Что такое фракталы: бесконечность и красота математики
Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).
Какие бывают фракталы?
Если посмотреть на множество фракталов, в них можно увидеть множество отличий. Эти отличия наблюдаются не только в форме фигур, из которых состоят фракталы, но и в самой форме представления этих множеств. Таким образом, различают геометрические, алгебраические и стохастические фракталы. Расскажем о каждом из них чуть подробнее.
Геометрические фракталы
Это самый привычный нам вид фракталов. Они строятся на основе какой-либо геометрической фигуры путем дробления ее частей и их преобразования. Среди примеров можно назвать L-системы. Изначально они были спроектированы для моделирования биологических клеточных систем, но с таким же успехом могут быть применены и к другим ветвящимся системам.
Алгебраические фракталы
Алгебраические фракталы строятся на основе математических формул — их можно превратить в геометрические, если построить графики на координатной плоскости. Среди алгебраических фракталов можно выделить фракталы Мандельброта, Жюлиа и бассейны Ньютона. Все они строятся на множестве комплексных чисел, которые состоят из действительной и мнимой части. Просто фракталы Мандельброта и Жюлиа строятся на основе квадратов комплексных чисел, а бассейны Ньютона — на основе их кубов.
Стохастические фракталы
Этот вид фракталов строится на основе математических формул, но в процессе построения параметры в них случайным образом изменяются. Это приводит к появлению причудливых форм, очень похожих на природные. В отличие от геометрических и некоторых алгебраических, стохастические фракталы можно построить лишь при помощи компьютера.
Геометрия и алгебра
Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».
Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.
Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.
Как известно, размерность (число измерений) геометрической фигуры – это число координат, необходимых для определения положения лежащей на этой фигуре точки.
Например, положение точки на кривой определяется одной координатой, на поверхности (не обязательно плоскости) двумя координатами, в трёхмерном пространстве тремя координатами.
С более общей математической точки зрения, можно определить размерность таким образом: увеличение линейных размеров, скажем, в два раза, для одномерных (с топологической точки зрения) объектов (отрезок) приводит к увеличению размера (длины) в два раза, для двумерных (квадрат) такое же увеличение линейных размеров приводит к увеличению размера (площади) в 4 раза, для трехмерных (куб) – в 8 раз. То есть «реальную» (т.н. Хаусдорфову) размерность можно подсчитать в виде отношения логарифма увеличения «размера» объекта к логарифму увеличения его линейного размера. То есть для отрезка D=log(2)/log(2)=1, для плоскости D=log(4)/log(2)=2, для объема D=log(8)/log(2)=3.
Подсчитаем теперь размерность кривой Коха, для построения которой единичный отрезок делят на три равные части и заменяют средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. При увеличении линейных размеров минимального отрезка в три раза длина кривой Коха возрастает в log(4)/log(3)
1,26. То есть размерность кривой Коха – дробная!
Наука и искусство
В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.
Война и мир
Как уже отмечалось выше, один из природных объектов, имеющих фрактальные свойства, — это береговая линия. С ним, а точнее, с попыткой измерить его длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы».
Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон — весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. Казалось бы, при чем тут фракталы?
Но в числе параметров, которые учитывал ученый, была протяженность общей границы двух враждующих стран. Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница.Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать все новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Прямо как математические фракталы. Правда, на самом деле этого не происходит — у точности наших измерений есть конечный предел. Этот парадокс называется эффектом Ричардсона.
Конструктивные (геометрические) фракталы
Алгоритм построения конструктивного фрактала в общем случае таков. Прежде всего нам нужны две подходящие геометрические фигуры, назовем их основой и фрагментом. На первом этапе изображается основа будущего фрактала. Затем некоторые ее части заменяются фрагментом, взятым в подходящем масштабе, — это первая итерация построения. Затем у полученной фигуры снова некоторые части меняются на фигуры, подобные фрагменту, Если продолжить этот процесс до бесконечности, то в пределе получится фрактал.
Рассмотрим этот процесс на примере кривой Коха. За основу кривой Коха можно взять любую кривую (для «снежинки Коха» это треугольник). Но мы ограничимся простейшим случаем — отрезком. Фрагмент — ломаная, изображенная сверху на рисунке. После первой итерации алгоритма в данном случае исходный отрезок совпадет с фрагментом, затем каждый из составляющих его отрезков сам заменится на ломаную, подобную фрагменту, На рисунке показаны первые четыре шага этого процесса.
Языком математики: динамические (алгебраические) фракталы
Таким образом, любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения при итерациях функции f (z), а вся плоскость делится на части. При этом точки, лежащие на границах этих частей, обладают таким свойством: при сколь угодно малом смещении характер их поведения резко меняется (такие точки называют точками бифуркации). Так вот, оказывается, что множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, а также множества бифуркационных точек часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жулиа для функции f (z).
Варьируя основу и фрагмент, можно получить потрясающее разнообразие конструктивных фракталов.
Более того, подобные операции можно производить и в трехмерном пространстве. Примерами объемных фракталов могут служить «губка Менгера», «пирамида Серпинского» и другие.
К конструктивным фракталам относят и семейство драконов. Иногда их называют по имени первооткрывателей «драконами Хейвея-Хартера» (своей формой они напоминают китайских драконов). Существует несколько способов построения этой кривой. Самый простой и наглядный из них такой: нужно взять достаточно длинную полоску бумаги (чем тоньше бумага, тем лучше), и согнуть ее пополам. Затем снова согнуть ее вдвое в том же направлении, что и в первый раз. После нескольких повторений (обычно через пять-шесть складываний полоска становится слишком толстой, чтобы ее можно было аккуратно гнуть дальше) нужно разогнуть полоску обратно, причем стараться, чтобы в местах сгибов образовались углы в 90˚. Тогда в профиль получится кривая дракона. Разумеется, это будет лишь приближение, как и все наши попытки изобразить фрактальные объекты. Компьютер позволяет изобразить гораздо больше шагов этого процесса, и в результате получается очень красивая фигура.
Множество Мандельброта строится несколько иначе. Рассмотрим функцию fc (z) = z^2+с, где c — комплексное число. Построим последовательность этой функции с z0=0, в зависимости от параметра с она может расходиться к бесконечности или оставаться ограниченной. При этом все значения с, при которых эта последовательность ограничена, как раз и образуют множество Мандельброта. Оно было детально изучено самим Мандельбротом и другими математиками, которые открыли немало интересных свойств этого множества.
Фракталы в природе, искусстве и математике
Фракталы окружают нас повсюду
Природа – это величайший архитектор, инженер и строитель. В ней все подчиняется закономерностям и если человек их не видит, это вовсе не означает, что их не существует. Может, стоит их искать в других плоскостях и масштабах? Одной из природных закономерностей является фрактал. Это понятие появилось в середине ХХ века, с развитием фрактальной геометрии. Эта наука создана для исследования всего неровного, кривого и шершавого, то есть всего того, что нас окружает.
Фракталы. Чудеса природы. Поиски новых размерностей
Фракталы в природе
Фрактал является геометрическим объектом, которому свойственно самоподобие. Каждая из частей в его составе подобна всему объекту. Но, как ни парадоксально, эти объекты широко распространены в природе – вокруг нас. Окружающий нас мир буквально соткан из самоповторяющихся фигур самого разного масштаба – человеку свойственно их не замечать.
Фракталы в капусте
Давайте пробежимся по примерам, чтобы убедиться в этом. Если внимательнее посмотреть на лист папоротника, то можно увидеть, как маленький листочек копирует форму всей ветки. Взять в пример можно и любое дерево: отдельная ветвь повторяет форму дерева в целом.
Нельзя не упомянуть о ярком фрактальном представителе, как цветная капуста. Вы замечали, что при нарезке ее цветочков, на доске остается ее уменьшенная копия? Это и есть яркое проявление фрактальной геометрии в природе. Ярко прослеживается она в известных нам природных объектах и созданиях:
В животном мире тоже они есть – фракталы можно увидеть на хвосте павлина или на кровеносных, альвеолярных системах животных и человека. Если вспомнить узор паутины, то тоже можно увидеть фрактальные фигуры. Многие микроорганизмы, при рассмотрении под микроскопом могут показать нам их.
Фракталы в искусстве
Фракталы в искусстве
Во многих произведениях искусства современников 19 – 20 века прослеживаются фрактальные мотивы. Рассмотрев с большей внимательностью одну из абстрактных картин Ф.Купки ( 1871 — 1957 ) можно испытать удивление. Как объяснить этот феномен? Фракталы были открыты в 70-х годах ХХ века – после кончины художника. У него было особое видение мира – он умел различать в нем фракталы, он не пытался их изучить и объяснить, а просто выносил их на свои полотна.
Сейчас можно смело провести параллель между абстрактным творчеством и фрактализмом. Одни художники ярко выражают в своих полотнах фрактальные фигуры, у других же это завуалировано и прослеживается очень тонко. Ещё с древних времен наука и искусство шли параллельными путями. К примеру, после изобретения первого телескопа люди впервые увидели планеты и другие небесные тела. Они стали выносить эти космические образы на фрески, скульптуры, полотна и т.д.
Что такое фракталы? Простое объяснение!
Современное графическое искусство
Современные мультфильмы и компьютерные игры создаются инструментами, работа которых основана на фрактальных алгоритмах. Облака, море, горы, деревья и цветы создаются именно ими. Эти инструменты позволяют не прорисовывать каждую часть графического рисунка, а задавать им начальные параметры – остальные действия по созданию рисунка выполняет компьютер. Графику можно видоизменять на свое усмотрение путем внесения изменений в начальные параметры ее алгоритма.
Фракталы в математике
Основателем фронтальной математики является Бенуа Мандельброт – французский исследователь фронтальной геометрии и математик. Применяются они не только в математике – фрактальные системы встречаются:
Структурная единица фрактала – это не что иное, как геометрическая фигура, выраженная в определенном количестве повторений. С помощью фракталов можно увидеть математику совсем под другим углом. Она открывается с совершенно другой, в большинстве смыслов, прекрасной стороны. Да, это действительно фантастика – преобразование стандартного математического расчета в неповторимую, уникальную форму!
Множество объектов, каких-то 50 – 100 лет назад, было невозможно измерить с точностью самой малой единицы измерения. Например, береговые линии, представляющие собой природный фрактал. Фрактальная геометрия сломала древние, используемые и в наши дни, постулаты и представления о геометрической структуре мира. Теперь человеку доступно создание практически точных моделей природных объектов, их доскональное изучение и оценка факторов, воздействующих на их развитие и состояние.
ДФ Фракталы. Порядок в хаосе
Значение этого важного открытия не переоценить. Фрактальные системы есть буквально во всех сферах жизни человека, начиная с микромира, окружающего нас, заканчивая космическими объектами. Новое веяние радиоэлектроники – антенны фрактальной формы. Экономисты применяют фракталы для расшифровки колебаний кривых курсов валют. Этот список можно продолжать и продолжать.
Созданием фракталов может заниматься каждый. Это увлекательный, фантастический процесс результатом которого становится потрясающие изображения. Любая доступная графическая программа поможет создать уникальный фрактал, с единственной в своем роде формой и красотой.
ФРАКТАЛЬНЫЙ ОБРАЗ В ИСКУССТВЕ КАК СПОСОБ ОСВОЕНИЯ ХУДОЖЕСТВЕННОГО ПРОСТРАНСТВА
Производными инновационного подхода является доступное раскрытие таких проблем как тайна пирамид, фрактальное структурирование, композиционное построение различных мерностей, что требует соответствующих проблематике кругозора напряженных усилий на фоне определённого разочарования в возможностях известных научных методов.
Ночь, улица, фонарь, аптека,
Бессмысленный и тусклый свет.
Все будет так. Исхода нет.
И повторится все, как встарь,
Ночь, ледяная рябь канала,
Аптека, улица, фонарь.
Здесь финал стихотворения является почти идентичным его начальной строфе. И охарактеризовать его можно тождественной схемой, приведенной выше.
Возникает вопрос: как Марина Цветаева «поверяет алгеброй гармонию»? Что означают ее «формулы»?
Стоит признать, что фрагменты фракталов Мандельброта все же не тождественны, а подобны друг другу. Именно это качество придаёт им завораживающее очарование. Поэтому в изучении литературных фракталов встаёт задача поиска подобности, сходства (а не тождественности) элементов текста.
Список литературы
6. Флоренский П.А. Соч.: В 2 т. Т. 2. У водоразделов мысли. М., 1990. С. 102.
LiveInternetLiveInternet
—Рубрики
—Метки
—Цитатник
✨Непостижимо трагичная судьба великой виолончелистки Жаклин Дю Пре «Я никак не мог.
Kalns un Laime, Гора и Счастье В 1911 году в Риге, в Гризинькалнсе родилс.
=Еврейские мальчики= 110 лет назад родился мальчик, которому суждено было стать одним из сам.
✨Выдающийся портретист Савелий Сорин Его имя, к сожалению, почти неизвестно мног.
✨ 1925-й год. Знаменитый танцевальный зал Монпарнаса «Бюлье». П.
—Музыка
—Кнопки рейтинга «Яндекс.блоги»
—Поиск по дневнику
—Подписка по e-mail
—Статистика
Фракталы в живописи
Давно не секрет, что объекты, обладающие признаками фракталов, воспринимаются человеческим глазом как высшее проявление гармонии и красоты. Кроны деревьев и горные хребты, уникальные узоры снежинок и «золотые» спирали морских раковин и волн, кристаллы и кораллы — мы готовы бесконечно созерцать их и в живой природе, и на полотнах художников.
Кацусика Хокусай. Большая волна в Канагаве.
Упрощенное научное определение фрактала (от латинского fractus — «дробленый, сломанный, разбитый») — множество, обладающее свойством самоподобия. Этим понятием также обозначают самоподобную геометрическую фигуру, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении его масштаба. Фрактальными характеристиками обладают многие системы человеческого организма: строение кровеносной системы, бронхиального дерева, нейронных сетей.
Ричард Тейлор из Орегонского университета занимается изучением фрактальных структур в целом и конкретно в живописи начиная с 1999. В частности, на примере полотен его соотечественникаДжексона Поллока. При помощи компьютерного анализа узоров, из которых сотканы картины, ученый установил, что они обладают качествами, присущими природным фрактальным явлениям — таким, как береговые линии, например. Именно этому фактору исследователь склонен приписывать непостижимую для многих популярность работ американского абстракциониста.
Фреска. Джексон Поллок. 1943
Со свойственной ученым дотошностью Ричард Тейлор принялся вычислять фрактальную размерность картин Поллока. Так он установил, что эта величина менялась от значения, близкого к единице, в 1943 году до коэффициента 1,72 в 1954-м. Физик предлагает использовать этот показатель для датировки и подтверждения подлинности работ, ведь, согласно его данным,а также исследованиям других ученых, фрактальный анализ может помочь определить подделку с гарантией до 93 процентов.
Конвергенция. Джексон Поллок, 1952
Для более точного изучения влияния фрактального искусства на человека Тэйлор использовал метод электроэнцефалографии (ЭЭГ), позволяющий фиксировать малейшие изменения функции коры головного мозга и глубинных мозговых систем. Он показал, что созерцание фрактальных паттернов сопровождается значительным снижением уровня стресса и даже ускоряет восстановление организма после хирургического вмешательства.
Без названия. Ван Фу. XIV век
Фракталы давно и прочно обосновались в изобразительном искусстве, начиная с канувших в лету цивилизаций ацтеков,инков и майя, древнеегипетской и древнеримской. Во-первых, их достаточно сложно избежать при изображении живой природы, где фракталоподобные формы встречаются сплошь и рядом.
Прощание на реке. Шен Чжоу. XV век
Одни из наиболее ранних и ярко выраженных образцов фрактальной живописи — пейзажные традиции древнего и средневекового Китая.
Ван Мэн, Без названия
Шен Чжоу, Без названия
В 20 веке фрактальные структуры получили наибольшее распространение в направлениях оп-арт (оптическое искусство) и имп-арт (от слова impossible — невозможный). Первое из них выросло в 1950-е годы из абстракционизма, точнее говоря, отпочковалось от геометрической абстракции. Одним из первопроходцев оп-арта был Виктор Вазарели — французский художник с венгерскими корнями.
А вот на поприще имп-арта, которое выделяют как самостоятельное течение внутри оптического искусства,прославился нидерландский художник Мауриц Корнелис Эшер. Он применял в создании работ приемы, основанные на математических принципах.
Все меньше и меньше
Эшер набил руку в изображении «невозможных фигур»: создании оптических иллюзий, вводящих зрителей в заблуждение и заставляющих напрягаться вестибулярный аппарат.
Фрактальная сложность и мозг художника
Итак, рассматривание фракталов оставляет заметный след в мозговой деятельности человека, который даже фиксирует специальная аппаратура. Но существует и обратная взаимосвязь: психическое и ментальное здоровье художника может повлиять на количество и качество фрактальных композиций в его работах.
Один из хрестоматийных примеров — биография англичанина Луиса Уэйна, который после смерти жены от рака всего через три года после свадьбы увлекся рисованием антропоморфных котов, и сделал на этом неплохую карьеру. Он продолжал изображать кошачьих, даже когда попал в психиатрическую лечебницу с прогрессирующей шизофренией.
Лесная опушка. Луис Уэйн. 1928
Что касается заболеваний, приводящих к угасанию когнитивных функций и слабоумию, то здесь наблюдается обратная связь. Так было в случае с Виллемом де Кунингом, у которого в 1982 диагностировали болезнь Альцгеймера. Как отмечает в своей научной публикации Ричард Тейлор, о котором шла речь выше, фрактальная сложность его абстрактных картин стремительно уменьшалась пропорционально тому, как прогрессировала деменция художника. Анализ работ семи художников с различными неврологическими проблемами показал потенциал исследования предметов искусства в качестве нового инструмента для изучения таких заболеваний.