Самосопряженный оператор
Структура самосопряженных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах существенно напоминает конечномерный случай. Другими словами, операторы являются самосопряженными тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны операторам действительного умножения. С подходящими модификациями этот результат можно распространить на, возможно, неограниченные операторы в бесконечномерных пространствах. Поскольку всюду определенный самосопряженный оператор обязательно ограничен, нужно более внимательно относиться к вопросу о предметной области в неограниченном случае. Это объясняется ниже более подробно.
СОДЕРЖАНИЕ
Ограниченные самосопряженные операторы [ править ]
Свойства ограниченных самосопряженных операторов [ править ]
Симметричные операторы [ править ]
Тонкости неограниченного случая [ править ]
Во многих приложениях мы вынуждены рассматривать неограниченные операторы; примеры включают позиционные, импульсные и гамильтоновы операторы в квантовой механике, а также многие дифференциальные операторы. В неограниченном случае необходимо решить ряд тонких технических проблем. В частности, существует принципиальное различие между операторами, которые просто «симметричны» (определены в этом разделе), и операторами, которые являются «самосопряженными» (определены в следующем разделе). В случае дифференциальных операторов, определенных в ограниченных областях, эти технические вопросы связаны с правильным выбором граничных условий.
Определение симметричного оператора [ править ]
В физической литературе термин « эрмитовский» используется вместо термина «симметричный». В литературе по физике обычно не говорится о различиях между операторами, которые являются просто симметричными, и операторами, которые фактически являются самосопряженными (как определено в следующем разделе).
Хотя понятие симметричного оператора легко понять, это не «правильное» понятие в общем неограниченном случае. В частности, спектральная теорема применима только к самосопряженным операторам (определенным в следующем разделе), а не к большинству операторов, которые являются просто симметричными. В частности, хотя собственные значения симметричного оператора обязательно действительны, симметричный оператор не обязательно должен иметь какие-либо собственные векторы, не говоря уже об их ортонормированном базисе.
В более общем смысле, частично определенный линейный оператор A из топологического векторного пространства E в его непрерывное двойственное пространство E ∗ называется симметричным, если
Простой пример [ править ]
Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L 2 [0,1] и дифференциальный оператор
с действительными собственными значениями n 2 π 2 ; хорошо известная ортогональность синусоидальных функций следует как следствие свойства симметрии.
Ниже мы рассмотрим обобщения этого оператора.
Свойства симметричных операторов [ править ]
Самосопряженные операторы [ править ]
Определение самосопряженного оператора [ править ]
Вкратце, плотно определенный линейный оператор A в гильбертовом пространстве является самосопряженным, если он равен своему сопряженному. Иными словами, A является самосопряженным, если (1) область определения A совпадает с областью определения сопряженного, и (2) оператор A согласован со своим сопряженным в этой общей области.
Теперь уточним приведенное выше определение. Для плотно определенного линейного оператора A на H его сопряженный A ∗ определяется следующим образом:
Обратите внимание, что именно плотность области определения оператора, наряду с частью уникальности представления Рисса, обеспечивает правильное определение сопряженного оператора.
Результат типа Хеллингера-Теплица гласит, что оператор, имеющий всюду определенное ограниченное сопряжение, ограничен.
Существенная самосопряженность [ править ]
Геометрическая интерпретация [ править ]
Существует полезный геометрический способ рассмотрения сопряженного оператора A на H следующим образом: мы рассматриваем граф G ( A ) оператора A, определенный формулой
Пример [ править ]
Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L 2 ( R ) и оператор, умножающий заданную функцию на x :
Как мы увидим позже, самосопряженные операторы обладают очень важными спектральными свойствами; на самом деле они являются операторами умножения на общих пространствах с мерой.
Различие между симметричными и самосопряженными операторами [ править ]
Как обсуждалось выше, хотя различие между симметричным оператором и самосопряженным (или по существу самосопряженным) оператором является тонким, оно важно, поскольку самосопряженность является гипотезой спектральной теоремы. Здесь мы обсуждаем некоторые конкретные примеры различия; см. ниже раздел о расширениях симметрических операторов для общей теории.
Граничные условия [ править ]
тогда A несимметрична (поскольку граничные члены при интегрировании по частям не обращаются в нуль).
тогда как область определения сопряженного к A равна A ∗ <\displaystyle A^<*>> 
С этой областью A по существу самосопряжен. [9]
Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами [ править ]
В этом случае, если мы сначала определим на пространстве гладких, быстро убывающих функций, сопряженный будет «тот же» оператор (т. Е. Заданный той же формулой), но в максимально возможной области, а именно H ^ <\displaystyle <\hat
Условия, при которых операторы Шредингера являются самосопряженными или существенно самосопряженными, можно найти в различных учебниках, таких как книги Березина и Шубина, Холла, Рида и Саймона, перечисленные в ссылках.
Спектральная теорема [ править ]
Спектральная теорема в целом может быть выражена аналогично возможности «диагонализации» оператора, показывая, что он унитарно эквивалентен оператору умножения. Другие версии спектральной теоремы аналогичным образом предназначены для улавливания идеи о том, что самосопряженный оператор может иметь «собственные векторы», которые на самом деле не находятся в рассматриваемом гильбертовом пространстве.
Формулировка спектральной теоремы [ править ]
Один из вариантов спектральной теоремы можно сформулировать следующим образом.
Теорема. Любой оператор умножения является (плотно определенным) самосопряженным оператором. Любой самосопряженный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения. [13]
Другие версии спектральной теоремы можно найти в указанной выше статье о спектральных теоремах.
Функциональное исчисление [ править ]
который является оператором, определяющим эволюцию во времени в квантовой механике.
Разрешение личности [ править ]
Принято вводить следующие обозначения
Приведенное выше определение операторного интеграла можно свести к определению скалярнозначного интеграла Стилтьеса с использованием слабой операторной топологии. Однако в более современных методах лечения этого представления обычно избегают, поскольку с большинством технических проблем можно справиться с помощью функционального исчисления.
Формулировки в физической литературе [ править ]
В физике, особенно в квантовой механике, спектральная теорема выражается способом, который объединяет спектральную теорему, как указано выше, и функциональное исчисление Бореля с использованием обозначений Дирака следующим образом:
f ( H ) = ∫ d E | Ψ E ⟩ f ( E ) ⟨ Ψ E | <\displaystyle f(H)=\int dE\left|\Psi _
I = ∫ d E | Ψ E ⟩ ⟨ Ψ E | <\displaystyle I=\int dE\left|\Psi _
H eff ∗ | Ψ E ∗ ⟩ = E ∗ | Ψ E ∗ ⟩ <\displaystyle H_<\text
и запишем спектральную теорему как:
f ( H eff ) = ∫ d E | Ψ E ⟩ f ( E ) ⟨ Ψ E ∗ | <\displaystyle f\left(H_<\text
(См. Контекст, в котором такие операторы появляются в теории рассеяния, в методе разбиения Фешбаха – Фано ).
Расширения симметричных операторов [ править ]
В нескольких контекстах возникает следующий вопрос: если оператор A в гильбертовом пространстве H симметричен, когда он имеет самосопряженные расширения? Оператор, имеющий единственное самосопряженное расширение, называется по существу самосопряженным ; эквивалентно, оператор является по существу самосопряженным, если его замыкание (оператор, график которого является замыканием графика A ) самосопряженный. В общем, симметричный оператор может иметь много самосопряженных расширений или вообще не иметь. Таким образом, нам нужна классификация его самосопряженных расширений.
Первый основной критерий существенной самосопряженности следующий: [15]
Оператор S ( U ) плотно определен и симметричен.
Отображения W и S обратны друг другу. [ требуется разъяснение ]
Это сразу дает нам необходимое и достаточное условие для того, чтобы A имела самосопряженное расширение, а именно:
Мы видим, что существует биекция между симметричными расширениями оператора и изометрическими расширениями его преобразования Кэли. Симметричное расширение самосопряжено тогда и только тогда, когда соответствующее изометрическое расширение унитарно.
Самосопряженные расширения в квантовой механике [ править ]
Пример. Самосопряженного оператора импульса p для частицы, движущейся по полупрямой, не существует. Тем не менее гамильтониан «свободной» частицы на полупрямой имеет несколько самосопряженных расширений, соответствующих различным типам граничных условий. Физически эти граничные условия связаны с отражениями частицы в начале координат (см. Рид и Саймон, том 2). p 2 <\displaystyle p^<2>>
Формулы фон Неймана [ править ]
Предположим, что A симметрично плотно определено. Тогда любое симметрическое расширение A является ограничением A *. Действительно, если A ⊆ B и B симметрично, то B ⊆ A *, применяя определение dom ( A *).
Они упоминаются как формулы фон Неймана в справочнике Ахиезера и Глазмана.
Примеры [ править ]
Симметричный оператор, который не является самосопряженным [ править ]
на пространстве непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на [0,1], удовлетворяющих граничным условиям
− i u ′ = i u − i u ′ = − i u <\displaystyle <\begin
Операторы с постоянными коэффициентами [ править ]
P ( x → ) = ∑ α c α x α <\displaystyle P\left(<\vec
Мы также используем обозначения
Тогда оператор P (D), определенный на пространстве бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на R n формулой
существенно самосопряжен на L 2 ( R n ).
P ϕ ( x ) = ∑ α a α ( x ) [ D α ϕ ] ( x ) <\displaystyle P\phi (x)=\sum _<\alpha >a_<\alpha >(x)\left[D^<\alpha >\phi \right](x)>
Соответствующему P есть другой дифференциальный оператор, формальный сопряженный к P
Теория спектральной множественности [ править ]
Равномерная множественность [ править ]
Сначала определим равномерную кратность :
Неотрицательные счетно-аддитивные меры μ, ν взаимно сингулярны тогда и только тогда, когда они поддерживаются на непересекающихся борелевских множествах.
Это представление уникально в следующем смысле: для любых двух таких представлений одного и того же A соответствующие меры эквивалентны в том смысле, что они имеют одинаковые множества меры 0.
Прямые интегралы [ править ]
Теорема спектральной кратности может быть переформулирована на языке прямых интегралов гильбертовых пространств:
Теперь мы можем сформулировать результат классификации самосопряженных операторов: два самосопряженных оператора унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда (1) их спектры совпадают как множества, (2) меры, появляющиеся в их представлениях прямого интеграла, имеют одинаковые множества меры нуль и (3) их функции спектральной кратности почти всюду совпадают относительно меры в прямом интеграле. [21]
Пример: структура лапласиана [ править ]
Как отмечалось выше, лапласиан диагонализуется преобразованием Фурье. На самом деле более естественно рассматривать отрицание лапласиана −∆, поскольку как оператор он неотрицателен; (см. эллиптический оператор ).
Чистый точечный спектр [ править ]
Этот гамильтониан имеет чисто точечный спектр; это типично для гамильтонианов связанных состояний в квантовой механике. Как было указано в предыдущем примере, достаточным условием наличия у неограниченного симметричного оператора собственных векторов, образующих базис гильбертова пространства, является наличие у него компактного обратного.