Что такое отрицательное математическое ожидание
Математическое ожидание в спортивном беттинге
Нашел сегодня любопытную статью все с того же ресурса, где я чаще всего провожу свое время, когда дело касается ставок на спорт. Поэтому не мог не оставить ссылку на первоисточник сегодняшней статьи. А поговорим мы сегодня о том, что такое математическое ожидание в спортивном беттинге и какую роль оно играет в этой области азартных игр.
Математическое ожидание в ставках на спорт означает среднее (ожидаемое) значение размера выигрыша по сделанному пари. Вычисление данного показателя несет определенную ценность для беттора при сравнении котировок букмекерских контор. Далее в статье вы узнаете, как вычисление математического ожидания может помочь при прогнозировании выигрыша в спортивных ставках.
Математическое ожидание в спортивном беттинге – это сумма, которую беттор может выиграть или проиграть при многочисленном заключении пари с одинаковым коэффициентом. Формула математического ожидания в ставках довольно проста и представляет собой следующее выражение: разность произведений значения вероятности выигрыша на сумму возможного выигрыша по ставке и значения вероятности проигрыша на сумму возможного проигрыша.
(Вероятность выигрыша * сумма выигрыша по ставке) – (вероятность проигрыша * сумма проигрыша по ставке).
Расчет математического ожидания наиболее просто увидеть в примере с подбрасыванием монетки. Допустим вы все время ставите на то, что выпадет решка. Вероятность выигрыша для вас составляет 50% (0.5), собственно аналогичному значению соответствует вероятность проигрыша, 50% (0.5). Сумма ставки соответствует 100 рублям. При выпадении решки ваш выигрыш составляет 110 рублей.
Рассчитываем математическое ожидание данной ставки: (0.5 * 110) – (0.5 * 100) = 5 рублей. Это означает, что если вы многократно будете ставить на то, что выпадет решка, ваш выигрыш в итоге в среднем составит 5 рублей.
Возьмем другой пример. Ожидается футбольный матч между командами Ливерпуль и Реал Мадрид. Букмекерская контора выставила на игру следующие котировки:
Рассчитаем математическое ожидание для ставки на победу Ливерпуля. Стоит оговорится заранее, что в формуле будут использоваться значения вероятности, рассчитанные на основании коэффициентов букмекерской конторы. У типстера либо беттора может быть своя, отличная от букмекера, модель вычисления вероятности исходов в матче.
Рассчитать вероятность, используя котировки оператора спортивных ставок, довольно просто. Для этого необходимо единицу разделить на коэффициент исхода:
Определили вероятность победы команды Ливерпуль, 0.303. Соответственно значение вероятности проигрыша составит 0.459 + 0.253 = 0.712. Сумму ставки, для примера, определим в 1 000 рублей. Тогда возможный выигрыш составит: 3.30 * 1 000 рублей – 1 000 рублей = 2 300 рублей.
Так в чем же истинная польза математического ожидания?
Необходимо понимать, что отрицательное математическое ожидание по ставке вовсе не означает, что данная ставка непременно окажется проигрышной. Также помните, что котировки букмекерских контор по своей природе являются субъективными. Если вычисленная вами вероятность исходов матча по собственной модели (к примеру, близкая к распределению Пуассона) отличается от значений вероятности исходов, заложенных в коэффициентах букмекера, то возможно вы сможете найти ставку с положительным математическим ожиданием и это повысит вероятность выигрыша от такой сделанной ставки.
Также, используя расчеты математического ожидания ставок, бетторы смогут дополнительно почерпнуть информацию о ценности котировок, предлагаемые их букмекером. Ставки с минимальным отрицательным математическим ожиданием означают, что данный букмекер закладывает в коэффициенты низкую маржу.
Математическое ожидание в трейдинге
Помимо фундаментального и технического анализа в трейдинге большую роль играет математика. Для успешной работы в качестве трейдера вы должны иметь четкую систему управления капиталом, важным параметром которой является такое понятие как математическое ожидание.
Казалось бы, чего тут заморачиваться, если количество прибыльных сделок превышает количество убыточных, то всё, что называется, «на мази» и можно спокойно работать и дальше. Однако не всё так просто, ведь количество не всегда означает качество. И даже в том случае, когда прибыльных сделок по факту получается больше чем убыточных, трейдер всё равно может остаться в минусе. И причиной тому будет ни что иное, как отрицательное математическое ожидание.
Трейдер может в совершенстве знать технический и фундаментальный анализ, но при торговле с отрицательным математическим ожиданием он будет обречен на неудачу. Даже если благодаря использованию, какого либо из указанных выше видов анализа в отдельности или вместе взятых, трейдер совершает 8 прибыльных сделок из 10, он все равно может оказаться в минусе. Если, например, его прибыль по каждой прибыльной сделке составила 10 пунктов, а по каждой убыточной 50 пунктов, то в результате он имеет:
Прибыль: 8х10=80 пунктов;
Убыток: 2х50=100 пунктов;
Итого: 80-100=-20 пунктов убытка.
Математическое ожидание вычисляется по следующей формуле:
Математическое ожидание=вероятность получения прибыли х средняя прибыль от одной сделки – вероятность получения убытков х средний убыток от одной сделки.
Так в приведенном выше примере математическое ожидание отрицательное:
А если бы, например, трейдер заключал прибыльные и убыточные сделки с вероятностью 50/50 (то есть, вероятность прибыльной сделки составляет 50% и вероятность убыточной сделки составляет 50%). И если бы каждая прибыльная сделка приносила ему 20 пунктов прибыли, а каждая убыточная 10 пунктов убытка, то математическое ожидание было бы положительным:
Математическое ожидание при тестировании торговых стратегий
Такой показатель как математическое ожидание очень важен при оценке эффективности торговой системы. Проводя тестирование торговых систем (на исторических данных) в тестере стратегий МТ4 (Metatrader 4), вы можете увидеть этот параметр в отчёте о результатах тестирования.
Отчёт тестера стратегий МТ4
Для корректного расчёта данного показателя следует брать достаточно глубокий срез статистики по совершённым сделкам. Как минимум необходимы данные о 100 — 150 закрытых сделках. В ином случае рассчитанный показатель не будет иметь должной объективности.
Кстати в МТ4, математическое ожидание вычисляется по формуле:
Мат.ожидание = (Общая прибыль + Общий убыток) / Кол-во сделок
Положительное математическое ожидание говорит трейдеру о том, что тестируемая им торговая стратегия является потенциально прибыльной. А отрицательное, соответственно, о том, что стратегия убыточна.
Что можно сделать для того, чтобы повысить математическое ожидание торговой стратегии? Самое очевидное, что можно для этого сделать, так это повысить соотношение Take Profit (TP) к Stop Loss (SL). Например, при соотношении TP/SL = 1 (размер профитов равен размеру убытков по каждой сделке), торговая стратегия показывает отрицательное матожидание, но стоит повысить это соотношение до TP/SL = 1,5…2, как стратегия сразу выходит в плюс.
Однако, здесь важно не перестараться. Ведь, хотя большинство авторов и рекомендуют соотношение TP/SL в пределах 2…3, но следует учитывать тот факт, что чем больший размер профита относительно лосса вы установите, тем больше в вашей статистике появится убыточных сделок. Увеличивая разрыв между значениями Stop Loss и Take Profit, вы тем самым, уменьшаете и вероятность того, что цена в итоге достигнет профита, а не столкнётся с лоссом.
Математическое ожидание в ставках на спорт
Понятие математического ожидания в ставках и в букмекерских конторах. Как посчитать математическое ожидание ставки?
Ставки на спорт, как и почти все в нашем мире, неразрывно связаны с математикой – царицей всех наук. Особенно, с ее разделом теория вероятностей и с понятием математического ожидания. Попробуем разобраться. Не беспокойся, мы не станем грузить тебя тяжелыми лекциями и формулами. Рассмотрим только то, что применимо к беттингу и несет практическую пользу.
Матожидание в ставках на спорт
Матожидание – это близкий родственник value, только поданный чуть с другой стороны. Эта величина в разрезе ставок показывает, является ли ставка выгодной при ее многократном повторении на дистанции.
Формула расчета очень простая:
(Вероятность выигрыша * Сумма чистого выигрыша) – (Вероятность проигрыша * сумма чистого проигрыша)
Финансовый результат на столь короткой дистанции может быть любым – может не выпасть вообще ни одного орла, может выпасть два, пять, девять или даже десять. Но по сути эта информация ничего нам не дает.
Расчеты матожидания
Смысл математического ожидания в том, чтобы рассчитать, сколько мы будем выигрывать вдолгую от этих манипуляций. Очевидно, что вероятность выпадения орла и решки одинакова и равна 50%.
(0,5 х 10) – (0,5 x 10) = 0 рублей
Мы получаем нулевое матожидание и сразу становится ясно, что заниматься подобной ерундой в перспективе нет никакого смысла – на дистанции 1, 5, 10 тысяч повторений мы неизбежно придем к нулевой отметке в деньгах.
Это уже игра с положительным математическим ожиданием, и у нас есть все основания играть в нее как можно чаще и больше. Ведь с каждого выпадения орла на дистанции мы в среднем будем зарабатывать 1 рубль гарантированной прибыли!
Такие условия еще выгоднее, чем в предыдущий раз, теперь мы зарабатываем по 2,5 рубля с каждого выпавшего на дистанции орла!
Математическое ожидание в беттинге
В ставках на спорт тоже все завязано на вероятностях и, соответственно, математическом ожидании. Вообще говоря, азартные игры сами по себе имеют отрицательное математическое ожидание почти всегда. Это происходит из-за комиссии игорных заведений. В БК это маржа, в игровых аппаратах – процент выплаты, в рулетке – выпадения зеро.
Например, рассмотрим ставки на равновероятные исходы. В принципе, любые, но для чистоты эксперимента возьмем рынок “какая команда начнет с центра поля”. Ведь это определяется монеткой, вероятности выпадения которой всем понятны и известны. Мы нигде не увидим коэффициентов на этот рынок 2+, они всегда будут меньше двойки. Допустим, кф 1.90, сумма ставки 1 000 рублей.
Это пример отрицательного матожидания, ставки на подобные исходы неминуемо будут вести нас к убытку на дистанции. И чем дольше мы играем, тем больше будет расти убыток.
То же самое происходит в рулетке при ставке на цвет, половину поля или чет/нечет. Шансы их выпадения не 50/50, ведь в игре есть еще поле зеро. Оно не относится ни к одному из перечисленных спектров, и забирает на себя вероятность около 2,7%.
Можно удвоиться на рулетке за раз, можно много выиграть за один вечер, можно даже месяц быть в плюсе. Но на бесконечной дистанции мы неизбежно будем проигрывать 28 рублей с каждой поставленной тысячи в этой игре. В казино вместо термина мат. ожидание используется отдача ( RTP – Return-to-Player ).
Итого, при таких вероятностях, это игра с отрицательным математическим ожиданием, на кого ни поставь.
А бывает ли положительное математическое ожидание в ставках на спорт?
И вот тут мы подходим к самому главному, к связи матожидания и вэлью. Если наша расчетная вероятность на исходы этого матча будет отличаться от букмекерской, мы можем получить совсем другие цифры. Допустим, мы оцениваем шансы тех же теннисистов как плюс-минус равные, то есть около 50%.
Бинго! Мы видим положительное математическое ожидание ставки, которая будет приносить нам 250 рублей с тысячи с каждой победой. Положительный результат мы получим и при определении вэлью по формуле “вероятность * коэффициент” – результат выше единицы, value присутствует.
Единственная загвоздка заключается в том, чтобы научиться правильно определять вероятности и находить действительно выгодные коэффициенты в букмекерской линии. Но это приходит только с опытом и глубоким пониманием спорта, в этом материале мы тебя этому не научим.
Еще один пример ставок с положительным матожиданием – букмекерские вилки. Если мы возьмем вероятности 50% и коэффициенты по 2.1, образующие вилку, то легко можем подсчитать матожидание:
По сути, вэлью-беттинг и вилки – это единственные разновидности ставок на спорт с положительным матожиданием.
Если ты глубоко освоишь одну из этих тем (или даже обе), то научишься зарабатывать в конторе на дистанции, а не постоянно увеличивать свой общий минус априори невыгодными ставками.
Математическое ожидание в трейдинге. Риски и вероятность выигрыша
В трейдинге достаточно много нюансов, которые, не являясь значительными в принципе, существенно влияют на конечный результат. К примеру, математическое ожидание. Примечательно, что, даже хорошо владея фундаментальным и техническим анализом, трейдер, чья торговая система показывает отрицательное математическое ожидание, не добьётся успеха и сольёт депозит в долгосрочной перспективе. В этой статье мы постараемся максимально просто объяснить, что такое математическое ожидание в трейдинге, каким оно бывает и как сказывается на торговле. Также мы обсудим, что можно сделать, чтобы повысить мат. ожидание по сделкам.
Математическое ожидание в трейдинге – простыми словами
Если говорить просто, то математическое ожидание – это усреднённый статистический показатель, дающий представление о прибыльности торговой системы или стратегии. Расчёт математического ожидания позволяет трейдеру увидеть, что превалирует в его торговле – убыток или прибыль.
Казалось бы, чтобы это понять, достаточно просто подбить процент прибыльных и убыточных сделок по итогу какого-то периода – недели, месяца и т. п. Но такая статистика не всегда будет объективна, ведь на прибыльность сделок в этот период могли влиять самые разные факторы, не имеющие отношения к эффективности торговой системы.
Для расчёта же математического ожидания берётся как минимум, 100 сделок. Расчёт происходит по простой формуле: От процента успешных сделок торговой системы, умноженного на прибыль в средней прибыльной сделке, отнимается процент убыточных сделок, умноженный на средний убыток в такой сделке. Статистические данные для расчёта можно без труда выгрузить из торгового терминала.
Каким бывает математическое ожидание и что это даёт?
Математическое ожидание бывает положительным и отрицательным. То есть, если после расчёта по вышеприведённой формуле у Вас получилась цифра от 0 и выше, мат. ожидание положительное. Если же получилась цифра со знаком «минус» — оно отрицательное. Что это даёт трейдеру?
Положительное мат. ожидание означает, что доход от прибыльных сделок способен перекрыть потери от убыточных. Следовательно, торговая система работает хорошо, трейдер всегда в плюсе, даже несмотря на периодические неудачи. Поэтому, в долгосрочной перспективе можно рассчитывать на рост депозита.
Отрицательное значение математического ожидания – плохая новость для трейдера. Это означает, что торговая система работает не так, как должна, а убытки превышают прибыль. Даже если на данном этапе процент прибыльных сделок превышает процент убыточных, но имеет место отрицательное математическое ожидание, в долгосрочной перспективе трейдер уйдёт в минус и неизбежно сольёт депозит. Как такое возможно?
Тут всё достаточно просто. К примеру, у трейдера 70% прибыльных сделок. Это хороший показатель. Но при этом, математическое ожидание показывает минус. Это значит, что общая сумма прибыли от этих 70% не перекроет сумму убытков от оставшихся 30% убыточных.
Поясним на примере. Допустим, трейдер заключил 100 сделок. Из них было 70 прибыльных и 30 убыточных. На прибыльных он заработал в сумме 1000 долларов, а на убыточных потерял 1200 долларов. В итоге, убытки на 200 долларов превысили доход, хотя прибыльных сделок и было больше. В чём причина? Скорее всего, прибыльными оказались более мелкие позиции, а убыточными оказались крупные.
По сути, именно такую вероятность развития событий прогнозирует отрицательное математическое ожидание, даже если на момент расчёта убытки ещё не превышают прибыль.
Итак, что даёт трейдеру расчёт мат. ожидания? По сути, возможность оценить эффективность своей торговой системы в перспективе. Либо по результатам расчётов он ещё раз убедится, что делает всё правильно, либо заметит риск слива депозита и поймёт, что необходимо пересмотреть систему и стратегию, и то-то поменять. В каком-то смысле, расчёт математического ожидания – как система раннего оповещения о потере депозита (если он отрицательный).
Мат. ожидание в минусе. Всё плохо?
Если говорить откровенно, то да, перспективы у трейдера с отрицательным математическим ожиданием не радужные. Но это лишь в том случае, если он не захочет ничего предпринять. А что можно сделать, чтобы повысить математическое ожидание?
Один из самых эффективных вариантов – повысить соотношение между стоп-лоссом и тейк-профитом. Вероятнее всего, математическое ожидание показало минус, потому что соотношение между стопом и тейком сейчас 1:1 или 1:2. При соотношении 1:1 убытки почти гарантированы, поскольку на бирже взымают комиссионные, что уже лишает это соотношение равенства. Соотношение 1:2 уже лучше, но если трейдеру предстоит пройти через череду неудач, этот показатель его не спасёт.
Многие считают, что оптимальное соотношение стопа к тейку – 1:3 или 1:4. В этом действительно есть смысл, ведь при таких соотношениях прибыль сможет перекрыть убытки даже в трудные времена для трейдера.
Однако стоит понимать, что чем больше это соотношение, тем больше риск, что цена попросту не дойдёт до отметки тейка. Тут нужно сохранять уравновешенность – вероятность, что цена пройдёт путь до тейка при соотношении 1:3 гораздо выше, чем, что она пройдёт этот путь при соотношении 1:10. Таковы уж рыночные условия – редко можно наблюдать такую волатильность достаточно долго, чтобы она сорвала тейк.
Итак, как видно, математическое ожидание в трейдинге – полезный показатель для оценки эффективности своей торговли в перспективе. Он позволяет вовремя заметить проблему и успеть предпринять меры для её решения до того, как трейдер окажется в минусе.
Помочь создать эффективную торговую систему с положительным математическим ожиданием может обучение в Школе трейдинга Александра Пурнова у опытного наставника. А полезные материалы на тему трейдинга из нашего блога будут доступны Вам в полном объёме после подписки.
Что такое отрицательное математическое ожидание
Принято считать, что основной товар в казино — это адреналин. Часто мы слышим, что казино предлагает вытянуть «счастливый билет», много реже говорят что казино продает сервис. На самом же деле, основной товар казино — это азарт от возможности выигрыша. В этой статье мы рассмотрим основные принципы, на которых организована работа игорных домов, обоснование прибыли заведения, и какую роль в ее деятельности играет «госпожа удача».
Математика игр казино
Рассмотрим процессы, происходящие в азартных играх, с точки зрения теории вероятности, и попробуем определить, подчиняются ли игры казино математике.
Бросая монету, можно утверждать, что любая из ее сторон может выпасть с одинаковой вероятностью. Есть всего две возможности — выпадет либо орел, либо решка. Вероятность того, что при бросании монеты выпадет решка равна? (50%), то есть мы вправе ожидать, что в половине случаев будет выпадать решка. Часто говоря о вероятности употребляют слово шанс. Шанс на то, что при броске монеты она упадет решкой вверх, равен 50%
Вероятность показывает, как часто ожидаемый нами результат может быть достигнут, и может быть представлена как отношение ожидаемых исходов к общему количеству всех возможных исходов за достаточно продолжительный период времени при большом количестве повторений.
Математическое ожидание при игре в рулетку
Как вы уже наверное заметили, в обоих приведенных примерах, величина математического ожидания имеет знак «-», что характерно для большинства ставок казино. Отрицательное математическое ожидание на практике означает, что, чем дольше длится игра, тем больше вероятность проигрыша для игрока.
Перевес казино (House Edge) [доля заведения] – величина, противоположная математическому ожиданию игрока и показывающая, какой процент от ставок, сделанных в процессе игры за определенный промежуток времени, удерживается в пользу казино.Сейчас мы будем рассматривать самый популярный вид игры в казино, знаете какой? Самая популярная игра казино во всем мире — это игра в рулетку.Перевес казино в европейской рулетке составляет 1 — 36/37 = 2,7%, в американской рулетке уже 1 — 36/38 = 5,26% (за счет двух зеро). Это означает, что, если вы, играя в рулетку, за определенное время поставили в общей сложности 1000 долларов, то велика вероятность, что в конечном итоге около 27$ (европейская рулетка) и 54$ (американская рулетка) пойдет в доход игорному заведению. В настольных играх перевес казино меньше (Баккара, Блэкджек или Крэпс), поэтому шансы выиграть в них выше.
В качестве примера посчитаем, каковы наши шансы в казино при игре в американскую версию рулетки, игровое колесо которой, напомню, насчитывает 38 секторов (1-36 цифры + 2 сектора зеро). Предположим, что мы поставили на число. Оплата выигрыша, в этом случае производится в соотношении 1 к 36
Выводы:
Не надо быть великим математиком, чтобы играть в казино. Можно даже не считать математическое ожидание и дисперсию — это сделали до вас и можно пользоваться готовыми результатами. Главное понимать, что игры, имеющие большую величину математического ожидания, выгоднее для игрока, так как в них преимущество казино перед вами меньше и, соответственно, время вашей игры и возможная сумма выигрыша увеличивается. Ищите игры, в которых реализовано преимущество игрока, только в этом случае вы можете рассчитывать на выигрыш в достаточно долгой игре.
При выборе рулетки отдавайте предпочтение европейскому варианту (с одним «зеро») так как в ней преимущество казино будет 2,7%, в отличии от американской версии (с двумя «зеро»), в котором перевес игорного заведения равен уже 5,26%.
Но, рассуждая о положительных и отрицательных математических ожиданиях, вы не должны забывать и о том, что существует дисперсия. И чем она выше, тем больше вас будет «лихорадить» в игре. Вы будете проигрывать в играх с преимуществом игрока, и, в то же время, можете выиграть там, где казино имеет значительный перевес математического ожидания. Помните, что вся математика азартных игр казино корректно работает только в случае, когда число попыток велико и, поэтому, достигнуть на практике расчетных ожидаемых величин достаточно сложно из-за ограниченности бюджета игрока, величины ставок или времени игры.
Источник[1];
Отдельная благодарность Алексею Маркову и его книге «Хулиномика».
Именно из за него и его творения побудилась идея создания данной статьи.