что такое функциональная зависимость

Функциональная зависимость

Легковые автомобили

Предположим, кто-то разрабатывает систему для отслеживания транспортных средств и мощности их двигателей. У каждого автомобиля есть уникальный идентификационный номер автомобиля (VIN). Можно было бы написать VIN → EngineCapacity, потому что для двигателя транспортного средства было бы неприемлемо иметь более одной мощности. (Предполагая, что в этом случае у транспортных средств только один двигатель.) С другой стороны, EngineCapacity → VIN неверен, потому что может быть много автомобилей с одинаковым объемом двигателя.

Лекции

Этот пример иллюстрирует концепцию функциональной зависимости. Смоделирована ситуация, когда студенты колледжа посещают одну или несколько лекций, на каждой из которых им назначается ассистент преподавателя (TA). Далее предположим, что каждый студент находится в каком-то семестре и идентифицируется уникальным целочисленным идентификатором.

Мы замечаем, что всякий раз, когда две строки в этой таблице имеют одинаковый идентификатор StudentID, они также обязательно имеют одинаковые значения Semester. Этот основной факт может быть выражен функциональной зависимостью:

Обратите внимание, что если бы была добавлена ​​строка, в которой у студента было другое значение семестра, функциональная зависимость FD больше не существовала бы. Это означает, что данные подразумевают FD, поскольку могут иметь значения, которые сделали бы FD недействительным.

Можно выделить другие нетривиальные функциональные зависимости, например:

Последнее выражает тот факт, что набор является суперключом отношения.

Модель отдела сотрудников

Классическим примером функциональной зависимости является модель отдела сотрудников.

Этот случай представляет собой пример, в котором несколько функциональных зависимостей встроены в одно представление данных. Обратите внимание: поскольку сотрудник может быть членом только одного отдела, уникальный идентификатор этого сотрудника определяет отдел.

В дополнение к этой связи таблица также имеет функциональную зависимость через неключевой атрибут

Этот пример демонстрирует, что даже если существует идентификатор сотрудника FD → идентификатор отдела, идентификатор сотрудника не будет логическим ключом для определения идентификатора отдела. Процесс нормализации данных распознает все FD и позволит разработчику построить таблицы и взаимосвязи, которые более логичны на основе данных.

Применяя увеличение и транзитивность, можно вывести два дополнительных правила:

Также можно вывести правила объединения и разложения из аксиом Армстронга: [3] [7]

Замыкание набора атрибутов

Пример

Представьте себе следующий список ФД. Мы собираемся вычислить замыкание для A из этого отношения.

Закрытие будет следующим:

a) A → A (согласно рефлексивности Армстронга)
b) A → AB (согласно 1. и (a))
c) A → ABD (согласно (b), 3 и транзитивности Армстронга)
d) A → ABCD (согласно (c ), и 2)

Охватывает

Эквивалентность двух наборов ФД

Не дублирующие крышки

Теорема Хита

Нормальные формы

Нормализация направлена ​​на освобождение базы данных от аномалий обновления, вставки и удаления. Это также гарантирует, что когда новое значение вводится в отношение, оно оказывает минимальное влияние на базу данных и, следовательно, минимальное влияние на приложения, использующие базу данных. [ необходима цитата ]

Набор функциональных зависимостей S является неприводимым, если он обладает следующими тремя свойствами:

Источник

Что такое функциональная зависимость

a. При рассмотрении количественной стороны различных процессов мы почти всегда наблюдаем, что переменные величины зависят друг от друга; например, путь проходимый свободно падающим в пустоте телом зависит только от времени, давление в паровом котле зависит только от температуры пара.

Глубина океана в одном пункте постоянна, но в различных пунктах различна, она зависит только от двух переменных — от географической долготы и географической широты места.

Высота растущего дерева зависим от многих переменных — от солнечного освещения, от влажности, от количества питательных веществ в почве и т. д.

Мы видим, что некоторые переменные изменяются независимо, они и называются независимыми переменными или аргументами, другие же от них зависят их называют функциями.

Сама зависимость называется функциональной. Между прочим, функциональная зависимость представляет собой одно из самых важных понятий математики.

b. Следует всегда различать, от какого числа независимых переменных зависит функция. Проще всего поддаются изучению функции одной переменной, ими мы будем заниматься в первую очередь. Изучение функций многих переменных сложнее, но так или иначе сводится к изучению функций одной переменной.

c. Если мы желаем записать математически, что переменная у зависит от , то будем употреблять такое обозначение:

Эта запись читается так:

(2)

Не; следует думать, что буква умножается на , она является лишь сокращением слова «функция», а вся запись является сокращенной фразой (2).

Точно так же, если функция U зависит от двух аргументов то эта зависимость обозначается следующим образом:

Здесь буквы f, х и у также не являются сомножителями.

Совершенно ясно, как обозначается функция трех четырех и большего числа аргументов.

Вместо буквы употребляют и другие буквы чаще всего .

d. Записи типа (1) и (3) являются самыми общими обовначениями функций, так как под ними можно понимать какие угодно функции, а потому, имея в руках только эти обозначения, мы ничего не сможем узнать о свойствах этих функций.

Для того чтобы иметь возможность изучать функцию нужно ее задать.

e. Имеется много способов задать функцию, но все они сводятся к трем основным типам:

1) функцию можно задать таблицей ее числовых значений, соответствующих числовым значениям ее аргумента;

2) функцию можно задать графически;

3) функцию можно задать математической формулой.

f. Приведем примеры. Известно, что при вращении махового колеса возникают напряжения, которые стремятся разорвать его обод. Если обод колеса сделан из однородного материала, то напряжения зависят только от скорости вращения. Обозначая скорость через v, а напряжение в ободе через , мы можем записать что

Теория сопротивления материалов дает такую таблицу для значений функции (4), если обод сделан из литой стали:

Здесь v измеряется в метрах в секунду — в ньютонах на квадратный сантиметр.

Большим достоинством табличного способа Зсдания функции является то, что числа таблицы непосредственно могут быть использованы для различных вычислений.

Недостатком является то, что всякая таблица дается не для всех значений аргумента, а через некоторые интервалы, так что, если каких-либо значений функции в таблице нет, то нужно брать более подробную таблицу; если же последней нет, то приходится подбирать нужное число более или менее приблизительног сообразуясь с характером изменения чисел таблицы,

g. Большим недостатком является также и то, что если таблица содержит много чисел, то характер изменения функции уловить трудно. Наконец, третьим недостатком является то, что изучать свойства функции, заданной таблицей, трудно; кроме того, полученные свойства будут неточными.

h. От первых двух недостатков свободен графический способ задания функции.

Чтобы пояснить графический способ рассмотрим такой пример.

Если какой-либо материал подвергнуть растяжению, то сила, необходимая для растягивания, будет зависеть от того, какое растяжение необходимо сделать, т. е. сила есть функция от удлинения. Если удлинение в процентах обозначить через X, а растягивающую силу, которая обычно измеряется в ньютонах на квадратный сантиметр, обозначить через , то

Для различных материалов эта зависимость будет различной. Возьмем координатные оси и будем считать к за абсциссу, а за ординату, тогда для каждой пары их значений получим точку на плоскости.

Все эти точки расположатся на некоторой кривой, которая имеет различный вид для различных материалов. Существуют приборы, которые такие кривые чертят автоматически.

Для мягкой стали мы получим следующую кривую (рис. 31):

k. Как мы видим, действительно графический снособ нагляден и дает значения функции для всех значений аргумента. Но третий недостаток и здесь имеет место. Изучать свойства функции заданной графически, все-таки затруднительно.

l. Теперь покажем способ задания функции формулой Возьмем такой пример. Площадь круга очевидно зависит от радиуса. Если радиус обозначить через я, а площадь через у, то, как известно из геометрии, где — отношение длины окружности к длине диаметра. Мы видим, что зависимость здесь задается математической формулой, поэтому третий способ называется математическим способом. Еще пример: длина гипотенузы прямоугольного треугольника зависит от длин обоих катетов. Если длину гипотенузы обозначить через , а длины катетов через то по теореме Пифагора будем иметь

Так как оба катета мы можем изменять независимо друг от друга, то мы имеем здесь пример функции двух аргументов, заданной математически.

Можно привести еще много примеров функций, заданyых математически, из области различных наук.

m. Математический способ обладает огромным преимуществом перед другими способами задания функций, а именно: к изучению функций, заданных математически, можно привлечь математический анализ.

Помимо того, если необходимо, всегда можно математический способ превратить в табличный. Действительно, мы вправе задать аргументам желательные нам числовые значения и по формуле вычислить сколько угодно значений функции. Таким образом, одна формула заменяет всю таблицу.

n. Математический способ имеет только один недостаток, а именно, формула не дает наглядного представления об изменении функции. Однако этот недостаток мы всегда можем восполнить, так как всегда математический способ задания можно превратить в графический. Это делается так.

o. Если мы имеем функцию одной переменной, то составляем таблицу и каждую пару значений аргумента и функции принимаем за координаты, после этого строим возможно большее число точек. Все полученные точки расположатся на некоторой кривой линии, которая и будет графиком функции. Если мы имеем функцию двух или более аргументов, то и ее можно изобразить графически. Но это уже значительно сложнее, а потому этим вопросом мы займемся несколько позднее.

p. Все сказанное свидетельствует о том, что математический способ задания функций является наиболее выгодным.

Поэтому всегда стремятся, если функция задана таблицей или графиком, выразить ее формулой. Эта задача обычно очень трудная, но чрезвычайно важная для естествознания и технических наук. Без преувеличения можно сказать, что все проблемы механики, естествознания — прикладных наук сводятся к установлению и изучению функциональных зависимостей между теми переменными величинами, с которыми эти дисциплины имеют дело. Бела удается эти функциональные зависимости выразить формулами, то наука приобретает надежный рычаг для приложения всей огромной мощи математического анализа и далеко продвигается в своем развитии.

С другой стороны, математический анализ, получая эту прекрасную пищу, сам растет и совершенствуется.

q. Ввиду того, что перевод на язык формул функциональных зависимостей не является непосредственной задачей математики, мы будем предполагать, что функции уже выражены формулами. Таким образом, в дальнейшем мы будем заниматься только функциями, заданными матетатически.

Источник

Функциональные зависимости и реляционные базы данных

Основные классы функциональных зависимостей

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ_ПРЕДМЕТ (Личный номер, Предмет, Фамилия, Должность, Оклад, Часы)

Каким образом можно использовать это наблюдение с учетом семантики данных для конструирования отношений? Имеет смысл разбить все возможные зависимости на определенные типы ФЗ, и на основе этой классификации проанализировать, какие типы ФЗ к каким аномалиям в выполнении реляционных операций приводят. Такой анализ может стать основой для построения алгоритмов проектирования реляционной базы данных.

Очевидно, что семантическая связь между атрибутами отношения может носить неоднозначный характер, это порождает существование класса многозначных зависимостей (MV-зависимостей). Например, один преподаватель может преподавать несколько предметов, а один предмет может преподаваться несколькими преподавателями. Многозначная зависимость может быть следующих типов: 1:N (один ко многим), M:1 (многие к одному) и M:N (многие ко многим).

Однако для практических целей проектирования реляционных баз данных достаточно знания рассмотренных классов ФЗ. Даже зависимость по соединению встречается очень редко.

Источник

Функциональные зависимости и реляционные базы данных

Основные классы функциональных зависимостей

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ_ПРЕДМЕТ (Личный номер, Предмет, Фамилия, Должность, Оклад, Часы)

Каким образом можно использовать это наблюдение с учетом семантики данных для конструирования отношений? Имеет смысл разбить все возможные зависимости на определенные типы ФЗ, и на основе этой классификации проанализировать, какие типы ФЗ к каким аномалиям в выполнении реляционных операций приводят. Такой анализ может стать основой для построения алгоритмов проектирования реляционной базы данных.

Очевидно, что семантическая связь между атрибутами отношения может носить неоднозначный характер, это порождает существование класса многозначных зависимостей (MV-зависимостей). Например, один преподаватель может преподавать несколько предметов, а один предмет может преподаваться несколькими преподавателями. Многозначная зависимость может быть следующих типов: 1:N (один ко многим), M:1 (многие к одному) и M:N (многие ко многим).

Однако для практических целей проектирования реляционных баз данных достаточно знания рассмотренных классов ФЗ. Даже зависимость по соединению встречается очень редко.

Источник

Использование формального аппарата для оптимизации схем отношений

Цель лекции: показать возможность эффективного использования формальных методов построения оптимальной (по определенным показателям) структуры реляционной базы данных путем нормализации схем отношений.

8.1. Проблема выбора рациональных схем отношений

Рассмотрим для примера конкретную схему отношений и проанализируем её недостатки. Предположим, что данные о студентах, факультетах, специальностях, включены в таблицу со следующей схемой отношения: СТУДЕНТ (Код студента, Фамилия, Название факультета, Название специальности).

Эта схема отношений обусловливает следующие недостатки соответствующей базы данных :

Нормализация. Первая нормальная форма.

Построение рационального варианта схем отношений (обладающего лучшими свойствами при операциях включения, модификации и удаления данных, чем все остальные наборы схем) осуществляется путем так называемой нормализации схем отношений. Нормализация производится в несколько этапов. На начальном этапе схема отношений должна находиться в первой нормальной форме ( 1НФ ).

Рассмотрим следующий пример.

Таблица представляет сущность ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ВЕДОМОСТЬ

8.2. Функциональные зависимости (зависимости между атрибутами отношения)

Замечание. Вообще говоря, под термином » отношение » могут подразумеваться два понятия:

Функциональные зависимости характеризуют все отношения, которые могут быть значениями схемы отношения R в принципе. Поэтому единственный способ определить функциональные зависимости – внимательно проанализировать семантику (смысл) атрибутов.

Пример функциональных зависимостей для отношения ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ВЕДОМОСТЬ

Пример функциональных зависимостей для отношения СТУДЕНТ, приведенного в начале настоящей лекции

Заметим, что последняя зависимость существует при условии, что один студент не может обучаться на нескольких факультетах.

Полное множество функциональных зависимостей

Если множество функциональных зависимостей совпадает с замыканием данного множества, то такое множество функциональных зависимостей называется полным.

Введенные понятия позволяют формально определить понятие ключа.

Полной функциональной зависимостью называется зависимость неключевого атрибута от всего составного ключа.

Частичной функциональной зависимостью будем называть зависимость неключевого атрибута от части составного ключа.

Для вычисления замыкания множества функциональных зависимостей используются следующие правила вывода ( аксиомы Армстронга ):

Справедлива следующая теорема. Аксиомы Армстронга являются полными и надежными.

Правило псевдотранзитивности. Если X->Y и , то .

Надо отметить, что вычисление замыкания множества функциональных зависимостей является трудоемкой задачей при достаточно большом количестве атрибутов (за счет выписывания большого количества тривиальных зависимостей).

Источник