Что такое параметр в алгебре

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2022 года это №17. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?

Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».

Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.

Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?

Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.

Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.

А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».

Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.

1. Теперь пример из школьной математики.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения:

Если , квадратное уравнение имеет два корня: и

Если , то есть с > 1, корней нет.

В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.

Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.

И еще две простые задачи с параметром.

2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .

Найдем дискриминант уравнения

Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).

Разложим левую часть неравенства на множители:

Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках и

3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?

Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:

Источник

Решение задач с параметрами в курсе алгебры. 7–9-е классы

Разделы: Математика

В курсе алгебры 7 класса в параграфе «Линейное уравнение с одной переменной» следует разобрать решение уравнения ах = в с неизвестным х как уравнение параметрами а и в. Здесь учащихся следует познакомить с понятием «параметры» (те переменные а, в, с, :, которые при решении уравнения считаются постоянными, или те коэффициенты, которые заданы не конкретными числами, а обозначены буквами).

На уроках обобщения, следующих за этим параграфом возможно разобрать решение линейного уравнения ах + в = с с неизвестным х и параметрами а, в, с.

В течение учебного года можно предлагать для решения задания следующего типа.

Знакомить учащихся с решением систем линейных уравнений с параметрами следует начинать после изучения параграфа «Системы линейных уравнений с двумя переменными», котором разбирается графический способ решения систем линейных уравнений.

Предлагаются следующие задания.

Подобрать значения параметров а и в, чтобы:

а) система имела единственное решение;

б) система не имела решений

1) 2) 3) 4) 5)

Работая с последней системой, следует подробнее разобрать ответы на поставленные вопросы.

Решение. 1) если , то система примет вид

если т.е. система имеет единственное решение;

если = и т.е. и система не имеет решения;

2) если система примет вид и имеет единственное решение.

Ответ: если система имеет единственное решение;

если , , то система не имеет решения.

Решите систему уравнений с параметрами к и р, если :

1) 2)

Решение первой системы получается из знания взаимного расположения графиков линейных функций ( Ответ: (0;3)), решение второй системы предполагает умение решать системы линейных уравнений аналитическим методом.

При всех значениях параметра а решить систему уравнений

1) если , т.е. , то данная система равносильна

Решите систему уравнений с двумя неизвестными х и у:

3) Ответ: при , то х=а-1, у=а;

Задачи с параметрами для решения в 8 классе предполагают знания по теме «Квадратные уравнения», «Дробные рациональные уравнения», «Неравенства».

Задачи с параметрами, дополняющие список задач из учебника к теме «Квадратные уравнения».

Найдите к и второй корень уравнения:

Найдите все числа р и с такие, что корни уравнения х 2 + рх + с =0, равны р и с.

Решите уравнение ах 2 =1.

Задания с параметрами, предлагаемые для выполнения после изучения темы «Неравенства».

1. Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (а+1)х 2 + 2(а+1)х+а-2=0 а) имеет два различных корня;

в) имеет два равных корня.

3. Решите уравнение ах 2 + 2х + 1 = 0.

а) имеет два различных корня;

5. Найдите все значения параметра а, для которых уравнение имеет единственный корень

б) ах 2 + (4а+2)х + 3а + 3/2 = 0.

После изучения главы I «Рациональные дроби» можно предлагать учащимся решать более сложные системы линейных уравнений с параметрами.

1. При всех значениях параметров а и в решить систему

1) 2) 3) 4) 5) 6)

если , , то ;

Ответ: если , то (; )

В 9 классе представляется целесообразным после изучения главы I «Квадратичная функция» вернуться к решению уравнений второй степени с параметрами, предлагая учащимся для решения задания следующего типа.

1. Решите квадратные уравнения.

2) ах 2 + (а + 1)х +а 2 +а = 0;

3) ах 2 + 2х(а + 1) + а +3 = 0;

2. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

4. Найдите все значения в, при которых уравнение имеет два различных корня.

В конце учебного года в 9 классе на уроках «Повторение:» нужно познакомить учащихся с графическим методом решения уравнений 2-ой степени с параметрами, научить распознавать положение параболы на плоскости в зависимости от коэффициентов.

Для этого необходимо напомнить:

Знак коэффициента а показывает направление ветвей параболы;

Указанные свойства парабол позволяют получить следующие факты, касающиеся расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.

1. Корни квадратного трехчлена х₁ и х₂ (f(х) = ах 2 +вх+с) будут строго меньше числа М, если выполняются следующие условия (очевидные, благодаря рисунку).

2. Если М I R, то х₁ 0

a>0, f(M) 2 +вх+с принадлежат интервалу(М;N), если и только если выполняются условия:

Задания, соответствующие другим случаям расположения корней квадратного трехчлена (оба корня больше некоторого числа М; если отрезок [М; N] целиком лежит на интервале (х₁;х₂) и другие) решаются, следуя аналогичным требованиям, проиллюстрированным на рисунке, который отвечает конкретному заданию.

.

Ответ: .

3. При каких значениях а один корень уравнения ах 2 +х +1 = 0 больше 2, а другой меньше 2?

Ответ: .

Ответ: .

Ответ: таких а не существует.

Ответ: .

Ответ: .

Ответ: .

Источник

Что такое параметр

Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ))

Приветствую будущих студентов!

Я заметила, что на своем YouTube- канале я разбирала несколько задач с параметрами, но так и не рассказала, что такое параметр.

Толковый словарь русского языка, куда полезно иногда заглядывать, дает следующее определение: «Параметр – это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса». Что же это значит? Давайте разберемся.

Вот ракете выводит космический корабль в околоземное пространство. Если спутник запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту. Первый искусственный спутник Земли, СССР, 1957 год. Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, и космический корабль преодолевает поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно 16,7 км/с, дает космическому кораблю возможность выйти за пределы Солнечной системы и преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца. Например, такой космический корабль, который назывался «Вояджер-1», был запущен в 1977 году, и в 2012 году вышел за пределы Солнечной системы, и теперь будет вечно бороздить просторы космоса. Этот корабль передал на Землю сигналы и снимки отдаленных планет. Кроме аппаратуры, он несет на своем борту золотой диск. На этом диске записаны звуковые и видеосигналы. Например, схема излучения атома водорода, местоположение Солнца, человек и его строение, земные пейзажи, шум моря, звук шагов, песни птиц, приветствие на разных языках, музыка, даже грузинский хор; плач ребенка, голос мамы, которая его успокаивает. Это подарок неизвестным существам от маленького, затерянного во Вселенной, мира нашей планеты. И может быть когда-нибудь они обнаружат этот корабль, расшифруют наше послание и узнают о нас.

Значит скорость космического корабля – это параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба, и конечно, это не единственный параметр. При запуске космического корабля таких параметров десятки и сотни.

Реальные задачи науки и техники используют функции не одной, а многих переменных: и первые-вторые, и энные производные этих функций.

А что же будет если какой-то параметр рассчитан неправильно?

Помните, как появилось выражение «Кажется, что-то пошло не так»? Эти слова вырвались у комментатора, который вел прямую трансляцию о запуске космического корабля, и через несколько секунд после старта увидел, что ракета, вместо того, чтобы устремиться к звездам, по параболе направилась к Земле.

Но, конечно, мы начнем не со сложных функций многих переменных, а с чего-то очень-очень простого.

На картинке мы видим параболу и ее формулу, С – это параметр. На что он влияет? Посмотрите, здесь С равно 0, и парабола проходит через начало координат. С равно 2, и парабола поднимается на 2 вверх по вертикале. С равно – 3, и парабола опускается по вертикале на 3 единицы.

Значит параметр – это такая переменная в уравнении, которая может принимать разные значения, и при разных значениях этой переменной мы получаем разные уравнения.

В заданиях ЕГЭ у вас есть задачи с параметром. Это задача №18 профильного раздела.

И сейчас я покажу самую простую иллюстративную задачу. Проще тех, которые будут на ЕГЭ, но зато ее можно красиво нарисовать.

При каком значении параметра с уравнение, которое вы видите на экране имеет ровно 6 корней?

Давайте нарисуем график левой части этого уравнения. Начнем с графика функции. Сначала сдвигаем его на 2 вправо. Затем вычитаем 3, график сдвигается на 3 единицы вниз. Снова берем модуль от получившегося выражения. Все, что было ниже оси абсцисс, переворачивается вверх. Далее все, что получилось, мы сдвигаем на 1 единицу вниз. И снова берем модуль. Все, что было ниже абсцисс, переворачивается вверх. И получаем график функции, похожий на Кавказские горы.

При каком же значении параметра с это уравнение имеет ровно 6 корней? Проведем горизонтальную прямую. Следовательно, с равно 1.

Это была самая простая задача с параметром. Чтобы научиться решать такие задачи, нужно отлично знать графики основных элементарных функций, преобразование графиков, базовые элементы для решения задач с параметрами и еще множество приемов и секретов.

Подписывайтесь на мой канал и переходите по ссылкам в описании!

Источник

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18

И знать здесь действительно нужно много.

Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).

И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.

Вот основные типы задач с параметрами:

Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.

Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».

3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.

4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

Источник

Исследовательская работа «Основные типы задач с параметром и их решение»

«Основные типы задач с параметром и их решение»

Оглавление

Актуальность данной темы очевидна. Ведь уравнения и неравенства с параметром стали привычной частью всех сложных экзаменационных заданий и вступительных экзаменов в ВУЗы, а также задания данного типа являются неотъемлемой частью практически всех олимпиад разного уровня.

Проблема в том, что в школьной программе такие задачи встречаются редко, и только самые простые вариации. Многие учащиеся не до конца понимают, как решать задания такого типа. Учащиеся выпускных классов лишают себя возможности получить высокие баллы за задания этого типа.

Цель данной работы: изучение основных способов решения уравнений и неравенств с параметром, рассмотрение основных типов заданий в которых применяется параметр в школьной программе.

1) сбор и обработка материала по данной теме;

2) систематизация различных методов решения;

3) проведение мастер-класса по решению уравнений с параметром;

Объект исследования : уравнения и неравенства с параметром.

Предмет исследования : методы решений уравнений и неравенств, содержащих параметр.

Глава 1. Основные понятия.

1.1 Что такое параметр.

Что такое параметр в математике? Если вы вспомните некоторые основные уравнения (например, kx+l=0, ax²+bx+c=0), то обратите внимание, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными и заданными. Все разночтения в существующей литературе связаны с толкованием того, какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных.

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, возьмем за основу следующий его простейший вариант.

Определение: параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|= a – 1 не следует неотрицательность значений выражения a – 1, и если a – 1

1.2 Что означает «решить задачу с параметром».

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Отмечу сразу, что запись ответа – важнейший этап решения, отличающий задачу с параметром от других задач. Ответ в задаче с параметром – это описание множества ответов к задачам, полученным при конкретных значениях параметра.

1.3. Основные типы задач с параметрами.

Тип 1. Уравнения и т.п., которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Тип 2. Уравнения и т.п., для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Тип 3. Уравнения и т.п., для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения и т.п., для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

1.4 Основные способы решения задач с параметром.

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.

Глава 2. Основные способы решения задач с параметром

2.1 Аналитический способ.

Универсальных методов решения уравнений и неравенств с параметрами не существует. Одно из немногих исключений – линейные уравнения и неравенства.

Пример 1. Решить уравнение: а ( а – 2) х = а – 2.

Полное решение см. в приложении 1

Пример 2 . Решить неравенство ( а + 3) х а – 1.

Решение. Рассмотрим случаи:

Другое важное исключение – уравнения и неравенства, связанные с квадратичной функцией.

Пример3. Решить уравнение ( а – 2) х 2 + (2 а – 3) х + а + 2 = 0.

Решение рассмотрим в приложении 2.

2.2 Графический способ.

Алгоритм графического решения уравнений с параметром:

-Находим область определения уравнения.

-Выражаем α как функцию от х.

-В системе координат строим график функции α (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

-Находим точки пересечения прямой a = с, с графиком функции a (х). Если прямая a = с пересекает график a (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение c = a (х) относительно х.

Рассмотрим на примерах:

Пример 1: Решить уравнение | x 2 – 2 x – 3| = a в зависимости от параметра а .

Решение. Понятно, что при а ≥ 0:

если а = 0 и а > 4, то два корня.

При а = 0 получим x 2 – 2 x – 3 = 0,

уравнения x 2 – 2 x – 3 – а = 0.

4) при а = 4 – три корня:

x 2 – 2 x – 3 = 4 x 2 – 2 x – 3 = – 4 Ответ: 1) если a

x 2 – 2 x – 7 = 0 x 2 – 2 x + 1 = 0 2) если а = 0, то х ₁ = –1, х ₂ = 3;

2.3 Решение относительно параметра.

Если степень неизвестного слишком высока, а степень параметра не превосходит двух, то здесь эффективен метод решения уравнения (неравенства) относительно параметра.

Пример 1. Решить уравнение 2 х 3 – ( а + 2) х 2 – ах + а 2 = 0.

Решение. Перепишем уравнение в виде

Решим уравнение относительно параметра а.

D = ( х 2 + х ) 2 – 4(2 х 3 – 2 х 2 ) = х 2 ( х + 1) 2 – 8 х 2 ( х – 1) = х 2 ( х 2 + 2 х + 1 – 8 х + 8) = х 2 ( х 2 – 6 х + 9) = х 2 ( х – 3) 2

Дальнейшее решение смотри в приложении 3.

Заключение.

В процессе проделанной работы в соответствии с ее целями и задачами были получены следующие выводы и результаты:

1. Рассмотрели основные способы решения уравнений и неравенств с параметром:

— решение относительно параметра;

2. Графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и систем уравнений с параметрами, но нельзя полностью представить себе сложность и нестандартность решения каждой задачи с параметром, изучая только графический способ. Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы.

3. В заданиях ОГЭ по математике в 9 классе уравнения, системы уравнений с параметром проще, удобнее и нагляднее решать графическим способом. В связи с этим разработали ряд задач с параметром в помощь учителю и ученику (см. приложение 4). Разработанный ряд задач можно использовать на факультативах по математике при подготовке к ОГЭ, при подготовке к олимпиадам или для привития интереса к математике, совершенствования математической культуры, навыков дедуктивного мышления и творческих исследовательских способностей. Данный справочник предложен 9-классникам.

Планирую продолжить работу над этой темой, и расширить круг изучаемых типов заданий с параметрами.

Литература.

1. Алгебра. 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович.- М.:Мнемозина, 2013;

2. Горнштейн П.И. «Задачи с параметрами. » Москва 2003г.;

3. Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА – 2014: учебно-методические пособие/ Под ред.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013г.;

4. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013 : учебно-методические пособие/ Под ред.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2012г.;

5. Солуковцева Л. «Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами. Москва.2007г.;

6. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 кл. сред.шк. – М.: Просвещение, 1989.;

7. ЯстребинецкийГ.А.«Уравнения и неравенства, содержащие параметры», 1972г.

Источник