Что такое численное значение

Значение слова «числовой»

1. Прил. к число (в 1 знач.). Числовая величина. Числовая последовательность.

2. Выраженный числом. Числовой масштаб карт. Числовые данные.

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

ЧИСЛОВО’Й, а́я, о́е (книжн.). Прил. к число в 1 знач.; выраженный в числах. Числовая величина. Числовое соотношение. Ч. вывод.

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

числово́й

1. являющийся числом; имеющий конкретное, строго определённым значение ◆ Но вычисление будет очень продолжительно, когда s+1 велико; свойства выражения (49) облегчают в этом случае определение числовой его величины. П. Л. Чебышев, «Опыт элементарного анализа теории вероятностей», 1845 г. (цитата из НКРЯ) ◆ Вот мне только и надо ― подсчитать числовой коэффициент, и тогда… Е. И. Замятин, «Мы», 1920 г. ◆ Модель выполнила свое назначение, подсказав точное числовое решение задачи ― как организовать ремонт. Л. Г. Коварский, «Износ и ремонт», 1986 г. // «Химия и жизнь» (цитата из НКРЯ)

2. состоящий исключительно из цифр ◆ Если в запросе один тип объекта используется в различных ролях, то применяется числовой модификатор. В. В. Овчинников, «Повышение управляемости больших концептуальных моделей», Информационные технологии г. // «25 октября 2004» (цитата из НКРЯ)

3. состоящий исключительно из чисел ◆ Числовой массив считывается с магнитной ленты и заносится в машину. Юрий Денисюк, «Реальность будущего», 1974 г. // «Техника — молодёжи» (цитата из НКРЯ)

4. использующий числа ◆ До Моцарта ещё не добрался, но попутно, знакомясь с теорией музыки, увлекся числовой гармонией. Д. И. Хармс, «Письма к друзьям», 1931-1934 г. (цитата из НКРЯ)

Источник

Численные значения: зачем и почему они нужны

— Отрицательное значение для частоты?!
— Может, это в подвале? Ну то есть на минус первом этаже?

Диалог с нефизиком С. К.

Числа нужны нам по тем же двум причинам, по которым нам нужно вообще все. Одна причина — числа сами по себе доставляют нам удовольствие. Это сложная материя, и мы поговорим об этом в конце статьи. А другая причина проста, понятна и многообразна: знание численных значений — это ключ. К успешной сдаче ЕГЭ, к решению задач, а иногда и к тому, чтобы не стать жертвой жуликов.

Каждый из этих трех ответов дали на экзамене не один и не десять — тысячи человек! Механизм явления тривиален: где-то в преобразованиях делали простую ошибку (обычно какую-то величину писали не в числителе, а в знаменателе или наоборот), размерность и разумность ни промежуточных, ни конечных формул не проверяли и оставалась последняя надежда — осознать, что написано невозможное число. Но этого не происходило. Заметим, что за арифметическую ошибку снимается один тестовый балл, хотя очевидно непонимание принципиально важных вещей и оцениваться это должно было бы совсем иначе.

Приведем еще несколько примеров серьезных последствий простых арифметических ошибок. Для конкретики пусть это будут в математическом смысле родственные примеры.

Как, например, вы отнесетесь к такому ответу для сопротивления: R = 4 Ом и R = −2 Ом? Персонаж решил квадратное уравнение, получил два корня и радостно дал такой ответ. То, что он порушил своим ответом закон сохранения энергии, ему не важно. Сопротивление генерирует ему мощность из ничего! Тут, кстати, есть тонкость — правильное решение не должно давать неправильных ответов. Распространенная фраза «один из корней не имеет физического смысла» некорректна, решение должно строиться так, чтобы не давать «не имеющих смысла» ответов, но в школе идут на упрощение. А как можно понять отрицательный ответ для давления: p = −2,3 Па? Нет, не в твердом теле и не в жидкости, где это вполне возможно, а в газе! И наконец, как следует понимать такой ответ для частоты колебаний: f = −82 · 10 13 Гц? С частотой вообще все интересно, мы о ней еще поговорим.

Мораль такова: пытаясь понять, разумный ли вы ответ получили, надо вспоминать хотя бы три вещи — фундаментальные законы и ограничения, свойства материалов и определения величин и констант. Вот три примера глупостей с числами, для разнообразия из разных источников. Первый пример возьмем из книги по подготовке к ЕГЭ (!) — в условии задачи по оптике говорится, что коэффициент преломления воды равен \( \frac<3> <4>\). Может такое быть? Вспомните определение. Второй пример — из материалов теста по физике в одном из престижных московских вузов. Задача была сформулирована так: «По проводу с сопротивлением R = 10 ТОм течет ток I = 0,02 мА. Найти напряжение на проводе. Ответ указать в гигавольтах». Понятно, почему физик или инженер, увидев такое, начнет неприлично смеяться? Третий пример — уже из работ ЕГЭ. В задаче, где нужно было определить частоту излучения в оптическом диапазоне, были получены в разных работах вот такие ответы: 3,5 · 10 −12 Гц, 12,76 · 10 −19 Гц, 15 · 10 −10 Гц. Стоит ли рассуждать о том, оптический ли это диапазон, если у нас одно колебание происходит в несколько тысяч лет?

Перейдем к рассмотрению более тонких случаев. Если речь идет о конкретных вещах, стоит представлять себе — очень-очень ориентировочно — их возможности. Может ли обычная батарейка отдавать в нагрузку мощность 154 кВт или 58 кВт? Школьник, знающий про такое понятие, как внутреннее сопротивление (в школе стоило бы рассказать, что это такое и зачем существуют «эквивалентные схемы»), легко сообразит, что мощность не может быть больше \( \mathscr^2/(4r) \), а для обычных батареек это меньше 1 Вт!

Далее, если речь идет вроде бы не о конкретных вещах, то полезно понимать, что вообще бывает. Разумен ли, например, ответ для энергии 1,93 · 10 15 Дж? Этого хватит, чтобы довести до кипения несколько миллионов тонн воды. Ну конечно, если вы поклонник Станислава Лема, то в его романе «Непобедимый» есть такое: «Тысяча четыреста двадцать два рентгена в поле, значит, излучение пробило силовой барьер, — понял Рохан. Он не знал, что такое возможно. Но, когда взглянул на шкалу мощности, понял, какой заряд использовал астрогатор. Этой энергии хватило бы, чтобы хорошенько вскипятить внутриконтинентальное море средней величины. Что ж, Хорпах предпочитал не рисковать повторными выстрелами. Может, он немного перехватил, но теперь они снова имели только одного противника».

Переведем дух и вернемся на Землю. Разумен ли ответ для частоты электромагнитного излучения 3,6 · 10 34 Гц? В школе спектр кончается примерно на 3 · 10 21 Гц, т.е. на 13 порядков раньше. Разумеется, в школе было бы полезно обсудить, какое вообще возможно электромагнитное излучение (по всем его параметрам — частоте, длине волны, энергии, мощности, поляризации. ), но 13 порядков должны были бы насторожить самого отчаянного школьника.

В школьных задачах всегда используются какие-то идеализированные представления, сильно упрощенные модели. Это в принципе нормально — физика вся так устроена, хотя степень идеализации и упрощения в серьезной физике обычно отличается от школьной. Школьникам стоило бы объяснять это подробно, показывая на примерах, как происходит развитие модели, но это обычно не делается. Тем не менее, составители задач в большинстве случаев дают для расчетов мало-мальски реальные величины и ждут в качестве ответа такие же. Задачи типа такой: «К батарейке от карманного фонарика, на которой написано 4,5 вольта, подсоединили лампочку, сопротивление которой при измерении оказалось 2 ома. Какой ток будет течь?» дают все-таки редко. Поэтому в задаче, в которой надо было определить энергию электрона при фотоэмиссии, а потом рассчитать длину его пробега в заданном тормозящем поле, школьники, получившие ответы типа 2,2 · 10 −40 м; 5,9 · 10 −36 м; 1,4 · 10 −22 м; 8,7 · 10 −16 м; 1,2 · 10 −11 м; 2,7 · 10 7 м; 2,3 · 10 27 м, должны были насторожиться. Потому что предпоследний ответ — это два диаметра Земли, а про малые расстояния вы в этой статье уже прочитали. Кстати, один из получивших фантастический ответ, насторожился — у последнего ответа стоял знак «?». Ответ, превышающий размер Вселенной (в одном из современных пониманий), все-таки вызвал сомнение. Или такой пример — персонаж получил мощность от батарейки 4 · 10 −19 Вт. Для обычной батарейки это соответствует току 2,5 · 10 −19 A, т.е. полтора электрона в секунду! В среднем, в среднем. Да просто по воздуху потечет больший на порядки ток — и подсоединять к ней ничего не надо.

Вот еще одна прелестная задача, в которой сделали некорректность изготовители и делали ошибку многие потребители. Дан объем, в него помещают сколько-то 210 Po, который с таким-то периодом полураспада испускает α-частицы и превращается в Pb. Каким будет давление в объеме через некоторое время? Существенная часть правильно вычисляла, сколько атомов Po распадется и сколько атомов Pb получится, а потом определяла давление по универсальному газовому закону. Уже хорошо. Но вообще-то задача некорректна — α-частицы вылетают из образца в объем только из 10-микронного приповерхностного слоя (да и то не все), т.е. большинство вообще не вылетит. Кстати, частицы эти — не совсем атомы гелия, но «не будем о страшном на ночь», как говорит один мой знакомый физик.

Далее, внутри задачи часто приходится, как это ни странно, складывать. Получив в качестве промежуточного результата нечто вроде (0,515 · 10 15 + 2,75), стоит насторожиться. Равно как и получив в качестве ответа на вопрос «во сколько раз» ответы «в 1,2 · 10 18 раза» или «в 0,4 · 10 26 раз». Если задачу составлял минимально разумный человек, такого не будет — складывать и вычитать в школе имеет смысл сравнимые величины (хотя бы из-за того, что разрешено пользоваться калькуляторами). Заметим, что в серьезной физике (и школьникам стоило бы это объяснять) ситуация сложнее — бывает, что сильно различающиеся величины приходится складывать. А чаще их приходится сравнивать — для выбора модели, для обоснования того, что мы учитываем, а чем в данном случае пока пренебрегаем.

Итак, численные оценки имеют большое значение в физике — причем еще задолго до получения ответа! Они позволяют построить модель и определить направление ее развития. Это — одна из причин важности численных оценок для физики. Для остальных людей они важны еще и потому, что в некоторых случаях предохраняют от разного рода жуликов и от недобросовестной рекламы. Любим же мы численные оценки, как и вообще знание, именно потому, что знание помогает выживанию и при правильном его применении улучшает жизнь. Это все хорошо, а что делать сейчас? Ответ прост — взять учебник физики (за все классы) и, медленно листая его, про каждую встреченную величину подумать, какие ее значения встречаются в жизни, какие могут встретиться в задачах. Интернет поможет вам найти ответы, а глядишь, и статью для «Кванта» напишите. А еще полезно посмотреть статьи А. А. Лукьянова про численные оценки — в интернете спросите «Лукьянов» и «в числах».

И последнее. Все ответы, приведенные в этой статье, реальные. Диалог в эпиграфе — тоже. Правда, тут же выяснилось, что собеседник шутил. А вот школьники, когда писали все эти ужасы, отнюдь не шутили.

Источник

ЧИСЛЕННЫЙ

Смотреть что такое «ЧИСЛЕННЫЙ» в других словарях:

численный — числовой, цифровой, суммарный, количественный, считаемый, выраженный (числом, в числах), числительный, наличный Словарь русских синонимов. численный прил., кол во синонимов: 8 • выраженный в числах … Словарь синонимов

ЧИСЛЕННЫЙ — ЧИСЛЕННЫЙ, ая, ое. 1. см. число. 2. Выраженный в каком н. количестве, количественный. Численное превосходство противника. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Численный — прил. 1. соотн. с сущ. число I, связанный с ним 2. Количественный. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

численный — численный, численная, численное, численные, численного, численной, численного, численных, численному, численной, численному, численным, численный, численную, численное, численные, численного, численную, численное, численных, численным, численной … Формы слов

численный — ч исленный … Русский орфографический словарь

численный — 1. прич.; кр.ф. чи/слен, чи/слена, лено, лены 2. прил. (к число/) … Орфографический словарь русского языка

численный — Syn: числовой, цифровой … Тезаурус русской деловой лексики

численный — ая, ое. 1. Выраженный числом; числовой. Ч. и линейный масштаб карты. Ч ое решение уравнений. Ч ое программное управление. 2. Выраженный в каком л. количестве; количественный. Ч. рост поголовья. Возрастать в численном составе. ◁ Численно, нареч.… … Энциклопедический словарь

численный — I см. число II ая, ое. см. тж. численно 1) Выраженный числом; числовой. Чи/сленный и линейный масштаб карты. Ч ое решение уравнений. Ч ое программное управление. 2) Выраженный в каком … Словарь многих выражений

численный — числ/енн/ый … Морфемно-орфографический словарь

Источник

Лекция 5. НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО КАК МЕРА ВЕЛИЧИНЫ

Лекция 5. НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО КАК МЕРА ВЕЛИЧИНЫ

1. Натуральное число – мера измерения величин

Понятие положительной скалярной величины и ее измерения

Определение. Величины, которые определяются только числовым зна­чением, называ­ются скалярными величинами (примеры скалярных вели­чин: длина, объем, тeмпература).

Некоторые скалярные величины допускают неограниченное дробление пред­мета, явления на части, каждая из которых сохраняет те же свойства, что и целое (но в меньшей ме­ре, в меньшем количестве). Такие ска­ляр­ные вели­чи­ны принято называть аддитивно-скалярными величинами (э­то – длина, пло­щадь, масса и т. д.). Величина «плотность тела» не будет аддитивно-ска­лярной, так как любая часть данного тела (например, часть куска железа) будет иметь такую же плотность, как и все тело.

Дадим аксиоматическое определение аддитивно-скалярной величине.

Пусть M – множество предметов (явлений), обладающих некоторым свой­ством P (например, иметь длину или площадь), и во мно­жест­ве M определено от­но­шение экви­ва­лентности относительно свойства P. Пусть также во множе­стве M выбран некоторый элемент e в качестве единицы (эталона), при этом для произвольных элементов a, bÎM имеет место операция сложения a + b = c, cÎM.

j cуществует элемент еÎM, которому соответствует единица: f(e) = 1;
e на­зы­ва­ется эталоном или единицей измерения;

k если элементы aÎM и bÎM эквивалентны относительно свойства P, то f(a) = f(b);

l если на множестве M элемент c состоит из элементов a и b, то f(c) = f(a) + f(b);

m если на множестве M определены два отображения f₁ и f₂, удовлетворяющие условиям j–l, то существует такое положительное число k, что для любого элемента xÎM справедливо равенство f₂(x) = kf₁(x).

Отображение f в данном случае называется измерением ве­ли­чины Р, а поло­жи­тельные действительные числа f(a), f(b), f(c) – мерой величины (или ее значением).

Кроме скалярных величин в математике, физике и других нау­ках встреча­ются величины, которые характери­зу­ются не только числовым зна­чен­ием, но и на­прав­лением. Такие величины называются векторными вели­чи­нами (или век­то­рами), например: скорость, ускорение, сила.

Если при выбранной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положи­тель­ной скалярной величиной.

Положительными скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др. Измерение величин по­зво­ляет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над вели­чинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины – длины отрезка. Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим X. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обо­значим буквой Е.

Определение. Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют чис­ленным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.

Пишут: Х = а × Е или а = т_Е (Х).

Например, отрезок х (см. рисунок) состоит из 6 отрезков, равных отрезку е.

Если длину единичного отрезка обозначить буквой Е,

а длину отрезка х – буквой X, то можно написать, что Х = 6Е или 6 = m_Е (Х).

Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина ко­торого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:

2. Смысл суммы, разности, произведения и частного таких чисел

Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»:

1) Многие окружающие нас предметы имеют длину.

2) Стол имеет длину.

В первом предложении утверждается, что длиной обладают объекты неко­то­рого класса. Во втором речь идет о том, что длиной обладает конкретный объект из этого класса. Обобщая, можно сказать, что термин «длина» употребляется для обозначения свойства, либо класса объектов (предметы имеют длину), либо конкретного объекта из этого класса (стол имеет длину).

Но чем это свойство отличается от других свойств объектов этого класса? Так, например, стол может иметь не только длину, но и быть изготовленным из дерева или металла; столы могут иметь разную форму. О длине можно сказать, что разные столы обладают этим свойством в разной степени (один стол может быть длиннее или короче другого), чего; не скажешь о форме – один стол не может быть «прямоугольнее» другого.

Таким образом, свойство «иметь длину» – особое свойство объектов, оно проявляется тогда, когда объекты сравнивают по их протяженности (по длине). В процессе сравнения устанавливают, что либо два объекта имеют одну и ту же длину, либо длина одного меньше (больше) длины другого.

Аналогично можно рассматривать и другие известные величины: площадь, массу, время и т. д. Они представляют собой особые свойства окружающих нас пред­метов и явлений и проявляются при сравнении предметов и явлений по этому свойству, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения.

Величины, которые выражают одно и то же свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. Например, длина стола и длина комнаты – это величины одного рода.

Основные положения, связанные с однородными величинами.

Например, мы говорим, что в прямоугольном тре­уголь­нике длина гипоте­нузы больше длины любого его катета, масса яблока меньше массы арбуза, длины противоположных сто­рон прямоугольника равны.

С = А – В – это длина отрезка с.

Например, если А – время, отводимое на один урок, то, умножив А на число х = 3, получим величину В = 3 ´ А – время, за которое пройдет 3 урока.

Частным величин А и В называется такое положительное действи­тельное число х = А : В, что А = х ´ В.

Так, если А – длина отрезка а, В – длина отрезка b (рис. 2) и отрезок а состоит из 4 отрезков, равных b, то

А : В = 4, поскольку А = 4 × В.

Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особен­но­стью – их можно оценивать количественно. Для этого величину надо из­мерить. Чтобы осуществить измерение, из данного рода величин выби­ра­ют величину, которую называют единицей измерения. Мы будем обо­значать ее буквой Е. Если задана величина А и выбрана единица вели­чины Е (того же рода), то измерить величину А – это значит найти такое положительное действительное число х, что А = х × Е.

Число х называется численным значением величины А при единице измерения величины Е. Оно показывает, во сколько раз величина А больше (или меньше) величины Е принятой за единицу измерения.

Если А = х × Е, то число х называют также мерой величины А при единице измерения величины Е и Х = m_Е (А)

Например, если А – длина отрезка а, Е – длина отрезка b (рис. 2), то А=4Е. Число 4 – это численное значение длины А при единице длины Е, или, другими словами, число 4 – это мера длины А при единице длины Е.

В практической деятельности при измерении величин люди пользуются стан­дартными единицами величин: так, длину измеряют в метрах, сантиметрах и т. д. Результат измерения записывают в таком виде: 2,7 кг; 13 см; 16 с. Исходя из понятия измерения, данного выше, эти записи можно рассматривать как произ­ведение числа и единицы величины. Например, 2,7 кг = 2,7 × кг; 13 см = 13 × см; 16 с = 16 × с.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

Например, если массы двух тел таковы, что А = 5 кг, В = 3 кг, то можно утверждать, что А > В, поскольку 5 > 3.

2. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то для нахождения численного значения суммы А + В доста­точ­но сложить численные значения величин А и В:

А + В = С Þ т(А+В)=т(А)+т(В).

Например, если А = 5 кг, В = 3 кг, то

А + В = 5 кг + 3 кг = (5 + 3) кг = 8 кг.

3. Если величины А и В таковы, что В = х ´ А, где х – положи­тельное действительное число, и величина измерена при помощи единицы величины Е, то, чтобы найти численное значение вели­чины В при единицы Е, достаточно число х умножить на число т (А): В = х × А Þ т (В) = х × т(А).

Например, если масса В в 3 раза больше массы А и А = 2 кг, то

В = 3А =3× (2 × кг) = (3× 2) × кг = 6 кг.

Замечание. В математике при записи произведения величины А на число х принято число писать перед величиной, т. е. х × А. Но разре­шается писать и так: А × х. Тогда численное значение величины А умножают на х, если находят значение величины А × х.

Рассмотренные понятия – объект (предмет, явление, процесс), его величина, численное значение величины, единица величины – надо уметь вычленять в текстах и задачах. Например, математическое содержание предложения «Купили 3 килограмма яблок» можно опи­сать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойство – масса; для измерения массы использовали единицу массы – килограмм; в результате измерения получили число 3 – численное значение массы яблок при единице массы – килограмм.

Один и тот же объект может обладать несколькими свойствами, которые являются величинами. Например, для человека – это рост, масса, возраст и др. Процесс равномерного движения характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем, между которыми существует зависимость, выражаемая формулой s = vt.

Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода, или разнородными величинами. Так, например, длина и масса – это разнородные величины.

Смысл суммы и разности натуральных чисел. Какой смысл имеют сумма и разность натуральных чисел, полученных в результате измерения величин?

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Доказательство. Обозначим длины отрезков х, у и z соответственно буквами X, Y и Z. Пусть m(Y) = а, m(Z) = b при единице длины Е. Тогда отрезок у разбивается на а частей, каждая из которых равна отрезку длины Е, отрезок z разбивается на b таких частей. А потому весь отрезок х разбивается на а + b таких частей. Значит, m(Х) = а + b = m(Y)+m(Z).

Следствие. Сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z мерами длин которых являются числа а и b:

Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Покажем, как используется данный подход к обоснованию выбора действия сложения при решении текстовых задач.

Задача 1. «В саду собрали 7 кг смородины и 3 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?»

В задаче две величины – масса смородины и масса малины. Извест­ны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, ко­торая получится, если данные массы сложить. Для этого, согласно рас­смот­ренной теореме, надо сложить численные значения массы смо­ро­дины и массы малины, т. е. получить выражение 7 + 3. Это – матема­ти­ческая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 7 + 3, получим ответ на вопрос задачи.

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказатель­ству предыдущей.

Аналогичный смысл имеет разность натуральных чисел, получен­ных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Выясним, как используется данный подход к обоснованию выбора действия вычитания при решении текстовых задач, например, «Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько килограммов картофеля купили, если капусты было 3 кг?».

В задаче рассматривается масса овощей, известно ее численное значение. Эта масса складывается из массы картофеля и массы ка­пусты, численное значение которой также известно. Требуется узнать числен­ное значение массы картофеля. Так как массу картофеля можно полу­чить, вычитая из всей массы купленных овощей массу капусты, то чис­ленное значение массы картофеля находят действием вычитания: 7–3. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи.

При помощи сложения или вычитания решаются также текстовые задачи, в которых величины связаны отношением «больше на» или «меньше на». Например: «Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2 кг больше. Сколько килограммов картофеля купили?». В задаче речь идет о двух величинах – массе моркови и массе карто­феля. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что картофеля на 2 кг больше, чем моркови.

Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Рассматривая смысл суммы и разности натуральных чисел – мер ве­ли­чин, мы установили, что сложение таких чисел связано со сложением величин, а вычитание – с вычитанием величин. И естественно возникает вопрос: с каким действием над величинами связано умножение и деле­ние натуральных чисел? Чтобы ответить на него, проанализируем задачу: «Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?».

В этой задаче речь идет о массе муки, которая сначала измерена пакетами, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения той же массы муки, но уже при помощи другой единицы – килограмм при условии, что 1 пакет – это 2 кг муки. Рассуждения, связанные с поиском числен­ного значения массы муки при единице – килограмм, можно предста­вить в таком виде: 3 пак. = 3·пак. = 3 · (2 кг) = 3 · 2 · кг = (3 · 2) кг.

Видим, что ответ на вопрос задачи находится умножением и что оно оказалось связанным с переходом (в процессе измерения массы) от одной единицы массы к другой, более мелкой.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых рав­на Е₁, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁, равна а × b.

Следствие. Умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b – мера длины Е при единице длины Е₁, то произведение а× b – это мера длины отрезка х при единице длины Е₁:а× в = т_Е (Х) × т_Е1 (Е) = т_Е1 (Х).

Аналогичный смысл имеет произведение натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин. И поэтому при построении вспомогательных моделей тексто­вых задач с величинами можно использовать отрезки (что, впрочем, мы делали и раньше). Кроме того, условимся, что в тех случаях, когда это не ведет к путанице, отрезок х и его длину Х не различать. Проиллюстрируем это на конкретном примере.

Задача 1. Объяснить смысл произведения 4×3, если 4 и 3 – числа, полученные в результате измерения величин.

Решение. Пусть 4 = m_Е (Х), 3 = m_Е1 (Е), где Х – измеряемая величина, Е – первоначальная единица величины, а Е₁ – новая единица величины. Тогда, согласно доказанной теореме, 4×3 = m_Е1 (X), т.е. 4×3 – это численное значение длины Х при единице длины Е₁. Рассмотрим рисунок 5, б). Пусть Х – длина отрезка. Если Е- первоначальная единица длины, то = 4× Е. Если Е₁ – новая единица длины, такая, что Е = 3Е₁, то Х = 4 ×Е= 4 × (3×Е₁) = (4× 3) Е₁.

Задача 2. Обосновать выбор действия при решении задачи. «В од­ной коробке 6 ручек. Сколько ручек в трех таких коробках?»

Решение. В задаче речь идет о количестве ручек, которое сначала измерено коробками и известно численное значение этой величины при указанной единице. Требуется найти численное значение этой же величины при новой единице – ручка, причем известно, что коробка – это 6 ручек. Тогда 3 кор. = 3× кор. = 3× (6 руч.) = 3 × (6× руч.) = (3× 6) руч. Таким образом, задача решается при помощи действия умножения, поскольку в ней при измерении осуществляется переход от одной еди­ницы величины (коробка) к другой – ручка.

Чтобы установить смысл частного натуральных чисел, получен­ных в результате измерения величин, рассмотрим задачу: «6 кг муки на­до разложить в пакеты, по 2 кг в каждый. Сколько получится пакетов?»

В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена при помощи единицы массы – килограмм, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения этой же массы, но уже при помощи другой единицы – пакета, причем известно, что 1 пакет – это 2 кг.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при новой единице – пакет, можно представить в таком виде:

Видим, что ответ на вопрос задачи находится делением и что оно связано с переходом (в процессе измерения) от одной единицы массы к другой, более крупной.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е₁ состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а : b.

Данная теорема доказывается аналогично рассмотренной выше. Из этой теоремы следует, что деление натуральных чисел связано с перехо­дом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное чис­ло а – мера длины отрезка х при единице длины Е, а натуральное чис­ло b – мера новой единицы длины Е₁ при единице длины Е, то част­ное а: b – это мера длины отрезка х при единице длины Е₁:

Аналогичный смысл имеет частное натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Заметим, что такая трактовка частного возможна только для деления по содержанию.

Задача 3. Обосновать выбор действия при решении задачи.

«Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4 м. Сколько платьев сшили?»

Рассуждения, связанные с поиском численного значения длины при единице – платье, можно представить в таком виде:

Таким образом, ответ на вопрос задачи находится при помощи деления, поскольку в задаче нужно перейти от одной единицы величины (метр) к другой (платье), более крупной.

Итак, умножение и деление натуральных чисел – мер величин оказалось связанным с переходом от одной единицы величины к другой в процессе измерения одной и той же величины.

Выбор действий умножения и деления при решении текстовых задач с величинами можно обосновывать иначе, используя понятие умножения и деления величины на натуральное число.

Рассмотрим, например, задачу: «Купили 3 пакета муки, по 2 кг в каж­дом. Сколько килограммов муки купили?» Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу 2 кг повторить слагаемым три раза, т.е. массу 2 кг умножить на число 3. Численное значение полученной при этом величины находим, умножив численное значение массы муки в одном пакете на число 3. Произведение 2 × 3 будет математической моделью данной задачи. Вычислив его значение, будем иметь ответ на вопрос задачи.

Если В = А × х, где х – натуральное число, В и А – величины одного рода, то с помощью деления решают две задачи:

С этих позиций выбор действия при решении задачи «6 кг муки разложили на пакеты по 2 кг в каждый. Сколько получилось пакетов?» можно обосновать так. В задаче надо узнать, сколько раз масса 2 кг укладывается в 6 кг, т.е. надо массу 6 кг разделить на массу 2 кг. В результате должно получиться число, которое находим, разделив численное значение одной величины на численное значение другой. Таким образом, получаем частное 6:2. Его значение и будет ответом на вопрос задачи.

Пользуясь описанным подходом к трактовке умножения и деления натуральных чисел, можно обосновывать выбор действия и при решении текстовых задач с отношениями «больше в» и «меньше в».

Задача 4. Обосновать выбор действия при решении задачи.

«Купили 3 кг моркови, а картофеля в 2 раза больше. Сколько килограммов картофеля купили?»

Решение. В задаче рассматриваются масса моркови и масса кар­тофеля, причем численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что она в два раза больше первой.

Если воспользоваться вспомогательной моделью задачи, то мож­но сказать, что масса картофеля складывается из двух масс по 3 кг, и, следовательно, ее численное значение можно найти, умножив 3 на 2. Найдя значение выражения 3 × 2, получим ответ на вопрос задачи.

Источник