как определить какие числа делятся на 9 без остатка
Признаки делимости чисел
В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.
Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.
Примеры:
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.
Примеры:
Признак делимости на 4
Двузначное число
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.
Число разрядов больше 2
Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.
Примечание:
Число делится на 4 без остатка, если:
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.
Примеры:
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).
Примеры:
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.
Признак делимости на 8
Трехзначное число
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.
Число разрядов больше 3
Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.
Примеры:
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Примеры:
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.
Примеры:
Урок 3 Бесплатно Признаки делимости на 9 и на 3
В этом уроке мы познакомимся с признаками делимости на 3 и на 9, узнаем, как по внешнему виду определить, делится ли ваше число на каждое из них.
Признаки делимости на 3 и на 9 облегчают решение задач, особенно на олимпиадах и при решении экзаменационных задач в 9 и 11 классах.
Такие полезные факты сокращают время решения заданий и легко запоминаются.
Признак делимости на 3
Пусть у нас есть 153 конфеты. Нужно раздать их троим детям поровну, используя только признак делимости.
Число 153 можно разложить на 1 сотню, 5 десятков и 3 единицы.
Разделим сначала нашу сотню конфет. Каждый ребенок получит по 33 конфеты, и в остатке одна.
Теперь разделим один десяток конфет на троих. Имеем по 3 конфеты у каждого, и одна в остатке. Значит, для наших пяти десятков каждому ребёнку по 15 (3•5) конфет, и в остатке 5 (1•5) конфет.
Мы не смогли разделить 1 конфету из сотен, 5 конфет из десятков. То есть в сумме получим 1 + 5 = 6 конфет, которые можно разделить по 2 конфеты каждому.
В итоге каждому ребёнку получится по 33 + 15 + 1 + 2 = 51 конфете.
Мы на примере посмотрели, как используется признак делимости на 3.
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.
Если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
Пример 1
Выберите среди чисел 75432, 2772825, 5402070 те, которые делятся на 3.
Решение:
По признаку делимости на 3 нужно найти сумму цифр каждого числа и дальше работать с нею.
Для первого: 7 + 5+ 4+ 3+ 2 = 21,а 21 : 3 = 7, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3
Для второго: 2 + 7 + 7 + 2 + 8 + 2 + 5 = 33, а 33 : 3 = 11, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3
Для третьего: 5 + 4 + 0 + 2 + 0 + 7 + 0 = 18, а 18 : 3 = 6, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3
Пример 2
Замените звёздочки в числах 2*5, 31*, *15, на необходимые цифры, чтобы эти числа стали делиться на 3.
Решение:
Возьмем первое число 2*5. Из признака делимости мы знаем, что нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Значит, 2 + 5 + * должно делиться на 3.
Сумма известных цифр равна 8, значит, вместо звездочки можно взять, например, 1.
Тогда сумма станет 9, и она делится на 3, значит, и получившееся число 215 будет делиться на 3.
Кроме единицы подходят цифры: 4, 7, так как они отличаются от 1 на 3 и 6 каждая.
Возьмем второе число 31*. Сумма первых цифр равна 4, значит, вместо звездочки минимум надо брать 2, чтоб в сумме было 6.
Тогда сумма цифр будет делиться на 3 и само число, 312, будет делиться тоже.
Кроме двойки брать можно и другие цифры, прибавляя по 3: 5 или 8.
Получившиеся числа 315 или 318 будут делиться на 3.
Получившиеся числа 315, 615, 915 будут делиться на 3 без остатка.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Из признака делимости на 3 можно получить интересный признак делимости на 6
Чтобы ваше число делилось на 6, нужно чтоб оно делилось на 2 и на 3 одновременно.
Пример
Делится ли 216 на 6?
Решение:
216— это чётное число, значит, оно делится на 2.
Сумма цифр числа 216 равна 2 + 1+ 6 = 9, значит, оно делится на 3.
Отсюда, делаем вывод, что 216 делится на 6.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Признак делимости на 9
Разделим 729 ручек поровну на 9 учеников, не вычисляя, а только применяя признаки делимости суммы и произведения.
В числе 729 содержится 7 сотен, 2 десятка и 9 единиц.
Если делить поровну на 9 учеников одну сотню ручек, то каждый получит по 11 ручек и 1 ручка останется. Значит, на семь сотен по 77 ручек каждому, и 7 останется.
Если делить поровну на 9 учеников один десяток ручек, то каждый получит по 1 ручке и 1 ручка останется. А от 2 десятков каждый получит по 2 (1•2) ручки, и останется 2 ручки.
Если делить поровну на 9 учеников количество ручек в единицах, то все получат по одной ручке.
Неразделёнными останутся 7 ручек от сотен, 2 ручки от десятков. Всего неразделёнными остались 7 + 2 = 9 ручек, которые делятся поровну на 9 детей.
Ещё по 1 ручке каждому, поэтому каждый получит по 77 + 2 + 1 + 1 = 81 ручке.
Значит, число 729 делится без остатка на 9, а 7 + 2— это сумма, делящаяся на сумму цифр этого числа, без остатка.
Мы рассмотрели пример того, как работает признак делимости на 9.
Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.
Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Пример 1
В каждом стойле коровника 9 коров. Может ли быть, что всего в коровнике 136 коров? 873 коровы?
Решение:
Используем признак делимости на 9 при решении задачи.
Для первого числа сумма цифр 1 + 3 + 6 = 10, значит, число не делится на 9, так как сумма цифр не делится на 9.
136 коров не может быть в коровнике.
Для второго числа сумма цифр 8 + 7 + 3 = 18, делится на 9. Значит, и 873 делится на 9.
873 коровы могут быть в коровнике.
Пример 2
Какие цифры вместо звездочек нужно поставить в числа 34*, *75, чтобы получившиеся числа делилась на 9?
Решение:
Для первого числа 34* сумма первых двух цифр равна 3 + 4 = 7
Нужно взять такую цифру, чтобы сумма делилась на 9, например, возьмём 2
7 + 2 = 9, значит, получившееся число 342 делится на 9 без остатка
Кроме двойки другие цифры взять не получится, ведь нужно либо прибавлять к двойке 9, либо отнимать от нее 9. Всегда будет получаться число, а не цифра.
Для второго числа *75 сумма последних двух цифр равна 7 + 5 = 12
Аналогично предыдущему, подбираем цифру, чтобы получившаяся сумма делилась на 9
Такой цифрой будет 6, число получится 675
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Из признака делимости на 9 можно получить признак делимости на 99.
Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Например, число 12573 делится на 99, так как на 99 делится сумма 73 + 25 + 1 = 99
Мы брали с конца по две цифры, а для единицы пары не нашлось, поэтому прибавляем ее как есть.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Интересная информация
Существует множество признаков делимости, которые изучают в школе или не изучают вообще.
Некоторые из них сложны, некоторые очень просты.
Мы разберем с вами еще пару признаков, которые часто нужны, чтобы решать задачки на олимпиадах по математике. Это признаки делимости на 7 и на 11
Число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 7.
Например, 154.
В нём 15 десятков и 4 единицы. 154 делится на 7, так как на 7 делится \(\mathbf<15\cdot3+4=49>\)
Или, 1001.
В нем 100 десятков и 1 единица. 1001 делится на 7, так как на 7 делятся
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся 10 + 37 + 85 = 132 и 01 + 32 = 33
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Признаки делимости чисел
Что такое «признак делимости»
Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.
Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.
Однозначные, двузначные и трехзначные числа
Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.
Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).
Чётные и нечётные числа
Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!
Признаки делимости чисел
Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.
Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.
Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.
Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.
Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Признаки делимости
Признаки делимости чисел — это особенности чисел, позволяющие определить, не выполняя деления, кратно число делителю или нет.
Чётные и нечётные числа
Чётные числа — это числа которые делятся на 2. Нечётные числа — это числа, которые на два не делятся.
Число нуль относится к чётным числам.
Признаки делимости чисел
Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Например, число 4376 делится на 2, так как последняя цифра (6) — чётная.
Признак делимости на 3. На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, число 10815 делится на 3, так как сумма его цифр 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 делится на 3.
Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, которое делится на 4. Например, число 244500 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Числа 14708 и 7524 делятся на 4, так как две последние цифры этих чисел (08 и 24) делятся на 4.
Признаки делимости на 5. На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5. Например, число 320 делится на 5, так как последняя цифра 0.
Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Например, число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.
Признаки делимости на 8. На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8. Например, число 27000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями. Число 63128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.
Признак делимости на 9. На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9. Например, число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100, 1000 и т. д. На 10, 100, 1000 и так далее делятся те числа, которые оканчиваются соответственно одним нулём, двумя нулями, тремя нулями и так далее. Например, число 3800 делится на 10 и на 100.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9,10, 11, 25
Признаки делимости — это такие признаки, благодаря которым мы можем определить без расчетов, делится ли число на другое нацело (без остатка) или нет, т.е. является ли число (делимое) кратно другому (делителю).
Рассмотрим конкретные признаки делимости на числа 2, 3, 4, 5, 9,10, 11, 25 и приведем примеры. Для наглядности выбран вид изложения материала — табличный. Внизу статьи вы сможете скачать наглядные материалы для лучшего усвоения данной темы, а также шпаргалку по данной теме.
Таблица
7395610 : 2 = 3697805
8356489634 : 2 = 4178244817
192 : 3 = 64 (1 + 9 + 2 = 12; 12 делится на 3),
768 : 3 = 256 (7 + 6 + 8 = 21; 21 делится на 3)
6324 : 4 = 1581 (24 делится на 4)
648616 : 4 = 162154 (16 делится на 4)
3144 : 6 = 524 (3144 делится на 2, так как заканчивается на 4 – признак делимости на 2; 3 + 1 + 4 + 4 = 12; 12 делится на 3) Соответственно 3144 делится на 6.
Число делится на 7, если разность между делимым без последней цифры и удвоенным числом единиц, делится на 7
28 7 : 7 = 41 (28 – 7×2=28-14=14; 14 делится на7)
1432 : 8 = 179 (т.к. 432 делится на 8; 432 : 8 = 54).
603 : 9 = 67 ( 6 + 0 + 3 = 9, 9 делится на 9). Поменяем местами цифры в делимом и проверим снова кратность числа 96
630 : 9 = 70 (6 + 3 + 0 = 9),
5832 : 9 = 648 (5 + 8 + 3 + 2 = 18; 18 делится на 9)
2 695 : 11 = 245 (2 + 9 = 6 + 5 = 11)
1 232 : 11 = 112 (1 + 3 = 2 + 2 = 4)
3 641 : 11 = 331 (3 + 4 = 6 + 1 = 7)
Признаки делимости на составное число
Если нам нужно узнать делится ли число на какое-нибудь составное, то нам нужно разложить делитель на два множителя, признаки делимости которых известны. Посмотрите делится ли исходное число (делимое) на каждый из этих множителей. Если ответ положительный, то число делится на составное.
Шпаргалка
Скачать в PNG или PDF (рекомендуется для печати)
И шпаргалка маленького размера ( 10 на 6 см) в виде таблицы
Скачать и распечатать в ворде
Задача
Пользуясь признаками делимости, из данных чисел 1368,2121,2178,4356,5635,7221,8484. Выберете числа кратные
Ответ: Числа, которые делятся на 5: 5635
Числа с признаками делимости 2: 1268, 2178, 4356, 8484
Числа, кратные 9: 1368, 2178, 4356
Числа, кратные 3: 1368, 2121, 2178, 4356, 7221, 8484