Что такое чевиана в математике

Теоремы Чевы и Менелая – одни из базовых основ планиметрии и геометрии, которым репетиторы и школьные учителя уделяют особое внимание, а ученикам задают писать научные доклады и рефераты на эту тему в качестве домашнего задания.

Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой.

Именно для этого мы подготовили данный материал. В нем вы узнаете, чем интересны данные основы, принципы их доказательств и рассмотрите решения некоторых задач из ЕГЭ.

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I в. Большой вклад внес в развитие сферической тригонометрии, где для получения формул использовал именно эту теорему, которую теперь изучают все школьники.

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Особенность теоремы заключается и в том, что приведённый рисунок чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это – весьма распространённая геометрическая конструкция, когда какая-то прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Обозначим точку пересечения данной прямой с B₁C₁ через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B₁CD и B₁AC₁. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B₁ между ними.

Углы B₁CD и B₁AC₁ равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя данную пару подобных треугольников, можно записать условие пропорциональности сходственных сторон, а именно:

Так как сторона CD не является составляющей исходного равенства, для дальнейшего доказательства её нужно выразить.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA₁ и BC₁A₁ подобны, так как углы CA₁D и BA₁C₁ равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA₁ равен углу BC₁A₁, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C₁D.

Покажем это на рисунке:

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Что и требовалось доказать.

Формулировка теоремы Чевы

Джованни Чева — итальянский математик, инженер. Годы жизни 1648 — 1734 гг. Основные труды ученого в области геометрии и механики.

Рассматриваемая теорема была доказана ученым в 1678 г.

Рассмотрим приведённый ниже рисунок:

Теорема звучит так: любые произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника, (но с одним условием: они должны пересекаться в одной точке) делят противолежащие этим вершинам стороны таким образом, что истинно равенство:

В честь ученого, доказавшего эту теорему, данные отрезки называют «чевианами».

Доказательство теоремы

Итак, мы имеем треугольник ABC и произвольные чевианы AA1 и BB1.

Третья чевиана CC1 обязательно должна проходить через точку пересечения первых двух. При этом получается, что:

Обозначим за O точку пересечения данных прямых.

Продлим медиану BB1.

Проведём перпендикуляры из вершин A и С таким образом:

Треугольники AKB₁ и CNB₁ подобны по острому углу.

Теперь перемножим равенства:

что и требовалось доказать.

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Теорема Менелая (как и обратная) применима и в первой части экзаменационного бланка, и в 16-м задании. Рассмотрим пару таких задач.

Задача 1

Дан треугольник ABC (см. рисунок ниже) с продолжением стороны CA. Также проведены медианы BM и AN. Точку их пересечения обозначим за O.

Возьмём точку K на стороне AB, такую, что AK относится к AB, как 1/3.

Проведём прямую OK до пересечения со стороной AC. Точку их пересечения обозначим за P.

Сторону AP обозначим за y.

Найти: чему равен отрезок AP.

Так как отношение сторон AB и AK равно 1/3, следовательно, AK = x, а KB = 3x.

Рассмотрим треугольник ABM. Для него берём прямую OP.

Таким образом мы нашли искомые точки P, A, M, O, K и B.

Запишем теорему Менелая к данному рисунку.

Подставляем в это соотношение известные данные:

В итоге мы получаем, что y = 4.

Ответ: отрезок AP = 4 см.

Задача 2

Задача, связанная со свойствами теоремы Чевы.

сумма AB и BC равна 13;

Найти: отношение BO и OB1.

Итак, запишем отношение:

Конечным результатом является дробь 13/8.

Источник

Теорема Чевы: формулировка и пример с решением

В данной публикации мы рассмотрим одну из классических теорем аффинной геометрии – теорему Чевы, которая получила такое название в честь итальянского инженера Джованни Чевы. Также разберем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Формулировка теоремы

Дан треугольник ABC, в котором каждая вершина соединена с точкой на противоположной стороне.

Таким образом, мы получаем три отрезка (AA’, BB’ и CC’), которые называются чевианами.

Данные отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство:

Теорему можно, также, представить в таком виде (определяется, в каком соотношении точки делят стороны):

Тригонометрическая теорема Чевы

Примечание: все углы – ориентированные.

Пример задачи

Дан треугольник ABC с точками A’, B’ и C’ на сторонах BC, AC и AB, соответственно. Вершины треугольника соединены с данным точками, и образованные отрезки проходят через одну точку. При этом точки A’ и B’ взяты на серединах соответствующих противоположных сторон. Выясните, в каком соотношении точка C’ делит сторону AB.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи. Для нашего удобства примем следующие обозначения:

Остается только составить соотношение отрезков согласно теореме Чевы и подставить в него принятые обозначения:

После сокращения дробей получаем:

Значит, AC’ = C’B, т.е. точка C’ делит сторону AB пополам.

Следовательно, в нашем треугольнике отрезки AA’, BB’ и CC’ являются медианами. Решив задачу мы доказали, что они пересекаются в одной точке (справедливо для любого треугольника).

Примечание: с помощью теоремы Чевы можно доказать, что в треугольнике в одной точке, также, пересекаются биссектрисы или высоты.

Источник

Как запомнить теоремы Менелая и Чевы

Теоремы Менелая и Чевы практически не рассказываются в школе. Тем не менее, в учебниках они присутствуют, и это позволяет включать в экзамены, в том числе, в ЕГЭ, задачи на эти теоремы.

Формулировки и доказательства этих теорем можно встретить в сети на огромном количестве сайтов. Однако практически нигде не встречаются рекомендации по запоминанию этих теорем. Мне известно всего одна такая рекомендация. Понятно, что вдумчивый школьник, поработав с этими теоремами какое-то время, сам придет к тому, о чем я собираюсь рассказать. Проблема в том, что обычно такого времени не хватает, и способ запоминания становится актуальным.

1 Формулировка теоремы Менелая

$$ \bigg (\frac \bigg ) \cdot \bigg ( \frac \bigg ) \cdot \bigg ( \frac \bigg ) = 1$$

Справедлива также обратная теорема Менелая.

2 Как запоминать теорему Менелая

3 Теорема Чевы

В 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева доказал следующую теорему

Определение. Отрезки, соеди­няющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке.

Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи).

​ ​

Прямая теорема Чевы.

$$ \bigg (\frac > < C_<1>B> \bigg ) \cdot \bigg ( \frac > < A_<1>C> \bigg ) \cdot \bigg ( \frac > < B_<1>A> \bigg ) = 1$$

Доказательство я не привожу, оно основано на двукратном применении теоремы Менелая.

Справедлива также обратная теорема Чевы.

4 Как запоминать теорему Чевы

Запоминаем совершенно так же, как теорему Менелая – выбираем вершину, из которой стартуем, и направления обхода. Дальше делаем все так же, как при получении формулировки теоремы Менелая.

5 Итог

Источник

Теорема Чевы и Менелая — формулировка, применение и примеры решения

Теоремы Чевы и Менелая – одни из базовых основ планиметрии и геометрии, которым репетиторы и школьные учителя уделяют особое внимание, а ученикам задают писать научные доклады и рефераты на эту тему в качестве домашнего задания.

Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой.

Именно для этого мы подготовили данный материал. В нем вы узнаете, чем интересны данные основы, принципы их доказательств и рассмотрите решения некоторых задач из ЕГЭ.

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I в. Большой вклад внес в развитие сферической тригонометрии, где для получения формул использовал именно эту теорему, которую теперь изучают все школьники.

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Особенность теоремы заключается и в том, что приведённый рисунок чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это – весьма распространённая геометрическая конструкция, когда какая-то прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Запомнить отношение просто: действуем по принципу «вершина — точка, точка — вершина». То есть, если на стороне AB нам дана некоторая точка C1, их отношенное записывается следующим образом:

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Обозначим точку пересечения данной прямой с B1C1
через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B1CD и B1AC1. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B1 между ними.

Углы B1CD и B1AC1 равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя данную пару подобных треугольников, можно записать условие пропорциональности сходственных сторон, а именно:

Так как сторона CD не является составляющей исходного равенства, для дальнейшего доказательства её нужно выразить.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA1 и BC1A1 подобны, так как углы CA1D и BA1C1 равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA1 равен углу BC1A1, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C1D.

Покажем это на рисунке:

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Что и требовалось доказать.