Что такое экспоненциальная функция

Экспонента в математике – это функция «y=ex», которая отражает непрерывный рост с коэффициентом. В этой функции «е»‎ ‎– это число Эйлера, которое представляет собой постоянную (

2,72). Говоря иначе, рост любой величины прямо пропорционален ее значению.

Допустим, мы слепили снежный ком и спустили его с горы. Он начинает катиться, одновременно наращивая объем. При этом чем больше он становится, тем выше скорость его движения. И наоборот: чем быстрее он катится, тем быстрее увеличивается в размерах. Получается, что масса и скорость снежного кома (y) экспоненциально возрастают со временем (x).

Экспонента в жизни. Экспоненциальный рост

Рассмотрим примеры экспоненты и экспоненциального роста в реальной жизни.

Вклад в банке под процент. У всех процессов, идущих по экспоненте, есть одна особенность: за одно и то же количество времени их параметры меняются одинаковое количество раз.

Например, вклад в банке каждый год увеличивается на определенное количество процентов. Если положить 1000 рублей в банк под 10% годовых, то через год вклад будет составлять 1100 рублей. А в следующем году 10% будут начисляться уже исходя из суммы в 1100 рублей. То есть, вклад вырастет сильнее, и так размер прироста будет увеличиваться из года в год.

Численность животных. Чем больше популяция животных, тем больше они размножаются. Соответственно, рост численности популяции прямо пропорционален количеству особей в ней.

Чем экспоненциальный рост отличается от линейного?

Линейный рост характеризуется стабильным прибавлением постоянной, а экспоненциальный рост – это следствие многократного умножения на постоянную. То есть если линейный рост на графике представляет собой стабильную линию, то экспоненциальный рост характеризуется быстрым взлетом.

В качестве примера можно привести обычную ходьбу. Если длина одного шага составляет 1 метр, то через 6 шагов человек преодолевает расстояние в 6 метров. Это и называется линейным ростом.

При экспоненциальном росте длина каждого шага в нашем примере увеличивается в 2 раза. То есть сначала человек шагает на 1 метр, потом на 2 метра, потом на 4 метра и так далее. В таком случае за 6 шагов можно пройти 32 метра, что гораздо больше, чем в предыдущем примере.

Источник

Экспоненциальная функция

Содержание

Определение

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например через ряд Тейлора:

Свойства

Экспонента от комплексного аргумента

От комплексного аргумента z = x + iy экспонента определяется следующим образом:

Вариации и обобщения

Аналогично экспонента может быть определена для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора A с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы A: Следовательно, экспонента от матрицы всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение с начальным условием x(0) = x₀ имеет своим решением x(t) = exp(At)x₀.

Обратная функция

Обратной функцией к экспоненциальной функции является натуральный логарифм.
Обозначается ln(x) :

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Экспоненциальная функция» в других словарях:

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что показательная функция … Большой Энциклопедический словарь

экспоненциальная функция — экспонента — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия Синонимы экспонента EN exponential function … Справочник технического переводчика

экспоненциальная функция — то же, что показательная функция. * * * ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, то же, что показательная функция (см. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ) … Энциклопедический словарь

экспоненциальная функция — eksponentinė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponential function vok. exponentielle Funktion, f rus. экспоненциальная функция, f pranc. fonction exponentielle, f … Fizikos terminų žodynas

Экспоненциальная функция — функция у = ex, то есть Показательная функция. Обозначается также y = exp х. Иногда Э. ф. называют и функцию у = ax при любом основании а > 0 … Большая советская энциклопедия

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — показа тельная функция, функция у=е х;обозначается также y = ехр х. Иногда Э. ф. наз. и функцию у = а х при любом основании а>0. БСЭ 3 … Математическая энциклопедия

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что показательная функция … Естествознание. Энциклопедический словарь

экспоненциальная — функция [ Словарь иностранных слов русского языка

Источник

Что такое Экспонента

Экспонента (экспоненциальная функция) — это математическая функция вида y = e×, или у = exp(x), или у = Exp(x) (где основанием степени является число е).

е — это число Эйлера, у него бесконечное количество цифр после запятой, оно трансцендентное и иррациональное. Оно равно округлённо 2,72 (а полностью — 2,718281828459045. ).

Трансцендентным число называется, если оно не удовлетворяет ни одному алгебраическому уравнению. Иррациональным — если его нельзя представить в виде дроби m/n, где n не равно 0.

Несмотря на свою бесконечность, число е является константой. То есть значением, которое никогда не изменяется.

Показательная функция — это математическая функция вида y = a×.

График экспоненты выглядит следующим образом:

Для чего используется экспонента?

Экспонента применяется и в физике, и в технике, и в экономике, особенно при решении задач, связанных с процентами.

Экспоненциальный рост

Мы используем термин экспоненциальный рост, чтобы сказать о стремительном росте чего-либо. Словосочетание чаще всего употребляется по отношению к росту популяции людей или животных/птиц.

Что такое второй замечательный предел

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705 гг.) вывел число е, когда пытался решить финансовый вопрос. В частности, он пытался понять, как должны начисляться проценты на сумму вклада в банке, чтобы это было наиболее прибыльно для владельца денег.

Он также пытался понять, есть ли лимит у дохода, получаемого в процентах, или он будет увеличиваться бесконечно.

Решая эту задачу, он использовал предел последовательности, а именно второй замечательный предел. Формулу для вычисления числа е можно записать следующим образом (где n — это число, стремящееся к бесконечности):

То есть числу е равняется предел, где n стремится к бесконечности, от 1, плюс 1, разделённый на n, и всё возвести в степень n.

Если подставить в данную формулу вместо n какую-нибудь очень большую цифру, можно получить очень хорошее приближение к е.
Например, подставим 1.000.000 и посчитаем на калькуляторе:

(1 + 1/1000000) ^ 1000000 = 2.7182804691

Как видите, с n = 1.000.000 мы получили достаточно хорошее приближение, с правильными 5 знаками после запятой.

Как определить число е?

Помимо второго замечательного предела, существуют и другие способы для определения числа е:

Сумма ряда

Существует мнение, что этот метод использовал сам Эйлер, когда высчитывал е.

Можно получить приближение е, рассчитав первые 7 частей этой суммы:

И эти вычисления дали нам следующий результат:

Этот метод дал нам точных 4 знака после запятой, и его достаточно легко запомнить.

Формула Муавра — Стирлинга

Также называется просто формула Стирлинга:

И в этом случае чем больше n, тем точнее будет результат.

Как запомнить число е

Можно легко запомнить 9 знаков после запятой, если заметить удивительную закономерность: после «2,7» число «1828» появляется дважды (2,7 1828 1828). В 1828 году родились Лев Толстой и Жюль Верн, а Франц Шуберт умер.

Хотите дальше? Можно и дальше! 15 знаков после запятой! Последующие цифры — это градусы углов в равнобедренном прямоугольном треугольнике ( 45°, 90°, 45°): 2,7 1828 1828 45 90 45.

Интересные факты

Экспоненциальную функцию также называют экспонента.

Показательная функция — это функция вида y=a×, где a — заданное число (основание), x — это переменная.

А если основание = е, с переменной x, то математически логарифм записывается как ln, а не как log. И его называют натуральный логарифм (логарифм с основанием е):

Логарифмическая функция, что обратная к показательной функции y = a×, a > 0, a≠1, пишется как .

Производная и первообразная экспоненциальной функции равны ей самой, т. е. (e×)’ = e×, но (a×)’ = (a×)*ln(a).

Якобу Бернулли в расчётах помогал его брат Иоганн. Один из кратеров на Луне носит их имя.

Число Непера и число Эйлера

Число Непера или Неперово число, число Эйлера — это названия для одного и того же числа е.

Шотландский математик Джон Непер придумал логарифмы. Так как число е является основанием натурального логарифма (ln x), то этому числу присвоили имя математика из Шотландии. Хотя Непер и не вычислял его.

Сам символ e был придуман в 1731 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Эйлер занимался вычислениями алгоритмов и вывел его основание. А точнее основание натурального логарифма, которым и является число е.

Изобретение логарифмов в XVII веке (1614 год) шотландским математиком Джоном Непером стало одним из важнейших событий в истории математики.

Источник

Для действительных чисел c и d функция формы также является экспоненциальной функцией, поскольку ее можно переписать как ж ( Икс ) знак равно а б c Икс + d <\ Displaystyle е (х) = ab ^ >

Экспоненциальную функцию иногда называют естественной экспоненциальной функцией, чтобы отличить ее от других экспоненциальных функций. Изучение любой экспоненциальной функции легко сводится к изучению естественной экспоненциальной функции, поскольку ж ( Икс ) знак равно е Икс <\ Displaystyle е (х) = е ^ <х>>

Как функции действительной переменной экспоненциальные функции однозначно характеризуются тем фактом, что скорость роста такой функции (то есть ее производной ) прямо пропорциональна значению функции. Константа пропорциональности этого отношения является натуральным логарифмом основания b :

Показательная функция удовлетворяет фундаментальному мультипликативному тождеству (которое также может быть расширено до комплексных показателей):

Аргументом экспоненциальной функции может быть любое действительное или комплексное число или даже математический объект совершенно другого типа (например, квадратная матрица ).

СОДЕРЖАНИЕ

Формальное определение

Посредством биномиальной теоремы и определения степенного ряда экспоненциальная функция также может быть определена как следующий предел:

Обзор

Производные и дифференциальные уравнения

Кроме того, для любой дифференцируемой функции f ( x ) по цепному правилу находим :

Непрерывные дроби для e x

или, применив замену z = Икс / у :

со специальным случаем для z = 2 :

Сложная плоскость

Как и в реальном случае, экспоненциальная функция может быть определена на комплексной плоскости в нескольких эквивалентных формах. Наиболее распространенное определение комплексной экспоненциальной функции аналогично определению степенного ряда для вещественных аргументов, где действительная переменная заменяется комплексной:

В качестве альтернативы, комплексная экспоненциальная функция может быть определена путем моделирования определения предела для реальных аргументов, но с заменой реальной переменной на сложную:

Определение комплексной экспоненциальной функции, в свою очередь, приводит к соответствующим определениям, расширяющим тригонометрические функции до сложных аргументов.

В частности, когда z = it ( t real), определение ряда дает разложение

В этом разложении преобразование членов в действительную и мнимую части оправдано абсолютной сходимостью ряда. Действительная и мнимая части приведенного выше выражения фактически соответствуют разложениям в ряды cos t и sin t соответственно.

Эти определения экспоненциальной и тригонометрической функций тривиально приводят к формуле Эйлера :

exp ⁡ ( я z ) знак равно потому что ⁡ z + я грех ⁡ z для всех z ∈ C <\ Displaystyle \ ехр (iz) = \ соз z + я \ грех Z <\ текст <для всех>> z \ in \ mathbb > .

Когда ее область определения расширяется от вещественной линии до комплексной плоскости, экспоненциальная функция сохраняет следующие свойства:

Затем мы можем определить более общее возведение в степень:

См. Отказ от тождества мощности и логарифма для получения дополнительной информации о проблемах с объединением степеней.

Источник

Экспоненциальная функция

Смотреть что такое «Экспоненциальная функция» в других словарях:

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что показательная функция … Большой Энциклопедический словарь

экспоненциальная функция — экспонента — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия Синонимы экспонента EN exponential function … Справочник технического переводчика

Экспоненциальная функция — Экспонента функция exp(x) = ex, где e основание натуральных логарифмов. Содержание 1 Определение 2 Свойства … Википедия

экспоненциальная функция — то же, что показательная функция. * * * ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, то же, что показательная функция (см. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ) … Энциклопедический словарь

экспоненциальная функция — eksponentinė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponential function vok. exponentielle Funktion, f rus. экспоненциальная функция, f pranc. fonction exponentielle, f … Fizikos terminų žodynas

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — показа тельная функция, функция у=е х;обозначается также y = ехр х. Иногда Э. ф. наз. и функцию у = а х при любом основании а>0. БСЭ 3 … Математическая энциклопедия

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что показательная функция … Естествознание. Энциклопедический словарь

экспоненциальная — функция [ Словарь иностранных слов русского языка

Источник