что такое фазово частотная характеристика

Фазово-частотная характеристика (ФЧХ) фильтров и звук

Цепи аналогового сигнала просто невозможно представить без различных фильтров. Фильтры существуют разные и для разных целей. Не будем влезать в дебри схемотехники, а рассмотрим как фильтры Чебышева, Баттерворта и Бесселя влияют на фазовую характеристику(ФЧХ) переменного сигнала. И кто из них лучше для звука и почему.

Чтобы не возникало разногласий, будем придерживаться общепринятой терминологии. Поэтому перед тем как начать, предлагаю для начала взглянуть на следующую картинку:

А затем прочитать отрывочек из Википедии:

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) — это зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами от частоты сигнала, функция, выражающая (описывающая) эту зависимость, также — график этой функции.

Для однозначности так же будем считать, что у нас Фильтр Низких Частот (ФНЧ). Все то же самое относится и к фильтру высоких частот.

Порядок фильтра

Обычно, когда встает вопрос о создании фильтра, первым делом необходимо определиться с тем, какая нужна крутизна спада. Она напрямую определяет порядок фильтра. Чем выше порядок ФНЧ, тем круче будет спад частотной характеристики выше частоты среза.

Для удобства, на этом и последующих графиках приводится нормированная частота. Т.е. как если бы все частоты были поделены на частоту среза фильтра.

Но чем выше порядок фильтра — тем сложнее он будет в реализации и капризнее в настройке. При этом, чем выше порядок, тем худшее воздействие он будет оказывать на частотные и/или фазовые характеристики сигнала.

Обычно, когда нужен фильтр высокого порядка, для упрощения схемотехники и расчетов, прибегают к последовательному включению двух, трех и более фильтров второго порядка. Это конечно облегчает задачу, но при таком включении требуется либо разные коэффициенты усиления каждого фильтра, либо разные частоты среза. Но это уже выходит за рамки данной статьи.

Влияние фильтра на ФЧХ

Влияние фильтра на фазовую характеристику сигнала не менее значимо, чем его влияние на АЧХ. Для звуковых сигналов влияние ФЧХ фильтра на сигнал может оказаться решающим при выборе типа фильтра.

Не считая активного элемента (транзистора или микросхемы), активные фильтры, обычно, строятся на RC цепях. Каждая RC цепь — это полюс фильтра, перегибающий АЧХ в нужном нам направлении. Но одновременно с этим, каждая RC — цепь вносить конечную временную задержку в сигнал.

Такая задержка приводит к тому, что сигнал после фильтра будет сдвинут по фазе относительно исходного сигнала. Вся проблема заключается в том, что эта задержка может быть различна для разных частот.

Это касается любого фильтра. Но разница между типами фильтров в том, что они имеют разную фазово-частотную характеристику и разную крутизну среза.

Фильтра Чебышева и звук?

Начнем с фильтра Чебышева. Он имеет самый резкий спад частотной характеристики. Но вносимый им фазовый сдвиг сильно меняется во всей полосе пропускания. По этой причине фильтр Чебышева не применяется в высококачественных звуковых цепях.

Но это не единственный минус. Фильтра Чебышева так же имеет и большую неравномерность АЧХ в полосе пропускания. При этом сумма максимумов и минимумов равна порядку фильтра

На следующем графике приведены амплитудно-частотные (левая шкала) и фазово-частотные (правая шкала) характеристики для фильтра Чебышева 8-го порядка. Все тоже самое свойственно и фильтрам Чебышева более низких порядков.

Минимальное влияние на ФЧХ

Амплитудно частотная характеристика (АЧХ) фильтра Бесселя (он же Томпсона) линейна во всей полосе пропускания. Но его главным достоинством, является отсутствие вносимых фазовых искажений. Т.е. для всех частот в полосе пропускания задержка одинакова.

В плане ФЧХ он идеален для применения в звуковых цепях. Но его ложкой дегтя является самый пологий спад среди всех фильтров. Более пологий спад имеет только обычная RC-цепь.

На следующем рисунке приводится сравнение крутизны срезов фильтров разного типа: 1- Бесселя, 2 — Баттерворта, 3-Чебышева (неравномерность 0.5 дБ).

Фильтр Баттерворта имеет близкие характеристики к фильтру Бесселя, но у него более крутой спад АЧХ. За это приходится расплачиваться неодинаковостью запаздывания для разных частот..

Зависимость времени запаздывания сигнала от частот для фильтров Бесселя(1) и Баттерворда(2) второго порядка, нормированных по частоте, показаны на следующем рисунке:

Обратите внимание что на графике показана циклическая частота (омега). Для перевода в герцы необходимо умножить ее на 2π. Помимо этого используется линейный а не логарифмический масштаб по оси Х.

Но все же, фильтр Баттерворда не так уж плох. Хотя я бы не рекомендовал использовать его в звуковых цепях. Или же следует выбирать более высокую частоту среза, чтобы фазовые искажения в нужном диапазоне были минимальны. Но на практике такое не всегда возможно.

Заключение

Как же получить фильтр с минимальным воздействием на ФЧХ? Этим вопросом я озадачился при выборе восстанавливающего фильтра для ЦАПа. Отличным решением стал фильтр на гираторах. Этот фильтр был подробно описан в отдельной статье. Рассмотренный там фильтр является промежуточным между фильтрами Бесселя и Баттерворта и имеет весьма интересные как фазовые так и частотные характеристики.

Материал подготовлен исключительно для сайта AudioGeek.ru

Источник

Фазо-частотная характеристика и зависимость задержки сигнала от частоты

Фазо-частотная характеристика — это зависимость сдвига фаз между выходным синусоидальным колебанием и входным от частоты. Идеальной фазо-частотной зависимостью является линейная зависимость фазы от частоты, как это показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Идеальная фазо-частотная характеристика

Не все сигналы одинаково чувствительны к фазовым искажениям. Фазовые искажения звукового сигнала практически не ощущаются человеческим ухом, в то же самое время фазовые искажения телевизионного сигнала легко обнаруживаются человеческим глазом. Не менее вредны фазовые искажения при передаче импульсного или цифрового сигнала. Связано это с тем, что неискаженный сигнал должен быть просто задержан относительно входного, как это показано на рисунке&nbsp2.

Рисунок 2. Неискаженная передача сигнала

Если разложить прямоугольный сигнал на синусоидальные составляющие, то можно отследить как меняется фаза в зависимости от частоты при отсутствии искажений. На рисунке 3 показаны три основных синусоидальных составляющих сигнала последовательности прямоугольных импульсов.

Рисунок 3. Задержка синусоидальных составляющих при отсутствии фазовых искажений

На этом рисунке красным цветом показана первая гармоника, синим цветом третья гармоника, а фиолетовым — пятая гармоника. Суммарный сигнал показан черным цветом. При задержке данного сигнала на 0,2 мС сдвиг фазы первой гармоники должен быть 90°, сдвиг фазы третьей гармоники — 270°, а пятой гармоники уже 450°! Как видно из данного примера, все точки находятся на одной прямой. Иными словами линейная фазо-частотная характеристика соответствует одинаковой временной задержке всех частотных составляющих полезного сигнала.

И действительно, ведь производная фазовой характеристики по частоте соответствует групповой задержке сигнала:

Следовательно линейной фазовой характеристике соответствует постоянное групповое время задержки сигнала. Причем чем больше крутизна фазовой характеристики, тем больше время запаздывания. Предельный случай — нулевая задержка соответствует нулевому сдвигу по фазе на всех частотах.

Понравился материал? Поделись с друзьями!

Вместе со статьей «Фазо-частотная характеристика и зависимость задержки сигнала τ от частоты» читают:

Шумы и помехи Помехи отличаются от шумов тем, что поступают в радиоэлектронное устройство извне. Шумы образуются внутри радиоэлектронного устройства.
https://digteh.ru/Sxemoteh/Shum/

Амплитудная характеристика Одним из наиболее важным параметров радиоэлектронного устройства является его амплитудная характеристика.
https://digteh.ru/Sxemoteh/LinPar/AmplHar/

Предыдущие версии сайта:
http://neic.nsk.su/

Об авторе:
к.т.н., доц., Александр Владимирович Микушин

Кандидат технических наук, доцент кафедры САПР СибГУТИ. Выпускник факультета радиосвязи и радиовещания (1982) Новосибирского электротехнического института связи (НЭИС).

А.В.Микушин длительное время проработал ведущим инженером в научно исследовательском секторе НЭИС, конструкторско технологическом центре «Сигнал», Научно производственной фирме «Булат». В процессе этой деятельности он внёс вклад в разработку систем радионавигации, радиосвязи и транкинговой связи.

Научные исследования внедрены в аппаратуре радинавигационной системы Loran-C, комплексов мобильной и транкинговой связи «Сигнал-201», авиационной системы передачи данных «Орлан-СТД», отечественном развитии системы SmarTrunkII и радиостанций специального назначения.

Источник

Амплитудно-частотная и Фазо-частотная характеристика

Аббревиатура АЧХ расшифровывается как амплитудно-частотная характеристика. На английском этот термин звучит как «frequency response», что в дословном переводе означает «частотный отклик». Амплитудно-частотная характеристика цепи показывает зависимость уровня сигнала на выходе данного устройства от частоты передаваемого сигнала при постоянной амплитуде синусоидального сигнала на входе этого устройства. АЧХ может быть определена аналитически через формулы, либо экспериментально. Любое устройство предназначено для передачи (или усиления) электрических сигналов. АЧХ устройства определяется по зависимости коэффициента передачи (или коэффициента усиления) от частоты.

Классическим методом измерения АЧХ является подача на вход исследуемого объекта гармонического сигнала измеряемой частоты с постоянной или известной для каждой частоты сигнала амплитудой. В этом случае измеряется отношение модулей амплитуды выходного и входного сигналов (коэффициента передачи) исследуемой системы для разных частот.

Объясняя простыми словами, на вход устройства подаем сигнал с заданной частотой и известной амплитудой, на выходе этого устройства частота будет такая же, что и на входе, а вот амплитуда этого сигнала изменится. Отношение выходного значения амплитуды к значению на входе и будет являться амплитудно-частотной характеристикой.

Для наглядного отображения покажем как рассчитывается коэффициент передачи. Коэффициент передачи – это отношение напряжения на выходе цепи к напряжению на ее входе. Или формулой

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) – зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами от частоты сигнала, функция, выражающая (описывающая) эту зависимость, также – график этой функции.

– Для линейной электрической цепи, зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе этой цепи от частоты гармонических колебаний на входе.

Часто ФЧХ используют для оценки фазовых искажений формы сложного сигнала, вызываемых неодинаковой задержкой во времени его отдельных гармонических составляющих при их прохождении по цепи

Источник

3. Частотные характеристики систем автоматического управления (АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ) ч. 3.1

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами» читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки» факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность!

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

В этом разделе мы будем изучать частотные характеристики. Тема сегодняшней статьи:
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ

Будет интересно, познавательно и жестко.

3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ

Определение: Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена (системы) на единичное синусоидальное воздействие в установившемся режиме, т.е. в режиме вынужденных гармонических колебаний звена (системы).

Формула синусоидального воздействия может быть записана как:

— сдвиг фазы (нередко называют — фаза);
— амплитуда;
т.е. амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия x(t).

Используем показательную форму записи функции единичного гармонического воздействия и отклика на это воздействие (рис. 3.1.1):

Определим связь между передаточной функцией и гармоничным воздействием, пользуясь показательной формой.
Рассмотрим звено уравнение динамики которого имеет следующий вид:

В показательной форме:

Запишем в показательной форме используя соотношения 3.1.1:

Подставим эти соотношения в (3.1.1) получим:

Поскольку (амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия), то можно записать:

если вспомнить, что в преобразования Лапласа , то:

Получаем выражение для передаточной функции

— Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)
Иногда называют частотной передаточной функцией.
Модуль АФЧХ= тождественно равен амплитуде выходного сигнала:

Сдвиг фазы выходного сигнала:

Обычно АФЧХ изображается на комплексной плоскости. Формулы (3.1.6) и (3.1.7) позволяют изобразить в полярных координатах
Так же можно изображать в традиционных декартовых координатах:

Если использовать для представления W(s) форму W(s)=K·N(s)/L(s), где L(s)- полиномы по степеням s, (причем свободные члены равны 1), а К – общий коэффициент усиления звена (системы), то

Сдвиг фазы можно определить по виду многочленов и (см. формулу (3.1.9)) т.е. как разность фаз (аргументов) числителя и знаменателя:

Постоим АФЧХ для «абстрактного» звена (системы) с передаточной функцией:

Подставляя в формулу различные значения , получаем набор векторов, на комплексной плоскости

Рассмотрим действительную и мнимую части полученных векторов Из рисунка 3.1.3 видно, что:

Амплитуда и сдвиг фазы рассчитываются для векторов, соответствующих положительным частотам и лежащих в 4 квадранте по формулам:

В общем случае для любых углов сдвига необходимо учитывать переход между квадрантами на плоскости. Тогда формула принимает вид:

где:
j = 0, 2, 3, 4. если вектор в I и IV квадрант;
j = 1, 3, 4, 4. если вектор в II и III квадранте.

Во всех технических системах отклик системы, как правило, отстает от входного воздействия, то есть сдвиг фазы всегда отрицательный. Исходя из формулы 3.1.10, степень полинома L(s) выше, чем полинома N(s). Поскольку обычно степень полинома L(s) выше, чем полинома N(s), то с увеличением частоты на входе в звено (в систему) сдвиг фазы обычно отрицателен, т.е. сигнал на выходе звена еще больше отстает по фазе от входного сигнала при увеличении частоты.
В предельном случае, если частота растет до бесконечности, мы можем вообще не получить выходного воздействия. Обычно при ω→ ∞ величина амплитуды на выходе звена стремится к 0, то есть lim A(ω→∞) = 0.

при замене на имеет зеркальное изображение.

Анализируя годографы АФЧХ при > 0 (сплошная линия на рисунке 3.1.3) и при Рисунок 3.1.4 – «Зеркальная» симметрия относительно оси ординат.

Кроме анализа свойств звена (системы) по годографу АФЧХ, широкое распространение получили анализ логарифмической амплитудной характеристики (ЛАХ) и фазочастотной характеристики (ФЧХ).

ЛАХ определяется как Lm(ω)=20lgA(ω).

Поскольку зачастую удобнее использовать десятичные логарифмы (lg), чем натуральные(ln), в теории управления (также и в акустике) значительно чаще используется специальная единица – децибел (1/10 часть Бела):
+1Бел – единица, характеризующая увеличение в 10 раз.
+1дБ (децибел) – соответствует увеличению в раз.

В формуле Lm(ω)=20lgA(ω) величина Lm(ω) измеряется также в децибелах. Происхождение множителя 20 таково: A(ω) – амплитуда, линейная величина, а мощность — квадратичная величина (например, напряжение в сети измеряется в Вольтах, а мощность () пропорциональна квадрату напряжения, поэтому в формуле для Lm(ω) стоит множитель 20 (чтобы привести ЛАХ (Lm(ω)) к традиционной мощностной характеристике).

Если больше на 20 дБ, то это означает, амплитуда больше амплитуды в 10 раз,

Окончательно: Lm(ω)=20lg│W(iω)│= 20lgA(ω)

Графики A(ω) и φ(ω) имеют вид:

Учитывая, что “ω” обычно изменяется на порядки и значение A(ω) – также на порядки, график Lm(ω) строится, фактически, в логарифмических координатах, т.е. Lm(ω) =Lm(lg(ω)), например:

Наклон (– 40 дБ/дек) соответствует уменьшению амплитуды в 100 раз при увеличении частоты в 10 раз.

Рассмотренные характеристики Lm(ω), то есть ЛАХ и ФЧХ имеют широкое распространение при анализе динамических свойств звена (системы), например, при анализе устойчивости САР (см. раздел “Устойчивость систем автоматического управления”).

Рисунок 3.1.10 – пример ЛАХ и ФЧХ для сложной системы

Пример 1

Параметры блока «Построение частотных характеристик» приведены на рисунке 3.1.12, для иллюстрации зависимости АЧХ и ЛАХ. Результат работы блока — график с выбранными параметрами — изображен на рисунке 3.1.13:

Анализ графика в линейном масштабе по ω чаще всего не очень удобен, поскольку весь график собирается в узкой области, а дальше график абсолютной амплитуды практически сливается с 0. Если мы хотим исследовать частоты хотя бы до 1000 Гц, мы увидим практически вертикальные и горизонтальные прямые. Изменения масштаба шкалы АЧХ и ω на логарифмический дает возможность лучше исследовать частотные характеристики (см. рис. 3.1.14).

На рисунке 3.1.14 представлены частотные характеристики демпфера в логарифмическом масштабе и иллюстрация соотношения между абсолютной величиной амплитуды АФЧХ и ЛАХ в децибелах.

Пример 2

Постоим частотные характеристики для чуть более сложной модели, а именно — для гидравлического демпфера, рассмотренного в предыдущей лекции.

Для начала посмотрим на модель в виде блоков.

Модель, подготовленная для анализа, представлена на рисунке 3.1.15. В отличие от исходной модели, описанной ранее, входное воздействие задается блоком «ступенька» с скачком с 0 до 1 на 10 секунде расчёта. В блоке «линейная функция» происходит пересчет сигнала «ступенька»:
0 — соответствует 200 бар в камере (конечное состояние в предыдущем примере)
1 — соответствует 400 бар в камере.
Это сделано для того, чтобы можно было подавать синусоидальный сигнал и не получать отрицательное давление в камере плунжера. Также для наглядности графика мы усиливаем выходное перемещение, переводя его из метров в миллиметры.

Частотные характеристики, получаемые в конце расчёта, приведены на рисунке 3.1.16. Видно что характеристики отличаются от простого пружинного демпфера (сравните с 3.1.14)

Блок «Построение частотных характеристик» осуществляет расчет характеристик для линеаризованной модели в окрестности заданной точки. Это означает, что частотные характеристики системы в разные моменты времени могут отличаться для нелинейных моделей. Например, в нашем случае характеристики в начале расчёта будут отличаться от характеристик, полученных в конце расчёта.

Для подробных и нелинейных моделей, блок «Построение частотных характеристик» может не работать из за наличия разрывов и нелинейностей в модели. Как например, для «точной» модели демпфера, которую мы проверяли в предыдущей статье. В этом случае возможно построить частотные характеристики непосредственно моделированием, путем подачи синусоидального сигнала с разной частотой и измерения отклика. В SimInTech для этого используется блок «Гармонический анализатор», который подключается ко входу модели и генерирует синусоидальное воздействие. В этот же блок направляется отклик системы, и производится вычисление необходимых параметров для построения различных характеристик системы, которые можно вывести на графики с помощью блока «фазовый портрет».

Модель гидравлического демпфера, собранного из библиотечных блоков SimInTech, представлена на рисунке 3.1.7

Расчеты с моделью показывают, что при сохранении общего вида графиков значения, полученные для «подробной модели», отличаются от линеаризованной модели (см. рис. 3.18 — 3.19)

Использование прямого моделирования для получения характеристик является более надежным способом и работает не только с линейными моделями, но также может быть применимо для построения характеристик некоторых реальных объектов, если их можно подключить к среде моделирования и воздействовать в реальном режиме времени. Однако затраты на вычисления значительно будут больше. Например, для получения характеристик демпфера пришлось выполнить процесс в 40 000 секунд модельного времени, на обычном компьютере это заняло порядка 35 минут. График процесса перемещения плунжера в процессе вычисления характеристик приведен на рисунке 3.1.20.

Блок «Гармонический анализатор» имеет выходы:
Re(w*t) – текущее значение действительной части амплитудно-фазовой частотной характеристики исследуемой системы;
Im(w*t) – текущее значение мнимой части амплитудно-фазовой частотной характеристики.
Это позволяет построить годограф исследуемой системы с помощью фазового портрета. (см. рис. 3.1.21)

Модели, использованные для иллюстрации в лекции можно взять здесь…

Источник