Что такое число итераций

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Количество итераций К подбирается так, чтобы обеспечить нужную точность. [1]

Количество итераций определяет скорость сходимости системы. Необходимость дальнейших расчетов зависит от изменения результатов между соседними итерациями. [6]

Количество итераций с обратной связью в рекурсивной редукции конечного кольца может быть определено заранее. [7]

После некоторого количества итераций полученная точка х ( s) подвергается анализу. [9]

Допустим, что количество итераций бесконечно. [11]

Шаг удваивается, если количество итераций на вычисление решения в точке меньше двух. [12]

Начальное приближение существенно влияет на количество итераций для получения результата с необходимой точностью, поэтому при его выборе обычно пользуются некоторыми дополнительными соображениями. [13]

Предложенный Форджи алгоритм значительно снижает количество внугрицикловых итераций за счет использования сети сортировки, имеющей древовидную структуру. Выражения в левой части порождающих правил компилируются и включаются в эту сеть, а алгоритм сопоставления довольно просто определяет конфликтующее множество, просматривая состояние сети в текущем цикле. Количество межцикловых итераций сокращается за счет обработки множества лексем, которые являются индикаторами удовлетворения условий, размещенных в рабочей памяти. Это множество лексем отображает изменения, происходящие в рабочей памяти от цикла к циклу, и таким образом позволяет выявить те условия, которые подлежат проверке. Поскольку никаких других процессов управления, кроме цикла распознавание-действие, в системе не существует, то обработать полученное в результате конфликтующее множество не представляет особого труда. Механизм разрешения конфликтов выполняет это, не обращая внимания на другие аспекты текущего контекста вычислений. [14]

Источник

Эпоха, батч, итерация — в чем различия?

Вам должны быть знакомы моменты, когда вы смотрите на код и удивляетесь: “Почему я использую в коде эти три параметра, в чем отличие между ними?”. И это неспроста, так как параметры выглядят очень похожими.

Чтобы выяснить разницу между этими параметрами, требуется понимание простых понятий, таких как градиентный спуск.

Градиентный спуск

Это ни что иное, как алгоритм итеративной оптимизации, используемый в машинном обучении для получения более точного результата (то есть поиск минимума кривой или многомерной поверхности).

Градиент показывает скорость убывания или возрастания функции.

Спуск говорит о том, что мы имеем дело с убыванием.

Алгоритм итеративный, процедура проводится несколько раз, чтобы добиться оптимального результата. При правильной реализации алгоритма, на каждом шаге результат получается лучше. Таким образом, итеративный характер градиентного спуска помогает плохо обученной модели оптимально подстроиться под данные.

У градиентного спуска есть параметр, называемый скоростью обучения. На левой верхней картинке видно, что в самом начале шаги больше, то есть скорость обучения выше, а по мере приближения точек к краю кривой скорость обучения становится меньше благодаря уменьшению размера шагов. Кроме того, значение функции потерь (Cost function) уменьшается, или просто говорят, что потери уменьшаются. Часто люди называют функцию потерь Loss-функцией или просто «Лосс». Важно, что если Cost/Loss функция уменьшается, то это хорошо.

Как происходит обучение сети

Исследователи работают с гиганскими объемами данных, которые требуют соответствующих затрат ресурсов и времени. Чтобы эффективно работать с большими объемами данных, требуется использовать параметры (epoch, batch size, итерации), так как зачастую нет возможности загрузить сразу все данные в обработку.

Для преодоления этой проблемы, данные делят на части меньшего размера, загружают их по очереди и обновляют веса нейросети в конце каждого шага, подстраивая их под данные.

Epochs

Произошла одна эпоха (epoch) — весь датасет прошел через нейронную сеть в прямом и обратном направлении только один раз.

Так как одна epoch слишком велика для компьютера, датасет делят на маленькие партии (batches).

Почему мы используем более одной эпохи

Вначале не понятно, почему недостаточно одного полного прохода датасета через нейронную сеть, и почему необходимо пускать полный датасет по сети несколько раз.

Нужно помнить, что мы используем ограниченный датасет, чтобы оптимизировать обучение и подстроить кривую под данные. Делается это с помощью градиентного спуска — итеративного процесса. Поэтому обновления весов после одного прохождения недостаточно.

Одна эпоха приводит к недообучению, а избыток эпох — к переобучению:

С увеличением числа эпох, веса нейронной сети изменяются все большее количество раз. Кривая с каждый разом лучше подстраивается под данные, переходя последовательно из плохо обученного состояния (последний график) в оптимальное (центральный график). Если вовремя не остановиться, то может произойти переобучение (первый график) — когда кривая очень точно подстроилась под точки, а обобщающая способность исчезла.

Какое количество эпох правильное?

На этот вопрос нет единственного точного ответа. Для различных датасетов оптимальное количество эпох будет отличаться. Но ясно, что количество эпох связано с разнообразием в данных. Например, в вашем датасете присутствуют только черные котики? Или это более разнообразный датасет?

Batch Size

Общее число тренировочных объектов, представленных в одном батче.

Отметим: Размер батча и число батчей — два разных параметра.

Что такое батч?

Нельзя пропустить через нейронную сеть разом весь датасет. Поэтому делим данные на пакеты, сеты или партии, так же, как большая статья делится на много разделов — введение, градиентный спуск, эпохи, Batch size и итерации. Такое разбиение позволяет легче прочитать и понять статью.

Итерации

Итерации — число батчей, необходимых для завершения одной эпохи.

Отметим: Число батчей равно числу итераций для одной эпохи.

Например, собираемся использовать 2000 тренировочных объектов.

Можно разделить полный датасет из 2000 объектов на батчи размером 500 объектов. Таким образом, для завершения одной эпохи потребуется 4 итерации.

Источник

Электронная библиотека

Пусть ищется решение системы линейных уравнений с невырожденной матрицей A ( ).

Выбирается вектор начального приближения:

Строится итерационный процесс:

Итерационный процесс прекращается при выполнении условия:

Естественно, возникает ряд вопросов:

· При каких условиях последовательность сходится к точному решению системы линейных уравнений?

· Как сформулировать условия остановки итерационного процесса?

Последовательно будем отвечать на эти вопросы.

Теорема о сходимости

Оценка погрешности. Для метода итераций удается получить две оценки погрешности: априорную и апостериорную.

Теорема (априорная оценка погрешности)

Отметим, что априорная оценка погрешности позволяет до вычислений оценить число шагов k, необходимых для достижения точности :

Отметим, что все нормы, входящие в это неравенство, должны быть согласованы. То есть если мы выбираем первую норму матрицы С, то должны взять и первую норму вектора D. Как правило, число шагов k, полученное из этой оценки, является заметно завышенным.

Теорема (апостериорная оценка погрешности)

Сформулируем алгоритм метода итераций

1) Задана система линейных уравнений с невырожденной матрицей.

Построить и обосновать алгоритм решения системы линейных уравнений методом итераций с точностью :

Если для матрицы А выполняются n неравенств , то матрица А невырожденная.

Это свойство называется диагональным преобладанием: модуль диагонального элемента больше, чем сумма модулей внедиагональных элементов строки.

Эту теорему можно сформулировать и в другом виде, используя перенумерацию строк (столбцов). Определитель матрицы А не равен нулю, если в каждой строке (столбце) А имеется преобладающий элемент и эти элементы расположены в различных столбцах (строках).

, – эти системы эквивалентны.

Найдем С и докажем, что :

Вычислим первую норму С:

2. Выбираем вектор начального приближения:

4. Условие остановки итерационного процесса:

Рассмотрим ту же систему линейных уравнений. Воспользуемся следствием из априорной оценкой погрешности. Условие на матрицу C выполнено:

, следовательно, метод итераций сходится и справедливо неравенство:

Мы вычисляли первую норму матрицы С, следовательно, и у вектора D также необходимо вычислять первую норму:

Оценку сложности алгоритма метода итераций (по времени) мы получаем из априорной оценки погрешности

На каждом шаге итерационного процесса мы выполняем О(n 2 ) арифметических действий, где n – порядок матрицы, следовательно, общее число арифметических действий: kО(n 2 ).

Если ||C|| Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Источник

Изменение пересчета, итерации или точности формулы в Excel

Для эффективного использования формул необходимо ознакомиться с тремя ключевыми понятиями.

Вычисление — это процесс расчета по формулам и последующего отображения значений результатов в ячейках, содержащих формулы. Во избежание ненужных вычислений, которые забрать время и замедлить работу компьютера, Microsoft Office Excel автоматически пересчитывает формулы только при изменении влияющих на формулу ячеек. Это является стандартной процедурой при первом открытии книги и ее редактировании. Однако тем, как и когда Excel будет пересчитывать формулы, можно управлять.

Итерация — это повторный пересчет на отдельном числовом условии. Excel не может автоматически вычислить формулу, которая ссылается (прямо или косвенно) на ячейку, содержаную эту формулу. Это называется циклской ссылкой. Если формула ссылается на одну из собственных ячеек, необходимо определить, сколько раз она должна пересчитываться. Цикловые ссылки могут итерироваться бесконечно. Тем не менее, вы можете сами задать предельное число итераций и относительную погрешность.

Точность — это показатель степени сходимости вычислений. Excel хранит и выполняет вычисления с точностью 15 значащих цифр. Однако существует возможность изменить точность вычислений, так что Excel при пересчете формул будет использовать для вычислений не хранимое, а отображаемое значение.

Во время вычислений можно выбирать команды и выполнять ввод чисел или формул. Для выполнения команд или других действий вычисления прерываются, а затем возобновляются снова. Если книга содержит большое число формул либо листы содержат таблицы данных или функции, автоматически пересчитываемые при каждом пересчете книги, процесс вычислений может занять значительное время. Он также может быть длительным, если листы содержат связи с другими листами или книгами. Можно изменить способ выполнения вычислений, установив параметр пересчета вручную.

Важно: Изменение любого из этих параметров влияет на все открытые книги.

На вкладке Файл нажмите кнопку Параметры и выберите категорию Формулы.

В Excel 2007 нажмите кнопку «Microsoft Office»,выберите «Параметры Excel»и щелкните категорию «Формулы».

Выполните одно из указанных ниже действий.

Для пересчета всех зависимых формул при каждом изменении значения, формулы или имени в разделе Параметры вычислений в группе Вычисления в книге выберите пункт Автоматически. Это — способ вычислений по умолчанию.

Чтобы пересчитать все зависимые формулы, кроме таблиц данных, при каждом изменении значения, формулы или имени в разделе «Параметры вычислений» в разделе «Вычисления книги» выберите значение «Автоматически» за исключением таблиц данных.

Для отключения автоматического пересчета и выполнения пересчета открытых книг только при явном требовании (с помощью клавиши F9) в разделе Параметры вычислений в группе Вычисления в книге выберите параметр Вручную.

Примечание: При выборе параметра Вручную Excel автоматически устанавливает флажок Пересчитывать книгу перед сохранением. Если сохранение книги занимает много времени, для его экономии снимите флажок Пересчитывать книгу перед сохранением.

Для ручного пересчета всех открытых книг, включая таблицы данных, и обновления всех открытых листов диаграмм на вкладке Формулы в группе Вычисление нажмите кнопку Пересчет.

Для ручного пересчета активного листа, всех диаграмм и листов диаграмм, связанных с этим листом, на вкладке Формулы в группе Вычисление нажмите кнопку Произвести вычисления.

Совет: Многие из этих параметров можно изменять и вне диалогового окна Параметры Excel. Откройте вкладку Формулы и в группе Вычисления щелкните элемент Параметры вычислений, а затем — Выполнять автоматически.

Примечание: Если лист содержит формулу, связанную с непересчитанным листом, и эта связь обновляется, появится сообщение о том, что исходный лист полностью не пересчитан. Для обновления связи с текущим значением, записанном в исходном листе, даже если оно неверно, нажмите кнопку ОК. Для прекращения обновления связи и использования предыдущего значения, полученного из исходного листа, нажмите кнопку Отмена.

Пересчет измененных после последнего вычисления формул и формул, зависящих от них, во всех открытых книгах. Если задан автоматический пересчет книги, нажимать клавишу F9 для пересчета не требуется.

Пересчет измененных после последнего вычисления формул и формул, зависящих от них, в активном листе.

Пересчет всех формул во всех открытых книгах независимо от того, были ли они изменены после прошлого пересчета.

Проверка зависимых формул, а затем пересчет всех формул во всех открытых книгах независимо от того, были ли они изменены после прошлого пересчета.

На вкладке Файл нажмите кнопку Параметры и выберите категорию Формулы.

В Excel 2007 нажмите кнопку «Microsoft Office»,выберите «Параметры Excel»и щелкните категорию «Формулы».

В разделе Параметры вычислений установите флажок Включить итеративные вычисления.

Чтобы установить максимальное число пересчетов, введите в поле Предельное число итераций число итераций. Чем больше число итераций, тем больше времени потребуется для пересчета листа.

Для установки максимальной разности между результатами пересчетов введите ее в поле Относительная погрешность. Чем меньше это число, тем точнее результат, и тем больше времени требуется на пересчет листа.

Примечание: «Поиск решения» и «Поиск цели» — это часть набора команд, иногда называемых инструментами анализ «что если» средств. Обе команды используют итерацию контролируемым способом для получения нужных результатов. С помощью функции «Поиск решения» можно найти оптимальное значение для определенной ячейки, настроив значения в нескольких ячейках или применив определенные ограничения к одному или нескольким значениям в вычислениях. Если вы знаете нужный результат одной формулы, но не входные значения, необходимые для его определения, можно использовать средству поиска целью.

Изменяя точность вычислений в книге, необходимо учитывать важные факторы, указанные ниже.

По умолчанию в вычислениях используются хранимые, а не отображаемые значения

Отображаемые и печатаемые значения зависят от выбора формата и отображения хранимых значений. Например, ячейка, в которой отображается дата «22.06.2008», также содержит порядковый номер, который является хранимым значением даты в этой ячейке. Можно изменить отображение даты на другой формат (например, «22-июнь-2008»), но хранимое в ячейке значение не изменится.

С осторожностью изменяйте точность вычислений

При пересчете формулы Excel обычно использует значения, хранящиеся в ячейках, на которые она ссылается. Например, если в двух ячейках содержится значение 10,005, а формат ячеек предполагает отображение значений в виде денежных единиц, в каждой из ячеек будет отображаться значение 10,01 ₽. При сложении этих значений результат будет равен 20,01 ₽, поскольку Excel складывает хранимые значения 10,005 и 10,005, а не отображаемые значения.

При изменении точности вычислений в книге путем использования отображаемых (форматированных) значений Excel безвозвратно меняет точность хранимых в ячейках значений от полной (15 цифр) до любого другого числа десятичных знаков отображаемого формата. После такого изменения возврат к исходной точности невозможен.

На вкладке Файл нажмите кнопку Параметры и выберите категорию Дополнительно.

В Excel 2007 нажмите кнопку «Microsoft Office»,выберите «Параметры Excel»и щелкните категорию «Дополнительные параметры».

В разделе При пересчете этой книги выберите нужную книгу и установите флажок Задать указанную точность.

Хотя Excel ограничивает точность до 15 десятичных разрядов, это не означает, что максимальное число, которое можно хранить в Excel, ограничено 15 разрядами. Для положительных чисел предельное значение равно 9,99999999999999E+307, а для отрицательных значений — –9.99999999999999E+307. Эти числа приблизительно равны 1 или –1 с 308 нулями.

Точность в Excel означает, что любое число с разрядностью более 15 хранится и отображается только с точностью в 15 десятичных разрядов. Десятичная запятая может стоять перед любым из этих разрядов. Все разряды справа от 15-го обнуляются. Например, у числа 1234567,890123456 16 разрядов (7 до запятой и 9 после). В Excel это число хранится и отображается как 1234567,89012345 (в строке формулы и ячейке). Если установить для ячейки формат, отображающий все разряды (вместо экспоненциального формата, такого как 1,23457E+06), вы увидите, что число показывается как 1234567,890123450. 6 в конце (16-й разряд) отбрасывается и заменяется на 0. Последним является 15-й разряд, а все последующие равны нулю.

Компьютер может содержать более одного процессора (несколько физических процессоров) или поддерживать многопоточность (несколько логических процессоров). На таких компьютерах можно уменьшить или контролировать время, требуемое для пересчета книг, содержащих множество формул, путем определения числа процессоров, используемых для пересчета. Во многих случаях пересчет может выполняться частями одновременно. Распределение нагрузки между несколькими процессорами может уменьшить общее время пересчета.

На вкладке Файл нажмите кнопку Параметры и выберите категорию Дополнительно.

В Excel 2007 нажмите кнопку «Microsoft Office»,выберите «Параметры Excel»и щелкните категорию «Дополнительные параметры».

Для включения или отключения возможности использования для вычислений нескольких процессоров в разделе Формулы установите или снимите флажок Включить многопоточные вычисления.

Заметка Этот флажок по умолчанию установлен, и для вычислений используются все процессоры. Число процессоров на компьютере определяется автоматически и отображается рядом с параметром использовать все процессоры данного компьютера.

Дополнительно при выборе параметра Включить многопоточные вычисления можно задавать число используемых процессоров компьютера. Например, можно ограничить число процессоров, используемых для пересчета, если нужно выделить процессорное время другим выполняемым на компьютере программам.

Чтобы управлять числом процессоров, в области «Число потоковвычислений» выберите «Вручную». Введите число процессоров (максимальное число — 1024).

Чтобы гарантировать правильность пересчета старых книг, приложение Excel при первом открытии книги, сохраненной в более старой версии Excel, и книги, созданной в текущей версии, ведет себя по-разному.

При открытии книги, созданной в текущей версии, в Excel пересчитываются только формулы, зависящие от измененных ячеек.

При открытии книги, созданной в более ранней версии Excel, пересчитываются все формулы в книге. Это гарантирует полную оптимизацию книги для использования в текущей версии Excel. Исключением является ситуация, когда книга находится в другом режиме вычислений, например ручном.

Поскольку полный пересчет требует больше времени, чем частичный, открытие книги, которая не была сохранена в формате текущей версии Microsoft Excel, может потребовать больше времени. После сохранения книги в формате текущей версии Microsoft Excel книга будет открываться быстрее.

В Excel в Интернете результаты формулы автоматически пересчитываются при изменении данных в ячейках, которые используются в этой формуле. Этот автоматический пересчет можно отключить и вычислить результаты формулы вручную. Вот как это сделать:

Примечание: Изменение параметра вычисления влияет только на текущую книгу, а не на другие открытые книги в браузере.

В Excel в Интернете щелкните вкладку «Формулы».

Рядом с параметрами вычисленийвыберите один из следующих параметров в этом меню:

Чтобы пересчитать все зависимые формулы при каждом изменении значения, формулы или имени, выберите значение «Автоматически». Этот параметр установлен по умолчанию.

Чтобы пересчитать все зависимые формулы, кроме таблиц данных, при каждом изменении значения, формулы или имени нажимайте кнопку «Автоматически, кроме таблиц данных».

Чтобы отключить автоматический пересчет и пересчет открытых книг только явным образом, нажмите кнопку «Вручную».

Чтобы пересчитать книгу вручную (включая таблицы данных), нажмите кнопку «Вычислить книгу».

Примечание: В Excel в Интернете нельзя изменить количество пересчетов формулы до тех пор, пока не будет выполнены определенное числовый условие, а также изменить точность вычислений с помощью отображаемого значения, а не хранимого значения при пересчете формул. Однако это можно сделать в приложении Excel для настольных систем. Чтобы задать параметры вычислений и изменить пересчет, итерацию или точность формулы, откройте книгу с помощью кнопки «Открыть в Excel».

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

Источник

Метод простых итераций

Материал из MachineLearning.

Содержание

Постановка задачи

Метод простых итераций в общем виде

Сходимость метода простых итераций

при этом если также выполнено

Геометрическая интерпретация

Метод релаксации

Где не меняет знака на отрезке, на котором ищется корень функции.
Положим и рассмотрим метод в этом случае.
Тогда получим метод ‘релаксации’:

Пусть в некоторой окресности корня выполняются условия

Тогда метод релаксации сходится при

Выбор параметра

Оценим погрешность метода релаксации

Применяя теорему о среднем получаем

Таким образом задача сводится к нахождению минимума функции

Из рассмотрения графика функции видно, что точка минимума определяется

Ускорение сходимости

Как следует из Теоремы 1, метод простых итераций линеен, то есть

Воспользуемся этим для оценки погрешности на каждой итерации. Запомним 3 последние итерации и выпишем их оценки:

Где нам известны (вычисленны по какому то линейному алгоритму),а найдем из системы. Получим:

Метод ускорения сходимости заключается в том, что после вычисления 3 приближений по линейно сходящемуся алгоритму, вычисляется новое приближение по уточняющему правилу (2).
Применительно к методу релаксации имеем:

Можно показать, что данный метод имеет уже квадратичную скорость сходимости.

Метод Вегстейна

Метод Вегстейна, вообще говоря, является модификацией метода секущих, однако его можно назвать и улучшенным методом простой итерации, преобразовав вычислительню формулу

Программная реализация

Все методы были реализованы на языке C++. Доступ к методам осуществяется через класс

Примеры тестирования

Исходный код можно скачать Код программы

Источник