Что такое периодичность тангенса

Что такое периодичность тангенса

ЧЕТНОСТЬ И ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Четность тригонометрических функций.

Углы φ и —φ образуются при повороте луча в двух взаимно противоположных направлениях (по часовой стрелке и против часовой стрелки).

Поэтому конечные стороны OA ₁ и ОА ₂ этих углов симметричны относительно оси абсцисс.

Следовательно, синус является нечетной, а косинус — четной функцией угла.

Поэтому тангенс и котангенс являются нечетными функциями угла.

Выяснить, какие из данных функций являются четными и какие нечетными:

1) у = sin (—х); 4) у = sin x cos х; 7) у = sin 2 x;

2) у = cos (—х); 5) у = sec x; 8) у = cos 2 x;

3) у = tg (2х); 6) у = cosec x; 9) у = sin x + tg x.

Периодичность функций sin φ и cos φ

Предположим, что вектор ОА = (х, у) единичной длины образует с осью абсцисс угол φ.

Если сделать полный оборот вектора ОА вокруг точки О против часовой стрелки, то получится угол φ + 360°. Но вектор ОА при этом займет первоначальное положение, а потому координаты его х и у не изменятся.

Эти соотношения показывают, что значения функций sin φ и cos φ не изменяются, если их аргумент, увеличить на 360°.

Пусть f(х) есть некоторое выражение, зависящее от переменной величины х.
(Например, f(х) = x 2 , f(х) = sin x и т. д.)

Определяет у как функцию аргумента х.

Если при любых допустимых значениях аргумента х

где Т — некоторое отличное от нуля число, то функция f (x) называется периодической, а число Т — ее периодом.

Согласно этому определению функции sin x и cos х являются периодическими с периодом Т = 360°.

При n полных оборотах вектора ОА против часовой стрелки образуется угол φ + 360°n, а по часовой стрелке — угол φ — 360°n. В каждом из этих случаев координаты х и у вектора не изменяются, а потому не изменяются sin φ и cos φ.

Таким образом, cos φ = cos (φ + 360°n),

sin φ = sin (φ + 360°n), (1)

где n — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).

Можно доказать, что любая периодическая функция (а не только sin φ и cos φ) имеет бесконечное множество периодов.

Говоря о периоде функции, удобно из бесконечного множества всех ее периодов иметь в виду какой-нибудь один вполне определенный период. Обычно выделяют наименьший положительный период функции.

Из всех рассмотренных выше периодов функции sin φ наименьшим положительным периодом является угол в 360°. Но, может быть, существует еще меньший угол, который мы просто упустили из виду, но который, Также является периодом функции sin φ? Чтобы решить этот вопрос, предположим, что наименьший положительный период функции sin φ равен Т. Тогда при любом φ

В частности, при φ = 0 получаем: sinТ = sin 0° = 0.

Составляет ли он период функции sin φ? Если бы это было так, то равенство sin (φ + 180°) = sin φ должно было бы выполняться при всех значениях φ. В частности, при φ = 90° мы получили бы

Аналогично можно доказать, что периодом функции cos φ также является угол в 360° Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно.

1. Доказать следующие соотношения:

а) sin 740° = sin 20°; в) cos 54° = cos (—1026°);

б) sin (—1000°) = sin 80°; г) cos (—1750°) = cos 50°.

2. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы были положительными и не превышали 360°:

a) sin 820°; б) cos (—7363°); в) sin (—600°).

3. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 180°:

a) cos 729°; б) sin 1268°; в) sin (— 535°); г) cos (— 1001°).

4. Доказать, что угол в 540° является одним из периодов функции у = cos2х.

5. Доказать, что угол и 360° является одним из периодов функции у = tgx.

6. Докажите, что любой период Т функции у = cos х является корнем уравнения

Верно ли обратное утверждение?

Периодичность функций tg φ и ctg φ

Следовательно, при любом φ

Это означает, что функция tg φ является периодической с периодом 180°. Но будет ли угол в 180° наименьшим жительным периодом этой функции?

Предположим, что наименьший положительный период функции tg φ равен Т. Тогда для всех допустимых значений φ должно быть

В частности, при φ = 0° получаем:

Но тангенс положительного угла равен нулю лишь тогда, когда синус этого угла равен нулю, то есть при Т = 180°, 360°, 540° и т, д. Следовательно, никакой положительный угол, меньший 180°, не может быть периодом функции tg φ. Остается признать, чтб периодом (то есть наименьшим положительным периодом) функции tg φ является угол в 180°.

Аналогично можно доказать, что периодом функции сtg φ также является угол в 180°. Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно.

1. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы были положительными и не превышали 180°:

a) tg 205°; б) tg (—185°); в) ctg 300°; г) ctg (—210°).

2. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90°:

3. Доказать, что угол в 120° является одним из периодов функции у = ctg 3х.

4. Доказать, что любой период Т функции у = ctg х является корнем уравнения

Верно ли обратное утверждение?

О периодических функциях.

Если функция f(x) периодична с периодом Т, то по значениям этой функции на любом отрезке длины Т можно восстановить ее значения на всей числовой прямой.

Действительно, пусть периодическая функция f(x) задана в интервале (а, а + Т), где Т — период этой функции.

Покажем, как можно определить значения этой функции в интервале ( а + Т, а + 2 T ).

Для любой точки b из этого интервала можно указать точку b‘ из интервала (а, а + T ), отстоящую от b на расстоянии T.

В силу периодичности функции f(x)

Таким образом, по заданным значениям функции f в интервале (а, а +T ) можно восстановить значения этой функции в интервале (а + Т, а + 2T ). Затем исходя из значений функции f в интервале (а + Т, а + 2T ), можно восстановить ее значения в интервале (а + 2T, а + 3T ). После этогo точно так же можно найти значения функции f в интервале (а + 3T, а + 4T) и т. д. Аналогично можно определить значения функции f(x) и во всех точках числовой прямой, лежащих левее отрезка (а, а + Т ).

Итак, задание периодической с периодом Т функции f(x) на любом интервале длины Т дает возможность полностью охарактеризовать ее на всей числовой прямой. Поэтому для исследования функции f(x), периодической с периодом Т, достаточно изучить ее поведение лишь на каком-нибудь интервале длины Т. Например, для исследования функций у = sin φ и у = cos φ достаточно рассмотреть их лишь при 0° <φ <360°. Для исследования функции у = tg φ можно было бы ограничиться интервалом 0° <φ <180°. Но при φ = 90° tg φ не определен. Поэтому в данном случае целесообразнее выбрать какой-нибудь другой интервал, в каждой точке которою функция у = tg φ была бы определена. Мы отдадим предпочтение интервалу —90° < φ < 90°. Однако в принципе можно было бы выбрать, конечно, и интервал 0° <φ <180°. Для изучения функции сtg φ целесообразно выбрать интервал 0° < φ < 180°.

2. Может ли периодическая с периодом Т функция f(x) удовлетворить условию

Если может, то в каком случае? Ответ пояснить примерами.

Источник

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 4 сентября 2021 г.

Урок 5. Периодичность тригонометрических функций

Из этого определения сразу следует, что если Т – период функции

– также периоды функций. Значит у периодической функции бесконечно много периодов.

Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

у = х – [х] , где [х] – целая часть числа. Если к произвольному значение аргумента этой функции добавить 1 , то значение функции от этого не изменится :

Следовательно, при любом значении х

sin (α + 360 ° ) = sin α

Таким образом, функции sin α и cos α от прибавления к аргументу α одного полного оборота ( 2π или 360 ° ) не меняют своих значений.

где k – любое целое число.

Следовательно, функции sin α и cos α – периодические.

Наименьшее положительное число, от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется значение функции, называется периодом функции.

В самом деле, пусть α – произвольный угол, составленный с осью Ох подвижным радиусом ОМ единичной окружности.

отсюда следует, что значения tg α и с tg α не изменяются, если к углу α прибавить любое число полуоборотов:

где k – любое целое число.

вычисляются по формуле

равен наименьшему числу, при делении которого на T ₁ и T ₂ получаются целые числа.

Найти период функции

не существует, так как такого числа, при делении которого на 2π и на 2 получались бы целые числа, нет.

Периода не существует.

Доказать следующее утверждение :

Так как тангенс – периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 180 ° , то получим :

Доказать следующее утверждение :

Так как косинус – чётная и периодическая функция с минимальным периодом 2π , то получим :

сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.

Доказать следующее утверждение :

Так как синус – нечётная и периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 360 ° , то получим :

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

так как 2 πk период синуса, то получим :

sin (7х + 7 t ) = sin (7х + 2 πk ),

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

со s 0,3х = со s 0,3(х + t ) = со s (0,3х + 0,3 t )

так как 2 πk период косинуса, то получим :

Найти период функции :

y = 5 sin 2 x + 2 ctg 3х.

Наименьшее число, при делении которого на

Найти период функции :

Находим периоды слагаемых. Период функции

Очевидно, что период заданной функции равен

Найти период функции :

Периода у заданной функции не существует, так как нет такого числа, при делении которого на 2 и на π одновременно получались бы целые числа.

Найти период функции :

Приведём к общему знаменателю периоды :

Тогда наименьшее общее кратное (НОК) будет :

Теперь найдём период заданной функции :

Источник

Тригонометрические функции. Понятие периодичности.

Когда точно известно, какой именно угол принимается за единицу измерения, можно говорить об одинаковости масштабов на обеих осях. Тогда число х, измеряющее угол, и число у, выражающее его синус, можно изобразить отрезками, пропорциональными этим числам.

При построении графиков тригонометрических функций обычно принято за единицу измерения угла использовать радиан. Тогда функция у = sin x (под х подразумевается наименование «радианов») изображается графиком, приведенным ниже (масштабы на осях одинаковы). Если за единицу измерения угла принять полрадиана, то, сохраняя те же масштабы, график растянется вдоль оси абсцисс в отношении 2:1.

Линия, являющаяся графиком функции у = sin x, называется синусоидой.

При смещении графика синуса или косинуса на отрезок 2π (вправо или влево) он (график) совмещается сам с собой.

Таким образом, можно сказать, что если график некоторой функции у = f(x) при смещении его на некоторый отрезок вдоль оси абсцисс совмещается сам с собой, то функция называется периодической.

Периодом функции f(x) называется число р, которое измеряет отрезок на оси. Это словесное определение кратко выражается формулой:

Все тригонометрические функции имеют период 2π.

Функции тангенса и котангенса у = tgx и у = ctg х имеют сверх того период π (так как tg (х ± k π) = tg х).

График тангенса у = tg х показан на рисунке.

На рисунке ниже представлен график функции котангенс у = ctg х.

График тангенса неограниченно приближается к прямым, которые параллельны оси ординат и отстоят от нее на расстоянии равном ± π/2, ± 3(π/2), ± 5(π/2) и т.п., но не достигают этих прямых.

Аналогичную роль для графика функции котангенса играют прямые, отстоящие от оси OY на ± π, ±2π, ±3π, и т. д., собственно и сама ось OY.

Источник

Свойства тригонометрических функций

Содержание

Знаки тригонометрических функций

определяются тем, в каком квадранте (четверти) координатной плоскости Oxy лежит луч OM (рисунки 1, 2, 3, 4).

Рис.1. Знак sin α	Рис.2. Знак cos α
Рис.3. Знак tg α	Рис.4. Знак ctg α

Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса

Рассмотрим рисунок 5.

sin (α° + 360°) = sin α°, cos (α° + 360°) = cos α°,

sin (α° – 360°) = sin α°, cos (α° – 360°) = cos α°,

Поворачивая луч OM₁ на полный угол по ходу или против хода часов n раз ( 360n градусов или 2nπ радиан), получаем следующие формулы:

Теперь рассмотрим рисунок 6.

sin (α° + 180°) = – sin α°, cos (α° + 180°) = – cos α°,

sin (α° – 180°) = – sin α°, cos (α° – 180°) = – cos α°,

sin (α – π) = – sin α, cos (α – π) = – cos α.

Полученные формулы описывают свойство полупериодичности синуса и косинуса.

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, угол 180° является полупериодом синуса и косинуса.

то справедливы формулы:

Четность тригонометрических функций

Рассмотрим рисунок 7.

Следовательно, справедливы формулы:

откуда вытекают формулы:

Таким образом, косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.

Источник

Объяснение и обоснование

Этот результат можно получить и геометрически. Значения тангенса – это ордината соответствующей точки на линии тангенсов (рис.91). Поскольку точки Aи B единичной окружности лежат на прямых ОА и ОВ, параллельных линии тангенсов, мы не сможем найти значение тангенса дляx, kZ.

Для всех других значений аргумента мы можем найти соответствующую точку на линии тангенсов и ее ординату — тангенс. Следовательно, все

Значенияx входят в область определения функции y=tgx.

Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) ординаты соответствующих т

очек на линии тангенсов принимают

все значения до +, поскольку для любого действительного числа

мы можем указать соответствующую точку на оси ординат, а значит, и соответствующую точку на оси тангенсов. Учитывая, что точка О лежит

внутри окружности, а точка вне ее (или на самой окружности), получаем, что прямая имеет с окружностью хотя бы одну общую точку

(на самом деле их две). Следовательно, для любого действительного числа

найдется аргумент х, такой, что tan x равен данному действительному числу.

то есть R. Это можно записать так: E (=tgx) = R. Отсюда следует, что наибольшего и наименьшего значений функция tan x не имеет.

Как было показано в § 13, тангенс — нечетная функция:tg(-x)=tg x, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

Тангенс — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

Поэтому при построении графика

этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной π,

а потом полученную линию перенести параллельно вправо и влево вдоль оси

Ox на расстоянияkT = πk, где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,

напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение

y = tg 0 = 0, то есть график функции y = tg x проходит через начало координат.

На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x,

при которых tg x, то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z.

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения

функции тангенс положительны (то есть ордината соответствующей точкилинии тангенсов положительна) в І и ІІІ четвертях. Следовательно, tgx > 0 при

а также, учитывая период, при всех

Значения функции тангенс отрицательны (то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов отрицательна) во ІІ и ІV четвертях. Такимобразом,

Промежутки возрастания и убывания.

Учитывая периодичность функции tgx (период T = π), достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной π,

тангенсов увеличивается (то есть tgx2>tgx1). Таким образом, на этом

промежутке функция tgx возрастает. Учитывая периодичность функции

tgx, делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график

функции y = tg x. Учитывая периодичность этой функции (с периодом π),

линии тангенсов. На рисунке 93 показано построение графика функции

y = tg x на промежутке.

Далее, учитывая периодичность тангенса (с периодом π), повторяем вид

графика на каждом промежутке длиной π (то есть параллельно переносим

график вдоль оси Ох на πk, где k — целое число).

Получаем график, приведенный на рисунке 94, который называется тангенсоидой.

14.4. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = ctg x И ЕЕ ГРАФИК

Объяснение и обоснование

Так как =, то областью определения котангенса будут все значения аргумента, при которых sin х ≠ 0, то есть x ≠ πk, k ∈ Z. Такимобразом,

D (ctg x): x ≠ πk, k ∈ Z.

Тот же результат можно получить, используя геометрическую иллюстрацию. Значение котангенса — это абсцисса соответствующей точки на линии

котангенсов (рис. 95).

Поскольку точки А и В единичной окружности лежат на прямых ОА

и ОВ, параллельных линии котангенсов, мы не можем найти значение котангенса для x = πk, k ∈ Z. Длядругихзначенийаргументамыможемнайтисоответствующуюточкуна линии котангенсов и ее абсциссу — котангенс. Поэтому все значения x ≠ πk входят в область определения функции у = ctg х.

Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) абсциссы соответствующих точек на линии котангенсов принимают все значения от –× до +×, поскольку для любого действительного числа мы можем указать соответствующую точку на оси абсцисс, а значит, и соответствующую точку Qх на оси котангенсов. Учитывая, что точка О лежит внутри окружности, а точка Qх — вне ее (или на самой окружности), получаем, что прямая ОQх имеет с окружностью хотя бы одну общую точку (на самом деле их две). Следовательно, для любого действительного числа найдется аргумент х, такой, что сtg x равен данному действительному числу. Таким образом, область значений функции y = ctg x — все действительные числа, то есть R.

Это можно записать так: E (ctgx) = R.Из приведенных рассуждений также вытекает, что наибольшего и наименьшего значений функция ctgxне имеет.

Там же было обосновано, что котангенс — периодическая функция с наи­меньшим положительным периодом T= : ctg (x+ ) = ctg x, поэтому через промежутки длиной п вид графика функции ctgxповторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси Oyзначение x= 0. Но ctg0 не существует, значит, график функции y= ctg x не пересекает ось Oy.

На оси Оx значение y= 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при которых ctgx, то есть абсцисса соответствующей точки линии котанген­сов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D(рис. 95), то есть при

Значения функции котангенс отрицательны (то есть абсцисса соответ­ствующей точки линии котангенсов отрицательна) во II и IV четвертях, та­ким образом, ctgx x₁) аб­сцисса соответствующей точки линии котангенсов уменьшается (то есть ctgx₂

Источник

• ← как понять на какой номер зарегистрирована страница инстаграм
• к какому виду договоров относится договор аренды →

Рис.1. Знак sin α

Рис.2. Знак cos α

Рис.3. Знак tg α