как узнать какой цифрой оканчивается число в степени

Последняя цифра степени

Главная > Закон >Математика

МОУ «Шербакульская средняя общеобразовательная школа №1»

Научное сообщество учащихся «Поиск»

Тема: « Последняя цифра степени.»

Выполнила: ученица 7 «б» класса

Руководитель: Пушило Т.Л.

Последняя цифра степени.

Закономерности возведения в степень

Две последних цифры степени.

Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы

Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.

Найти закономерность в них.

Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.

Последняя цифра степени.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

Закономерности возведения в степень:

Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.

При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.

Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).

Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

Источник

Как узнать какой цифрой оканчивается число в степени

Введение

«Математику уже затем учить следует,

что она ум в порядок приводит»

В ходе решения этой задачи возникла идея исследовать, а какой будет последняя цифра любого натурального числа в любой степени, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?

Составить опорную таблицу «Последние цифры степени», найти закономерности в них, научится вычислять последние цифры степеней.

Актуальность темы исследования обусловлена насущной необходимостью поиска быстрых алгоритмов решения практически важных задач, отработки навыков устного счета.

2. Последняя цифра степени

Для наглядности составим таблицу, где будут записаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:

Заполняя столбики получаем такой результат: пятая и девятая и т. д. степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; шестая, десятая, четырнадцатая степень и т. д степень оканчивается той же цифрой, что и вторая степень числа; седьмая степень числа будет оканчиваться той же цифрой, что и третья степень числа.

3. Закономерности возведения в степень

Результаты в таблице повторяются через каждые четыре столбца.

Про числа 1 и 10 писать не будем, т.к. результат всегда будет 1 или 0 соответственно.

Любая степень чисел 5 и 6 оканчивается соответственно на 5 и на 6.

Последние цифры степеней чисел 4 и 9 повторяются через каждые два шага, при возведении в четную степень последняя цифра не меняется, будет соответственно 4 или 9, при возведении в нечетную степень изменится на 6 или 1 соответственно.

Квадрат любого натурального числа может оканчиваться на 0, 1,4, 5, 6 и 9,

Куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой

Используя полученные результаты попробуем найти последние цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

Если остаток равен 0 и основание нечетное, то число будет оканчиваться на 1(кроме чисел оканчивающихся на цифру 5), если основание четное (кроме круглых чисел), то числа будут оканчиваться на цифру 6.

Теперь будем подбирать такие числа, что при делении показателя степени на 4 будут давать остатки 1, 2, 3

Если остаток равен 1, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи основания степени;

Если остаток равен 2, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

Если остаток равен 3, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи куба основания.

Значит чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, нужно найти остаток от деления показателя степени на 4.

4. Последние две цифры степени

Глядя на таблицу, замечаем что последние две цифры тоже повторяются, только период повторения увеличивается, кроме того у некоторых чисел 1-е не входит в период, так например:

Но начиная с 21 степени по 40 последние две цифры будут повторяться.

Последние цифры чисел 3,13 и 8 тоже будут повторятся с периодом 20, но последние две цифры чисел 3 и 13 совпадать не будут, не будут совпадать последние две цифры для степеней чисел 4 и 14 и т.д.

Последние цифры чисел 4 и 9 будут повторяться с периодом 10,последние цифры числа 6 будут повторятся с периодом 5, но число 6 не входит в период, последние цифры числа 7 будут повторятся с периодом – 4. Любая степень числа 5 (начиная со 2 –ой) и 25 будет оканчиваться на 25, а число 15 в четной степени будет оканчиваться на 25, а в нечетной на 75. Период чисел 11, тоже будет равен 10, но здесь есть еще одна закономерность:

Для числа 11 в степени – число десятков будет равно показателю степени

5. Заключение

Мы провели большую работу: составили таблицы для последней и двух последних цифр степеней и получили интересные с нашей точки зрения выводы. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5- 7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой. Кроме того, данными выводами можно воспользоваться при подготовке к различным олимпиадам и конкурсам. Кроме того сам процесс проведённого исследования позволил нам ещё раз убедиться в своих возможностях.

6. Задачи

Определите последнюю цифру в записи числа (ответ 8)

Найдите последнюю цифру числа 2017 в степени 4207.(ответ 3)

(8+3=11, последняя цифра 1)

Найдите последнюю цифру суммы степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19951995.

(6+2+2+8+8=26 последняя цифра 6)

В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (− 1). Не опечатка ли это?

(опечатка. Число 23021 337 оканчивается единицей Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.)

(Число 4730 оканчивается цифрой 9, а число 3950 — цифрой 1 Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.)

Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3).

Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?

11. Доказать, что число кратно 2.

7. Использованная литература

1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2008- Санкт-Петербург, 2008.

2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.

4. Л.М.Лоповок 1000 проблемных задач по математике. Книга для учащихся Москва : Просвещение, 1995

6. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5- кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).

Источник

Две последних цифры степени.

Введение.

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

· Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.

· Найти закономерность в них.

· Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.

Последняя цифра степени.

2 1 = 2 2 5 = 32 2 9 = 512

2 2 = 4 2 6 = 64 2 10 = 1024

2 3 = 8 2 7 = 128 2 11 = 2048

2 4 = 16 2 8 = 256 2 12 = 4096

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2 n для любого показателя n.

Закономерности возведения в степень:

· Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

· Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.

· При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.

· Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).

· Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

(Красным кругом выделен период)

Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.

К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.

Степень	02	03	04	05	06	10
Х 2	04	09	16	25	36

По этим таблицам, видно, что числа отличаются, а совпадает только последняя цифра.

Степень	11	12	13	14	15	19	20
Х 2	21	44	69	96	25

Степень	21	22	23	24	25	29	30
Х 2	41	84	29	76	25

Источник

Последняя цифра числа

Найдите последнюю цифру числа:

а) Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя цифра произведения последних цифр этих двух чисел.

Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней тройки: \[3,\, 9,\, 7,\, 1,\, 3,\, 9,\, 7,\, 1,\cdots\] Заметим, что в этой последовательности блоки по четыре цифры \(3,\ 9, \ 7, \ 1\) повторяются, значит, последняя цифра числа \(3^<33>\) зависит от того, какой остаток будет давать число \(33\) при делении на \(4\) (так как блоки по \(4\) цифры).

Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы последних цифр исходных слагаемых.

Последняя цифра числа \(n^2\) равна \(4\) ( \(n\in\mathbb\) ). Может ли предпоследняя цифра числа \(n^2\) быть нечётной?

Таким образом, предпоследняя цифра числа \(n^2\) обязательно чётна.

Таким образом, подходящих \(m\) и \(n\) не существует.

ЕГЭ по математике — одно из самых сложных тестирований для выпускников. Многолетняя практика показала, что очень часто ученики допускают неточности при вычислении последней цифры натурального числа. Данная тематика сама по себе довольно сложна, так как требует особой точности, внимательности и развитого логического мышления. Чтобы без проблем справиться с подобными заданиями, рекомендуем воспользоваться удобным онлайн-сервисом «Школково». На нашем сайте вы найдете все необходимое для решений уравнений на нахождение последней ненулевой цифры числа и подтяните знания в смежных тематиках.

Сдавайте Единый государственный экзамен на «отлично» вместе со «Школково»!

Наш образовательный портал построен таким образом, чтобы выпускнику было максимально удобно готовиться к итоговой аттестации. Сначала ученик обращается к разделу «Теоретическая справка»: вспоминает правила решения уравнений, освежает в памяти важные формулы, которые помогают найти последнюю цифру числа. После этого переходит в «Каталоги», где находит множество задач различных уровней сложности. Если с каким-либо упражнением возникают затруднения, его можно перенести в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже и решить самостоятельно либо с помощью преподавателя.

Специалисты «Школково» собрали, систематизировали и изложили материалы по теме в максимально простой и понятной форме. Таким образом большое количество информации усваивается в короткие сроки. Школьники смогут выполнять даже те задания, которые совсем недавно вызывали у них большие трудности, в том числе и те, где необходимо указать несколько решений.

Чтобы занятия проходили максимально эффективно, рекомендуем начать с наиболее легких примеров. Если они не вызвали сложностей, не теряйте время — переходите к задачам среднего уровня, так вы определите свои слабые стороны, сделаете упор на наиболее сложные для вас задания и добьетесь больших результатов. После ежедневных занятий в течение 1―2 недель вы сможете за пару минут вывести даже последнюю цифру числа Пи. Данное задание достаточно часто встречается в ЕГЭ по математике.

База упражнений на нашем портале постоянно обновляется и дополняется преподавателями с большим стажем. У школьников есть отличная возможность каждый день получать совершенно новые задания, а не зацикливаться на одних и тех же примерах, как зачастую приходится делать при повторении по школьному учебнику.

Начните занятия на сайте «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать!

Обучение на нашем портале доступно всем желающим. Чтобы вы отслеживали свой прогресс и получали новые задания, созданные персонально для вас, зарегистрируйтесь в системе. Желаем вам удачной подготовки!

Источник

Метод анализа последней цифры числа

В ряде случаев удобным оказывается так называемый метод анализа последней (последних) цифры числа.

Пример №30.

Доказать, что число 19981999200020012002 не является квадратом целого числа.

Доказательство. Натуральное число п может оканчиваться на любую из десяти цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Выясним, на какую цифру при этом может оканчиваться квадрат этого числа:

Среди цифр, на которые оканчивается , отсутствует цифра «2». Поэтому данное число не может являться квадратом целого числа.

Пример №31.

Доказать, что ни при каком натуральном п число не является квадратом натурального числа.

Решение:

Выясним, на какую цифру может оканчиваться число . Сделаем это последовательно. Сначала оценим последнюю цифру числа

далее эта последовательность последних цифр 3,9,7,1,3,9,7,1,… циклически повторяется. Оценим теперь последние цифры чисел и :

далее последовательность последних цифр 4,8,6,2,… также циклически повторяется. Суммируя, получаем,что

и далее эта последовательность последних цифр выражения опять-таки циклически (с периодом 4) повторяется.

Таким образом, методом анализа последней цифры удалось установить, что при любых натуральных п число может оканчиваться только на цифры 3 или 7. Но квадрат никакого натурального числа этими цифрами не оканчивается (квадрат натурального числа может оканчиваться только на одну из цифр 0, 1,4, 5, 6, 9), что и доказывает утверждение.

Пример №32.

Найти последнюю цифру числа .

Решение:

Решим сначала более простую задачу, а именно найдём последнюю цифру числа . Выясним, на какие цифры может оканчиваться натуральная степень числа 2:

Очевидно, что при дальнейшем увеличении показателя степени последовательность последних цифр будет циклически повторяться. Представим число в виде: Имеем: Заметим, что число в скобках оканчивается цифрой , и поэтому любая его натуральная степень также будет оканчиваться этой цифрой. Итак, число оканчивается цифрой , и это число умножается на четыре. Поэтому последней цифрой их произведения будет Если теперь повторить проведенные рассуждения для числа , то окажется (сделайте это самостоятельно), что добавление одной или нескольких цифр перед не оказывает влияния на полученный результат.

Ответ: число оканчивается цифрой

Пример №33.

Существует ли такое натуральное число n ,что делится нацело на 2005?

Решение:

Последней цифрой у натурального числа n может быть любая из цифр Последней цифрой у числа может быть соответственно Тогда последняя цифра у числа , как несложно посчитать, может соответственно принимать значения Но тогда это число не делится даже на , а значит, не может делиться и на .

Существуют задачи, решение которых опирается на знание определений и свойств специфических групп целых чисел или же на определённые понятия. К таким задачам можно отнести задачи на простые числа, а также на НОК и НОД. Для их решения разработаны, в том числе, специальные приёмы, учитывающие их специфику. Рассмотрим примеры задач этого типа.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Источник

Степень