Что такое парные делители
Урок по математике в 5-м классе по теме: «Делители и кратные»
Разделы: Математика
Программа: “Школа 2000…”, авторы Г.В.Дорофеев, Л.Г.Петерсон.
Тема урока. Делители и кратные.
Тип урока. “Открытие” нового знания.
Учитель: Добрый день, ребята. Садитесь. Откройте тетради, запишите дату, “Классная работа” и оставьте место, чтобы позже вписать тему нашего урока.
А для того, чтобы узнать, чем мы сегодня будем заниматься на уроке, начнем с разминки.
Учитель: Что интересного записано на доске?
Учитель: Чем похожи эти уравнения?
Ученик: Одинаковое делимое, неизвестное – делитель числа 15. Необходимо выслушать разные варианты ответов детей).
Учитель: А теперь давайте найдем делители числа 15. Решим первое уравнение в тетрадях.
Учитель: Хорошо. А остальные давайте решим устно. (Учащиеся по одному проговаривают, а учитель пишет ответы на доске).
Учитель: Почему не можете найти c в последнем уравнении?
Ученик: Не делится без остатка.
Учитель: Вспомните определение делителя.
Ученик: Делитель – это число, на которое делится данное число без остатка.
Учитель: Сколько делителей числа 15 мы нашли?
Ученик: Четыре.
Учитель: А еще можете назвать?
Ученик: Нет.
Учитель: А знаете, как записать все делители числа 15 на математическом языке?
(Выслушать разные варианты детей).
Учитель: А теперь запишите делители в порядке убывания. (Один ученик – на доске).
Учитель: Хорошо. Назовите мне сейчас делители числа 20. (Дети называют в любом порядке, учитель записывает их на доске).
Учитель: Запишите их сейчас на математическом языке, располагая в порядке убывания.
(Одного ученика можно вызвать к закрытой части доски или заранее заготовить верную запись: Д(20) = ).
Учитель: Посмотрите внимательно, что мы получили. Что интересного можно заметить?
Ученик: Есть общие делители, наибольшее и наименьшее число.
Учитель: Попробуйте сделать вывод.
Ученик: Самый наименьший делитель любого числа – это 1, а наибольший – само число.
Учитель: А я еще кое – что заметила. Есть парные делители. Как вы думаете, что значит и найдите их.
Ученик: Произведение парных делителей равно самому числу. (Учащиеся приводят примеры парных делителей).
Учитель: А теперь назовите общие делители. Давайте попробуем записать на математическом языке. (Дети предлагают, а учитель записывает на доске и появляется запись: Д(15; 20) = ).
Учитель: Хорошо. Молодцы.
Учитель: А сейчас посмотрите на следующие интересные записи.
Учитель: Что интересного заметили?
Ученик: Числа делятся на 3, неизвестно делимое.
Учитель: Найдите неизвестное делимое первого уравнения в тетрадях. (Один ученик с места диктует с полным объяснением правил нахождения компонентов).
Учитель: Остальные решаем устно. (Дети по одному говорят, учитель пишет ответы на доске).
Учитель: Итак, мы решили все уравнения. А как по – другому называется делимое кто-нибудь помнит? Шепните мне на ушко. А кто не вспомнил – для вас это тайна. И чтобы открыть эту тайну нам придется потрудиться: расположите ответы в порядке возрастания. (Дети пишут в тетрадях, затем спросить у нескольких человек).
Учитель: Так как же называется делимое по-другому?
Ученик: Кратное.
Учитель: Итак, мы нашли кратные числа 3. Попробуйте дать определение кратного.
Ученик: Кратное – это число, которое делится на данное число.
Учитель: А можно еще записать кратные для числа 3?
Ученик: Да.
Учитель: Сколько?
Ученик: Много.
Учитель: Давайте запишем на математическом языке. (Учитель пишет на доске, а дети – в тетрадях : К(3) = ).
Учитель: Посмотрите внимательно и скажите, как получено каждое следующее число?
Ученик: Увеличивается на 3.
Учитель: А сейчас запишите кратные числа 6. (Один человек работает на закрытой части доски или заготовить верный результат заранее К(6) = )
Учитель: А что можете здесь интересного заметить?
Ученик: Наибольшего числа нет, а наименьшее равно самому числу.
Учитель: Кто попробует записать общие кратные? (Вызвать одного ученика к доске записать общие кратные: К(6; 3) = ).
Учитель: Итак, с какими понятиями мы сегодня работали?
Ученик: Делители, кратные, общие делители, общие кратные.
Учитель: Так какую же тему урока мы должны записать?
Ученик: Делители и кратные.
Учитель: Запишите ее в оставленной строке. (Учащиеся вписывают тему урока в тетрадях).
Учитель: Мы с вами вместе поработали, а сейчас давайте посмотрим, что вы усвоили. Вам предстоит самостоятельно выполнить задания.
На доске выписаны задания:
(Можно организовать работу с копиркой, можно заранее заготовить верные ответы (эталон), можно попросить двух учащихся поработать с закрытой частью доски. Затем дети сами проверяют результаты, находят ошибки).
Учитель: Молодцы. Вы сейчас сами поработали и давайте посмотрим, у кого не допущено ни одной ошибки. (Дети поднимают руки). Поставьте себе “5”. У кого допущена одна ошибка? Поставьте себе “4”.
Учитель: Давайте подведем итог. Что нового узнали на уроке? (Выслушать разные ответы учащихся). Кто еще над чем должен поработать?
Учитель: А сейчас запишем домашнее задание: п.1, стр.89; № 401 (1), № 402 (1), № 409 (а).
Учитель: Молодцы. Спасибо за работу на уроке.
Математика. 5 класс
Конспект урока
Делители натурального числа
Перечень рассматриваемых вопросов:
— разложение на простые множители.
Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка.
Простое число – это такое натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.
Составные числа – это непростые натуральные числа больше 1.
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
«Все, что познаётся, имеет число, ибо невозможно ни понять ничего, ни познать без него», – сказал в своё время Пифагор. Эти слова очень кстати подходят к теме нашего урока «Делители натурального числа».
Выясним, что называют делителем.
Если натуральное число а можно разделить на натуральное число b, то это число b и будет делителем натурального числа а.
Мы уже знаем, что натуральные числа бывают простыми и составными.
Рассмотрим делители простых и составных чисел.
У простых чисел только два делителя –единица и само это число.
У составных чисел делителей больше.
Например, 3 – простое число, его делители 1 и 3.
14 – составное число, его делители 1, 2, 7 и 14.
Если делитель – простое число, то его называют простым делителем. Так, в наших примерах простыми делителями являются числа 2, 3, 7.
Можно ли представить любое составное число в виде произведения простых множителей? Ответ однозначный – да. Такое действие в математике называют разложение на простые множители.
Например, 36 – это произведение простых множителей:
36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2 2 · 3 2
Есть и другая форма записи разложения на простые множители любого числа.
Она представляет собой таблицу из двух колонок. В левую часть вначале записывается число, которое нужно разложить на простые множители, а в правую – простые делители этого числа. При этом следующим слева после исходного числа записывается число, которое является частным от деления на простое число справа. Так запись продолжается до тех пор, пока частное от деления не будет единицей.
Например, разложим число 100 на простые множители.
Разделим 100 на 2, частное равно 50;
50 разделим на 2, частное равно 25;
25 разделим на 5, частное равно 5;
5 разделим само на себя, получаем 1.
То есть простые множители числа 100:
100 = 2 · 2 · 5 · 5 = 2 2 · 5 2
Эти множители числа 100 и есть делители этого числа, только добавим ещё единицу и всевозможные произведения простых множителей.
Таким образом, делители числа 100 – это числа 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25,100. Других делителей у числа 100 нет.
В дальнейшем нам понадобится ещё одно математическое понятие – кратное.
Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка. Иначе говоря, это исходное число, увеличенное в несколько раз.
Например, кратное числа 3 – это числа: 3, т. к. оно больше исходного числа 3 в один раз; 6, т. к. оно больше исходного числа 3 в 2 раза; 9, т. к. оно больше исходного числа 3 в 3 раза и т. д.
Если находить все делители натуральных чисел, то получится интересное свойство, о котором сейчас вы узнаете.
Например, найдём все делители числа 32.
Начиная с середины, все пары чисел при умножении будут давать 32.
Благодаря этому свойству, можно упростить поиск делителей числа. Для этого при поиске делителей достаточно найти «середину», а далее для нахождения остальных делителей числа остаётся найти частное от деления исходного числа на уже найденные делители.
У нас середина – это числа 4 и 8.
Найдём следующие делители:
№ 1. Какую из цифр 2, 3, 4 нужно подставить в число 5_ вместо пропуска, чтобы получить кратное числа 3?
Варианты ответа: 2, 3, 4.
Решение. Вспомним признак делимости на 3.Чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Из представленных цифр подходит только 4, т.к. 5 + 2 = 7 – не делится на 3; 5 + 3 = 8 – не делится на 3; а 5 + 4 = 9 – делится на 3.
№ 2. Разложите произведение на простые множители 25 и 24.
Решение. Разложим отдельно числа 25 и 24 на простые множители, а затем найдём произведение всех полученных простых множителей от 24 и 25.
Делитель и кратное в математике
Что такое делители и кратные числа
Деление — математическое действие, которое определяет, сколько раз одно число содержится в другом. Обратной операцией является умножение.
Выделяют следующие компоненты деления:
Делимое — число, которое делят на несколько частей.
Делитель — число, которое показывает, на сколько частей нужно разделить делимое.
Частное — число, которое является результатом деления.
Умножение частного на делитель дает делимое.
Чтобы получить делитель, нужно делимое разделить на частное.
Д е л и м о е = ч а с т н о е * д е л и т е л ь Д е л и т е л ь = д е л и м о е / ч а с т н о е
Например, нужно поровну разделить 16 мандаринов между двумя детьми. Для этого 16:2=8. Таким образом, каждый ребенок получит по 8 мандаринов.
16 в этом примере является делимым, 2 — делителем, 8 — частным. Шестнадцать поделили на две части, по восемь в каждой. Или восемь содержится в 16 два раза. Или 2 содержится в 16 восемь раз. Деление прошло без остатка — нацело. Тогда число 2 является делителем числа 16.
Делителем числа a называется такое число b, на которое a делится нацело.
Например, 9 : 4 = 2 (остаток 5 ).
В примере 9 — делимое, 4 — делитель, 2 — неполное частное, 5 — остаток.
Остаток от деления — число, которое меньше делителя. Образуется при делении с остатком. Значит, в примере 9 : 4 = 2 (остаток 5 ) — число 4 не является делителем числа 9.
Задание: найдите такую пару делителей числа 144, если один из делителей равен 2.
Пусть неизвестный делитель равен x. Чтобы найти еще один делитель, если какой-то известен, нужно данное нам число разделить на известный делитель.
Тогда представим решение данной задачи в виде уравнения:
72 — целое число, без остатка.
Произведение делителей должно дать в результате 144:
72 * 2 = 144 — верно, значит, 72 — корень уравнения и делитель 144.
Ответ: числа 2 и 72 — делители 144.
Число называют кратным, если оно делится на данное число нацело, без остатка.
Например, 15:3 нацело.
Тогда число 15 является кратным 3.
Слово «кратно» синонимично слову «делится».
Фразу «15 кратно 3» можно в уме заменить на «15 делится на 3 нацело».
Основные понятия и определения
Делитель — это число, на которое данное число делится нацело. Делитель всегда меньше или равен числу.
Делится нацело = без остатка.
Наименьшим делителем любого числа является единица.
Наибольшим делителем числа является само число.
Делителем нуля будет любое число, но сам 0 делителем не будет.
При делении нуля на любое число получаем 0. А делить на ноль нельзя.
У единицы только один делитель — единица.
Другие числа, кроме 1, имеют не меньше двух делителей.
Кратное — число, которое делится на данное число нацело. Всегда больше или равно числу.
Наименьшее кратное числа является равным самому числу.
Наибольшее кратное подобрать нельзя, потому что ряд натуральных чисел бесконечен. У любого натурального числа бесконечное множество кратных.
Ноль является кратным для любого числа. При умножении на ноль всегда получается ноль.
Когда одно число делится нацело на другое, то первое число — кратное второго, а второе — делитель первого.
Чем отличаются друг от друга, как найти
Делитель отличается от кратного тем, что:
Чтобы найти делители числа, нужно данное число разложить на множители.
Разложить на множители — представить число в виде произведения целых чисел.
Чтобы проверить, является ли одно число делителем другого, нужно разделить число на данное нам.
Для нахождения кратного числа заданному числу, нужно это число последовательно умножать на натуральные числа. Каждое полученное число будет кратно — будет делиться — заданному.
Делители и кратные связаны между собой. Например, делителем числа 15 является 3 и число, кратное 3, равно 15.
Примеры решения задач
Необходимо найти делители числа 14.
Решить задание можно двумя способами.
Последовательно делим 14 на натуральные числа от 1 до 14. Помним, что делитель всегда меньше или равен заданному числу.
Выбираем такие числа в качестве делителя, при делении на которые мы не получили остаток: 1, 2, 7, 14.
Ответ: делители числа 14: 1, 2, 7, 14.
Представим 14 в виде произведения чисел:
Делителями будут множители, так как можем разделить 14 нацело на каждый из них.
Ответ: делители 14: 1, 2, 7, 14.
Найдите три числа, кратных 7.
Чтобы найти число, кратное данному, нужно это число умножить на любое натуральное число.
7 * 1 = 7 — семь кратно семи;
7 * 2 = 14 — 14 кратно 7;
7 * 3 = 21 — 21 кратно 7.
Ответ: числа, кратные 7: 7, 14, 21.
Самостоятельно проверьте, 225 кратно 3 или нет.
Чтобы проверить, кратно ли одно число другому, нужно разделить числа друг на друга.
75 — целое число, при делении нет остатка. Тогда 225 кратно 3.
Найдите любое число, делителями которого являются числа 7 и 8.
Самый простой способ, если в задании не оговорены еще какие-либо условия, просто перемножить эти делители:
stroysoc.ru
Эта тема является очень важной. Знания по ней можно применить при решении примеров с дробями. Для этого нужно найти общий знаменатель путем расчета наименьшего общего кратного (НОК).
Кратным А считается целое число, которое делится на А без остатка.
Каждое натуральное число имеет бесконечное количество кратных ему чисел. Наименьшим считается оно само. Кратное не может быть меньше самого числа.
Нужно доказать, что число 125 кратно числу 5. Для этого нужно первое число разделить на второе. Если 125 делится на 5 без остатка, то ответ положительный.
Данный способ применим для небольших чисел.
При расчёте НОК встречаются особые случаи.
1. Если необходимо найти общее кратное для 2-х чисел (например, 80 и 20), где одно из них (80) делится без остатка на другое (20), то это число (80) и есть наименьшее кратное этих двух чисел.
Рассмотрим последний пример. 6 и 7 по отношению к 42 являются делителями. Они делят кратное число без остатка.
В этом примере 6 и 7 являются парными делителями. Их произведение равно самому кратному числу (42).
Число называется простым, если делится только само на себя или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Остальные называются составными.
В другом примере нужно определить, является ли 9 делителем по отношению к 42.
Ответ: 9 не является делителем числа 42, потому что в ответе есть остаток.
А именно: НОД (а, b) х НОК (а, b) = а х b.
Общие кратные числа для более сложных чисел находят следующим способом.
Например, найти НОК для 168, 180, 3024.
Эти числа раскладываем на простые множители, записываем в виде произведения степеней:
НОК (168, 180, 3024) = 15120.
«Делители и кратные» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)
В этом разделе Вы узнаете, какое число называется кратным, а какое делителем. Нужно хорошо выучить эти определения, потому что потом Вы будете постоянно использовать их.
Но сначала давайте повторим, какие числа мы называем натурными. Натуральные числа – это такие числа, с помощью которых мы можем подсчитать количество разнообразных предметов. Например, на столе лежат пять бананов. Как мы их считаем: один банан, два, три, четыре, пять. Подсчитав бананы, мы получили число 5, и оно является натуральным. Сразу же возникает вопрос: а является ли число ноль натуральным? Нет, не является. Мы же не начали считать бананы с ноля: ноль бананов, один, два. Поэтому, натуральные числа начинаются с единицы.
А какое число мы можем назвать делителем натурального числа? Согласно определению, делителем натурального числа (назовем его Большое) считается натуральное число, на которое Большое делится полностью, то есть целиком, то есть без остатка, совсем-совсем без остатка. Например, на бальные танцы ходят 10 девочек и 9 мальчиков. Можно ли поделить мальчиков так, чтобы у каждой девочки был партнер? Нет, мальчики же частями не делятся, поэтому 1 мальчик одновременно может танцевать только с 1 девочкой. А у всех ли девочек будет партнер? Нет, одна девочка останется без партнера – она в остатке. А если придет еще один мальчик и их станет 10, то 10 мальчиков и 10 девочек прекрасно станут в пары, то есть никакая девочка в остатке не будет и мальчиков по частям делить не придется. То есть 10 делится на 10 без остатка, получается, что число 10 есть делителем числа 10. Как запомнить это определение. Все просто. Делитель – это число, которое что-то делит.
Немного сложнее с кратным. Кратное – это наше Большое число, которое готово делиться на делитель, но только без остатка. Например, в каждой упаковке «Баунти» лежит 2 конфеты. Мама разрешила взять их в школу, но с одним условием: конфеты должны быть в упаковке. Вы хотите взять 5 конфет, чтобы угостить своих друзей, но нельзя конфету без обертки нести в школу и потому придется брать 3 упаковки, то есть 6 конфет. В этом случае число 6 является кратным числа 2, потому что делится на 2 без остатка. Как еще запомнить, что такое кратное: оно всегда больше делителя. Можно даже задать вопрос. А сколько раз помещается делитель в кратном? Поэтому у любого натурального числа есть огромное количество кратных, а самым маленьким из них является это самое число. Например, наименьшим кратным числа 10 есть число 10 (сколько раз делитель помещается в кратном – 1 раз).
§ 1 Делитель и кратное – определение понятий
В этом уроке Вы узнаете, что такое делитель и что такое кратное натуральных чисел, и научитесь находить их.
Давайте вспомним, какие числа называются натуральными? Это те числа, которые используются при счете, например: 1, 2, 3, 4…
Давайте решим задачу:
Летом трое мальчиков пошли на рыбалку и поймали 9 щук. Весь улов они сложили в одно ведро. Щук решили поделить поровну. Сколько рыб получит каждый мальчик?
Следовательно, каждый мальчик получит по 3 рыбы.
Говорят, что 3 является делителем числа 9, так как 9 делится на 3 без остатка.
А теперь давайте посмотрим, что получится, если мальчиков будет не трое, а четверо.
В этом случае всю рыбу необходимо разделить на четверых
9:4=2 (1 в остатке), т.е. каждый мальчик получит по 2 щуки и одна рыба останется в ведре. Значит, число 4 не является делителем числа 9, так как 9 не делится на 4 без остатка.
Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.
Заметим также, что на единицу любое натуральное число делится без остатка, поэтому 1 является наименьшим делителем для всех натуральных чисел. А наибольшим делителем для любого натурального числа является само число.
Следовательно, натуральное число 9 имеет три делителя: 1, 3, 9.
Именно на эти числа 9 делится без остатка. 9:1=9, 9:3=3, 9:9=1.
Теперь вернемся к условиям нашей задачи:
Трое ребят поделили 9 щук между собой поровну, каждый получил по 3 рыбы.
Говорят, что число 9 кратное числа 3, так как 9 на 3 делится без остатка.
Давайте немного изменим условия задачи:
А если бы они поймали 10 щук? Сколько рыб получил бы каждый?
В этом случае каждый мальчик получил бы по 3 рыбы, и 1 щука осталась бы в ведре. Число 10 не является кратным числа 3, так как 10 не делится на 3 без остатка.
Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится на а без остатка.
§ 2 Нахождение делителя и кратного
Необходимо правильно употреблять слова кратно и кратное.
Обычно говорят: число девять кратно числу три или девять кратно трем.
При использовании слова «кратное»: число девять кратное числа три или девять кратное трех.
Существует множество натуральных чисел, которые делятся на 3 без остатка, например: 3, 12, 39, 96 и т.д. Все эти числа являются кратными числа 3.
Получить их очень легко, необходимо 3 умножить на 1, 2, 3, 4 и т.д.
Например: 3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=12 и т.д.
Таким образом, любое натуральное число имеет бесконечное число кратных. Отметим, что наименьшим кратным для любого натурального числа является само число.
Но в то же время число 3 для чисел 3, 6, 9, 12 и т.д. будет являться делителем. Числа, которые одновременно являются делителями некоторых чисел, называются их общими делителями.
Таким образом, на уроке мы познакомились с понятиями делитель и кратное натуральных чисел и научились находить их.
Список использованной литературы: