значения каких выражений будут четны при любых целых m и n сириус

13.05.2021 Математика 7-10 класс ответы и задания пригласительный школьный этап ВОШ Сириус

Задания и ответы пригласительного этапа 2021 года ВОШ (Сириус) по математике для 7, 8, 9, 10 класса всероссийская олимпиада школьников, дата проведения онлайн олимпиады: 13.05.2021 (13 мая 2021 год).

Задания для 7 класса: скачать задания

Задания для 8 класса: скачать задания

Задания для 9 класса: скачать задания

Задания для 10 класса: скачать задания

Ответы и решения для 7-10 класса: скачать ответы

Пригласительный школьный этап ВОШ 2021 по математике 7 класс:

1)Андрей, Борис и Денис ели конфеты, каждый ел со своей постоянной скоростью. Пока Борис ел 4 конфеты, Денис успевал съесть только 3. Андрей же ел конфеты быстрее всех: он съедал 7 конфет, пока Борис ел 6. Всего ребята съели 70 конфет. Кто сколько съел конфет?

2)Трое пиратов делили клад. Первому досталась треть от изначального количества монет и ещё 1 монета, второму досталась четверть от изначального количества монет и ещё 5 монет, третьему досталась пятая часть от изначального количества монет и ещё 20 монет (при этом все монеты оказались разобраны). Сколько монет было в кладе?

3)Четверо друзей Андрей, Борис, Вячеслав и Геннадий работают архитектором, баристой, ветеринаром и гитаристом. Однажды они вместе пошли в кино и купили билеты на четыре подряд идущих места. Оказалось, что: рядом с ветеринаром сидят архитектор и гитарист; у баристы сосед справа — Вячеслав; Геннадий сидит правее и Бориса, и Вячеслава; Борис знает обоих своих соседей; гитарист и бариста сидят не рядом. У кого какая профессия?

4)В треугольнике ABC были проведены медиана CM и биссектриса BL. Затем с чертежа стёрли все отрезки и точки, кроме точек A(8;13), M(11;11) и L(6;9). Какие координаты имела точка C?

5)Если взвод солдат разбить на бригады по 7 человек, то 2 человека не войдут ни в одну бригаду. Если же взвод разбить на бригады по 12 человек, то снова 2 человека не войдут ни в одну бригаду. Какое минимальное количество солдат надо добавить во взвод, чтобы его целиком можно было разбить как на бригады по 7 человек, так и на бригады по 12 человек?

6)В ряд высажено 101 дерево: тополя, берёзы и сосны. Между каждыми двумя тополями растёт хотя бы одно дерево, между каждыми двумя берёзами растёт хотя бы два дерева, между каждыми двумя соснами растёт хотя бы три дерева. Сколько сосен могло быть высажено? Укажите все возможные варианты.

7)В трёх из шести кругов диаграммы записаны числа 4, 14 и 6. Сколькими способами в оставшиеся три круга можно поставить натуральные числа так, чтобы произведения троек чисел вдоль каждой из трёх сторон треугольной диаграммы были одинаковыми?

8)Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). На луче BA за точкой A отмечена точка E, на стороне BC отмечена точка D. Известно, что ∠ADC=∠AEC=60∘,AD=CE=19. Найдите длину отрезка AE, если DC=11.

Видеоразбор заданий олимпиады для 7 класса:

Пригласительный школьный этап ВОШ 2021 по математике 8 класс:

1)В квадрате 5×5 покрасили в чёрный цвет некоторые клетки так, как показано на рисунке. Рассмотрим всевозможные квадраты, стороны которых идут по линиям сетки. В скольких из них одинаковое количество чёрных и белых клеток?

2)Среднее арифметическое трёх двузначных натуральных чисел x,y,z равно 40. Какое наибольшее значение может принимать выражение x+yz?

3)В треугольнике ABC известны стороны AC=22 и AB=8. Окружность с центром O, построенная на стороне AC как на диаметре, пересекает сторону BC в точке K. Оказалось, что ∠BAK=∠ACB. Найдите площадь треугольника BOC.

5)В забеге участвовали несколько людей, среди которых были Андрей, Дима и Лёня. Никакие два участника этого забега не прибежали одновременно. Людей, прибежавших до Андрея, в 2 раза меньше, чем людей прибежавших после него. Людей, прибежавших до Димы, в 3 раза меньше, чем людей, прибежавших после него. Людей, прибежавших до Лёни, в 4 раза меньше, чем людей прибежавших после него. Какое наименьшее количество людей могло участвовать в забеге?

6)Натуральное число назовём интересным, если все его цифры различны, а сумма любых двух рядом стоящих цифр — квадрат натурального числа. Найдите наибольшее интересное число.

8)Компьютер умеет применять к числу три операции: «увеличить на 2», «увеличить на 3», «умножить на 2». В компьютер ввели число 1 и заставили его перебрать всевозможные комбинации из 6 операций (каждая из таких комбинаций применяется к исходному числу 1). После скольких из этих комбинаций у компьютера в итоге получится чётное число?

Видеоразбор заданий олимпиады для 8 класса:

Пригласительный школьный этап ВОШ 2021 по математике 9 класс:

1)В первый час смены мастер изготовил 35 деталей. Затем он понял, что, сохранив текущую скорость, ему придётся задержаться на час, чтобы выполнить план на смену. Увеличив свою скорость на 15 деталей в час, он выполнил план на полчаса раньше окончания смены. Сколько деталей должен изготовить мастер за смену?

2)В первый час смены мастер изготовил 20 деталей. Затем он понял, что, сохранив текущую скорость, ему придётся задержаться на час, чтобы выполнить план на смену. Увеличив свою скорость на 15 деталей в час, он выполнил план на полчаса раньше окончания смены. Сколько деталей должен изготовить мастер за смену?

4)За круглым столом сидят 40 рыцарей и 10 самураев. Ровно у 7 рыцарей сосед справа — самурай. Какое наибольшее количество рыцарей могло сидеть рядом с двумя рыцарями?

5)Дан прямоугольник ABCD. Окружность пересекает сторону AB в точках K и L, а сторону CD — в точках M и N соответственно (K лежит между A и L, M лежит между C и N). Найдите длину отрезка MN, если AK=11, KL=17, DN=7.

6)Учитель написал на доске число. Саша решил поделить его с остатком на 102, а Маша — на 103. Оказалось, что частное, полученное Сашей, и остаток, полученный Машей, в сумме дают 20. Какой остаток получил Саша? Укажите все возможные варианты.

7)Через точки A(0;14) и B(0;4) проведены две параллельные прямые. Первая прямая, проходящая через точку A, пересекает гиперболу y=1x в точках K и L. Вторая прямая, проходящая через точку B, пересекает гиперболу y=1x в точках M и N.

8)Компания ребят решила поиграть в компьютерную игру. Любые два человека либо играют сообща, либо друг против друга; причём если игрок A играет сообща с B, а B играет против C, то A тоже играет против C. Из скольких ребят состоит компания, если у каждого игрока было ровно 14 соперников? Укажите все возможные варианты.

Видеоразбор заданий олимпиады для 9 класса:

Пригласительный школьный этап ВОШ 2021 по математике 10 класс:

1)Равносторонний треугольник со стороной 11 разбит на 121 маленький равносторонний треугольничек со стороной 1. Найдите количество ромбов, состоящих из 8 маленьких треугольничков (такие ромбы можно поворачивать).

2)Ровно в полдень из посёлка выехал грузовик и поехал в город, в это же время из города выехал автомобиль и поехал в посёлок. Если бы грузовик выехал на 45 минут раньше, то они бы встретились на 36 километров ближе к городу. А если бы автомобиль выехал на 20 минут раньше, то они бы встретились на k километров ближе к посёлку. Найдите k.

4)В трапецию ABCD вписана окружность ω, L — точка касания ω и стороны CD. Известно, что CL:LD=1:4. Найдите площадь трапеции ABCD, если BC=12, CD=40.

5)В клетчатой таблице 5 строк и 6 столбцов; в каждой клетке стоит либо крестик, либо нолик, либо звёздочка. Известно, что: в каждом столбце число ноликов не меньше числа крестиков; в каждом столбце число ноликов не меньше числа звёздочек; в каждой строке число крестиков не меньше числа ноликов; в каждой строке число крестиков не меньше числа звёздочек. Сколько звёздочек может быть в такой таблице? Укажите все возможные варианты.

6)Оля нарисовала на плоскости N различных прямых, любые две из которых пересекаются. Оказалось, что среди любых 18 прямых обязательно найдутся две, угол между которыми равен 60∘. При каком наибольшем N такое возможно?

7)Действительные числа x и y таковы, что x3+15xy+y3=125. Чему может равняться x+y? Укажите все возможные варианты.

Видеоразбор заданий олимпиады для 10 класса:

Источник

Значения каких выражений будут четны при любых целых m и n сириус

а) Можно ли при n = 5 написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось равенство a₂ = a₅?

б) Можно ли при n = 100 написать на доске такие числа, сумма которых равна 2020?

в) При n = 10 на доске написаны такие числа, сумма которых равна 15. Какое наименьшее значение может принимать сумма их квадратов?

а) Пусть такие числа написаны. Поскольку по условию выполнены равенства и получаем

Следовательно, если также выполняется равенство то Пришли к противоречию.

б) Пусть такие числа написаны. Поскольку при каждом натуральном числе по условию выполнены равенства и получаем

при каждом натуральном числе Значит,

При и при каждом натуральном числе имеем

в) Пусть такие числа написаны. Аналогично доказанному в п. б) получаем

Значит, сумма квадратов всех написанных чисел будет минимальна тогда и только тогда, когда максимально выражение Поскольку функция возрастает при и убывает при наибольшее значение выражения для целых равно 56. Оно достигается при и Таким образом, получаем, что сумма квадратов всех написанных чисел принимает наименьшее значение при и при каждом натуральном числе а также при и при каждом натуральном числе Это значение равно

Ответ: а) нет; б) да; в) 343.

Аналоги к заданию № 561735: 561776 Все

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции на отрезке [−1; 3] не меньшее, чем −5.

Потребовать, чтобы наименьшее значение функции было не меньше чем −5 это все равно что потребовать, чтобы все ее значения были не меньше чем −5. То есть неравенство должно выполняться на всем промежутке То есть

Теперь заметим, что и наоборот — достаточно чтобы эти неравенства выполнялись в нескольких точках, если только одна из них (можно не выяснять какая) будет точкой с наименьшим значением. Поскольку квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом на любом отрезке принимает наименьшее значение либо в абсциссе вершины параболы — его графика (если эта точка лежит на отрезке) либо в одном из концов отрезка (если не лежит), то нужно проверить следующие неравенства

(верно при ),

(верно при ).

при то есть при (нас не интересует, поскольку уже установлено что

при то есть при (то есть это обязательно надо проверить, при указанная точка точно лежит на интересующем нас отрезке).

Итак, совмещая все ограничения, получаем

Ответ:

Найдите все значения параметра при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

При получаем, что График этой функции на рассматриваемом промежутке состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии При находим а график этой функции на рассматриваемом промежутке — часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Наименьшее значение функции может принять только в точках или Поэтому наименьшее значение функции больше 1 тогда и только тогда, когда:

Если то второе неравенство принимает вид откуда Этот промежуток содержит интервал

Если то откуда Значит,

Объединяя найденные промежутки, получаем:

Ответ:

Приведём другое решение.

1. При функция принимает вид: а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии

При функция принимает вид: а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз и осью симметрии

Возможные виды графика функции показаны на рисунках.

2. Наименьшее значение функция может принимать только в точках или а если (то есть при ), то в точке

3. Следовательно, наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда:

Ответ:

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n – также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n>100.

а) Так как периметр равен 200, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 100. Известно, что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 50, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 2500.

б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна тогда другая сторона равна В этом случае площадь прямоугольника равна Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число x не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции будет тем меньше, чем дальше находится число x от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при а тогда площадь равна 99. В этом случае условие также соблюдается, так как число 99 равно 9900% от числа 1.

в) Пусть a ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем:

Так как a и n ― целые числа, то число 10 000 кратно a.

Возможны три случая:

1) Число a не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем четвертой, т.е. a может принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет равна, соответственно, 99, 196, 384, 736 или 1344.

2) Число a делится на 5, но не делится на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Площадь в этих случаях будет равна, соответственно, 475, 900, 1600 или 2400.

3) Число a делится на 25. В этом случае оно может быть равно только 25. Тогда площадь равна 1875.

Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875 или 2400.

Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358 Все

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна тогда другая сторона равна В этом случае площадь прямоугольника равна Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции будет тем меньше, чем дальше находится число от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при а тогда площадь равна 99. В этом случае условие также соблюдается, так как число 99 равно 9900% от числа 1.

в) Пусть ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем:

Так как и ― целые числа, то число 10 000 кратно числу a.

Заметим, что так как Следовательно, требуется найти все делители числа 10 000, меньшие 50. Так как то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 4.

Возможны три случая:

1) Число не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем четвертой, т.е. a может принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет равна, соответственно, 99, 196, 384, 736 или 1344.

2) Число делится на 5, но не делится на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Площадь в этих случаях будет равна 475, 900, 1600 или 2400 соответственно.

3) Число a делится на 25. В этом случае оно может быть равно только 25. Тогда площадь равна 1875.

Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875, 2400.

Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358 Все

Дан выпуклый многоугольник M, который можно разрезать на 1292 квадрата площади 1.

а) Приведите пример такого многоугольника, если известно, что длина его наименьшей стороны больше 15.

б) Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник M?

в) Какое наибольшее и наименьшее значение может иметь периметр этого многоугольника?

а) Площадь многоугольника M равна Например, это может быть прямоугольник

б) Докажем, что многоугольник М является прямоугольником. Действительно, всякая вершина выпуклого многоугольника М является вершиной ровно одного из 1292 квадратов. Значит, все углы многоугольника М равны Пусть n — число вершин многоугольника М. Тогда откуда значит, многоугольник М — четырёхугольник,все углы которого равны т. е. прямоугольник. Тем самым, многоугольник М имеет 4 стороны.

в) Заметим, что стороны этого прямоугольника — целые числа. Пусть и — длины сторон прямоугольника Тогда а периметр прямоугольника М равен Заметим, что при фиксированном произведении положительных чисел и их сумма тем меньше, чем они ближе друг к другу, т. е. чем меньше величина Действительно, пусть и Тогда откуда и, следовательно,

Можно считать, что В силу сказанного выше, наибольший периметр имеет прямоугольник со сторонами Периметр такого прямоугольника равен 2586. Наименьший периметр будет иметь прямоугольник, у которого принимает наименьшее возможное значение. Перебирая возможные разложения числа 1292 на два множителя, убеждаемся в том, что наименьшее значение достигается при Периметр такого прямоугольника равен 144.

Другое решение пункта в):

Пусть a и b — длины сторон прямоугольника М. Тогда а периметр прямоугольника М равен где a и b ― натуральные числа. Исследуем функцию на отрезке [1; 1292]. Её производная: Так как на рассматриваемом отрезке при при и при своё наибольшее значение на этом отрезке функция принимает на одном из его концов, а наименьшее ― в точке

Поскольку число 1293 и является наибольшим значением функции, а наибольший периметр прямоугольника М равен 2586. Заметим, что и ближайшие слева и справа к натуральные числа, являющиеся делителями числа 1292, ― числа 34 и 38. Поскольку наименьший периметр прямоугольника M равен 144.

Ответ: а) Прямоугольник в) 2586; 144.

Источник