Что такое планиметрия и стереометрия

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №3. Введение в стереометрию

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Геометрия— это наука о свойствах геометрических фигур.

Планиметрия— это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.

Стереометрия— это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Простейшими (основными) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии. 10 кл. Москва.: Просвещение, 2013 г. С. 1-4

Зив Б. Г. Геометрия. 10 класс. Дидактические материалы.: Москва, Просвещение, 2013 г. С.4, 14, 24

Открытый электронный ресурс:

Решу ЕГЭ. Открытый образовательный портал. https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы закончили изучать и повторять раздел геометрии, который называется планиметрией.

В планиметрии все фигуры, которые рассматривались при доказательстве каждой теоремы или при решении задач, располагались на плоскости. Таким образом, мы имели дело только с одной плоскостью.

Сегодня мы начинаем изучать новый раздел геометрии, который называется стереометрией.

Обратите внимание на данные фигуры. Как вы заметили- они объемные.

И их все объединяет раздел геометрии Стереометрия.

Что же такое стереометрия?

По аналогии с планиметрией мы можем вывести следующее определение:

Стереометрия- это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Простейшими (основными) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.

Вместе с этими фигурами рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представления о геометрических телах дают нам: кристаллы (составлен из многоугольников) – многогранники; куб; капли жидкости в невесомости – шар; футбольный мяч (шар); консервная банка (цилиндр).

Изучая свойства геометрических фигур, мы получаем представления о геометрических свойствах реальных предметов. В этом и состоит практическое значение геометрии, в частности стереометрия, широко используется в строительстве, архитектуре, машиностроении, геодезии, в науке и технике.

В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается ещё одна основная фигура – плоскость.

Представление плоскости нам дает любая гладкая поверхность. Она безгранична.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

А1: Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Точки А α, В α, С α.

Если взять четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость.

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Это свойство используется при проверке “ровности” линейки.

Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение пола и стены

В пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии.

Некоторые следствия из аксиом.

Теорема 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Дано: а – прямая, точка М ∉ а.

Доказать: 1) существует α: а α.

1) Дополнительные построения: т. В а, т. С а.

2) В, С, М не лежат на одной прямой, следовательно, по первой аксиоме существует плоскость α.

4) Единственность α. следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и т. М, проходит через М, В, С. Значит, она совпадает с α (по Аксиоме 1). Теорема доказана.

Теорема 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и, причём только одна.

Дано: а ∩ b в точке М

Доказать: существование плоскости α, а α, b α.

1) Дополнительные построения: N Є b, N∉ a.

2) Существует α : N α, a α.

3)

4) Из 2) и 3) следует α. проходит через прямые а и b.

5) Единственность α следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямые а и b, проходит через точку N, значит она совпадает с α (по Теореме 1). Теорема доказана.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Тип задания: выделение цветом

Прямая MN пересекает плоскость:

Внимательно рассмотрите рисунок, как вы видите прямая MN пересекает плоскости ABC и A₁B₁С_1, рассмотрим варианты ответов, среди них есть вариант 2) (ABC), он и является верным.

Тип задания: смежный граф

Пользуясь данным рисунком

назовите три плоскости, содержащие прямую DС₁ (нижний индекс записываете цифрой после буквы, без пробела)

Решение: Внимательно рассмотрите прилагающийся рисунок, определите, где на нем располагается прямая DС₁, как вы видите из рисунка он располагается в плоскостях:

Источник

Индивидуальный исследовательский проект по математике на тему: «Стереометрия и планиметрия, сходства и различия» выполнен студенткой группы 1 НК Пикаловой Ольгой

ПАВЛОВСКИЙ ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧЕРЕЖДЕНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«ГУБЕРНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

по учебному предмету «Математика»

«СТЕРЕОМЕТРИЯ И ПЛАНИМЕТРИЯ, СХОДСТВА И РАЗЛИЧИЯ»

студентка группы 1 НК

Пикалова Ольга Васильевна

преподаватель математики, ВВК

Данилова Любовь Александровна

1.2. История происхождения стереометрии………………………………….…. 5
1.3. Основные аксиомы и теоремы стереометрии……………………………… …6
1.4. Планиметрия. История происхождения планиметрии……………..………..8

1.5. Важные факты о планиметрии……………………………………………….11
Глава II Сходства и различия планиметрии и стереометрии в жизни…………..15

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий двумерные фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в одной плоскости.

Мы считаем, что данная тема актуальна всегда, так как каждый человек проходящий школьный курс или же в колледже, изучает эти два раздела. Стереометрия и планиметрия позволяет нашему воображению развиваться, строить разные фигуры на плоскости или представлять фигуры в пространстве.

Объект исследования – на студентов группы 1 НК, в которой проведена интеллектуальная игра.

Предмет исследования – стереометрия и планиметрия, сходства и различия. Цель исследования – выяснить, в чем же сходства и различия между разделами геометрии такими как планиметрия и стереометрия.

1. Рассмотреть понятия: стереометрии, планиметрии,

2. Изучить историю происхождения стереометрии и планиметрии,

3. Исследовать основы стереометрии и планиметрии,

4. Подобрать примеры из жизни

5. Разработать задания для игры «Знаешь ли ты стереометрию?»

Методы исследования: теоретическое, математическое.

Таким образом, в ходе нашего исследования мы пришли к выводу, что стереометрия и планиметрия могут обладать не только сходствами, но и различиями, которые мы рассмотрели в следующих главах.

Глава I . Планиметрия и стереометрия

Основными и простейшими фигурами в пространстве являются: точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами есть еще геометрические тела, которые окружают нас в жизни, где бы мы ни были. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками. [3;6]

Самый простой многогранник – это куб. Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет волейбольный мяч, мандарин и многое другое. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром.

В отличии от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрическое фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отделенную от остальной части пространства поверхностью – границей этого тела. Так, например, граница шара есть сфер, а граница цилиндра состоит из двух кругов – оснований цилиндра и боковой поверхности.

1.2. История происхождения стереометрии.

Геометрия зародилась в древнем Египте около двух тысяч лет до н.э. писал древнегреческий учёный Геродот. При строительстве даже самых примитивных сооружений необходимо было рассчитать сколько материала пойдёт на постройку, уметь вычислять расстояние между точками в пространстве и углы между прямыми и плоскостями, знать свойства простейших геометрических фигур. Так, египетские пирамиды, сооружённые за 2-4 тысячелетия до н.э., поражают точностью своих метрических соотношений, свидетельствующих, что строители уже знали многие стереометрические положения и расчёты.

Развитие торговли и мореплавания требовало умений ориентироваться во времени и пространстве. Начиная с 7 в. до н.э. в древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии. Одной из самых первых и известных школ была пифагорейская, названная в честь своего основателя. Для своих философских теорий пифагорейцы использовали правильные многогранники. Их форму придавали элементам первооснов бытия, а именно огонь – тетраэдр, земля – гексаэдр (куб), воздух – октаэдр, вода – икосаэдр. Название многогранников также древнегреческое происхождение, в них зашифровано число граней. [6;14]

По мнению древних Вселенная имела форму правильного додекаэдра, и мы живём внутри небесного свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра. Более поздняя философская школа- Александрийская – дала миру знаменитого учёного Евклида, который жил около 3000 лет до н.э. Им была написана знаменитая книга «Начала», по которой учились 2000 лет. В «Началах» Евклида было представлено стройное аксиометрическое строение геометрии.

Знания по стереометрии применяются в различных науках: в астрономии при изучении планет и их свойств, в физике, исследуя структуру молекул и атомов, имеющих форму шара и др. очень многие «беды» начинающих изучать стереометрию происходят от неумения сделать правильный и удобный для решения задачи рисунок, или чертёж. Причём говорим сейчас не об аккуратности, а о смысловой нагрузке чертежа. Чертёж в стереометрии резко отличается от чертежа в планиметрии. В планиметрии чертёж точно соответствует условию теоремы или данным задачи, в стереометрии, при изображении пространственных фигур на плоскости, наблюдается другая картина, чем в планиметрии, например, как изобразить куб.

В 7-9-х классах на уроках алгебры и в учебниках проблема пространственного воображения считается чужой, а в курсе геометрии всё внимание сосредотачивается на двухмерных объектах и учащимся не предоставляется возможность работать с пространственными объектами, развивая своё воображение, на первых же уроках стереометрии мы сталкиваемся с проблемами: пространственное мышление учеников не развито; они не умеют читать изображения пространственных тел, не умеют их изображать.

Благоприятное время для начала развития пространственного мышления это 5-6 классы средней школы. Поэтому, хоть и медленно, на уроки математики в этих классах проникают специальные упражнения, направленные на его развитие. Затем в 7-9-х классах эта проблема забывается и всплывает (по необходимости) в 10-м классе, поскольку явно даёт о себе знать. В 7-9 –х классах можно выполнять упражнения, которые направлены на формирование у учащихся умений читать изображение пространственных фигур, приучают их вносить мысленные изменения в восприятие, подготавливают к обучению в 10-м классе. [6;21]

1.3. Основные аксиомы и теоремы стереометрии

Аксиомы в стереометрии, рассмотрим по порядку:

· Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

· Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.

· Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

· Аксиома 4. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Таким образом, в любой плоскости пространства можно использовать все доказанные теоремы и формулы из планиметрии.

Основные теоремы стереометрии:

Теоремы о параллельности прямых и плоскостей

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β, то пишут: a // β

Теорема 1: Если прямая AB параллельна какой-нибудь прямой CD, расположенной в плоскости P, то она параллельна самой плоскости.

Теорема 2: Если плоскость R проходит через прямую AB, параллельную другой плоскости P, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения CD параллельна первой прямой AB.

Теорема 3: Если две параллельные плоскости P и Q пересекаются третьей плоскостью R, то линии пересечения AB и CD параллельны.

Теорема 4: Если две пересекающиеся прямые AB и DC одной плоскости соответственно параллельны двум прямым A1 B1 и C1 D1 другой плоскости, то эти плоскости параллельны. [5;8]

Теоремы о перпендикулярности прямых и плоскостей

Теорема 1: Для того что бы прямая AB была перпендикулярна плоскости P, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна двум произвольным непараллельным прямым CD и EF, лежащим в этой плоскости.

Теорема 2: Для того, чтобы прямая DE проведенная на плоскости P через основание наклонной AC была ей перпендикулярна, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна к проекции BC, наклонной на плоскость P.

Теорема 3: Если две прямые AB и CD перпендикулярны одной плоскости P, то они параллельны между собой.

Теорема 4: Если две плоскости P и Q перпендикулярны одной прямой AB, то они параллельны друг другу.

1.4. Планиметрия. История происхождения планиметрии.

§ Параллелограмм (частные случаи Квадрат, Прямоугольник, Ромб)

Первый дошедший до нас полный трактат по геометрии, представляющий собрание и систематизацию открытий греческих математиков, принадлежит знаменитому александрийскому геометру Эвклиду. Это бессмертное сочинение носит название «Начала» и представляет полный курс так называемой элементарной геометрии, имеющий, за весьма немногими исключениями, объем, в котором геометрия входит в настоящее время в круг преподавания средних учебных заведений. ( Приложение 2 ) [2;6]

Новинкой этого трактата является метода доказательства, состоящая в доказательстве абсурдности противоположного. В нем автор обнаруживает образцовую последовательность изложения и строгость доказательств. Известен анекдот о Птолемее (Лаге), желавшем познакомиться с геометрией, но упрекавшем Эвклида за длинноту изложения, на что геометр отвечал словами: «в математике нет царской дороги». Возможность события вероятна, ибо Птолемей, как начинающий, мог не видеть, что краткость изложения не всегда безопасна для строгости доказательства.

Кроме «Начал», Эвклидом написаны были несколько других работ, которые не дошли до нас; из этих работ наибольшей глубиной мысли отличается трактат под заглавием «Поризмы». Об этом трактате мы знаем лишь по неясным указаниям александрийского математика Паппуса. Некоторые из выдающихся геометров последних веков обратили свою пытливость к восстановлению и уяснению содержания этого трактата по темным намекам Паппуса.

Эти работы дали толчок к развитию новых приемов в геометрии, составляющих предмет так называемой проективной геометрией. Проективная геометрия рассматривает фигуры как перспективу или проекцию других фигур. При таком рассмотрении некоторые свойства фигур сохраняются в их перспективе, некоторые же теряются. Теряются так называемые метрические свойства, а именно перспектива меняет величину углов, а также относительные размеры частей фигур. Так, например, круг в перспективе обращается в эллипс.

Те же свойства фигур, которые сохраняются в перспективе, носят название проективных свойств фигур и составляют предмет изучения проективной геометрии. Так, например, касательная к кругу в перспективе остается касательной к эллипсу.

Под последним названием разумеется совокупность предложений, дающих числовые соотношения между геометрическими величинами, входящими в вопрос, в отличие от геометрического положения, рассматривающего свойства фигур, зависящие от их положения, но не зависящие от размеров этих фигур.

Перечисляя открытия Архимеда в геометрии, прежде всего надо остановиться на его изысканиях отношения окружности к диаметру, причем для несоизмеримого числа, выражающего это отношение, дано было первое приближение 22/7. Квадратура параболы представляет первый пример на измерение площадей, ограниченных кривыми линиями. Свойства спиралей, теорема о шаре и цилиндре, объемы сфероидов и коноидов суть главнейшие изобретения творческого гения, которому статика обязана столько же, как и геометрии.

Сочинения Аполлония относятся к геометрической форме. Главнейшей работой, давшей автору известность, был трактат о конических сечениях. Здесь мы имеем полную теорию трех линий, эллипса, гиперболы и параболы, носящих общее название конических сечений, свойства их сопряженных диаметров, асимптот, фокусов, нормалей, теорема о поляре, первое понятие об эволютах и ряд прекрасных вопросов на maxima и minima.

Теорию эпициклов, играющую роль в Птолемеевой системе мира, приписывают тоже Аполлонию. Последователи Архимеда и Аполлония направили свои изыскания на астрономию и на части геометрии, имеющие связь с этой наукой. [6;32]

Сюда относятся работы Гиппарха и Птолемея. В этих работах, а также в «Сфериках» Менелая мы находим прямолинейную и сферическую тригонометрии древних греков. Этот период александрийской школы есть уже период упадка геометрии; кроме указанных астрономов, мы встречаем тут лишь комментаторов, из которых по праву приобрел наибольшую известность Паппус.

Сочинение Паппуса, носящее заглавие «Collectanea mathematica», драгоценно как источник для знакомства с состоянием геометрии в Греции, ибо большинство сочинений древних геометров, как известно, не дошло до нас. В работах Паппуса мы встречаем известную теорему Гюльдена, зародыш учения об ангармонии и инволюции и свойства шестиугольника, вписанного в коническое сечение.

Вот краткий исторический обзор главнейших работ греков по геометрии. Они делили геометрию на три части: на элементы, прикладную геометрию, или геодезию, и высшую геометрию, которая представляла совокупность решений вопросов и теорий, в коих геометр мог найти необходимые указания для доказательства теорем и решения задач. Эту последнюю часть новейшие математики называют геометрическим анализом древних греков.

1.5. Важные факты о планиметрии

Среди всего прочего стоит выделить точку и прямую. Они являются двумя основными понятиями планиметрии. [ 9;8]

· Угол, который состоит из двух лучей, выходящих из одной точки.

В планиметрии это наиважнейшие правила, по которым работает вся наука. Да и не только в ней. По определению, речь идет об утверждениях, не требующих доказательств.
Аксиомы, которые буду рассмотрены ниже, входят в так называемую Евклидовую геометрию.

· Есть две точки. Через них всегда можно провести единственную прямую.

· Если существует прямая, то есть точки, которые на ней лежат, и точки, не лежащие на ней.

Это 2 утверждения принято называть аксиомами принадлежности, а следующие – порядка:

· Если на прямой расположены три точки, то одна из них обязательно находится между двумя другими.

· Плоскость делится любой прямой на две части. Когда концы отрезка лежат на одной половине, то значит и весь объект принадлежит ей. В ином случае исходная прямая и отрезок имеют точку пересечения.

· Каждый отрезок имеет длину, отличную от нуля. Если точка разбивает его на несколько частей, то их сумма будет равна полной длине объекта.

· У каждого угла есть определенная градусная мера, которая не равна нулю. Если разбить его лучом, то исходный угол будет равен сумме образованных.

· На плоскости расположена прямая. Через любую точку, не принадлежащую ей, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной.

По сторонам (соотношения выплывают из названий):

Два угла независимо от ситуации всегда будут острыми, а третий определяется первой частью слова. То есть у прямоугольного треугольника один из углов равен 90 градусам.

· Чем больше угол, тем больше противоположная ему сторона.

· Всегда можно вписать окружность в треугольник или же описать ее вокруг него.

Об одной из основных формул планиметрии говорит теорема Пифагора. Работает она исключительно для прямоугольного треугольника и звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: AB2 = AC2 + BC2.

Информации на эту тему чрезвычайно много. Ниже приведена лишь самая важная. [ 9;16]

· Сума внутренних углов равна 360 градусам.

Источник