Что такое пересечение треугольников

Построить линию пересечения треугольников ABC и EDK и показать видимость их в проекциях.
Определить натуральную величину треугольника ABC.

1. Строим проекции треугольника АВС.

2. Строим проекции треугольника EDK.

3. Находим точку пересечения стороны АС с треугольником EDK

4. Находим точку пересечения стороны А B с треугольником EDK и строим линию пересечения MN

5. С помощью конкурирующих точек 4 и 5 определяем видимость треугольников на фронтальной плоскости проекций.

6. С помощью конкурирующих точек 6 и 7 определяем видимость треугольников на горизонтальной плоскости проекций.

7. В треугольнике ABC проводим горизонталь CL и плоскопараллельным перемещением относительно горизонтальной плоскости проекций располагаем горизонталь перпендикулярно фронтальной плоскости проекций.

8. Определяем действительную величину треугольника ABC и строим на нем линию пересечения MN.

Источник

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник

Ззамечательные точки треугольника — свойства, применение и примеры решения

Замечательные точки треугольника не просто так описываются таким прилагательным. Для многих учеников, а начинают знакомиться с этим понятием в 8 классе, эта тема кажется наиболее интересной и простой в курсе геометрии, поэтому многочисленные теоремы и свойства запоминаются достаточно просто.

Итак, какие же четыре точки называются замечательными? Перечислим их:

точку пересечения медиан треугольника;

точку пересечения биссектрис треугольника;

точку пересечения высот треугольника;

точку пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Все точки обладают своими особенностями и свойствами, про всех есть свои теоремы и следствия из них. Кроме того, существует свойство, которое справедливо сразу для четырёх этих точек. Вне зависимости от того, медиана ли это, биссектриса или высота, все они пересекаются в одной точке.

Замечательные точки характерны не только для треугольников. Например, в трапеции так же четыре замечательные точки.

Теперь рассмотрим основные положения, связанные с замечательными точками треугольника.

Точка пересечения медиан треугольника

Из курса геометрии известно определение медианы треугольника.

На данном рисунке она обозначена прямой m, которая исходит из вершины А и заканчивается точкой М, являющейся центром стороны ВС.

Теперь сделаем чертёж треугольника, на котором укажем замечательную точку пересечения медиан.

Для начала постройте абсолютно любой треугольник и обозначьте его буквами А, В и С.

На отрезке АВ отметьте центр С1, на стороне ВС центр А1, на АС центр В1.

Проведите 3 медианы из вершин. Из угла А – медиана АА1,из угла В — медиана ВВ1, из угла С — медиана СС1.

Должно получиться так, как показано на рисунке: три проведённые линии пересекаются в одной точке G (что является их свойством).

Изучим следующее свойство точки пересечения трёх медиан треугольника.

Отрезки медианы треугольника, разделённой замечательной точкой, относятся друг к другу как 2:1. Проследим это свойство на примере используемого нами рисунка:

A1G = 2AG, B1G = 2BG, C1G = 2CG.

Точка пересечения биссектрис треугольника

Прежде чем мы приступим к изучению следующей точки, рассмотрим теорему о биссектрисе, проведённой из вершины неразвёрнутого угла, и докажем её.

Рассмотрим пример. Дано:

угол ВАС Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника

Для начала вспомним определение серединного перпендикуляра. Теорема о серединном перпендикуляре:

Сделаем краткое доказательство. Соединим концы отрезка с вершиной серединного отрезка. Докажем равенство полученных треугольников, из чего следует АD = DB.

Построим эту точку.

В треугольнике АВС отмечаем середины его сторон. Проводим три серединных перпендикуляра КО, LO, МО и отмечаем точку их пересечения О.

Точка пересечения высот треугольника

Проведём три высоты в ∆АВС, все они пересекутся в т. Н. Точка Н по отношению к ∆АВС – ортоцентр.

Свойство высот треугольника:

если все три высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, то это ортоцентр;

СH * HНС
= АH * АНА = ВH * ВНВ.

Ортоцентр может располагаться внутри треугольника, снаружи или совпадать с одной из вершин.

На рисунке показано расположение ортоцентра в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках.

Пример решения задач с построением

Замечательные точки треугольника замечательные именно потому, что они имеют много полезных для решения задач свойств. Рассмотрим пример решения задачи на эту тему.

Серединный перпендикуляр в ∆АВС, опущенный к АС, пересекает ВС в т. В. Найти BD, DC, если AD = 5 см BC = 9 см.

Сделаем дополнительное построение – серединный отрезок КD к прямой АС. Тогда DK это и высота, и медиана в ∆АВС. Если в треугольнике проведена прямая, которая является высотой и медианой, то он равнобедренный. Значит, AD = DC = 5 см.

Ответ: DC = 5 см, ВD = 4 см.

Источник

Что такое пересечение треугольников

Введем следующее обозначение определителя:

Утверждение 16.2. Рассмотрим два треугольника, каждый из которых задается тремя точками: первый треугольник — точками — второй — точками Пусть и — однородные координаты точки В таком случае два треугольника пересекаются, если не все значения определителей имеют один и тот же знак и не все значения определителей имеют один и тот же знак.

Доказательство. Это утверждение является непосредственным следствием утверждения 16.1.

Данный результат представляет собой обобщение анализа, проведенного в подразд. 14.4.2 для двухмерного случая, на трехмерный случай.

© 2021 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Источник

Как проверить, пересекаются ли треугольники?

Моё почтение.
Задача: Сгенерировать 2 рандомных треугольника в системе координат, и проверить, пересекаются ли они.

Решил всё делать через canvas(а как же иначе).
Сгенерировать 2 раза по 3 отрезка (по координатам точек), проверить, что треугольник может получиться из них.
Затем соединить все три отрезка, что бы получились треугольники.

Интересует, как именно можно проверить пересекаются ли они, или нет?
Необходима формула с пояснением, где что.
Благодарю.

Оценить 1 комментарий

Решил всё делать через canvas(а как же иначе).

Варианты: не пересекаются, касаются снаружи, пересекаются, один касается другого изнутри, один полностью вложен во второй.

Umid: Ок.
Отрезки AB и CD на плоскости пересекаются если пересекаются их проекции на оси X и Y, точки A и B лежат по разные стороны от отрезка CD, точки C и D лежат по разные стороны от отрезка AB.

Umid: Нарисуйте отрезок AB в системе координат OXY. Теперь из концов отрезка проведите вертикальные линии до пересечения с осью OX. Две получившиеся точки на оси дают новый отрезок, который является проекцией AB на ось OX. Аналогично, горизонтальные линии дадут проекцию на ось OY.

Теперь нарисуйте отрезок AB, поставьте рядом с ним точку C. Дорисуйте ещё один отрезок AC. Направление угла поворота от AB к AC можно найти через знак векторного произведения AB*AC, формулу я привёл выше. Точка C лежит слева от отрезка AB, если поворачивать надо влево, а векторное произведение больше нуля.

» Направление угла поворота от AB к AC можно найти через знак векторного произведения AB*AC, формулу я привёл выше. «

Здесь вы имеете ввиду найти угол между двумя векторами AB и AC?

«Точка C лежит слева от отрезка AB, если поворачивать надо влево, а векторное произведение больше нуля.»

Не понял это предложение, и зачем нам знать слева ли лежит точка C?

Если не совсем понятно, спрашивайте. А вообще лучше бы вам найти готовый велосипед и не парить себе мозги.

Совсем не понял. Велосипед не могу себе позволить. Задача на городской олимпиаде по информатике встретилась. Скоро будет битва за выход на республиканскую олимпиаду. Хочу подготовиться как следует.

Как получить уравнение прямой?
С остальным тоже не понял.
Если можно, было бы неплохо 1 пример разобрать, если вам не составит труда.

Источник