что такое фундаментальная система решений

Фундаментальное решение системы линейных уравнений. Взгляд со стороны

В данной статье я попробую взглянуть по новому на алгоритм поиска общего решения системы линейных уравнений.

Задача, которой мы займемся звучит так.
Найти общее решение следующей системы уравнений

Такую задачу решают, приведя исходную систему к треугольному виду по методике Гаусса. Потом выбрав свободные переменные вычисляют общее решение.

Я хочу показать, как можно решать подобные системы другим способом. Насколько она известна и применяется где либо, я узнать не смог. Во всех публичных/популярных материалах, используется метод Гаусса.

Сразу скажу что решение конечно же не оптимально (по быстродействию), так как при вычислении векторного произведения, надо вычислять определитель матрицы, а это так или иначе вычисление треугольной матрицы.

Но решение красиво и наглядно, кроме этого легко видеть критерий при котором система не имеет решений.

В чем же суть методики?

Решая эту систему как произведение двух векторов, мы получим

А следовательно, корни системы равны

Для тех кто не верит, это легко проверяется подстановкой

Используем этот прием и рассмотрим, как же решаются такие системы с помощью векторных произведений.

Итак, у нас есть исходная система

Перенесем свободные члены в левую часть

У нас получилось 6 столбцов.

На этом этапе не будем вводить новых сущностей и не используем в своей работе понятия ранга матрицы. (Прошу отнестись снисходительно)
Мы просто видим что уравнений 3, а переменных 5-ть. Следовательно общее решение будет использовать 5-3=2 независимых переменных.

На этом же шаге, мы можем определить, какие же из переменных будут свободными. Возьмем две переменных, которые будут правее всех, и назначим их свободными.
Note: Для других уравнений не всегда получается, что надо брать именно последние правые коэффициенты

А теперь за три шага определяем фундаментальное решение исходной системы

Шаг 1. Здесь последняя колонка это свободные члены системы

Шаг 2. Здесь последняя колонка это коэффициенты при переменной

Шаг 3. Здесь последняя колонка это коэффициенты при переменной

Нет необходимости подробно рассказывать откуда мы берем данные. Я думаю для читающих это очевидно. (Кто решал систему уравнений методом Крамера, найдут общие черты)

Интереснее то, что мы с этими «векторами» делать будем.

получаем следующие три вектора

выстроим их в вертикаль и таким образом фундаментальное решение принимает вид

Великолепно! Не правда ли…

Для критерия разрешимости заданной системы уравнений в большинстве случаев используется правило Кронекера-Копелли, здесь же просто анализируется результат векторного произведения.

Если результирующий вектор имеет вид

Если результирующий вектор имеет все нулевые коэффициенты, то это говорит о том, что или как минимум одно из уравнений есть линейное представление другого, и/или одна из переменных пропорциональна другой.

Эта статья первая, и хотелось бы услышать замечания, критику, пожелания в свой адрес.

Алгоритм и калькулятор создан еще в январе 2019 года и только сегодня я решил опубликовать информацию на Хабре.

Если примете в свой коллектив/общество, то следующая тема будет
— как находить общее решение системы диофантовых уравнений.

Источник

Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений

Однородные СЛАУ

Однородной СЛАУ называется система, все правые части которой равны нулю одновременно.

Если однородная квадратная СЛАУ имеет ненулевое решение, то определитель матрицы системы равен нулю.

Ответ. Система имеет только нулевое решение.

Фундаментальная система решений

Рассмотрим множество всех столбцов, которые являются решениями исходной системы.

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.

Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.

Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.

Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

Источник

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Первая часть.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Нулевое (тривиальное) решение.

Однако следствие из теоремы Кронекера-Капелли однозначно указывает на то, что если СЛАУ имеет решение, то есть только два варианта. Либо это решение единственно (и тогда СЛАУ называют определённой), либо этих решений бесконечно много (такую СЛАУ именуют неопределённой). Возникает первый вопрос: как выяснить, сколько решений имеет заданная нам однородная СЛАУ? Одно (нулевое) или бесконечность?

Этот случай уже был рассмотрен в теме «Базисные и свободные переменные. Общее и базисное решения СЛАУ». По сути, однородные СЛАУ – это всего лишь частный случай системы линейных уравнений, поэтому вся терминология (базисные, свободные переменные и т.д.) остаётся в силе.

Что такое базисные и свободные переменные? показать\скрыть

Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.

Что значит «линейно независимые решения»? показать\скрыть

В данной ситуации под решением понимается матрица-столбец, в которой перечислены значения неизвестных.

Если система является неопределённой, указать фундаментальную систему решений.

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Итак, давайте выберем минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1 и №2, и столбцов №1 и №2:

Осуществим вторую попытку, взяв минор второго порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2 и столбцов №2 и №4:

Сделаем и третью попытку, найдя значение минора, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №3:

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показать\скрыть

Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами.

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Записать ФСР однородной СЛАУ

зная общее решение. Записать общее решение с помощью ФСР.

Общее решение уже было получено в теме «метод Крамера» (пример №4). Это решение таково:

Опираясь на предыдущий пример №1, попробуйте составить ФСР самостоятельно, а потом сверить с ответом.

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё один пример с нахождением общего решения и ФСР.

Источник

Однородные системы линейных алгебраических уравнений

В рамках уроков метод Гаусса и Несовместные системы/системы с общим решением мы рассматривали неоднородные системы линейных уравнений, где свободный член (который обычно находится справа) хотя бы одного из уравнений был отличен от нуля.
И сейчас, после хорошей разминки с рангом матрицы, мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений.
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений. Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

Решить однородную систему линейных уравнений
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Решение: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Сформулируем очевидный критерий: однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение, если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– 3 шт.).

Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

Решить однородную систему линейных уравнений
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Из статьи Как найти ранг матрицы? вспоминаем рациональный приём попутного уменьшения чисел матрицы. В противном случае вам придётся разделывать крупную, а частенько и кусачую рыбу. Примерный образец оформления задания в конце урока.

Нули – это хорошо и удобно, однако на практике гораздо более распространен случай, когда строки матрицы системы линейно зависимы. И тогда неизбежно появление общего решения:

Решить однородную систему линейных уравнений
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие направлено не только на получение единичного значения, но и на уменьшение чисел в первом столбце:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

(1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –2. Слева вверху я получил единицу с «минусом», что зачастую намного удобнее для дальнейших преобразований.

(2) Первые две строки одинаковы, одну из них удалили. Честное слово, не подгонял решение – так получилось. Если выполнять преобразования шаблонно, то линейная зависимость строк обнаружилась бы чуть позже.

(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.

(4) У первой строки сменили знак.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Алгоритм работает точно так же, как и для неоднородных систем. Переменные что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, «сидящие на ступеньках» – главные, переменная что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, которой не досталось «ступеньки» – свободная.

Выразим базисные переменные через свободную переменную:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Ответ: общее решение: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Тривиальное решение входит в общую формулу, и записывать его отдельно излишне.

Проверка выполняется тоже по обычной схеме: полученное общее решение необходимо подставить в левую часть каждого уравнения системы и получить законный ноль при всех подстановках.

На этом можно было бы тихо-мирно закончить, но решение однородной системы уравнений часто требуется представить в векторной форме с помощью фундаментальной системы решений. Пожалуйста, временно забудьте об аналитической геометрии, поскольку сейчас речь пойдёт о векторах в алгебраическом смысле, который я немного приоткрыл в статье про ранг матрицы и окончательно расписал на уроке о линейных преобразованиях. Терминологии тушеваться не нужно, всё довольно просто:

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, где что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– произвольные действительные числа.

Количество векторов что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийфундаментальной системы рассчитывается по формуле:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Однако в практических заданиях гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество векторов что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийфундаментальной системы равно количеству свободных неизвестных.

Представим общее решение Примера №3 что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийв векторной форме. Свободная переменная в данном случае одна, поэтому фундаментальная система решений состоит из единственного вектора что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений. Как его найти? Для этого свободной переменной нужно придать произвольное ненулевое значение. Проще всего, конечно же, выбрать что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийи получить: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений.

Координаты вектора что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийдолжны удовлетворять каждому уравнению системы, и будет не лишним в этом убедиться.

Ответ следует записать в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы. В нашей ситуации линейная комбинация состоит из одинокого слагаемого. Общее решение однородной системы я буду обозначать через вектор что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений(подстрочный индекс расшифровывается «Общее Однородной»).

Ответ: общее решение: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, где что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений(любое вещественное число)

Придавая параметру что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийразличные действительные значения, можно получить бесконечно много частных решений, например, если что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, то вектор частного решения однородного уравнения («Частное Однородной») равен:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, то есть набор переменных что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийудовлетворяет каждому уравнению системы.

Это мы рассмотрели традиционный способ построения фундаментальной системы в так называемом нормальном виде – когда свободным переменным придаются исключительно единичные значения. Но правила хорошего математического тона предписывают избавляться от дробей, если это возможно. Поэтому в данном случае можно взять что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийи из общего решения системы что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийполучить вектор с целыми координатами: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

И тогда ответ запишется в эквивалентной форме:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, где что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений(любое вещественное число)

Оба варианта ответа правильны, однако чайникам я всё-таки рекомендую классику жанра.

Поблагодарим задачник Рябушко за предоставленные примеры и перейдём к более основательным системам:

Решить однородную систему линейных уравнений
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Ответ записать с помощью фундаментальной системы решений

Самостоятельно, plz. Примерный образец оформления в конце урока.

Закинем в копилку знаний ещё один полезный факт:

Взаимосвязь решений неоднородной
и соответствующей однородной системы уравнений

Представьте двух близких родственниц: неоднородную систему (у которой хотя бы одно число правой части отлично от нуля) и такую же систему – только справа одни нули (то бишь, однородную систему). Нетрудно предположить, что если системы отличаются лишь столбцом свободных членов, то между их решениями должна существовать тесная связь. И это действительно так! Материал целесообразнее рассмотреть на конкретной задаче, которая, как и все другие, взята из реальной контрольной работы:

Дана система линейных алгебраических уравнений
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

1) найти общее решение;

2) используя результат предыдущего пункта, найти общее решение соответствующей однородной системы и записать его в векторной форме.

Решение: по условию дана обычная неоднородная система уравнений, и первая часть не отличается новизной:

1) Запишем расширенную матрицу системы (не зеваем нолик в третьей строке) и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. К четвёртой строке прибавили первую строку, умноженную на –4.

(2) Последние три строки одинаковы, две из них удалили.

Обратным ходом метода Гаусса получим общее решение:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– базисные переменные;
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– подставим в 1-е уравнение:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Общее решение неоднородной системы обозначим через что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений(«Общее Неоднородной»).

Ответ: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

2) Во второй части задания требуется найти общее решение что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийтакой же, только однородной системы что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, причём по условию необходимо использовать ответ предыдущего пункта.

Выполнять элементарные преобразования заново, разумеется, не нужно.

Правило: общее решение неоднородной системы что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийравно сумме общего решения соответствующей однородной системы что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийи какого-либо частного решения неоднородной системы что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Откуда легко выражается общее решение нашей однородной системы:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Найдём какое-нибудь частное решение что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийнеоднородной системы. Проще всего взять нулевые значения свободных переменных что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Таким образом, общее решение соответствующей однородной системы:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Представим что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийв векторной форме. Поскольку у нас две свободные переменные, то фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов.

Пойдём классическим путём:

Рассмотрим пару значений свободных переменных что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийи получим первый вектор:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– координаты данного вектора удовлетворяют каждому уравнению однородной системы (всегда желательна проверка!).

Теперь рассматриваем пару что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийи получаем второй вектор:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– координаты данного вектора также удовлетворяют каждому уравнению однородной системы (тоже проверяем!).

И вообще – любая линейная комбинация векторов фундаментальной системы что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, где что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– произвольные действительные числа, является решением данной системы:

Ответ: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, где что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Иными словами, если взять два любых вещественных числа, например, что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, то получится вектор частного решения однородной системы:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, то есть набор что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийудовлетворяет каждому уравнению однородной системы.

Если хотите избежать дробей, то при нахождении вектора что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийследует выбрать значения что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийи получить второй вектор в виде:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений
В этом случае ответ запишется в эквивалентной форме:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, где что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Порядком многих я, наверное, подзапутал, но коль скоро задание не придумано, то его нельзя было обойти стороной.

Более распространённая тема для самостоятельного решения:

Дана однородная система
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Найти общее решение и записать ответ с помощью векторов фундаментальной системы. В образце решения завершающим элементарным преобразованием я уже потихоньку начинаю приобщать вас к методу Гаусса-Жордана.

Чтобы окончательно закрепить алгоритм, разберём финальное задание:

Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме.
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

(1) У первой строки сменили знак. Ещё раз заостряю внимание на неоднократно встречавшемся приёме, который позволяет существенно упростить следующее действие.

(1) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку. К 4-й строке прибавили первую строку, умноженную на 2.

(3) Последние три строки пропорциональны, две из них удалили.

В результате получена стандартная ступенчатая матрица, и решение продолжается по накатанной колее:

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– базисные переменные;
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– подставим в 1-е уравнение:

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Таким образом, общее решение:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора.

Подставим тройку значений что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийв общее решение и получим вектор что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы. И снова повторюсь, что крайне желательно проверять каждый полученный вектор – времени займет не так много, а от ошибок убережёт стопроцентно.

Для тройки значений что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийнаходим вектор
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

И, наконец, для тройки что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийполучаем третий вектор:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Ответ: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, где что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Желающие избежать дробных значений могут рассмотреть тройки что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийи получить ответ в эквивалентном виде:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

К слову о дробях. Посмотрим на полученную в задаче матрицу что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийи зададимся вопросом – нельзя ли упростить дальнейшее решение? Ведь здесь мы сначала выразили через дроби базисную переменную что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, потом через дроби базисную переменную что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, и, надо сказать, процесс это был не самый простой и не самый приятный.

Второй вариант решения:

Идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать другие базисные переменные. Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. Так почему бы не получить ноль вверху? Проведём ещё одно элементарное преобразование:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

(4) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Здесь базисные переменные что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийлегко и практически мгновенно выражаются через свободные переменные что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений:

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

По существу, мы применили метод Гаусса-Жордана, который как раз и направлен на скорейшее получение базисного решения посредством дополнительных элементарных преобразований.

В результате общее решение: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Последовательно выбираем в качестве значений свободных неизвестных тройки
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений
и подстановкой их в что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийполучаем соответствующие векторы фундаментальной системы:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Не забываем проверить координаты каждого вектора!

Ответ: общее решение:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, где что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– действительные числа.

Как видите, второй способ гораздо проще и рациональнее, но для подобных изысков, конечно, необходимо обладать некоторым опытом.

Надеюсь, данная статья окончательно развеяла все страхи перед векторами, и теперь вы с огромным удовольствием откроете учебник по линейной алгебре, чтобы изучить теорию векторных пространств, линейных преобразований и другие не менее интересные вещи.

Пример 2: Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений(1) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавили первую строку.
(3) У первой строки сменили знак. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.
(5) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 21.
Ранг матрицы системы равен количеству переменных, значит, система имеет только тривиальное решение.
Ответ: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений

Пример 4: Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем её ступенчатому виду:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений
(1) У третьей строки сменили знак и переместили её на 1-е место.
(2) Ко 2-й и 4-й строкам прибавили первую строку, умноженную на 2 и 5 соответственно.
(3) Вторую строку разделили на –5, 4-ю строку разделили на –17.
(4) Вторая и 4-я строки одинаковы, последнюю строку удалили. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 4.
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– базисные переменные;
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– свободная переменная.
Выразим базисные переменные через свободную переменную.
Из последних двух уравнений:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– подставим в первое уравнение:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений
Таким образом, общее решение: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений
Найдем вектор фундаментальной системы решений. Для этого выберем в качестве значения свободной неизвестной что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений
Ответ: общее решение однородной системы уравнений:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, где что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений(любое действительное число).

Пример 6: Решение: Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений
(1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1.
(2) Ко второй, третьей и четвертой строкам прибавили первую строку, умноженную на 5, 4 и 5 соответственно.
(3) Последние три строки пропорциональны, достаточно оставить только одну из них. У первой строки сменили знак.
(4) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– базисные переменные;
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– свободные переменные.
Выразим базисные переменные через свободные переменные:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений
Таким образом, общее решение: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений.
Найдем векторы фундаментальной системы решений. Для этого последовательно выбираем в качестве значений свободных неизвестных следующие пары: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решенийи что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений:
что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений
Ответ: общее решение: что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений, где что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений– произвольные действительные числа.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

что такое фундаментальная система решений. Смотреть фото что такое фундаментальная система решений. Смотреть картинку что такое фундаментальная система решений. Картинка про что такое фундаментальная система решений. Фото что такое фундаментальная система решений Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *