в группе Н (а )

то группа Н (а ) коммутативна.[21]

Бесконечная циклическая группа

2. Бесконечной циклической группой является аддитивная группа целых чисел, ее образующим элементом является число 1.

Пример бесконечной циклической группы показывает, что из конечности числа образующих не следует конечность самой группы.

Одними из ключевых вопросов теории групп являются вопросы задания и построения конкретной группы или некоторого их класса. В предыдущей главе были приведены способы задания различных групп. Пожалуй, самым интересным и довольно наглядным способом задания групп является так называемое графическое представление, т.е. с помощью графов. А понятие образующей группы играет здесь основную роль при переходе к осуществлению графического представления групп. Остановимся подробней на данном вопросе.

Возникает предположение, что многоугольник, сторонам которого приписано направление, можно рассматривать как геометрический эквивалент циклической группы, или граф циклической группы. Давайте посмотрим, что мы знаем об основных свойствах группы и как они отражаются в только что предложенной геометрической интерпретации.

ясно, что все три произведения представляют собой один и тот же элемент группы.

1) Вершин у графа столько же, сколько элементов в группе.

2) Вершина I выбирается произвольно.

4) Конкретная форма графической сети не имеет значения. Важна лишь конфигурация связей между вершинами. Направленные отрезки, связывающее вершины, не обязаны быть прямолинейными, а граф не обязан иметь форму правильного многоугольника. Вы можете проявить свой вкус, выбирая ту форму, которая вам нравится, если только при этом не искажается математический смысл.

2) Ясно, что за I можно взять любую вершину.

В качестве следствия того факта, что рассматриваемая группа имеет две образующие, мы получаем, что любой путь нашего графа может быть описан последовательностью, содержащей лишь символы из множества

Примерами таких последовательностей являются

Наши примеры графов различных групп имеют некоторые общие существенные свойства.

Теперь выпишем вместе все соответствия, установленные в ходе предыдущих рассуждений:

Таким образом, конкретная группа может быть определена при помощи графической схемы (сети), составленной из направленных отрезков и обладающей основными свойствами, которыми (как мы установили) должен обладать граф группы. Внутренней структурой такой сети группа вполне определяется, т.к. нам известно, каким образом последовательному прохождению путей должно соответствовать умножение элементов группы.[25] А из приведенных выше соответствий видно, что образующая в группе соответствует направленным ребрам одного «цвета» в графе, а каждый элемент группы соответствует вершинам в графе.

1. Введение в теорию групп / П. С. Александров — М.: Издательство «Наука», 1980. — С. 144.

2. Группы и их графы / И. Гроссман, В. Магнус; под ред. В. Е. Тараканова — М.: Издательство «Мир», 1971. — С. 245.

3. Курс алгебры / Э. Б. Винберг— 2-е изд., испр. и доп. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2001— С. 544.

4. Лекции по математике. Т. 8 / Теория групп: учебн. пособие / В. Босс — М.: КомКнига, 2007. — С. 216.

5. Линейная алгебра и некоторые приложения / Л. И. Головина. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство «Наука», 1979. — С. 392.

6. Основы теории групп / М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. — 3-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1982.— С. 288.

7. Теория групп / А. Г. Курош. — М.: Издательство «Наука», 1967. — С. 648.

8. Группа (математика) // Википедия / Свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. ¾ Режим доступа: http://ru.wikipedia.org

[1] Множество М с одной бинарной алгебраической операцией принято теперь называть группоидом .

[2] Теория групп / А. Г. Курош. — М.: Издательство «Наука», 1967. — С. 16–17.

[3] Линейная алгебра и некоторые приложения / Л. И. Головина. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство «Наука», 1979. — С. 274–276.

[4] Группа (математика) // Википедия / Свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. ¾ Режим доступа: http://ru.wikipedia.org

[5] Линейная алгебра и некоторые приложения / Л. И. Головина. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство «Наука», 1979. — С. 272–275.

[6] Группы и их графы / И. Гроссман, В. Магнус; под ред. В. Е. Тараканова — М.: Издательство «Мир», 1971. — С. 78.

[7] Группы и их графы / И. Гроссман, В. Магнус; под ред. В. Е. Тараканова — М.: Издательство «Мир», 1971. — С. 78.

[9] Группы и их графы / И. Гроссман, В. Магнус; под ред. В. Е. Тараканова — М.: Издательство «Мир», 1971. — С. 59–61.

[10] Введение в теорию групп / П. С. Александров — М.: Издательство «Наука», 1980. — С. 61.

[11] Введение в теорию групп / П. С. Александров — М.: Издательство «Наука», 1980. — С. 62.

[12] Теория групп / А. Г. Курош. — М.: Издательство «Наука», 1967. — С. 43–44.

[13] Лекции по математике. Т. 8 / Теория групп: учебн. пособие / В. Босс — М.: КомКнига, 2007. — С. 107.

[14] Транспозиция — операция перемещения двух элементов перестановки.

[15] Элементарной матрицей называется матрица, полученная из единичной матрицы в результате одного из следующих элементарных преобразований:

Умножение строки (столбца) матрицы на скаляр

Прибавление к какой либо строке (столбцу) матрицы другой строки (столбца), умноженный на скаляр . Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

[16] Курс алгебры / Э. Б. Винберг— 2-е изд., испр. и доп. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2001— С. 164–166.

[17] Основы теории групп / М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. — 3-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1982.— С. 27–28.

[18] Введение в теорию групп / П. С. Александров — М.: Издательство «Наука», 1980. — С. 55–56.

[19] Линейная алгебра и некоторые приложения / Л. И. Головина. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство «Наука», 1979. — С. 276.

[20] Группы и их графы / И. Гроссман, В. Магнус; под ред. В. Е. Тараканова — М.: Издательство «Мир», 1971. — С. 59–60.

[22] Теория групп / А. Г. Курош. — М.: Издательство «Наука», 1967. — С. 41.

[25] Группы и их графы / И. Гроссман, В. Магнус; под ред. В. Е. Тараканова — М.: Издательство «Мир», 1971. — С. 62–77.

Источник