Что такое плоский угол при вершине пирамиды
Плоский угол при вершине пирамиды
Здравствуйте!
Помогите решить задачу:
Дана правильная треугольная пирамида. Плоский угол при вершине пирамиды равен 30 градусов, а сторона основания равна 7 см. Найти объем пирамиды.
Спасибо!
Задача.
Дана правильная треугольная пирамида. Плоский угол при вершине пирамиды равен 30 град., а сторона основания равна 7 см. Найти объем пирамиды.
Решение.
Построим правильную треуг. пирамиду.
По условию сторона основания равна 7 см, а плоский угол при вершине этой пирамиды — 30 градусов. 
Рассмотрим треуг-ник BCD.
Поскольку пирамида правильная, то все ее боковые ребра равны, то есть AD = BD = CD. Обозначим их через переменную d. Будет использовать теорему косинусов, согласно которой запишем:
Выразим длину стороны BC:
Из полученного равенства можно выразить длину ребра BD:
Подставим известные значения:
Проведем из вершины пирамиды D высоту DO.
Рассмотрим прямоуг. треуг-ник DOA. По теореме Пифагора вычислим длину высоты DO:
Отрезок ОА является радиусом описанной окруж-сти около треуг-ника АВС. Используем теорему синусов:
Подставим полученное значение в выражение для высоты пирамиды:
Можно записать формулу объема пирамиды:
Поскольку площадь правильного треуг-ника ABC равна:
то получим:
(куб. см)
Геометрические фигуры. Правильная пирамида.
В правильной пирамиде все боковые ребра имеют одинаковую величину, и каждая боковая грань является равнобедренными треугольниками одного размера.
Правильная пирамида обладает следующими свойствами:
Формулы для правильной пирамиды.
Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:
Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:
где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB, SC, SD либо SE),
n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),
h — высота правильной пирамиды (OS).
Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.
Правильная треугольная пирамида.
Формулы для правильной треугольной пирамиды.
Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:
Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.
Что такое плоский угол при вершине пирамиды
Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 1 к 3.
а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если боковое ребро пирамиды равно 2.
а) Пусть P — вершина, ABC — основание пирамиды, M — середина ребра PA = 2a. Пусть секущая плоскость пересекает рёбра BP и CP в точках E и F соответственно. Прямоугольные треугольники MPE и MPF равны по катету и острому углу; обозначим их равные гипотенузы PE = PF = x. Объём тетраэдра PMEF составляет
объёма пирамиды, что по условию равно 
объёма пирамиды. Отсюда 
и косинус плоского угла MPE при вершине равен 
поэтому 
б) Поскольку все плоские углы при вершине пирамиды равны 45°, получаем, что ME = MF = 1. Из треугольника PEF по теореме косинусов
Высота MH равнобедренного треугольника MEF равна
Искомая площадь сечения равна 
Ответ: 
Формулы и свойства правильной четырехугольной пирамиды
Что собой представляет пирамида
Под пирамидой понимают геометрическую фигуру пространственную, которая получается в результате соединения всех углов многоугольника с одной точкой пространства. Рисунок ниже демонстрирует расположение линий (ребер) для четырехугольной и пятиугольной пирамид.
Многоугольная грань фигуры называется ее основанием. Точка, где все треугольные грани соединяются, называется вершиной. Для определения высоты пирамиды отмеченные элементы являются важными.
Правильная треугольная пирамида.
Правильная треугольная пирамида – это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.
Элементы правильной пирамиды
Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной , четырехугольной и т.д.
Высота фигуры
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, который из ее вершины опущен на плоскость основания. Важно понимать, что из каждой вершины, принадлежащей основанию фигуры, тоже можно провести перпендикуляр к соответствующей треугольной грани, однако он высотой не будет являться. Высота пирамиды – это единственный перпендикуляр, который является одной из важных ее линейных характеристик.
Каждому школьнику известно, что любая плоская фигура обладает геометрическим центром (в физике ему соответствует центр масс). Например, геометрический центр для произвольного треугольника определяется точкой пересечения его медиан, для параллелограмма – точкой пересечения диагоналей. Если высота пирамиды пересекает ее основание в геометрическом центре, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая в основании многоугольник с одинаковыми сторонами и углами, называется правильной.
Рисунок выше показывает, чем отличается неправильная пирамида от правильной. Видно, что высота неправильной фигуры лежит за пределами ее основания, в то время как у правильной шестиугольной пирамиды высота находится внутри фигуры, пересекая ее основание в центре геометрическом.
Важными свойствами всех правильных пирамид являются следующие:
Что такое пирамида в общем случае?
В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.
Мы видим что первая фигура имеет треугольное основание, вторая – четырехугольное. Две последние представлены пяти- и шестиугольным основанием. Однако боковая поверхность всех пирамид образована треугольниками. Их число точно равно количеству сторон или вершин многоугольника в основании.
Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:
Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.
Объем пирамиды
Формула для нахождения объема пирамиды через площадь основания и высоту:
Некоторые свойства пирамиды
1) Если все боковые ребра равны, то
– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы
Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Правильная пирамида с треугольным основанием
Фигура, которая получена с использованием произвольного треугольника и точки в пространстве, будет неправильной наклонной пирамидой в общем случае. Теперь представим, что исходный треугольник имеет одинаковые стороны, а точка пространства расположена точно над его геометрическим центром на расстоянии h от плоскости треугольника. Построенная с использованием этих исходных данных пирамида будет правильной.
Очевидно, что число ребер, сторон и вершин у правильной треугольной пирамиды будет таким же, как у пирамиды, построенной из произвольного треугольника.
Однако правильная фигура обладает некоторыми отличительными чертами:
Правильная треугольная пирамида является не только чисто теоретическим геометрическим объектом. Некоторые структуры в природе имеют ее форму, например кристаллическая решетка алмаза, где атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами ковалентными связями, или молекула метана, где вершины пирамиды образованы атомами водорода.
Формулы для высоты правильной пирамиды
Существует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной:
Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту — h, апофему — hb и ребро — b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам:
Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды.
Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:
Конспекта урока по геометрии (по учебнику Л.С. Атанасяна и др.) «Пирамида»(с элементами учебного исследования)
ПО ГЕОМЕТРИИ В 10 КЛАССЕ
( ПО УЧЕБНИКУ Л.С. Атанасяна и др.)
( с элементами учебного исследования)
Учитель математики:
Граль Лада Казимировна
— познакомиться со схемой построения определения и применить его на практике;
— научиться строить пирамиды;
— научиться строить высота пирамид;
— научится находить элементы пирамиды;
— научится строить высота боковых граней;
1.Знакомство с определениями пирамид. (историческая справка)
2.Знакомство с современным определением;
3, Знакомство с видами пирамид;
4.Знакомство с элементами пирамид;
5. Исследовательская работа по группам
— листы для построений
1)Осваивается схема построения определения :
надсистемная группа > или надсистема по месту >,
отличительные существенные признаки >
Выявляются границы применимости определения ( параметры ).
В случае многогранниками всё происходит в пространстве.
Задания на исследования по группам.
Выполняют чертёж пирамиды »
боковые грани ( всегда треугольник )
Тетраэдр – треугольная пирамида ( в основании которой лежит треугольник )
Чем является SH Д и HH
( L – наклонная :; SH – перпендикуляр ; HH – проекция )
Выполняют чертёж пирамиды »
боковые грани ( всегда треугольник )
Тетраэдр – треугольная пирамида ( в основании которой лежит треугольник )
Чем является SH Д и HH
( L – наклонная :; SH – перпендикуляр ; HH – проекция )