Площади фигур. Площадь параллелограмма.
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, полностью принадлежащей
одной плоскости. Если фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, то площадь
будет равна числу этих квадратов.
Параллелограмм это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и
лежат на параллельных прямых.
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус
Воспользуйтесь нашим калькулятором для расчета площади параллелограмма.
Для расчета площади других фигур воспользуйтесь этим калькулятором: площади фигур.
Формулы для определения площади параллелограмма:
1. Площадь параллелограмма по длине стороны и высоте.
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону
2. Площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними.
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
3. Площадь параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними.
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
Как найти площадь параллелограмма
Онлайн калькулятор
Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.
Узнать чему равна площадь параллелограмма (S) можно зная (либо-либо):
Подставьте значения в соответствующие поля и получите результат.
Зная длину стороны a и длину высоты h
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длина стороны a и длина высоты h, проведенной к этой стороне?
Формула
Пример
Если сторона параллелограмма a = 8 см, а высота h = 4 см, то:
Зная длины сторон a и b, и угол α
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины сторон a и b, и угол между ними α?
Формула
Пример
Если сторона параллелограмма a = 8 см, сторона b = 5 см, а ∠α = 50° то:
S = 8 ⋅ 5 ⋅ sin 50 = 40 ⋅ 0.766 ≈ 30.64 см 2
Зная длины сторон a и b, и угол β
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины сторон a и b, и угол между ними β?
Формула
Пример
Если сторона параллелограмма a = 8 см, сторона b = 5 см, а ∠β = 130° то:
S = 8 ⋅ 5 ⋅ sin(180-130) = 40 ⋅ 0.766 ≈ 30.64 см 2
Зная длины сторон a и b, и длину диагонали (d1 или d2)
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины сторон a и b, и длина любой из диагоналей d?
Формула
Пример
Если сторона параллелограмма a = 8 см, сторона b = 5 см, а диагональ d = 11 см то:
S = 2 √ 12⋅(12-8)⋅(12-5)⋅(12-11) = 2⋅ √ 12⋅4⋅7⋅1 = 2⋅ √ 336 = 36.66 см 2
Зная длины диагоналей d1 и d2, и угол между ними γ
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины диагоналей d1 и d2, и угол между ними γ?
Формула
Пример
Если диагональ параллелограмма d1 = 11 см, диагональ d2 = 7 см, а ∠γ = 45° то:
S = ½ ⋅ 11 ⋅ 7 ⋅ sin 45 = 38.5 ⋅ 0.7071 ≈ 27.22 см 2
Нахождение площади параллелограмма: формула и примеры
Параллелограмм – это геометрическая фигура; четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.
Формула вычисления площади
По длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:
S = a ⋅ h
По двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма находится путем умножения длин его обеих сторон и синуса угла между ними:
S = a ⋅ b ⋅ sin α
По двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна одной второй произведения длин его диагоналей, умноженного на синус угла между ними:
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь параллелограмма, если длина его стороны равняется 7 см, а высоты – 4 см.
Задание 2
Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 6 и 8 см, а угол между ними – 30°.
Задание 3
Найдите площадь параллелограмма с диагоналями, равными 4 и 6 см. Угол между ними составляет 90°.
Площадь параллелограмма
Для начала, чтобы узнать и найти площадь
параллелограмма. Дадим определения
некоторым важным понятиям, связанными так
или иначе с параллелограммом. Это понятие
высоты в параллелограмме и его основания.
Основание параллелограмма — это прямая, на которую
можно опустить перпендикуляр из любой точки
с противоположной стороны параллелограмма.
Высота в параллелограмме — это отрезок, являющийся
перпендикуляром, который связывает два основания.
Грубо говоря, если с какой-то из сторон параллелограмма
можно опустить перпендикуляр на противоположную сторону, то
сторона на которую упадет перпендикуляр будет являться
основанием, а сам перпендикуляр — высотой.
Чтобы выразить площадь параллелограмма, нужно
внимательно рассмотреть его. Рассматривая
произвольный параллелограмм, можно заметить,
что он состоит из двух прямоугольных треугольников
и одного прямоугольника. Так, что можно смело заявить:
площадь параллелограмма — это площадь
прямоугольника + площадь двух треугольников.
На рисунке 1 изображен параллелограмм ABCD. Площадь S
параллелограмма ABCD, с высотами BH и DF,
равна BF*BH + ½BH*AH + ½FC*FD. Но это очень громоздкая
формула. Математики сократили её и получили современную
формулу площади параллелограмма через высоту и основание.
Площадь S параллелограмма ABCD, с основанием AD
и высотой BH равна AD*BH.
Площадь параллелограмма — это площадь фигур,
на которые можно разбить параллелограмм.
Площадь параллелограмма численно равна
произведению его основания на высоту.
Теперь, если вы поняли как методом рассмотрения геометрической фигуры,
мы получили площадь параллелограмма, вы сможете найти площадь
большинства других геометрических фигур!
Как найти площадь параллелограмма
Формулы
Примеры вычисления площади параллелограмма
Решение. Искомая площадь равна
Как найти площадь параллелограмма не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Решение. Найдем вторую сторону параллелограмма:
Тогда искомая площадь равна
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Параллелограмм следует расположить по горизонтали. Обозначим его верхнее основание как АВ, а противоположное ему основание – как CD. Из точек ВЕ и AF проведем перпендикулярные прямые на нижнее основание фигуры. В результате получится прямоугольник ABEF. Площадь образовавшейся прямоугольной фигуры равна площади параллелограмма по той причине, что параллелограмм ABCD и фигура с прямыми углами ABEF являются равносоставленными, о чем свидетельствует равенство треугольников ВEC и DAF.
Площадь (S) прямоугольника представляет собой произведение длин сторон EF и FA, которое, в свою очередь, равно:
Именно это и требовалось доказать.
Обозначим имеющийся параллелограмм как АВСD. Тогда одна его сторона АВ равна 26 см, а другая АD – 32 см. Угол АВС параллелограмма составляет 150 градусов.
Принимая во внимание тот факт, что сумма внутренних односторонних углов параллелограмма равна 180 градусов, можно говорить о том, что его угол ВАD составляет 30 градусов. Проведем высоту ВК, и в итоге получим треугольник АВК с прямым углом. Длина опущенной высоты как катета, расположенного противоположно углу в 30 градусов, равна 13 см. Площадь (S) параллелограмма есть число, полученное в результате умножения длины высоты на длину стороны. Это значит, что:
S (АВСD) = 13 *32 = 416 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 416 см кв.
Прямая АС представляет собой диагональ биссектрисы. В этом случае образовавшиеся посредством ее проведения треугольники FMD и АDС являются подобными по причине наличия общего угла А и равенства сторон. На основании этого можно говорить о том, что:
Теперь можно рассчитать площадь параллелограмма (S), которая будет равна 2*х:
S = 128*2 = 256 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 256 см кв.
Обозначим угол в 150 градусов буквой В. Зная о том, что внутренние односторонние углы параллелограмма в сумме дают 180 градусов, можно вычислить второй угол А. Он будет равен:
∠А = 180-150 = 30 градусов.
Теперь следует провести высоту ВВ1, которая образует треугольник АВВ1, являющийся прямоугольным. Длина ВВ1 будет равна половине длины стороны, равной 6 см:
Тогда площадь (S) параллелограмма можно рассчитать, умножив длину ВВ1 на 10 см (длина смежной стороны):
Ответ: Площадь параллелограмма равна 30 см кв.
Обозначим имеющийся параллелограмм как ABCD. Точкой пересечения его диагоналей является точка О. Образованные диагоналями треугольные фигуры ABO, BCO, CDO, DAO являются одинаковыми по площади. Об этом свидетельствует тот факт, что диагонали параллелограмма делятся ровно пополам в точке их пересечения. Свидетельством того, что все четыре треугольника имеют одинаковые площади, выступает равенство синусов смежных углов. Площадь является ½ числа, которое получено в результате умножения длин сторон треугольника и синуса угла, образованного между ними. Параметры, которые отвечают вычислению площадей треугольников, равны, а это означает равенство и самих площадей.
Если площади всех четырех треугольных фигур равны, то площадь самого параллелограмма будет в четыре раза превышать площадь любого из них. Это значит, что площадь (S) параллелограмма может быть вычислена следующим образом:
Ответ: Площадь параллелограмма равна 28 м кв.
Площадь (S) параллелограмма рассчитывается путем умножения длины его основания на длину его высоты.
Прямые МС и МD, проведенные из точки М, делят параллелограмм на треугольники. Площадь первого из них вычисляется как:
S₁ = 1/2 * a * h = 38 см кв.
Формула для расчета площади второго треугольника выглядит так:
Площадь третьего треугольника можно найти следующим образом:
Теперь через площади образованных треугольников можно вычислить площадь параллелограмма:
S = S₁ + S₂ + S₃ = 1/2 *(a * h +a₁ * h +a₂ * h) = 1/2 * (a * h + h(a₁ + a₂)) = 1/2 * (a * h + a * h) = 2 * 38 = 76 см. кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 76 см кв.
Формула расчета площади параллелограмма (S) включает длину его высоты и длину его основания. Данные элементы нужно перемножить, для того чтобы вычислить площадь фигуры:
Ответ: Параллелограмм имеет площадь 30 см кв.
На продолжение стороны CD опустим перпендикуляр ЕН из точки Е. Он представляет собой высоту для параллелограмма ABCD и треугольника CDE.
Известно, что площадь (S) параллелограмма является произведением длины его стороны и высоты, которая на нее опущена. Площадь треугольника представляет собой ½ от числа, которое получилось в результате умножения длины стороны на высоту, опущенную на нее. На основании этого можно сделать вывод о том, что:
S(∆CDE) = ½*EH*CD => 2*S(∆CDE) = EH*CD.
Из этого следует, что:
2*S(∆CDE) = S(ABCD) = 2*36 ед² = 72 ед. кв.
Ответ: Площадь параллелограмма составляет 72 кв. ед.
Для получения возможности рассчитать, чему равна площадь (S) параллелограмма, нужно располагать сведениями о длине его основания (а) и высоты (h). В этом случае площадь можно высчитать при помощи следующей формулы:
Формула, которая предназначена для вычисления площади параллелограмма (S) через синус, выглядит следующим образом:
В данной формуле буквами a и b обозначены стороны параллелограмма, являющиеся смежными, а А означает угол, который образован между этими сторонами.
Доказано, что синусы смежных углов являются равными. Это значит, что синус тупого угла равен синусу острого угла.
Площадь параллелограмма вычисляем следующим образом:
S = 8 × 10 × 0,05 = 4 см кв.
Ответ: Параллелограмм имеет площадь, равную 4 см кв.
Высота, опущенная на сторону АВ параллелограмма, обозначена как СК. Полученный в результате треугольник КВС имеет прямой угол.
В этом случае ВС=AD=24 см. Так, синус угла В равен:
sinВ=12/24=1/2, что соответствует углу 30 градусов.
Площадь любой из четырехугольных фигур может быть вычислена, если известны длины ее диагоналей и синус угла, образованного между ними. Для этого нужно произвести умножение упомянутых величин, а затем разделить полученное число на 2. В случае с параллелограммом, обозначенным как ABCD, площадь рассчитывается по этой же формуле:
S = 1/2 AC*BD*sin∠AOB = ½*28*5*sin30° = 14*5*1/2 = 7*5 = 35 кв. см.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 35 см кв.
Площадь параллелограмма (S) представляет собой половину числа, полученного после умножения друг на друга длин проведенных в нем диагоналей, которое умножено на синус образовавшегося в итоге их пересечения угла:
Для определения площади параллелограмма через известные длины проведенных в нем диагоналей применяется приведенная ниже формула:
Подставим в указанное равенство величины, приведенные в задании:
S = 1/2 * 4 см * 6 см * sin 90° = 12 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма, вычисленная через диагонали, равна 12 см кв.
Под площадью параллелограмма (S) понимается величина, полученная в результате умножения длины его стороны (b) на высоту (h), которая опущена к ней. В виде формулы это выглядит следующим образом:
Площадь треугольной фигуры представляет собой ½ числа, полученного произведением длины стороны на высоту, которая к ней проведена:
Отсюда получаем, что:
Если говорить о треугольнике МАD, то в нем сторона АD представлена в качестве стороны b, как и в случае с параллелограммом. Высота указанного треугольника будет также представлять собой высоту параллелограмма. Это обусловлено тем, что точка М расположена на стороне, которая противоположна стороне ВС. Из этого следует, что площадь параллелограмма равна 42 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 42 см кв.
В параллелограмме ABCD нужно провести высоту ВН на сторону AD. После этого получается треугольник АВН с углом в 90 градусов. Можно рассчитать, чему равен еще один угол данного треугольника:
ВН = АВ*sin60 = 10*корень3/2 = 5*корень3
Таким образом, можно узнать, чему будет равна площадь параллелограмма:
S = AD*ВН = 14*5*√3 = 70*√3 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма составляет 70*√3 см кв.
АС представляет собой диагональ биссектрисы. В этом случае оба треугольника FMD и ADC являются подобными по той причине, что они имеют общий угол А и их стороны равны. Из этого следует, что:
Отношение площадей двух треугольников выглядит как:
Теперь можно высчитать площадь параллелограмма: