что делать с дробной степенью

Дробная степень

Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

При a

Выполнить возведение в дробную степень:

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

А как вычисляется отрицательная дробная степень?

Степень с отрицательным рациональным показателем также определена только для a>0:

При возведении обыкновенной дроби в степень с отрицательным показателем удобно использовать формулу:

Выполнить возведение в степень с отрицательным рациональным показателем:

Источник

Возведение в степень: правила, примеры

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Решение

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Решение

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Как возвести число в целую степень

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Решение

Решение

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

Как возвести число в дробную степень

Проиллюстрируем на примере.

Решение

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Решение

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367.

Решение

Источник

Дробная степень числа

Дробный показатель

Число с дробным показателем степени равно корню с показателем, равным знаменателю, и подкоренным числом в степени, равной числителю.

Чтобы разобраться, почему число в дробной степени равно корню, надо вспомнить правило извлечения корня из степени:

Чтобы извлечь корень из степени, надо показатель степени разделить на показатель корня:

Следовательно, если показатель степени не делится на показатель корня, то получается дробная степень:

Поэтому извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.

Действия над степенями с дробными показателями

Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для степеней с целым показателем.

При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: и , служащих показателями степеней, положительны.

В частном случае n или q могут равняться единице.

При умножении дробных степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:

При делении дробных степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести степень в другую степень, в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:

Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.

Источник

Как возвести число в степень: определение, виды, правила возведения в натуральную и дробную степень

Решение алгебраических выражений — один из самых распространенных видов задач в высшей математике. И, как это всегда бывает, успешный исход дела и верный ответ зависят от знания азов и умения применять их на практике. Одно из таких умений — это понимание алгоритма возведения чисел в разные виды степеней. Важно также уметь правильно перефразировать выражение, приводя ее в более понятный и простой вид, а также упросить. Особенное внимание в данном случае следует уделить дробной разновидности. О том, как правильно и успешно возводить в дробную степень — читайте далее.

Что означает возведение в степень

Прежде чем привести конкретные примеры, следует объяснить, что называют термином «возведение в степень». Вот подходящее определение. Возведением называют вычисление значения степени какого-либо числa. Поясним сказанное. Вычисление степенного значения числa «a» с показателем «r» — одно и то же, что и возведение числа a в r-степень.

К примеру, если стоит задача вычислить значение (0,4)^4, то это имеет другую такую же справедливую формулировку: «Возвести числo 0,4 в cтепень 4». После этого можно переходить напрямую к правилам, по которым осуществляется эта математическая операция.

Натуральная степень числа

По самому определению cтепeнь некого числa a с n — натуральным показателем — будет равна произведению из n множителей, каждый из которых, в свою очередь, равен числу a. Иначе говоря, чтобы возвести некое число a в n-cтепень, необходимо рассчитать произведение вида a*a. *a, поделенное на n. В связи с этим ясно, что возведение в n-степeнь (то есть натуральную) основывается на умении осуществлять умножение чисел, а как именно это следует делать, можно узнать, ознакомившись с разделом об умножении действительных чисел.

Опишем способы решения на некоторых примерах.

Иррациональные числa

Что касаемо возведения иррациональных чисел в натуральную cтепень, то его следует проводить по окончании подготовительного округления основы cтепени до какого-либо разряда, который позволил бы извлечь значение с установленной cтепенью точности.

Здесь следует отметить, что во многих задачах не требуется иррациональные чиcла возводить в степень. Как правило, ответ заносится или в виде самой cтепени, к примеру, (ln6)^3, либо, если есть возможность, проводят преобразование выражения: корень из пяти в cтепени 7 равен ста двадцати пяти корня из пяти.

Возведение числа в дробную степень

Это умение базируется на установлении степени с дробным показателем. Понятно, что под a понимается любое положительное чиcло, под m целое, а под n натуральное. Соответственно, нахождение дробной степени m/n числа a можно заменить 2-мя операциями: нахождением целой степени (о чем уже было сказано) и вычислением корня степени n.

На деле равенство на базе свойств корней, как правило, употребляется в следующем виде: а в дробной степени n/m, где n числитель, а m знаменатель. Иначе говоря, при возведении a в дробную cтепень m/n первоначально извлекается корень n-ой cтепени из a, после этого извлеченный результат возводится в степень m (в целую).

Разберем решение примеров возведения в дробную стeпень.

Решение. Продемонстрируем 2 приема решения:

Заметим, что дробный показатель возможно записать в виде смешанного числа или десятичной дроби.

Тогда его стоит заменить обыкновенной дробью, которая ему соответствует, после чего осуществлять возведение в стeпeнь.

Видео

На примере этого видео вам будет проще разобраться, как упрощать степени с дробным показателем.

Алгебра

Степень с рациональным показателем

Интенсивные курсы подготовки к ОГЭ

Узнай тонкости ОГЭ и перестань его бояться

Перейти

Подготовка к ОГЭ с командой
лучших преподавателей

Интенсивные курсы подготовки к ОГЭ

Узнай тонкости ОГЭ и перестань его бояться

Подготовка к ОГЭ с командой
лучших преподавателей

План урока:

Степень с рациональным показателем

Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.

При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:

Подставим в эту формулу следующие значения переменных:

Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:

Подставляем эти значения:

(3 1/6 ) 6 = 3 1/6 • 6 = 3 1 = 3

Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:

С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:

Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:

(а 1/ n ) n = a 1/ n • n = a

Значит, по определению корня n-ой степени

Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.

C учетом этого выполним преобразование:

В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!

Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:

Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:

Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5

Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:

Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:

Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:

0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4

Теперь вычисления будет более простыми:

Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:

Только усвоенная информация становится знанием. В этом вам помогут онлайн-курсы

Свойства дробных степеней и операции с ними

Например, справедливы следующие действия:

5 0,5 •5 2,5 = 5 0,5 + 2,5 = 5 3 = 125

19 5/3 •19 1/3 = 19 5/3 + 1/3 = 19 2 = 361

29,36 –0,37 •29,36 1,37 = 29,36 –0,37 + 1,37 = 29,36 1 = 29,36

Вот несколько примеров подобных вычислений:

17 4,5 :17 3,5 = 17 4,5–3,5 = 17 1 = 1

4 9,36 :4 6,36 = 4 9,36–6,36 = 4 3 = 64

20 12 :20 14 = 20 12–14 = 20 –2

Проиллюстрируем это правило примерами:

(6 0,25 ) 8 = 6 0,25•8 = 6 2 = 36

(9 3/2 ) 2 = 9 (3/2)•2 = 9 3 = 729

(25 4 ) 0,125 = 25 4•0,125 = 25 0,5 = 5

Покажем, как можно применять данное правило:

4 1/6 •16 1/6 = (4•64) 1/6 = 64 1/6 = 2

0,5 1,5 •50 1,5 = (0,5•50) 1,5 = 25 1,5 = 25 1+0,5 = 25 1 •25 0,5 = 25•5 = 125

4,9 0,5 •10 0,5 = (4,9•10) 0,5 = 49 0,5 =7

Это правило можно применять следующим образом:

360 0,5 :10 0,5 = (360:10) 0,5 = 36 0,5 = 6

500 3 :50 3 = (500:50) 3 = 10 3 = 1000

6,25 1/4 :0,01 1/4 = (6,25:0,01) 1/4 = 625 1/4 = 5

Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если

то верное и обратное:

То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.

Пример. Вычислите значение выражения

Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями

Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:

(9 1/4 ) 1/5 •3 9/10 = (9 0,25 ) 0,2 •3 0,9 = 9 0,25•0,2 •3 0,9 = 9 0,05 •3 0,9 = (3 2 ) 0,05 •3 0,9 =

=3 2•0,05 •3 0,9 = 3 0,1 •3 0,9 = 3 0,1•0,9 = 3 1 = 3

Пример. Упростите выражение

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25

Решение. Степень 81 n+1 можно представить как произведение:

81 n+1 = 81 n •81 1 = 81•81 n

С учетом этого можно записать:

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25 = (81•81 n – 65•81 n ) 0,25 = (81 n (81 – 65)) 0,25 =

= (81 n •16) 0,25 = 81 0,25 n •16 0,25 = 81 0,25 n •16 1/4 = 2•81 0,25 n

Сравнение степеней

Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:

Отсюда следует вывод, что если a 1/ n 1/ n

теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:

Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):

В частности, справедливы следующие неравенства:

Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:

Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:

20 –3,14 и 50 –3,14

Решение. Избавимся от знака минус в показателе:

20 –3,14 = (1/20) 3,14 = 0,05 3,14

50 –3,14 = (1/50) 3,14 = 0,02 3,14

Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 3,14 3,14

Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 0 0 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:

18,3546 0 = 12,3647 0 = 1

Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.

На основании этого правила можно записать, что:

Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:

1 –7,56 = 1 –0,15 = 1 0,236 = 1 521,36 = 1

0,5 = 1/2 = 1/(2 1 ) = 2 –1

0,5 7,6 = (2 –1 ) 7,6 = 2 –7,6

0,5 8,9 = (2 –1 ) 8,9 = 2 –8,9

Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как

Например, справедливы неравенства:

0,57 15,36 > 0,57 16,47

Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.

Пример. Докажите, что

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3

Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.

Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 1/3 :

Также ясно, что 27 1/3 1/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 (1)

Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 1/3

Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 27 1/3 = 3, мы можем переписать (1) так:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 0,8 0,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,9 0,8 0,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:

Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):

0,9 0,7 + 0,9 0,7 + 0,9 0,7 0,7 0,7 0,7 :

Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.

Онлайн-курсы по математике помогут подготовиться к ОГЭ наилучшим образом

Возведение в степень, правила, примеры.

В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень. В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.

Навигация по странице.

Что значит «возведение в степень»?

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение числа в натуральную степень

Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.

Выполните возведение числа −2 в четвертую степень.

Найдите значение степени .

Данная степень равна произведению вида . Вспомнив, как выполняется умножение смешанных чисел, заканчиваем возведение в степень: .

.

Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим , а если взять , то возведение в степень даст .

Здесь стоит сказать, что во многих задачах нет необходимости возводить в степень иррациональные числа. Обычно ответ записывается либо в виде самой степени, например, , либо по возможности проводится преобразование выражения: .

Возведение в целую степень

Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя, и для целых отрицательных показателей степени.

Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа a с целым отрицательным показателем −z определяется как дробь вида . В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем, значение которой мы умеем находить. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

.

Итак, . Запишем полученное число в виде обыкновенной дроби, умножив числитель и знаменатель полученной дроби на 10 000 (при необходимости смотрите преобразование дробей), имеем .

На этом возведение в степень завершено.

.

Возведение числа в дробную степень

Возведение числа в дробную степень базируется на определении степени с дробным показателем. Известно, что , где a – любое положительное число, m – целое, а n – натуральное число. Так возведение числа a в дробную степень m/n заменяется двумя действиями: возведением в целую степень (о чем мы говорили в предыдущем пункте) и извлечением корня n-ой степени.

Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

Вычислите значение степени .

Покажем два способа решения.

Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: .

Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства . Теперь извлекаем корень , наконец, возводим в целую степень .

Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.

.

Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.

Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью перевод десятичных дробей в обыкновенные): . Теперь выполняем возведение в дробную степень:

Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.

Возведение в иррациональную степень

Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем. При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.

Алгебра

Степень с рациональным показателем

Интенсивные курсы подготовки к ОГЭ

Узнай тонкости ОГЭ и перестань его бояться

Перейти

Подготовка к ОГЭ с командой
лучших преподавателей

Интенсивные курсы подготовки к ОГЭ

Узнай тонкости ОГЭ и перестань его бояться

Подготовка к ОГЭ с командой
лучших преподавателей

План урока:

Степень с рациональным показателем

Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.

При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:

Подставим в эту формулу следующие значения переменных:

Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:

Подставляем эти значения:

(3 1/6 ) 6 = 3 1/6 • 6 = 3 1 = 3

Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:

С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:

Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:

(а 1/ n ) n = a 1/ n • n = a

Значит, по определению корня n-ой степени

Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.

C учетом этого выполним преобразование:

В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!

Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:

Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:

Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5

Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:

Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:

Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:

0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4

Теперь вычисления будет более простыми:

Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:

Только усвоенная информация становится знанием. В этом вам помогут онлайн-курсы

Свойства дробных степеней и операции с ними

Например, справедливы следующие действия:

5 0,5 •5 2,5 = 5 0,5 + 2,5 = 5 3 = 125

19 5/3 •19 1/3 = 19 5/3 + 1/3 = 19 2 = 361

29,36 –0,37 •29,36 1,37 = 29,36 –0,37 + 1,37 = 29,36 1 = 29,36

Вот несколько примеров подобных вычислений:

17 4,5 :17 3,5 = 17 4,5–3,5 = 17 1 = 1

4 9,36 :4 6,36 = 4 9,36–6,36 = 4 3 = 64

20 12 :20 14 = 20 12–14 = 20 –2

Проиллюстрируем это правило примерами:

(6 0,25 ) 8 = 6 0,25•8 = 6 2 = 36

(9 3/2 ) 2 = 9 (3/2)•2 = 9 3 = 729

(25 4 ) 0,125 = 25 4•0,125 = 25 0,5 = 5

Покажем, как можно применять данное правило:

4 1/6 •16 1/6 = (4•64) 1/6 = 64 1/6 = 2

0,5 1,5 •50 1,5 = (0,5•50) 1,5 = 25 1,5 = 25 1+0,5 = 25 1 •25 0,5 = 25•5 = 125

4,9 0,5 •10 0,5 = (4,9•10) 0,5 = 49 0,5 =7

Это правило можно применять следующим образом:

360 0,5 :10 0,5 = (360:10) 0,5 = 36 0,5 = 6

500 3 :50 3 = (500:50) 3 = 10 3 = 1000

6,25 1/4 :0,01 1/4 = (6,25:0,01) 1/4 = 625 1/4 = 5

Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если

то верное и обратное:

То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.

Пример. Вычислите значение выражения

Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями

Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:

(9 1/4 ) 1/5 •3 9/10 = (9 0,25 ) 0,2 •3 0,9 = 9 0,25•0,2 •3 0,9 = 9 0,05 •3 0,9 = (3 2 ) 0,05 •3 0,9 =

=3 2•0,05 •3 0,9 = 3 0,1 •3 0,9 = 3 0,1•0,9 = 3 1 = 3

Пример. Упростите выражение

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25

Решение. Степень 81 n+1 можно представить как произведение:

81 n+1 = 81 n •81 1 = 81•81 n

С учетом этого можно записать:

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25 = (81•81 n – 65•81 n ) 0,25 = (81 n (81 – 65)) 0,25 =

= (81 n •16) 0,25 = 81 0,25 n •16 0,25 = 81 0,25 n •16 1/4 = 2•81 0,25 n

Сравнение степеней

Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:

Отсюда следует вывод, что если a 1/ n 1/ n

теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:

Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):

В частности, справедливы следующие неравенства:

Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:

Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:

20 –3,14 и 50 –3,14

Решение. Избавимся от знака минус в показателе:

20 –3,14 = (1/20) 3,14 = 0,05 3,14

50 –3,14 = (1/50) 3,14 = 0,02 3,14

Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 3,14 3,14

Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 0 0 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:

18,3546 0 = 12,3647 0 = 1

Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.

На основании этого правила можно записать, что:

Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:

1 –7,56 = 1 –0,15 = 1 0,236 = 1 521,36 = 1

0,5 = 1/2 = 1/(2 1 ) = 2 –1

0,5 7,6 = (2 –1 ) 7,6 = 2 –7,6

0,5 8,9 = (2 –1 ) 8,9 = 2 –8,9

Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как

Например, справедливы неравенства:

0,57 15,36 > 0,57 16,47

Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.

Пример. Докажите, что

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3

Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.

Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 1/3 :

Также ясно, что 27 1/3 1/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 (1)

Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 1/3

Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 27 1/3 = 3, мы можем переписать (1) так:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 0,8 0,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,9 0,8 0,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:

Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):

0,9 0,7 + 0,9 0,7 + 0,9 0,7 0,7 0,7 0,7 :

Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.

Онлайн-курсы по математике помогут подготовиться к ОГЭ наилучшим образом

Какие возможны действия со степенями?

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

Проверим на примерах:

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот. Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Возведение в степень

Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

Основные действия со степенями

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 134 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 134 на 132, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 136.

Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

Если разделить 134 на 132, то нам потребуется вычислить дробь вида:

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 132. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так: am / an = a(m – n).

Теперь давайте возведем 114 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так: (am)n = a(m × n).

Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 150? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 154 на 154, что запишется как дробь: 154 / 154.

Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 150.

Следовательно: 154 / 154 = 150 = 1.

Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так: a0 = 1.

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 82 на 84 и запишем выражение в виде дроби.

Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8-2. В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка.

Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат.

Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как: a(m/n) есть корень n-ной степени из am. Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Депозит в банке

Школьная задача

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции.

Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

Источник