что такое финансовая математика

Зачем вам нужна финансовая математика

Финансовая математика — дисциплина довольно узкая, но чрезвычайно практичная и емкая. Мы предлагаем широкое понимание финансовой математики как основы для всех дальнейших приложений, таких, как инвестиционный анализ, финансовый менеджмент, банковское дело и др.

Финансовая математика исследует параметры коммерческих и финансовых операций и оценивает их финансовые результаты.

Кому нужна финансовая математика?

В первую очередь — менеджерам, управляющим производством с длительным циклом, финансовым менеджерам, постоянно имеющим дело с отсрочкой и рассрочкой платежей, малым и средним предприятиям, у которых нет возможности найма квалифицированных финансовых менеджеров, бухгалтерам и экономистам, анализирующим прошлое и будущее своих фирм.

Финансовая математика — это система практически необходимых расчетов доходности финансовых, инвестиционных и торговых операций во времени с учетом инфляции, валютных курсов, процента и прочих юридических и фактических условий выполнения договоров.

Важность финансовой математики для предпринимателя и экономиста очевидна, но даже простым гражданам желательно знать ее основы.

В начале 1993 г. многие обратили внимание на рекламу банка «Столичный» в московском метро. Приведем дословно ядро этой рекламы: «200% годовых — это в три раза больше». Особенность этого рекламного слогана заключается в расшифровке сути банковского процента. Неужели люди этого не понимают? Оказалось, да. Отечественная функциональная экономическая безграмотность была весьма велика.

Что такое функциональная неграмотность вообще? Это когда прочесть можешь, а понять — нет. Считается, что 20% американцев функционально неграмотны. Цифра, конечно, условная, но сама проблема рассматривается как одна из основных угроз американскому обществу. И у нас в России эта проблема, по крайней мере, в экономической сфере, не менее остра.

В марте 1993 г. мы решили проверить «глубину проницательности» банка «Столичный». Для этого на семинаре для начинающих учителей экономики был задан вопрос: «1000% годовых это во сколько раз больше?» Те, кто не понял вопроса, что именно больше, — промолчали. Остальные давали самые фантастические ответы типа в 101, в 1001, в 100 раз и т.д. Самым близким оказался ответ — в 10 раз больше. Правильный ответ — в 11 раз — не дал никто. На семинарах в 1994 г. многие давали, пусть не сразу, правильный ответ. Но все равно «тех, кто понял», было меньшинство.

До этого мы даже не задавались вопросом, как объяснить суть вычислений — настолько для экономиста это очевидно. В течение последнего десятилетия нам неоднократно пришлось объяснять этот алгоритм. Один из самых наглядных вариантов объяснения таков. За 100% обозначим вклад, тогда в конце периода вместе с процентами будет 100% + 1000% = 1100%. Соотнеся это число со 100%. получим, что наш капитал увеличился в 11 раз. Затем рассказывалось о том, как измеряется инфляция и что такое индекс цен, потом предлагалось потренироваться на слух: «430% это во сколько раз больше?» В 5,3 раза и т. д. «Инфляция составила 140% в год. Во сколько раз выросли цены? — в 2,4 раза. Для некоторых учителей экономики даже это было новым знанием! После подобных упражнении учителя экономики стали задавать вопросы «из жизни»: «Куда вложить деньги?» или «Какие условия депозитов лучше?» Становилось ясным, что всему этому нужно учить.

Практически все издания для бизнесменов, а иногда и для рядовых вкладчиков оперируют понятиями эффективной ставки процента, доходности, рентабельности, финансовой устойчивости, внутренней нормы отдачи и многих других понятии без доступных комментариев. В эпоху расцвета всевозможных финансовых инструментов — законных и незаконных, простых и сложных, корректных и сулящих заведомо несбыточные выгоды — не только бизнесмены и экономисты, но и просто образованные граждане должны иметь возможность в популярной форме познакомиться с азами техники сравнения выгод и потерь от коммерческих и финансовых операций.

Ключ к сути бизнеса

Финансовая математика актуальна еще и потому, что дает ключ к пониманию сути бизнеса.

Многие сферы прикладной экономики можно описать простыми математическими моделями. У этих моделей есть общее ядро, и оно изучаемся финансовой математикой.

Математические основы финансовой математики просты и опираются на обычный школьный курс элементарной математики.

Все, что нужно знать, чтобы освоить финансовую математику — это геометрическая прогрессия, степенная функция, процентные и в редких случаях логарифмические вычисления и решения систем уравнении. Финансовые вычисления не подразумевают владения бухгалтерским учетом. Опыт преподавания и школьникам, и студентам, и взрослым слушателям показывает, что у нас в России материя финансовой математики доступна всем.

Финансовая математика вводит начинающего экономиста в мир количественного анализа финансовых операций. Она охватывает довольно узкий круг методов, когда возникает необходимость в условиях сделки оговорить 3 момента:

Финансовая математика изучает сами схемы платежей и правила начисления процентов, но не это главное. Она дает объективный ответ на естественный вопрос: «Какая из возможных финансовых сделок выгоднее?». Немногие из экономических дисциплин могут похвастаться подобной конкретностью.

Хорошо если схема кредита или иной сделки проста. Но как измерять доходность в более сложных случаях, когда потоки расходов и доходов нерегулярны? На этот вопрос ответит не каждый экономист. Финансовая математика дает инструментарий для анализа и сравнения доходности различных операций. В ее силах не только показать, как считается доходность, но и дать практические предложения и сделать анализ экономического смысла получаемых результатов.

Финансовая математика имеет несколько уровней изучения:

Описательный уровень. Он доступен даже школьнику старших классов, но наиболее часто применяется для средних специальных учебных заведений. На этом уровне формулы и алгоритмы приводятся без доказательств. Вычисления упрощены, максимально используются приближенные формулы. Объяснения строятся на распространенных примерах из финансовой практики.

Аналитический уровень предполагает аналитическое описание сложившейся практики. Формулы выводятся. Описание строится абстрактно и обобщенно. Задачи формулируются так, как они возникают в практике консультирования. Показывается и учитывается влияние условий развития данного сектора экономики, роста отраслевых цен, цен поставщиков и инфляции в целом.

Исследовательский уровень. Анализируются новые финансовые инструменты. Обсуждаются проблемы их конструирования. Анализируются не только влияние инфляции, общего состояния данного сектора экономики, но делаются соответствующие прогнозы. Обсуждаются проблемы дисконтирования и алгоритмы принятия решений в реальных условиях с учетом всех рисков. В результате могут быть получены новые схемы финансовых операций или будет обоснован выбор уже известной схемы.

Финансовая математика дает весь набор необходимого основного материала, и после некоторой тренировки вы сможете производить нужные вам в жизни финансовые вычисления. Знакомство с финансовой математикой должно вестись в контексте как экономической теории, так и в контексте бурно развивающейся практики. В ней вы найдете не только перечень технических приемов для сопоставления финансовых результатов, но и основы теории процента, дисконтирования, базовые экономические представления о цене земли и другой недвижимости, о ценах акций и облигаций.

Менеджер и экономист по-разному понимают одну и ту же математическую модель. Например, математик не видит проблем в сложном проценте, а экономист замечает «узкое место»: как бабушка будет возводить в степень 137/365, если ей вообще удастся объяснить, что это такое. Предмет финансовой математики шире, чем набор математических формул, ибо включает экономические и финансовые обыкновения, отражает реалии финансового мира и коммерческих расчетов.

Источник

Финансовая математика

Финансовая математика — раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с финансовыми расчётами. В финансовой математике любой финансовый инструмент рассматривается с точки зрения генерируемого этим инструментом некоторого (возможно случайного) денежного потока.

Задача классической финансовой математики сводится к сопоставлению денежных потоков от различных финансовых инструментов исходя из критериев временной ценности денег (с учётом фактора дисконтирования), оценка эффективности вложений в те или иные финансовые инструменты (включая оценку эффективности инвестиционных проектов), разработка критериев отбора инструментов. В классической финансовой математике по умолчанию предполагается детерминированность процентных ставок и потоков платежей.

Стохастическая финансовая математика имеет дело с вероятностными платежами и ставками. Основная задача состоит в получении адекватной оценки инструментов с учётом вероятностного характера рыночных условий и потока платежей от инструментов. Формально сюда можно отнести оптимизацию портфеля инструментов в рамках средне-дисперсионного анализа. Также на моделях стохастической финансовой математики основаны методы оценки финансовых рисков. При этом в стохастической финансовой математике возникает необходимость определить критерии оценки рисков в том числе для адекватной оценки финансовых инструментов.

Содержание

Основные концепции, подходы и методы финансовой математики

Наращение процентов и дисконтирование денежных потоков

Наращение процентов

Расчётные процедуры финансовой математики основаны на принципах начисления процентов на вложенные средства. Простые проценты не предполагают реинвестирования получаемых процентов. Поэтому суммарная стоимость FV, получаемая за время t при вложении суммы PV, определяется линейно .

Однако, чаще всего финансовая математика имеет дело со сложными процентами, когда учитывается реинвестирование (капитализация) получаемых процентов. В таком случае формула будущей стоимости принимает экспоненциальный вид:

где r — непрерывная или логарифмическая ставка. Последняя запись сложных процентов бывает удобна в аналитических целях.

В финансовой практике принято задавать годовые процентные ставки, начисление и капитализация при этом могут происходить чаще 1 раза в год. Если капитализация процентов происходит m раз в году, то формула будущей стоимости принимает вид

где — эффективная годовая ставка процента.

По эффективной ставке можно сравнивать различные варианты вложения средств с различными номинальными ставками и периодами капитализации процентов. При имеем непрерывное начисление и формула принимает вид . Эта формула эквивалентна вышеприведенной формуле для сложных процентов при ставке r равной логарифмической ставке.

Будущая и текущая стоимость

Базовое предположение в финансовой математике заключается в том, что в экономике существует возможность вложения любой суммы в некий (альтернативный) инструмент (по умолчанию — банковский депозит) под некоторую сложную ставку i. На основе принципов наращения сложных процентов по этой ставке i каждой денежной сумме (стоимости) в данный момент времени ставится в соответствие будущая стоимость на момент времени t (), а каждой сумме ставится в соответствие текущая (приведенная, дисконтированная) стоимость (PV):

Процесс приведения будущей стоимости к текущей называется дисконтированием. Ставку (доходность)альтернативного вложения i — ставкой дисконтирования.

Более обобщенно, сумме в момент времени можно поставить в соответствие сумму в момент времени :

Причем данная формула справедлива как в случае t_1″ border=»0″ />, так и . Суммы, относящиеся или приведенные к одному моменту времени сопоставимы. Исходя из этого возникает концепция временной стоимости (ценности) денег, сущность которой заключается в разной ценности одинаковых сумм в разные моменты времени. Дисконтирование этих сумм (приведение к одному моменту времени) по одинаковой ставке позволяет сопоставлять суммы для разных моментов времени (различные денежные потоки) между собой.

Если задан денежный поток , то будущая стоимость в момент времени t_n» border=»0″ /> вложений данного потока денег (в соответствующие моменты времени) будет суммой будущих стоимостей отдельных составляющих потока (предполагается, что денежный поток генерируется определенным финансовым инструментом или инвестиционным проектом или бизнесом в целом, и в то же время существует возможность вложить средства в альтернативный инструмент с фиксированной доходностью, равной ставке дисконтирования):

Данной сумме можно поставить в соответствие сумму в текущий момент времени в соответствии с общим правилом дисконтирования:

В предельном случае следует рассматривать непрерывный денежный поток с плотностью , тогда текущая стоимость непрерывного денежного потока будет равна следующему интегралу:

Таким образом, каждому денежному потоку ставится в соответствие его текущая (приведенная, дисконтированная) стоимость по ставке дисконтирования.

Для аннуитетов на основе формулы геометрической прогрессии получаем следующую формулу приведенной стоимости . Для вечного аннуитета (то есть при ) получаем простое выражение . В случае бесконечного денежного потока с постоянным темпом роста получаем формулу Гордона

Эффективная (внутренняя) доходность

Если финансовый инструмент имеет некую оценку стоимости, например, рыночную цену, цену покупки и т. д., то зная денежный поток от инструмента можно оценить его эффективную (внутреннюю) доходность как ставку дисконтирования, при которой приведенная стоимость будет равна фактической цене инструмента, то есть решение уравнения по ставке . Данный показатель по разному может называться в зависимости от рассматриваемой задачи и инструментов. Например, для облигаций — это доходность к погашению (YTM), для инвестиционных проектов — внутренняя ставка доходности (IRR).

Дюрация денежного потока

Значение приведенной стоимости является нелинейной функцией ставки дисконтирования. Соответственно полностью денежный поток характеризуется графиком приведенной стоимости по ставке дисконтирования. Чувствительность (эластичность) приведенной стоимости к изменению процентной ставки (логарифмическая производная по 1+i) оказывается равной дюрации денежного потока — средневзвешенному сроку денежного потока (весами являются доли приведенных стоимостей отдельных составляющих потока в приведенной стоимости всего потока).

В первом приближении в качестве дюрации можно использовать средневзвешенный срок денежного потока без учёта дисконтирования (то есть с нулевой ставкой дисконтирования). Дюрацию можно использовать для упрощенной оценки изменения текущей стоимости финансового инструмента при небольшом изменении ставки дисконтирования. Также дюрацию можно интерпретировать иначе — это приблизительно тот период, за который можно получить суммарную величину денежного потока, если вложить под ставку дисконтирования сумму, равную текущей стоимости этого денежного потока. В частном случае бескупонной облигации дюрация совпадает со сроком такой облигации. В случае вечного аннуитета дюрация равна (1+i)/i

Для уточнения оценки влияния изменения процентной ставки иногда наряду с дюрацией используют также поправку второго порядка — выпуклость:

Тогда с достаточной для практических целей точностью

Портфельная теория

Оптимизация портфеля обычно рассматривается в рамках средне-дисперсионного анализа. Впервые данный подход к формированию портфелей предложил Гарри Марковиц (впоследствии лауреат Нобелевской премии). В рамках данного подхода доходности инструментов предполагаются случайными величинами с некоторым средним уровнем (математическое ожидание), волатильностью (дисперсией) и ковариациями между доходностями инструментов. Дисперсия доходности является мерой риска вложений в данный инструмент или в порфтель. Хотя формально подход применим при любом распределении доходностей, результаты могут быть лучше для нормального распределения, в связи с тем, что математическое ожидание и ковариационная матрица полностью характеризуют нормальное распределение.

Формулировки и решения задачи различаются в зависимости от тех или иных допущений, в частности, возможности отрицательных долей инструментов в портфеле (т. н. «короткие продажи»), наличия безрискового актива с нулевой дисперсией и корреляцией с другими активами и т. д. Задача может быть сформулирована как минимизация дисперсии портфеля при требуемой средней доходности и других ограничениях или же максимизацию доходности при заданном уровне риска (дисперсии). Также возможны иные формулировки, предполагающие максимизацию или минимизацию комплексных целевых функций, учитывающих и доходность и риск.

На основе портфельной теории Марковица в дальнейшем была разработана современная теория ценообразования финансовых активов — CAPM (Capital Assets Pricing Model).

Стохастические модели

Стохастические модели с дискретным временем

Базовая модель динамики цен финансовых инструментов — модель геометрического броуновского движения, согласно которой доходности (непрерывные, логарифмические) инструментов подчиняются процессу случайного блуждания:

где — белый шум

Данная модель удовлетворяет гипотезе эффективного рынка. В рамках данной гипотезы предполагается невозможность прогнозирования доходностей на будущие периоды на основании какой-либо информации, в том числе на основании информации о прошлых значениях доходностей.

В моделях ARIMA предполагается возможность прогнозирования доходностей на основе прошлых значений доходностей.

Модели GARCH предназначены для моделирования условной волатильности доходностей. Данные модели объясняют «толстые хвосты» распределения доходностей, а также кластеризацию волатильности, которые наблюдаются на практике. В некоторых моделях также учитывается возможность асимметрии уровня волатильности при снижении и при повышении рынка.

Имеются также иные подходы к моделированию волатильности — Модели стохастической волатильности.

Стохастические модели с непрерывным временем

где стандартное броуновское движение (винеровский процесс)

Источник

Основы финансовой математики

Основы финансовой математики

1. Основы финансовых расчетов

Предметом финансовой математики является количественный анализ, осуществляемый при финансовом проектировании и выборе инвестиционных проектов. К основным задачам финансовой математики, в том числе, относятся планирование инвестиционных проектов, расчет конечных результатов финансовых операций, оценка эффективности сделок с финансовыми инструментами.

Под процентом (процентными деньгами) понимается абсолютная величина дохода от различных финансовых операций типа помещения денежных средств на банковский депозит, предоставления кредита, приобретения облигаций и т. п. При заключении финансовой сделки стороны договора согласуют размер процентной ставки, а также период начисления (например, ежемесячно, ежеквартально или один раз в месяц). Кроме того, оговаривается срок сделки.

Исторически сложились два подхода к счету процентных денег: от настоящего к будущему (так называемое наращение) и, наоборот, от будущего к настоящему (так называемое дисконтирование).

Существует большое количество видов процентных ставок и методов начисления процентов. Два наиболее часто применяемых вида начисления процентов – по простой процентной ставке и по сложной процентной ставке. При простой процентной ставке за базу для расчета на всех периодах начисления принимается первоначальная сумма. При сложной процентной ставке за базу для расчета на следующем периоде начисления принимается сумма, полученная на предыдущем периоде начисления.

1.2. Способы и формулы расчета процентных выплат

(простой, сложный, эффективный процент)

К наращению по простым процентам обычно прибегают при краткосрочных депозитах или ссудах (до одного года), или в случаях, когда проценты не присоединяются к первоначальной сумме.

Для расчета наращенной суммы по простым процентам при сроке сделки менее одного года на примере банковского депозита используется следующая формула:

– первоначальная сумма;

– процентная, выраженная в долях единицы в расчете на временную базу начисления процентов (базовый период) ;

– срок вклада менее одного года;

– сумма, полученная в конце вклада (наращенная сумма).

При расчете процентов обычно применяют разные годовые базовые периоды – 365 дней или 360 дней (принимая, что в году 12 месяцев по 30 дней). При этом, упоминая процентную ставку , говорят «» процентов годовых». Необходимо обратить внимание, что в ряде случаев процентная ставка указывается не для годового, а для более короткого периода (полгода, квартал, месяц). В этих случаях рекомендуется перед проведением расчетов привести процентную ставку к годовому базовому периоду.

Банк начислил простой процент на вклад в сумме 1000 руб. по процентной ставке 12% годовых. Срок вклада 90 дней, базовый период 365 дней. Определить, какая сумма будет получена по истечению срока вклада?

Если срок вклада более одного года и составляет целое число лет, то при условии фиксированной процентной ставки формула (1.1) принимает следующий вид:

– срок вклада в годах.

Банк начислил простой процент на вклад в сумме 1000 руб. по процентной ставке 12% годовых. Срок вклада 2 года. Определить, какая сумма будет получена по истечению срока вклада?

В случае если процентная ставка меняется, формула (1.2) модифицируется:

, ,… – процентная ставка в -ом году.

Вкладчик размещает на счете 2000 руб. на три года. Банк начисляет простой процент. Процентная ставка за первый год равна 8%, второй – 9%, третий – 10%. Определить, какая сумма будет получена по счету через 3 года?

Расчет наращенной суммы по заданным процентной ставке, первоначальной сумме и сроке вклада относится к классу прямых задач расчета процентных выплат. Расчет дисконтированной суммы по заданным сумме в конце вклада, процентной ставке и сроке вклада относится к классу обратных задач. Также к обратным задачам можно отнести такие задачи, как определение процентной ставки или срока вклада по первоначальной и наращенной суммам.

Используя формулы (1.2) и (1.3), получим зависимость для расчета дисконтированной суммы (первоначальной суммы вклада) в условиях обратной задачи:

Вкладчик положил в банк некоторую сумму в начале 2005 г. Банк выплачивал простые проценты по следующим процентным ставкам: 2005 г. – 10% годовых; 2006 г. – 11% годовых; 2007 г. – 12% годовых. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета, определите, какую сумму он положил в банк, если на его счете в начале 2008 г. Была 13 300 руб.?

Для обратных задач, в условиях которых требуется определить величину процентной ставки, используется, в том числе, следующая зависимость, вытекающая из выражения (1.2):

Вкладчик положил в банк 20 тыс. руб. в начале 2006 г. Банк начислял простые проценты. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета, определите процентную ставку банка, если в начале 2008 г. на счете вкладчика было 50 тыс. руб.

или 75%.

Таким образом, как показывает сравнение выражений (1.6) и (1.2), при прочих равных условиях банковский депозит, начисляемый по сложным процентам, является более доходным, чем депозит по схеме простых процентов.

Банк начислил сложный процент на вклад в сумме 1000 руб. по процентной ставке 12% годовых. Срок вклада 2 года. Определить, какая сумма будет получена по истечению срока вклада?

Сравнение этого примера с примером при формуле (1.2) демонстрирует преимущество сложных процентов.

В случае меняющейся процентной ставки формула (1.6) модифицируется:

Вкладчик положил в банкруб. Банк выплачивает сложные проценты. Какая сумма будет на счете у вкладчика через два года, если процентная ставка за первый год составляет 20%, а за второй – 30%?

Из выражения (1.6) вытекает решение обратной задачи нахождения дисконтированной суммы по полученной (наращенной) сумме, процентной ставке и сроке вклада:

По окончании второго года на счете инвестора находится суммаруб. Начисление происходило по схеме сложного процента по ставке 13% в конце каждого года. Рассчитайте первоначальную сумму вклада.

Выражения и называют соответственно коэффициентом наращения и коэффициентом дисконтирования при начислении сложных процентов.

Для обратных задач, когда требуется определить величину процентной ставки при начислении сложных процентов, используют, в том числе, следующую зависимость, вытекающую из выражения (1.8):

Для задач, в которых требуется определить срок вклада, рекомендуется в общем случае использовать метод подбора.

Банк выплачивает сложные проценты. Вкладчик разместил в банке 10 000 рублей. Какую процентную ставку должен обеспечить банк для того, чтобы через два года сумма вклада составиларуб.?

или

– число периодов начисления в году.

Вкладчик размещает в банке 2000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете ежеквартально. Какая сумма получится на счете через 3 года?

Банк начислил сложный процент на вклад в сумме 1000 руб. по процентной ставке 12% годовых. Срок вклада 2 года. Капитализация процентов осуществляется один раз в полгода. Определить, какая сумма будет получена по истечению срока вклада?

Сравнение последнего примера с примером при формуле (1.6) показывает, что чем чаще начисляются проценты, тем при прочих равных условиях выгоднее депозит.

В целом ряде случаев возникает необходимость сравнения доходности финансовых инструментов, использующих различные схемы и периоды начисления. Для такого сравнения используют, в том числе, эффективную ставку процента. Под эффективным процентом понимается процент, который получается по итогам года при начислении процента в рамках года. Иными словами, это ставка процента, которая дает такой же результат, как и ставка сложного процента с начислением раз в течение года.

(1.11)

Приравнивая, получим связь между эффективной и номинальной процентными ставками:

Банк начисляет процент на вклад в сумме 1000 руб. по процентной ставке 10% годовых. Проценты капитализируются ежеквартально. Определить величину эффективного процента.

Если известен эффективный процент, то по формуле 1.13, которая вытекает из формулы 1.11, можно определить эквивалентный ему простой процент в расчете на год:

Эффективный процент равен 8,16% годовых. Определить эквивалентный ему простой процент в расчете на год, если начисление процентов осуществляется каждые полгода.

, или

1.3. Определение стоимости и доходности облигаций. Стоимость бескупонных и купонных облигаций. Текущая доходность облигации, доходности облигации к погашению

Облигация – срочная долговая ценная бумага, удостоверяющая отношения займа между ее владельцем и эмитентом. Известно достаточно много типов облигаций, в том числе купонные и бескупонные. Доход инвестора по бескупонной облигации – разность между ее номинальной стоимостью и ценой приобретения. Для купонных облигаций возникает также дополнительный доход от выплат по купонам. Традиционно облигации котируют в процентах от номинальной стоимости.

Определение цены облигации основано на дисконтировании денежных потоков, связанных с выплатой купонных доходов и номинальной стоимости облигации.

Для бескупонной облигации, поскольку доход по облигации выплачивается один раз при погашении, цена может быть определена по следующей формуле:

– номинальная стоимость облигации;

– доходность облигации к погашению (доходность облигации до погашения) – доходность инвестора в расчете на год, если инвестор, купив облигацию, продержит ее до погашения;

– число лет до погашения.

Номинал бескупонной облигации равен 1 000 руб., бумага погашается через 7 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8% годовых.

руб.

Вместе с тем, необходимо иметь в виду, что рыночная цена облигации не обязательно будет совпадать с результатами расчета. Это связано с тем, что разные инвесторы могут использовать различные ставки дисконтирования; на цену также значимо влияют соотношение спроса и предложения на облигацию, информация об эмитенте, его кредитный рейтинг, другие рыночные факторы.

Из выражения (1.14) следует фундаментальное свойство ценообразования облигаций – курсовая стоимость облигации и доходность связаны обратно пропорциональной зависимостью – при повышении доходности облигации к погашению ее цена падает, и наоборот.

Для купонных облигаций поток платежей включает купонные выплаты, а также выплату номинальной стоимости облигации при ее погашении. Поэтому при условии выплаты купона один раз в год цена облигации определяется суммой дисконтированных потоков:

где – купонный доход по облигации.

Следует обратить внимание, что обычно размер купонного дохода задается в виде процента от номинальной стоимости облигации.

Номинал облигации 1 000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12%.

Важным элементом анализа облигаций является определение доходности.

Текущая доходность купонной облигации определяется в расчете на один календарный год, для сравнения с альтернативными инвестициями на этот период. Текущая доходность представляет собой отношение величины ожидаемого (или последнего) годового дохода к текущей рыночной цене.

Номинал облигации равен 100 руб., купонная ставка 10 %, текущая цена 80 руб. Чему равна текущая доходность?

Для инвестора, который приобрел облигацию по цене и продержал ее до погашения, важно знать какую доходность обеспечила его инвестиция. В общем случае, для решения этой задачи необходимо определить значение из уравнения типа (1.15), что без использования финансового калькулятора и специальных программ представляется затруднительным. Тем не менее, для частных случаев можно использовать упрощенные зависимости. В предположении, что весь купонный доход выплачивается при погашении, при этом купонный доход не реинвестируется, рассчитывают простую (или валовую) доходность к погашению:

Облигация сроком обращения 2 года погашается по номиналу. По облигации выплачивается ежегодный купонный доход в размере 5% от номинала. Рыночная цена облигации составляет 91,3% от номинала. Рассчитайте простую доходность облигации к погашению.

Если облигация является бескупонной, то из выражения (1.14) следует, что доходность до погашения определяется выражением (1.9), где , а – цена покупки облигации.

1.4. Показатель дохода на одну акцию, коэффициент

Акция – долевая ценная бумага, предоставляющая ее владельцу, в том числе, право на получение дивидендов и участие в управлении обществом.

Для оценки и анализа инвестиций в акции используется достаточно большое количество различных показателей, среди которых наиболее распространены дивидендная доходность, показатель дохода на одну акцию, отношение цены акции к доходу.

Дивидендная (текущая) доходность акции определяется для сравнения с альтернативными инвестициями на данный период и рассчитывается как отношение годового дивиденда к текущей рыночной цене:

–размер годового дивиденда;

Акция имеет рыночную стоимость 1800 руб. За последний год ежеквартальные дивиденды выплачивались в сумме 45 руб. Рассчитайте ставку дивиденда по акции в расчете на год.

Показатель дохода на акцию – , является важнейшим показателем фундаментального анализа акций. В частности исходя из этого показателя определяют справедливую стоимость акций компании. Значение показателя EPS определяется следующим выражением:

— чистая прибыль;

– дивиденды по привилегированным акциям;

– количество обыкновенных акций в обращении.

Валовая прибыль компании составила 1,5 млн. руб. Уставный капитал компании состоит изобыкновенных акций и 2000 привилегированных акций номинальной стоимостью 1000 руб. Дивидендная ставка по привилегированным акциям – 20 %. Рассчитайте величину дохода на одну акцию, если ставка налогообложения равна 24 %.

Коэффициент Р/Е, рассчитываемый как отношение рыночной цены к доходу на одну акцию, указывает какова цена каждого рубля из дохода предприятия. Коэффициент Р/Е показывает количество лет при текущем уровне прибыли, которое потребуется компании, чтобы окупить цену своих акций.

Обыкновенная акция имеет рыночную стоимость 150 руб. Доход на акцию по итогам года составил 14 руб. Определите значение коэффициента Р/Е.

Периодическое помещение на счет одинаковой суммы. Будущая стоимость аннуитета, приведенная стоимость аннуитета. Расчет стоимости разового платежа, погашение кредита равными выплатами

Регулярный поток постоянных платежей называется финансовой рентой или аннуитетом. Аннуитеты – достаточно распространенный финансовый инструмент, часто используемый, например, в пенсионных схемах.

Будущая стоимость аннуитета при ежегодном платеже может быть определена по формуле

. Вместе с тем, для длительных сроков аннуитета расчеты по этой формуле могут оказаться весьма трудоемкими. Более удобным для расчетов представляется эквивалентное выражение следующего вида:

Инвестор в течение трех лет в конце каждого года размещает 1000 руб. под 10% годовых. Определить будущую стоимость аннуитета.

Вариант 1: F = 1000 * (1+0,1)2 + 1000 * (1+0,1)1 + 1000 = 3310 руб.,

Вариант 2: F = 1000 / 0,1* <(1+0,1)3 – 1>= 3310 руб.

В этом примере расчет будущей стоимости аннуитета осуществлен двумя способами. Результаты расчета одинаковы.

Если условиями аннуитета предусмотрено осуществление нескольких (m) платежей в год, то выражение (1.21) принимает следующий вид:

Необходимо отметить, что в выражении (1.22) C – годовая сумма платежей, а разовые платежи осуществляются равными долями с равной периодичностью.

Инвестору выплачивается пятилетний аннуитет. В расчете на год платеж составляет 1000 руб., однако платежи осуществляются через каждые полгода. Инвестор размещает получаемые суммы под 8% годовых до истечения аннуитета. Определить будущую стоимость аннуитета.

Приведенная стоимость аннуитета представляет собой будущую стоимость аннуитета, дисконтированную к начальному моменту времени. Расчет приведенной стоимости аннуитета проводится в задачах, когда нужно, например, определить какую сумму следует положить на депозит, чтобы в дальнейшем регулярно снимать одинаковые суммы. Для случая одного ежегодного платежа приведенная стоимость аннуитета определяется по формуле:

Если в течение года предусмотрено несколько (m) платежей в год, то выражение (1.23) усложняется:

1. В течение восьми лет в конце каждого года необходимо выплачивать 20 тыс. руб. Для решения этой задачи в банке открывается восьмилетний депозит, по которому ежегодно начисляется 9%, средства со счета можно снимать в конце года. Какую сумму следует разместить на депозите, чтобы осуществлять необходимые платежи и, чтобы после последнего платежа на депозите больше не осталось денег?

2.Ежегодный платеж по пятилетнему аннуитету составляет 1000 руб. и инвестируется под 10% годовых, капитализация процентов осуществляется через каждые полгода. Определить приведенную стоимость аннуитета.

Одним из вариантов аннуитета является так называемая вечная рента, когда платежи осуществляются без ограничения срока, т. е. n→∞. В этом случае будущую стоимость аннуитета определить нельзя, а приведенная стоимость вытекает из выражения (1.23):

Определить приведенную стоимость бессрочного аннуитета, по которому в конце каждого года выплачивается 1 000 руб., если процентная ставка равна 8%.

Расчет размера аннуитетного платежа может быть осуществлен как на основе будущей стоимости аннуитета (F), так и на основе приведенной стоимости аннуитета (P) в зависимости от условий задачи:

Выражения (1.26) и (1.27) имеют многочисленные применения в задачах определения размера платежа для достижения в заданный срок необходимой суммы, величины периодического платежа по кредиту и т. п. Они записаны в общем виде (m > 1), в случае, если платеж осуществляется один раз в год, то эти выражения легко упрощаются.

1. Заемщик берет кредит на десять лет в размере 5 млн. руб. под 15% годовых с условием погашения его равными суммами в конце каждого года. Проценты начисляются в конце каждого года на оставшуюся часть долга. Определить величину ежегодной выплаты по кредиту.

2. Заемщик берет кредит на два года в размере 1 млн. руб. под 12% годовых с условием погашения его равными суммами ежеквартально. Проценты начисляются в конце каждого года на оставшуюся часть долга. Определить величину ежеквартального платежа по кредиту.

Источник