как называют теоремы в которых перечислены свойства относящие фигуру к какому то виду классу
Как называют теоремы в которых перечислены свойстваотносщие фигуру к какомуто виду
Ответы
говорят, что благотворительность начинается дома, и люди в великобритании, 0) кажется, применяют эти слова на практике. их энтузиазм другим отображается в 187000 благотворительных организациях, которые 1) существуют в стране. некоторыми из самых известных являются oxfoam, забота о возрасте, rspca, британский фонд сердца и центр марии кюри по поддержке лечения рака.
люди жертвуют деньги благотворительным организациям или волонтёрам, чтобы им 2) собрать деньги. многие из этих организаций открывают благотворительные магазины. первым благотворительным магазином в великобритании был создан магазин oxfam на брод-стрит, в оксфорде. oxfam имеет наибольшее количество благотворительных магазинов в великобритании, 3) более 800 магазинов.
благотворительные магазины товары по 4) низким ценам. предметы для продажи, как правило, из вторых рук или подарены представителями общественности. они 5) включают низкие по стоимости книги, пластинки, компакт-диски, одежда, аксессуары, предметы обихода, мебель и костюмы для 6) особых случаев, таких как например хэллоуин. в этом есть выгода для 7) всех! некоторые благотворительные магазины также новые товары, которые так или иначе связаны с делом, которое они 8) поддерживают. в магазинах oxfam, например, вы можете увидеть умеренные цены на еду и произведения ремесленников.
в сша, где все благотворительные магазины так и называются благотворительными, этот вид шопинга настолько 10) популярен, что он получил собственное слово, и называется thrifting (благотворительный)!
двуречье. страну, где в древности жили шумеры и акадцы обычно называют двуречьем, потому что свои деревни и города они строили по берегам двух больших рек — тигра и евфрата. теперь там находится государство ирак.
тепло, вода, плодородная почва и трудолюбие жителей уже в глубокой древности превратили двуречье в цветущий сад. шумеры и аккадцы были не только трудолюбивы, но и необыкновенно изобретательны. в их стране не было ни камня, ни металла, ни дерева — одна глина. эти великие труженики и изобретатели научились делать из глины всё: и детские игрушки, и храмы, и дворцы, и дороги. они писали на ней.
Презентация «Теоремы»
презентация к технологической карте урока по теме Теоремы». в ней отражены все этапы урока
Содержимое разработки
“ Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает возможность правильно мыслить и рассуждать”.
Треугольник, у которого все углы острые
Красный отрезок на чертеже это…
Площадь этой фигуры вычисляют по формуле S = a 2
Какие буквы можно подставить в предложение : Геометрия трудн… предмет
Дано: SOP = НND. Назовите угол, равный углу S.
Как называется фигура, изображенная
Определить и сформулировать признак равенства треугольников.
Что такое определение?
Приведите пример теоремы; аксиомы.
Назовите свойства вертикальных углов.
перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру
устанавливают свойства фигур
следуют непосредственно из аксиом или теорем
Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники …
В равнобедренном треугольнике углы при основании …
В треугольнике против равных сторон лежат …
Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру
Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равно удалена от концов этого отрезка
Взаимно обратные теоремы
Методы доказательства теорем
прием дополнительного построения
дополнение чертежа элементами, о которых не шла речь в условии теоремы
предположение, что заключение теоремы неверно
Презентация «Теоремы»
презентация к технологической карте урока по теме Теоремы». в ней отражены все этапы урока
Содержимое разработки
“ Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает возможность правильно мыслить и рассуждать”.
Треугольник, у которого все углы острые
Красный отрезок на чертеже это…
Площадь этой фигуры вычисляют по формуле S = a 2
Какие буквы можно подставить в предложение : Геометрия трудн… предмет
Дано: SOP = НND. Назовите угол, равный углу S.
Как называется фигура, изображенная
Определить и сформулировать признак равенства треугольников.
Что такое определение?
Приведите пример теоремы; аксиомы.
Назовите свойства вертикальных углов.
перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру
устанавливают свойства фигур
следуют непосредственно из аксиом или теорем
Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники …
В равнобедренном треугольнике углы при основании …
В треугольнике против равных сторон лежат …
Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру
Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равно удалена от концов этого отрезка
Взаимно обратные теоремы
Методы доказательства теорем
прием дополнительного построения
дополнение чертежа элементами, о которых не шла речь в условии теоремы
предположение, что заключение теоремы неверно
Основные геометрические фигуры
Основные понятия
Основные геометрические фигуры на плоскости — это точка и прямая линия. А простейшие фигуры — это луч, отрезок и ломаная линия.
Минимальный объект в геометрии — точка. Ее особенность в том, что она не имеет размеров: у нее нет высоты, длины, радиуса. У точки можно определить только ее расположение, которое принято обозначать одной заглавной буквой латинского алфавита.
Из множества точек может получится линия, а из нескольких соединенных между собой линий — геометрические фигуры.
Каждая математическая фигура имеет собственную величину, которую можно измерить при помощи формул и внимательности.
Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.
Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской P.
Если параметры переданы в разных единицах измерения длины, нужно перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
Геометрические тела — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной границы.
Если все точки фигуры принадлежат одной плоскости, значит она является плоской.
Объемная фигура — геометрическая фигура, у которой все точки не находятся на одной плоскости.
Примеры объемных геометрических фигур:
Рассмотрим подробнее некоторые фигуры, разберем их определения и свойства.
Прямоугольник
Прямоугольник — четырехугольник, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.
Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:
Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины фигуры. Он есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.
Периметр прямоугольника — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
Квадрат
Квадрат — это тот же прямоугольник, у которого все стороны равны.
Найти площадь квадрата легко:
Периметр квадрата — это длина стороны, умноженная на четыре.
P = 4 × a, где a — длина стороны.
Трапеция
Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две не параллельны.
Основное свойство: в трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.
Как найти площадь трапеции:
S = (a + b) : 2 × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.
Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны и был расположен перпендикулярно к этим основаниям.
Формула периметра для равнобедренной трапеции отличается от прямоугольника тем, что у равнобедренной трапеции есть две равные стороны.
P = a + b + 2 × c, где a, b — параллельные стороны, c — две длины одинаковых сторон.
Параллелограмм и ромб
Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны
Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.
Общие формулы расчета площади фигур:
Периметр ромба — это произведение длины стороны на четыре.
P = 4 × a, где a — длина стороны.
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
Треугольник
Треугольник — это такая фигура, которая образуется, когда три отрезка соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами.
Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходным данным, давайте их рассмотрим.
S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.
Основание может быть расположено иначе, например так:
При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:
При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:
S = 0,5 × a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.
S = (a × b × с) : 4 × R, где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.
S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.
Периметр треугольника — это сумма длин трех его сторон.
P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.
Формула измерения периметра для равностороннего треугольника — это длины стороны, умноженная на три.
P = 3 × a, где a — длина стороны.
Круг — это множество точек на плоскости, которые удалены от центра на равном радиусу расстоянии.
Окружность — это граница круга.
Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней.
Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходящий через ее центр. Диаметр круга равен двум его радиусам.
Формулы площади круга:
Периметр круга или длина окружности — это произведение радиуса на два Пи или произведение диаметра на Пи.
L = d × π = 2 × r × π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Как называют теоремы в которых перечислены свойства относящие фигуру к какому то виду классу
СОДЕРЖАНИЕ: 7) Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника. 8) Первый и второй признак равенства треугольников. 9) Равнобедренный треугольник и его свойства. 10) Признаки равнобедренного треугольника. 11) Третий признак равенства треугольников. 12) Теоремы.
§ 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
Рассмотрим три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками АВ, ВС, СА. Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 108 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником.
Точки А, В, С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника. Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображённый на рисунке 108, обозначают так: ΔАВС, или ΔВСА, или ΔАСВ (читают: «треугольник АВС», «треугольник ВСА», «треугольник АСВ»).
§ 8. Первый и второй признак равенства треугольников
§ 9. Равнобедренный треугольник и его свойства
Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника. Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон. При этом угол В называют углом при вершине, а углы А и С — углами при основании равнобедренного треугольника.
Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.
Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.
§ 10. Признаки равнобедренного треугольника
§ 11. Третий признак равенства треугольников
§ 12. Теоремы
Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.
Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство
ников.
Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.
Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести её к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым распознают равнобедренный треугольник.
Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или следствиями. Например, свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.
Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. Такие теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.
Меняя местами условие и заключение теоремы, надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными.
Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путём логических рассуждений, т. е. доказательства. Теорема 1.1 была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.
Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 5.1, 10.3. Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным, т. е. рассмотрены все возможные случаи. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трёх возможных случаев.
Умение видеть все тонкости и нюансы доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка X является серединой отрезка то обращение к треугольникам АХМ и ВХМ было бы не совсем «законным».
При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали приём дополнительного построения: чертёж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.
ИТОГИ ГЛАВЫ 2.
Определение. Равные фигуры
Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.
Основное свойство равенства треугольников
Для данного треугольника АВС и луча А1М существует треугольник A1B1C1 равный треугольнику АВС, такой, что АВ = А1В1, ВС = В1С1, АС = А1С1 и сторона A1B1 принадлежит лучу А1М, а вершина С1 лежит в заданной полуплоскости относительно прямой А1М.
ТЕОРЕМА 7.1. О единственности прямой, перпендикулярной данной
Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.
Высота треугольника
Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
Медиана треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
Биссектриса треугольника
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.
ТЕОРЕМА 8.1. Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Серединный перпендикуляр отрезка
Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.
ТЕОРЕМА 8.2.
Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.
ТЕОРЕМА 8.3. Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Равнобедренный треугольник
Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
Равносторонний треугольник
Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.
ТЕОРЕМА 9.1. Свойства равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса треугольника, проведённая из угла при вершине, является медианой и высотой.
Свойства треугольников, следующие из свойств равнобедренного треугольника
• В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из его вершины, совпадают.
• В равностороннем треугольнике все углы равны.
• В равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают.
Признаки равнобедренного треугольника
• Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный (Теорема 10.1)
• Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный (Теорема 10.2)
• Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный (Теорема 10.3)
• Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный (Теорема 10.4)
ТЕОРЕМА 11.1.Третий признак равенства треугольников: по трём сторонам
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Это конспект по теме «Мерзляк Геометрия 7 Глава 2». Выберите дальнейшие действия: